Géométrie différentielle polycopié du cours

G´eom´etrie Diff´erentielle
Patrick Bernard
21 mai 2015
Version pr´eliminaire des notes de cours.
Table des mati`eres
1´ Etude locale des applications. 2
1.1 Diff´eomorphismes .................................... 2
1.2 Immersions, plongements ................................ 2
1.3 Submersions ....................................... 4
1.4 Subimmersions ...................................... 4
2 Sous vari´et´es. 5
2.1 Caract´erisations des sous vari´et´es. ........................... 5
2.2 Applications diff´erentiables entre sous vari´et´es ..................... 6
3 Exemples 11
3.1 Sph`eres ......................................... 11
3.2 Tores ........................................... 12
3.3 Groupes de Matrices ................................... 12
3.4 Matrices de rang fix´e .................................. 13
3.5 Grassmaniennes ..................................... 14
3.6 Fibr´e tangent, fibr´e vectoriel. .............................. 17
4 Champ de vecteurs, fibrations 19
4.1 Champ de vecteurs sur une sous vari´et´e ........................ 19
4.2 Fibrations localement triviales .............................. 23
4.3 Fibration de Hopf .................................... 25
4.4 Oscillateur non r´esonant ................................. 26
4.5 Orbites d’un champ de vecteurs ............................. 27
5 Distances sur une sous-vari´et´e 28
5.1 La distance g´eom´etrique ................................. 28
5.2 G´eod´esiques minimisantes. ............................... 31
5.3 M´etriques Riemanniennes ................................ 32
6 Th´eor`eme de l’orbite 32
6.1 ´ Enonc´e g´en´eral ..................................... 32
6.2 Cas des feuilletages ................................... 36
7 Espaces m´etriques localement compacts 36
1

8 Vari´et´es 40
8.1 Premi`ere d´efinition ................................... 40
8.2 Seconde d´efinition .................................... 41
8.3 Plongement ....................................... 41
8.4 Feuilles .......................................... 43
8.5 Quotients ........................................ 44
9 Espace tangent et crochet de Lie 48
9.1 Espaces tangents et champs de vecteurs. ........................ 48
9.2 Crochets de Lie ..................................... 52
9.3 Formes de Pfaff ..................................... 57
9.4 Compl´ement : fibr´es vectoriels ............................. 59
10 Formes diff´erentielles 60
10.1 Formes multilin´eaires altern´ees. ............................. 60
10.2 Formes diff´erentielles .................................. 63
10.3 Int´egration et formule de Stokes sur le cube. ...................... 65
10.4 Diff´erentielle ext´erieure ................................. 66
10.5 Orientation et int´egration ................................ 69
10.6 Domaines `a bord et formule de Stokes ......................... 71
1´ Etude locale des applications.
On notera ψ: (Rn, x0)−→ (Rm, y0)pour d´esigner une application ψ:Rn−→ Rntelle que
ψ(x0) = y0. On utilisera la mˆeme notation mˆeme si ψn’est d´efinie que dans un voisinage de x0.
1.1 Diff´eomorphismes
´
Etant donn´es deux ouverts Uet Vde Rn, un diff´eomorphisme de ψ:U−→ Vest une application
inversible C1d’inverse C1. Si le diff´eomorphisme ψest Cr,r>1, alors son inverse est n´ecessairement
Cr, comme on le montre par r´ecurrence en utilisant la formule
d(ψ−1)(y) = dψψ−1(y)−1.
On rappelle :
Th´eor`eme 1.1 (Th´eor`eme d’inversion locale).Soit ψ:Rn−→ Rnune application C1telle que
dψx0est inversible. Alors, ψest un diff´eomorphisme local au voisinage de x0, c’est `a dire qu’il existe
des ouverts Uet Vde Rncontenant x0et ψ(x0)tels que ψ|Uest un diff´eomorphisme sur V.
1.2 Immersions, plongements
Proposition 1.2 (Forme Normale des Immersions).Soit f: (Rn, x0)−→ (Rm, y0)une application
Cr. Si dfx0est injective, alors fest une immersion en x0, c’est `a dire qu’il existe un diff´eomorphisme
local
ϕ: (Rm, y0)−→ (Rn×Rm−n,(x0,0))
tel que ϕ◦f(x)=(x, 0) au voisinage de x0.
2

