chap 16 : Intégration sur un segment Intégration sur un segment

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chap 16 : Intégration sur un segment
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Intégration sur un segment
I Primitives d’une fonction
1.1 Définition
définition 1.1 :
Soit f : I → R une fonction définie sur un intervalle réel I.
On dit qu’une fonction F : I → R est une primitive de f sur I si :
– F est dérivable sur I
– ∀x ∈ I, F 0 (x) = f (x)
exemples : en cours
1.2 Ensemble des primitives
propriété 1.2 :
Soit f : I 7→ R une fonction définie sur un intervalle réel I.
Alors les primitives de f , si elles existent, diffèrent d’une constante :
Si F est une primitive de f sur I, alors l’ensemble des primitives de f sur I est :
{x 7→ F (x) + k, k ∈ R}
exemples : en cours
remarques :
– une fonction f admet une infinité de primitives, ou aucune.
– si f admet des primitives, alors pour tout x0 ∈ R, il existe une et une seule primitive de f qui s’annule en x0 .
1.r Existence de primitives
théorème 1.3, ou Théorème fondamental de l’analyse
Toute fonction f : I 7→ R continue sur l’intervalle I possède au moins une primitive définie sur I.
preuve : en cours
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1.4 Primitives usuelles
f (x)
x
n
F (x)
(+k ∈ R)
Domaine de validité
0
k∈R
R
1
x
R
x
x2
2
R
x2
x3
3
R
(n ∈ Z, n 6= −1)
] − ∞; 0[
1
x2
−
xα
(α ∈ R, α 6= −1)
ou
]0; +∞[
] − ∞; 0[
x
ou
xα+1
α+1
ln x
x ln x − x
]0; +∞[
ex
ex
R
eax (a ∈ R∗ )
1 ax
e
a
R
sin x
− cos x
R
cos x
sin x
R
1
1 + x2
√
1
1 − x2
−√
1
1 − x2
]0; +∞[
]0; +∞[
ln |x|
1
cos2 (x)
si n < 0, n 6= −1
]0; +∞[
1
x
1 + tan2 x =
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1
x
√
1
√
2 x
si n ≥ 0
R
xn+1
n+1
] − ∞; 0[
]−
tan x
ou
π
π
+ kπ; + kπ[ , k ∈ Z
2
2
arctan x
R
arcsin x
] − 1; 1[
arccos x
] − 1; 1[
2
]0; +∞[
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1.5 Opérations sur les primitives
f (x)
F (x)
f (x)
u0 (x) + v 0 (x)
u(x) + v(x)
u0 (x)
u2 (x)
k.u0 (x)
(k ∈ R)
u0 (x).un (x)
k.u(x)
F (x)
(n ∈ Z, n 6= −1)
u0 (x)
p
2 u(x)
−
1
u(x)
(u(x))n+1
n+1
u0 (x)
u(x)
ln |u(x)|
u0 (x).eu(x)
eu(x)
u0 (x).u(x)
1 2
u (x)
2
u0 (x). sin(u(x))
− cos(u(x))
u0 (x)
1 + u2 (x)
arctan u(x)
u0 (x). cos(u(x))
sin(u(x))
u0 (x).uα (x)
(α ∈ R, α 6= −1)
p
u(x)
(u(x))α+1
α+1
II Intégrale d’une fonction sur un segment
2.1 Intégrale d’une fonction continue
propriété 2.1 :
Soit f une fonction continue sur un intervalle I, et a et b deux réels de l’intervalle I.
Alors le réel F (b) − F (a), où F est une primitive de f , ne dépend pas du choix de la primitive.
preuve : en cours
Cette propriété justifie la définition suivante :
définition 2.2 :
Soit f une fonction continue sur un intervalle I et F une primitive quelconque de f sur l’intervalle I.
Pour tous réels a et b de l’intervalle I, on appelle intégrale de f entre a et b ( ou de a à b ) le réel défini par :
Z
a
b
b
f (x)dx = [F (x)]a = F (b) − F (a)
exemples : en cours
remarques :
– la variable d’intégration est muette.
– dx est appelé différentielle de x.
2.2 Cas particuliers
On déduit de la définition :
propriété 2.3 :
Z
a
Z
f (x)dx = −
b
b
Z
f (x)dx
a
a
f (x)dx = 0
a
preuve : en cours
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2.3 Propriétés de somme
propriété 2.4 : Relation de Chasles
Soit f une fonction continue sur un intervalle I.
