Limites et Continuité

Voisinages, Points adhèrents Limites Fonctions continues Les grands théorèmes sur les fonctions continues
Limites et Continuité
Brahim Boussouis
Département de Mathématiques, Faculté des Sciences de Fès.
Octobre 2013
Brahim Boussouis Limites et Continuité

Voisinages, Points adhèrents Limites Fonctions continues Les grands théorèmes sur les fonctions continuesVoisinages d’un point Points Adhèrents
Sommaire
1Voisinages, Points adhèrents
Voisinages d’un point
Points Adhèrents
2Limites
Limites et relation d’ordre
Opèrations sur les limites
Théorème de la limite monotone
3Fonctions continues
4Les grands théorèmes sur les fonctions continues
Théorème des valeurs intermédiaires
Théorème des valeurs extrémales
Théorème de Heine
Monotonie et continuité
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Définition (Voisinages)
Soient x0∈Ret V ⊂R. On dit que V est un voisinage de x0s’il existe
α>0tel que ]x0−α,x0+α[.
On dit que V est un voisinage de +∞(resp. −∞) s’il existe M ∈Rtel que
]M,+∞[⊂V (resp. ]−∞,M[⊂V ).
L’ensemble des voisinages d’un point x0∈Rest noté par V(x0).
Exemple
Un intervalle ouvert I =]a,b[,−∞<a<b<+∞, est voisinage de chacun
de ses points. En effet, soit x0∈I. On choisit αtel que
0<α<min(x0−a,b−x0), et on a alors ]x0−α,x0+α[⊂I, donc I est un
voisinage de x0.
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Proposition
(i) Si x0∈Ret V ∈V(x0), alors x0∈V .
(ii) Toute partie contenant un voisinage de x0est encore un voisinage de
x0:((V∈V(x0))∧(V⊂W)) ⇒(W∈V(x0)).
(iii) Une intersection finie de voisinages de x0est un voisinage de x0:
(V1,··· ,Vn∈V(x0))⇒n
T
k=1
Vk∈V(x0).
(iv) Si x06=x1, alors il existe V ∈V(x0)et W ∈V(x1)tels que V ∩W=/ 0.
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Démonstration.
Les propositions (i) , (ii) et (iii) sont immédiates. Démontrons (iv).
Si x0,x1sont des réels, on pose α=|x1−x0|
3,V=]x0−α,x0+α[et
W=]x1−α,x1+α[. Alors V∈V(x0),W∈V(x1)et V∩W=/ 0.
si x0∈Ret x1= +∞, alors V=]x0−1,x0+1[∈V(x0)et
W=]x0+1,+∞[∈V(x1)et V∩W=/ 0.
si x0∈Ret x1= −∞, alors V=]x0−1,x0+1[∈V(x0)et
W=]−∞,x0−1[∈V(x1)et V∩W=/ 0.
Si x0= +∞et x1= −∞, alors V=]0,+∞[∈V(x0)et
W=]−∞,0[∈V(x1)et V∩W=/ 0.
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