chap 16 : Intégration sur un segment Intégration sur un segment

Lyc´ee Henri IV chap 16 : Int´egration sur un segment HKBL
Int´egration sur un segment
I Primitives d’une fonction
1.1 D´efinition
d´efinition 1.1 :
Soit f:I→Rune fonction d´efinie sur un intervalle r´eel I.
On dit qu’une fonction F:I→Rest une primitive de fsur Isi :
–Fest d´erivable sur I
–∀x∈I, F 0(x) = f(x)
exemples : en cours
1.2 Ensemble des primitives
propri´et´e 1.2 :
Soit f:I7→ Rune fonction d´efinie sur un intervalle r´eel I.
Alors les primitives de f, si elles existent, diff`erent d’une constante :
Si Fest une primitive de fsur I, alors l’ensemble des primitives de fsur Iest :
{x7→ F(x) + k, k ∈R}
exemples : en cours
remarques :
– une fonction fadmet une infinit´e de primitives, ou aucune.
– si fadmet des primitives, alors pour tout x0∈R, il existe une et une seule primitive de fqui s’annule en x0.
1.r Existence de primitives
th´eor`eme 1.3, ou Th´eor`eme fondamental de l’analyse
Toute fonction f:I7→ Rcontinue sur l’intervalle Iposs`ede au moins une primitive d´efinie sur I.
preuve : en cours
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1.4 Primitives usuelles
f(x)F(x) (+k∈R) Domaine de validit´e
0k∈R R
1xR
xx2
2R
x2x3
3R
xn(n∈Z, n 6=−1) xn+1
n+ 1
Rsi n≥0
]− ∞; 0[ ou ]0; +∞[ si n < 0, n 6=−1
1
x2−1 x]− ∞; 0[ ou ]0; +∞[
1
2√x√x]0; +∞[
xα(α∈R, α 6=−1) xα+1
α+ 1 ]0; +∞[
1
xln |x|]− ∞; 0[ ou ]0; +∞[
ln x x ln x−x]0; +∞[
exexR
eax(a∈R∗)1
aeax R
sin x−cos xR
cos xsin xR
1 + tan2x=1
cos2(x)tan x]−π 2+kπ;π 2+kπ[, k ∈Z
1
1 + x2arctan xR
1
√1−x2arcsin x]−1; 1[
−1
√1−x2arccos x]−1; 1[
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1.5 Op´erations sur les primitives
f(x)F(x)f(x)F(x)
u0(x) + v0(x)u(x) + v(x)u0(x)
u2(x)−1 u(x)
k.u0(x) (k∈R)k.u(x)u0(x).un(x) (n∈Z, n 6=−1) (u(x))n+1
n+ 1
u0(x)
u(x)ln |u(x)|u0(x)
2pu(x)pu(x)
u0(x).eu(x)eu(x)u0(x).uα(x) (α∈R, α 6=−1) (u(x))α+1
α+ 1
u0(x).u(x)1
2u2(x)u0(x).sin(u(x)) −cos(u(x))
u0(x)
1 + u2(x)arctan u(x)u0(x).cos(u(x)) sin(u(x))
II Int´egrale d’une fonction sur un segment
2.1 Int´egrale d’une fonction continue
propri´et´e 2.1 :
Soit fune fonction continue sur un intervalle I, et aet bdeux r´eels de l’intervalle I.
Alors le r´eel F(b)−F(a), o`u Fest une primitive de f, ne d´epend pas du choix de la primitive.
preuve : en cours
Cette propri´et´e justifie la d´efinition suivante :
d´efinition 2.2 :
Soit fune fonction continue sur un intervalle Iet Fune primitive quelconque de fsur l’intervalle I.
Pour tous r´eels aet bde l’intervalle I, on appelle int´egrale de fentre aet b( ou de a`a b) le r´eel d´efini par :
Zb
a
f(x)dx= [F(x)]b
a=F(b)−F(a)
exemples : en cours
remarques :
– la variable d’int´egration est muette.
–dx est appel´e diff´erentielle de x.