Alors pour tous réels a, b et c de l’intervalle I :
b
Z
Z
c
Z
c
a
a
b
f (x)dx
f (x)dx +
f (x)dx =
preuve : en cours
propriété 2.5 : Linéarité de l’intégrale
Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle I et a et b deux réels de l’intervalle I.
Alors pour tous réels α et β :
Z
b
Z
b
Z
a
a
a
b
g(x)dx
f (x)dx + β
α.f (x) + β.g(x)dx = α
preuve : en cours
2.4 Intégrale d’une fonction continue par morceaux
définition 2.6 :
Une fonction f est dite continue par morceaux sur le segment [a; b] si f est continue sur le segment [a; b]
sauf peut-être en un nombre fini de points x1 < x2 < ... < xn en lesquels la fonction admet des limites à gauche
et à droite finies.
En remarquant qu’on ne modifie pas la valeur de l’intégrale d’une fonction f en modifiant un nombre fini de points
de f , on obtient la définition suivante :
définition 2.7 :
Soit f une fonction continue par morceaux sur le segment [a; b] et x1 < x2 < ... < xn les points de discontinuité
de f .
En posant a = x0 et b = xn+1 , on définit alors l’intégrale de f de a à b par :
Z
b
f (x)dx =
a
n Z
X
k=0
xk+1
fk (x)dx
xk
où, pour tout k ∈ [[0; n]], fk est le prolongement par continuité de f]xk ;xk+1 [ au segment [xk ; xk+1 ].
exemples : en cours
III Fonction définie par une intégrale
3.1 Intégrale fonction de la borne supérieure
définition 3.1 :
Soit f une fonction continue sur un intervalle I, et a un réel de l’intervalle I.
Alors la fonction :
Z x
F : x 7→
f (t)dt :
a
– est de classe C 1 sur l’intervalle I
– est l’unique primitive de f qui s’annule en a :
∀x ∈ I, F 0 (x) = f (x),
et
F (a) = 0
preuve : en cours
exemples : en cours
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Remarque :
On peut étendre la définition en prenant f continue par morceaux sur l’intervalle I.
Dans ce cas la fonction F est continue sur I, et dérivable à gauche et à droite en tout point de l’intervalle I.
3.2 Intégrale fonction de ses bornes
définition 3.2 :
Soit f une fonction continue sur un intervalle I.
Soient u et v des fonctions définie sur intervalle J à valeurs dans I
Alors la fonction :
Z v(x)
f (t)dt :
G : x 7→
u(x)
– est définie sur l’intervalle J
– est continue sur l’intervalle J si les fonctions u et v sont continues sur J
– est dérivable sur l’intervalle J si les fonctions u et v sont dérivables sur J. Dans ce cas :
∀x ∈ J,
G0 (x) = v 0 (x).f ◦ v(x) − u0 (x).f ◦ u(x)
preuve : en cours
exemples : en cours
IV Intégrales et inégalités
4.1 Positivité de l’intégrale
propriété 4.1 :
1. Soit f une fonction continue par morceaux sur un segment [a; b], alors :
Z b
f ≥ 0 sur [a; b] ⇒
f (x)dx ≥ 0
a
2. Soit f une fonction non nulle et continue sur un segment [a; b], alors :
Z b
f (x)dx > 0
f ≥ 0 sur [a; b] ⇒
a
Attention :
– les bornes a et b doivent être dans le bon sens
– de même si la fonction est négative alors l’intégrale est négative.
Preuve : en cours
4.2 Intégrale nulle
propriété 4.2 :
Soit f une fonction continue sur un segment [a; b], alors :
Z
f =0
sur [a; b]
⇒
b
f (x)dx = 0
a
Z
f ≥0
sur [a; b]
et
b
f (x)dx = 0
⇒
f =0
sur[a; b]
a
Preuve : en cours
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4.3 Conservation de l’ordre
propriété 4.3 :
Soient f et g deux fonctions continues par morceaux sur un segment [a; b], alors :
Z
f ≥g
sur [a; b]
⇒
b
Z
≥
f (x)dx
a
b
g(x)dx
a
Preuve : en cours
4.4 Inégalité de la moyenne
propriété 4.4 :
Soit f une fonction continue sur un segment [a; b], alors :
– Il existe deux réels m et M tels que m ≤ f ≤ M sur [a; b]
Z b
f (x)dx ≤ M (b − a)
– et m(b − a) ≤
a
Preuve : en cours
4.5 Intégrale et valeur absolue
propriété 4.5 :
Soit f une fonction continue par morceaux sur un segment [a; b], alors :
Z
b
f (x)dx
a
Z
b
|f (x)|dx
≤
a
V Techniques de calcul
5.1 Intégration par partie
propriété 5.1 :
Soit u et v deux fonctions de classe C 1 sur un segment [a; b], alors :
Z b
Z b
b
0
u (x).v(x)dx = [u(x).v(x)]a −
u(x).v 0 (x)dx
a
a
Preuve : en cours
Exemples : en cours
5.2 Changements de variables
propriété 5.2 :
Soit f une fonction continue sur intervalle I et soit ϕ de classe C 1 sur un segment [a; b] et à valeurs dans I.