Figure 1 – immersions injectives
Plus pr´ecis´ement, l’´enonc´e s’´ecrit : Il existe des ouvert U, V, W de Rn,Rm−n,Rmcontenant
x0,0, y0, et un diff´eomorphisme ϕ: (W, y0)−→ (U×V, (x0,0) tel que ϕ◦f(x)=(x, 0) sur U.
D´ emonstration. Soit Fun suppl´ementaire de l’image de dfx0dans Rm. L’application
Rn×F3(x, y)7−→ f(x) + y∈Rm
est un diff´eomorphisme local. Notons ϕ: (Rm, y0)−→ (Rn×F, (x0,0)) son inverse local. On voit
que ϕ◦f(x)=(x, 0).
´
Etant donn´e un ouvert Ude Rn, on dit que f:U−→ Rmest une immersion si c’est une
immersion en chaque point de U.
L’application f:U−→ Rmest un plongement si c’est une immersion injective qui est un
hom´eomorphisme sur son image (munie de la topologie induite).
Dans le cas m=n, les notions de plongement et de diff´eomorphisme sur son image sont
´equivalentes.
Les notions de plongement et d’immersion sont localement identiques au vu de la Proposition
ci-dessus :
Propri´et´e 1.3. Si f: (Rn, x0)−→ (Rm, y0)est une immersion en x0, alors il existe un voisinage
ouvert Vde x0tel que f|Vest un plongement.
La premi`ere obstruction globale `a ce qu’une immersion soit un plongement est l’injectivit´e. Les
exemples dessin´es ci-dessus montrent que mˆeme une immersion injective (de ]0,1[ et de ]0,1[∪]2,3[,
en l’occurence) n’est pas n´ecessairement un plongement.
Proposition 1.4. Une immersion injective et propre d’un ouvert de Rndans Rmest un plongement.
On rappelle qu’une application est dite propre si la pr´eimage de tout compact est compacte. La
proposition est une cons´equence tautologique du lemme classique suivant.
Lemme 1.5. Soit f:X−→ Yune application continue entre espaces m´etriques. Si fest propre,
c’est un hom´eomorphisme sur son image.
D´ emonstration. Il faut montrer que f−1est continue. On consid`ere une suite yn−→ ydans
f(X), et les pr´eimages xnde ynet xde y. Comme l’ensemble {yn}∪{y}est compact, sa pr´eimage
Zest compacte. Comme xest la seule valeur d’adh´erence possible de la suite xn, on conclut que
xn−→ x.
3

1.3 Submersions
Proposition 1.6 (Forme Normale des Submersions).Soit f: (Rn, x0)−→ (Rm, y0)une application
Cr, r >1, telle que dfx0est surjective. Alors fest une submersion en x0c’est `a dire qu’il existe un
diff´eomorphisme local
ψ: (Rm×Rn−m,(y0,0)) −→ (Rn, x0)
tel que f◦ψ(y, z) = yau voisinage de y0.
D´ emonstration. Soit πune projection lin´eaire d’image K:= ker dfx0dans Rn. L’application
Rn3x7−→ (f(x), π(x−x0)) ∈Rm×K
est un diff´eomorphisme local en x0. On note ψ: (Rm×K, (y0,0)) −→ (Rn, x0)son inverse locale.
On a alors f◦ψ(y, k) = y.
1.4 Subimmersions
On dit en fait plutˆot applications de rang constant. On ne les rencontre pas aussi souvent que les
immersions et les submersions.
Proposition 1.7 (Forme Normale des Subimmersions).Soit f: (Rn, x0)−→ (Rm, y0)une applica-
tion Cr, r >1, telle que df est de rang constant (k) au voisinage de x0. Alors fest une subimmersion
en x0c’est `a dire qu’il existe des diff´eomorphisme locaux
ψ: (Rk×Rn−k,(0,0)) −→ (Rn, x0), ϕ : (Rm, y0)−→ (Rk×Rm−k,(0,0))
tels que ϕ◦f◦ψ(y, z)=(y, 0) au voisinage de 0.
Dans le cas des immersions et submersions, le rang en x0est maximal, ce qui implique qu’il est
localement constant. C’est la raison pour laquelle on peut se contenter d’un hypoth`ese ponctuelle
dans ces cas.
D´ emonstration. On consid`ere une projection lin´eaire πKsur K:= ker dfx0et une projection πR
sur l’image Rde dfx0. On d´efinit alors ψcomme l’inverse du diff´eomorphisme local
Rn3x7−→ (πR(f(x)−y0), πK(x−x0)) ∈R×K.
On a alors πR◦f◦ψ(y, z) = y, L’application f◦ψest de la forme
R×K3(yR, z)7−→ (yR+g(yR, z)) ∈Rm
o`u g: (R×K, (0,0)) −→ (Rm, y0)) v´erifie πR◦g(yR, z)≡0. Autrement dit, si l’on identifie Rmau
produit R×ker πRet g(dont le premier facteur est nul) `a son second facteur (I−πR)◦g:
f◦ψ(yR, z)=(yR, g(yR, z)).
On a alors
d(f◦ψ)(yR,z)(u, v)=(u, ∂yg(y,z)u+∂zg(y,z)v), .
Comme le rang de cette application lin´eaire est ´egal `a k= dim R, on conclut que ∂zg≡0, et donc
que gne d´epend pas de z:
f◦ψ(y, z) = y+g(y).
On pose alors ϕ(y) = y−g◦πR(y)soit en coordonn´ees ϕ(yR, y0) = (yR, y0−g(yR)).
La premi`ere ´etape de la preuve ci-dessus donne le r´esultat g´en´eral suivant :
4