2.2 Cas particuliers
On d´eduit de la d´efinition :
propri´et´e 2.3 :
Za
b
f(x)dx=−Zb
a
f(x)dxZa
a
f(x)dx= 0
preuve : en cours
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2.3 Propri´et´es de somme
propri´et´e 2.4 : Relation de Chasles
Soit fune fonction continue sur un intervalle I.
Alors pour tous r´eels a, b et cde l’intervalle I:
Zb
a
f(x)dx=Zc
a
f(x)dx+Zb
c
f(x)dx
preuve : en cours
propri´et´e 2.5 : Lin´earit´e de l’int´egrale
Soient fet gdeux fonctions continues sur un intervalle Iet aet bdeux r´eels de l’intervalle I.
Alors pour tous r´eels αet β:
Zb
a
α.f(x) + β.g(x)dx=αZb
a
f(x)dx+βZb
a
g(x)dx
preuve : en cours
2.4 Int´egrale d’une fonction continue par morceaux
d´efinition 2.6 :
Une fonction fest dite continue par morceaux sur le segment [a;b] si fest continue sur le segment [a;b]
sauf peut-ˆetre en un nombre fini de points x1< x2< ... < xnen lesquels la fonction admet des limites `a gauche
et `a droite finies.
En remarquant qu’on ne modifie pas la valeur de l’int´egrale d’une fonction fen modifiant un nombre fini de points
de f, on obtient la d´efinition suivante :
d´efinition 2.7 :
Soit fune fonction continue par morceaux sur le segment [a;b] et x1< x2< ... < xnles points de discontinuit´e
de f.
En posant a=x0et b=xn+1, on d´efinit alors l’int´egrale de fde a`a bpar :
Zb
a
f(x)dx=
n
X
k=0 Zxk+1
xk
fk(x)dx
o`u, pour tout k∈[[0; n]], fkest le prolongement par continuit´e de f]xk;xk+1 [au segment [xk;xk+1].
exemples : en cours
III Fonction d´efinie par une int´egrale
3.1 Int´egrale fonction de la borne sup´erieure
d´efinition 3.1 :
Soit fune fonction continue sur un intervalle I, et aun r´eel de l’intervalle I.
Alors la fonction :
F:x7→ Zx
a
f(t)dt:
– est de classe C1sur l’intervalle I
– est l’unique primitive de fqui s’annule en a:
∀x∈I, F 0(x) = f(x),et F(a) = 0
preuve : en cours
exemples : en cours
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Remarque :
On peut ´etendre la d´efinition en prenant fcontinue par morceaux sur l’intervalle I.
Dans ce cas la fonction Fest continue sur I, et d´erivable `a gauche et `a droite en tout point de l’intervalle I.
3.2 Int´egrale fonction de ses bornes
d´efinition 3.2 :
Soit fune fonction continue sur un intervalle I.
Soient uet vdes fonctions d´efinie sur intervalle J`a valeurs dans I
Alors la fonction :
G:x7→ Zv(x)
u(x)
f(t)dt:
– est d´efinie sur l’intervalle J
– est continue sur l’intervalle Jsi les fonctions uet vsont continues sur J
– est d´erivable sur l’intervalle Jsi les fonctions uet vsont d´erivables sur J. Dans ce cas :
∀x∈J, G0(x) = v0(x).f ◦v(x)−u0(x).f ◦u(x)
preuve : en cours
exemples : en cours
IV Int´egrales et in´egalit´es
4.1 Positivit´e de l’int´egrale
propri´et´e 4.1 :
1. Soit fune fonction continue par morceaux sur un segment [a;b], alors :
f≥0 sur [a;b]⇒Zb
a
f(x)dx≥0
2. Soit fune fonction non nulle et continue sur un segment [a;b], alors :
f≥0 sur [a;b]⇒Zb
a
f(x)dx > 0
Attention :
– les bornes aet bdoivent ˆetre dans le bon sens
– de mˆeme si la fonction est n´egative alors l’int´egrale est n´egative.
Preuve : en cours
4.2 Int´egrale nulle
propri´et´e 4.2 :
Soit fune fonction continue sur un segment [a;b], alors :
f= 0 sur [a;b]⇒Zb
a
f(x)dx= 0
f≥0 sur [a;b] et Zb
a
f(x)dx= 0 ⇒f= 0 sur[a;b]
Preuve : en cours
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