Alors :
Z b
Z ϕ(b)
f ◦ ϕ(x).ϕ0 (x)dx =
f (t).dt
a
ϕ(a)
Preuve : en cours
Exemples : en cours
Remarques :
– un changement de variable peut se faire dans les deux sens
– en pratique, si le changement de variable est t = ϕ(x), on utilise la notation différentielle de la dérivée :
dϕ
ϕ0 (x) =
⇔ ϕ0 (x).dx = dϕ ⇔ ϕ0 (x).dx = dt
dx
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Corollaire 5.3 :
Soit a un réel positif et f une fonction continue sur intervalle [−a; a] .
Alors :
Z 0
Z a
Z a
f (x).dx
f (x).dx = 2
f (x)dx = 2
– Si f est une fonction paire, alors
0
−a
Z a
Z a −a
Z
– Si f est une fonction impaire, alors
f (x)dx = 0 et
f (x).dx = −
−a
0
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0
f (x).dx
−a
Preuve : en cours
Corollaire 5.4 :
Soit f une fonction continue sur R et T-périodique .
Alors :
Z b+T
Z b
2
– ∀(a; b) ∈ R ,
f (x)dx =
f (x).dx
Z T a
Z a+T a+T
f (x).dx
f (x)dx =
– ∀a ∈ R,
a
0
Preuve : en cours
VI Interprétations graphiques
6.1 Aire sous une courbe
propriété 6.1 :
Soit f une fonction continue et positive sur un segment [a; b].
Alors l’aire ( en unités d’aires ) sous la courbe de f ( entre la courbe et l’axe des abscisses ) sur le segment [a; b]
est :
Z b
f (x)dx
a
Exemples : en cours
6.2 Valeur moyenne
Définition 6.2 :
Soient a et b deux réels distincts, et f une fonction continue sur le segment [a; b] .
On appelle valeur moyenne de f sur ce segment le réel :
Z b
1
f (x)dx
b−a a
Interprétation graphique : en cours
Exemples : en cours
6.3 Sommes de Riemann
Propriété 6.3 :
Soit [a; b] un segment.
On appelle subdivision régulière (x0 , x1 , ..., xn ) de [a; b] le partage du segment en n segments de même longueur,
b−a
, obtenu en posant :
n
b−a
∀k ∈ [[0; n]], xk = a + k
n
Interprétation graphique : en cours
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Définition 6.4 :
Soient f une fonction définie sur un segment [a; b] et (x0 , x1 , ..., xn ) une subdivision régulière de [a; b] en n
segments de même longueur.
On appelle alors sommes de Riemman de la fonction f sur [a; b] les sommes :
Tn =
P
b − a n−1
f (xk )
n k=0
et Sn =
n
b−a P
f (xk )
n k=1
Interprétation graphique : en cours
Théorème 6.5 :
Soient (Sn ) et (Tn ) les suites des sommes de Riemann d’une fonction f continue sur un segment [a; b].
Alors ces suites convergent vers l’intégrale de f sur [a; b] :
Z b
P
b − a n−1
f (xk ) =
f (x)dx
lim
n→+∞
n k=0
a
et
Z b
n
b−a P
lim
f (xk ) =
f (x)dx
n→+∞
n k=1
a
Preuve : admis
On a alors un cas particulier très important :
cas particulier 6.6 :
Si [a; b] = [0; 1], et si f est continue, alors :
P
1 n−1
f
n→+∞ n k=0
k
n
n
1 P
lim
f
n→+∞ n k=1
k
n
lim
Z
1
f (x)dx
=
0
et
Z
=
1
f (x)dx
0
D’où :
corollaire 6.7 :
Sur [0 ;1], les sommes de Riemann d’une fonction continue sont équivalentes, au voisinage +∞, à son intégrale :
Z 1
n
P
1 n−1
1 P
k
k
f n ∼
f n ∼
f (x)dx
+∞ n k=1
+∞ 0
n k=0
Exemples : en cours
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