Proposition 1.8 (Forme Normale des Applications).Soit f: (Rn, x0)−→ (Rm, y0)une applica-
tion Cr, r >1. Soit Rl’image de dfx0et Fun suppl´ementaire de cette image. Alors il existe un
diff´eomorphisme local
ψ: (R×Rn−k,(0,0)) −→ (Rn, x0),
et un application locale g: (R×Rn−k,0) −→ (F, 0), tels que f◦ψ(ξ, z) = y0+ξ+g(ξ, z)au
voisinage de 0. En identifiant Rmau produit R×F, ceci se r´e´ecrit
f◦ψ(ξ, z) = y0+ (ξ, g(ξ, z)).
2 Sous vari´et´es.
2.1 Caract´erisations des sous vari´et´es.
Soit Mune partie de RD,x0un point de M, et Tun sous espace vectoriel de RD(de dimension
d). On dit que Mest une sous vari´et´e de classe Crtangente `a Ten x0si l’une les propri´et´es
´equivalentes suivantes est satisfaites :
Graphe : Il existe un suppl´ementaire Ede Tdans RDet une application g: (T, 0) −→ (E, 0)
de classe Crtelle que dg0= 0 et telle que M−x0est localement le graphe de g. Plus pr´ecis´ement,
il existe un voisinage ouvert Vde 0dans Ttel que le graphe
{x0+ (x+g(x)), x ∈V},
est un ouvert de M.
´
Equation : Il existe une submersion ψ: (RD, x0)−→ (RD−d,0) telle que le noyau de dψ(x0)
est Tet telle que, localement, M=ψ−1(0). Plus pr´ecis´ement, il existe un voisinage ouvert Ude x0
et une submersion ψ: (U, x0)−→ (RD−d,0) de classe Crtelle que M∩U={x∈U:ψ(x)=0}
et ker dψx0=T.
Redressement : Il existe un voisinage ouvert Ude x0dans RD, un voisinage ouvert Vde 0
dans Rdet un plongement Cr
ϕ: (U, x0)−→ (Rd×RD−d,(0,0))
tel que ϕ(U∩M) = V× {0}et dϕx0(T) = Rd× {0}.
Param´etrisation : Il existe un voisinage ouvert Vde 0dans Rdet un plongement Cr
φ: (V, 0) −→ (RD, x0)
dont l’image φ(V)est un ouvert de M(muni de la topologie induite).
Graphe fort : Pour tout suppl´ementaire Ede Tet tout suppl´ementaire Fde E, il existe une
application g: (F, 0) −→ (E, 0) de classe Crtelle que M−x0est localement le graphe de g, et telle
que Test le graphe de dg0.
D´ emonstration. Soit πune projection lin´eaire sur T.
Si Mest localement le graphe de g:T−→ E, on note πTet πEles projections lin´eaires
associ´ees `a la d´ecomposition RD=T⊕E, et on d´efinit ψ: (RD, x0)−→ (F, 0) par ψ(x) =
πE(x−x0)−g◦πT(x−x0). On constate que dψx0=πE, donc ψest une submersion en x0et
ker dψx0=T.
Si M={ψ= 0}, on pose ϕ(x) = (πT(x), ψ(x)), o`u πTest une projection sur T.
Si ϕ(M) = T, on pose φ=ϕ−1
|N:T−→ M.
Si M=φ(T), et si Eet Fsont donn´es, on remarque que πF◦(φ−x0) : (T, 0) −→ (F, 0) est
un diff´eomorphisme local de Tet on pose g=πE◦(πF◦(φ−x0))−1.
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