n°1 second degré

Première ES-L
DS1 second degré
2015-2016 S1
Exercice 1 : (8 points)
Résoudre les équations suivantes :
a) 15x² + x – 6 = 0
c) 49x² - 28x + 4 = 0
b) -x² + 2x – 15 = 0
d) 2x² - 5x + 9 = 12x - 1
Exercice 2 : (4 points)
Résoudre les inéquations suivantes :
a) -4x² - 4x + 3 > 0
b) x² - 2x + 2 ≤ 0
Exercice 3 : ma petite entreprise
(8 points)
Une entreprise fabrique des pièces mécaniques.
On note x le nombre de dizaines de pièces fabriquées au cours d’une journée avec x variant dans
[4 ;10].
Le coût de production C, en euros, de x dizaines de pièces est défini par :
C(x) = x² - 8x + 18.
1) Chaque pièce est vendue 0,30 €. On note R(x) la recette de l’entreprise lorsqu’elle produit
x dizaines de pièces.
a) Déterminer le coût de production de 50 pièces.
b) Expliquer pourquoi R(x) = 3x.
2) Le bénéfice réalisé par l’entreprise, en fonction du nombre x de dizaines de pièces
vendues, est la différence entre la recette et le coût de production.
On note B(x) ce bénéfice.
a)
Vérifier que le bénéfice de l’entreprise est alors B(x) = -x² + 11x – 18 sur
l’intervalle [4 ;10].
b)
Déterminer l’intervalle dans lequel doit se trouver le nombre x de dizaines de
pièces vendues pour que l’entreprise réalise un bénéfice.
3) a)
Déterminer le nombre x de dizaines de pièces à vendre pour que le bénéfice
soit maximal.
b)
Calculer ce bénéfice maximal.
1
Première ES-L
DS1 second degré
2015-2016 S2
Exercice 1 : (6 points)
Résoudre les équations suivantes :
a) 25x² - 20x + 4 = 0
c) 2x² + 3x + 12 = 0
b) 4x² -4x - 3 = 0
d) 3x² + 2x - 1 = 5x + 1
Exercice 2 : (4 points)
Résoudre les inéquations suivantes :
a) -2x² + x - 1 ≤ 0
b) 6x² - 11x - 10 < 0
Exercice 3 : ma petite entreprise
(8 points)
Une entreprise de menuiserie fabrique des tables.
On note x le nombre de tables fabriquées chaque mois, x étant un entier compris entre 6 et
25.
Le coût de production C, exprimé en dizaines d’euros, de ces x tables est défini par :
C(x) = x² + 7x + 21.
1) Chaque table est vendue 290 €.
On note R(x) la recette de l’entreprise, exprimée en dizaines d’euros, lorsqu’elle produit
x tables.
a) Déterminer le coût de production de 10 tables.
b) Expliquer pourquoi R(x) = 29x.
2) Le bénéfice réalisé par l’entreprise, exprimé en dizaines d’euros, en fonction du nombre
x de tables vendues par semaine, est la différence entre la recette et le coût de
production.
On note B(x) ce bénéfice.
a)
Vérifier que le bénéfice de l’entreprise est alors :
B(x) = -x² + 22x – 21.
b)
Déterminer l’intervalle dans lequel doit se trouver le nombre x tables vendues
pour que l’entreprise réalise un bénéfice.
3) a)
b)
Déterminer le nombre x de tables à vendre pour que le bénéfice soit maximal.
Calculer ce bénéfice maximal.
2
Première ES-L
Exercice 1 :
DS1 second degré
CORRECTION
2015-2016 S1
(8 points)
Résoudre les équations suivantes :
a) 15x² + x – 6 = 0
c) 49x² - 28x + 4 = 0
b) -x² + 2x – 15 = 0
d) 2x² - 5x + 9 = 12x - 1
Le discriminant d’une équation du seconde degré du type ax² + bx + c = 0 est  = b² - 4ac.
a)  = 1² - 415(-6) = 1 + 360 = 361 = 19²
Comme  > 0, cette équation admet deux solutions réelles distinctes :
x1 =
- b -  -1 – 19
20
252
2
=
===2a
215
215
253
3
et x2 =
- b +  -1 + 19
18
233 3
=
=
=
=
2a
215
215 235 5
 2 3
L’ensemble des solutions de cette équation est S = - ; .
 3 5
Vérification graphique :
Les solutions de l’équation sont les abscisses des points d’intersection A et B de la
parabole d’équation y = 15x² + x – 6 avec l’axe des abscisses.
On lit xA  -0,67 et xB = 0,6.
A comparer avec les solutions exactes calculées –
2
3
et .
3
5
3
Première ES-L
DS1 second degré
CORRECTION
b)  = 2² - 4(-1)(-15) = 4 – 60 = - 56
2015-2016 S1
Comme  < 0, cette équation n’a pas de solution réelle.
L’ensemble des solutions est S = 
Vérification graphique :
La parabole d’équation y = -x² + 2x – 15 étant située entièrement sous l’axe des
abscisses, l’équation –x² + 2x – 15 = 0 n’a pas de solution.
c)  = (-28)² - 4494 = 784 – 784 = 0
Comme  = 0, alors cette équation admet une seule solution :
x0 = -
b
28
227 2
=
=
= .
2a 249 277 7
2
L’ensemble des solutions de cette équation est S =  .
7
Autre méthode sans calculer  :
49x² - 28x + 4 = 0

(7x)² - 27x2 + 2² = 0

(7x – 2)² = 0

7x – 2 = 0
4
Première ES-L
DS1 second degré
CORRECTION
2

x=
7
2015-2016 S1
Vérification graphique :
La parabole d’équation y = 49x² - 28x + 4 est tangente au point A à l’axe des
abscisses.
Donc l’équation 49x² - 28x + 4 = 0 admet une solution unique qui est l’abscisse de
A.
2
Or, on lit xA  0,29 à comparer à la valeur exacte calculée : .
7
d) 2x² - 5x + 9 = 12x – 1

2x² - 5x + 9 – 12x + 1 = 0

2x² - 17x + 10 = 0
 = (-17)² - 2410 = 289 – 80 = 209
Comme  > 0, cette équation du second degré admet deux solutions réelles
distinctes :
x1 =
17 - 209 17 - 209
17 + 209
=
et x2 =
.
22
4
4
17 - 209 17 + 209
.
;
L’ensemble des solutions de cette équation est S = 
4
4


5
Première ES-L
DS1 second degré
CORRECTION
2015-2016 S1
Vérification graphique :
Les solutions de l’équation 2x² - 5x + 9 = 12x – 1 sont les abscisses des points
d’intersection A et B de la parabole d’équation y = 2x² - 5x + 9 et de la droite d’équation
y = 12x – 1.
On lit xA  0,64 et xB  7,86.
A comparer avec les valeurs exactes calculées :
17 -
209
4
 0,6358 et
17 +
209
4

7,8642.
Exercice 2 :
(6 points)
Résoudre les inéquations suivantes :
a) -4x² - 4x + 3 > 0
b) x² - 2x + 2 ≤ 0
a)
Le discriminant associé à cette inéquation du second degré est :
 = (-4)² - 4(-4)3 = 16 + 48 = 64 = 8².
Les solutions de l’équation -4x² - 4x + 3 = 0 sont :
x1 =
4 + 8 12
3
4 – 8 -4 1
=
= - et x2 =
=
=
-8
-8
2
2(-4) -8 2
3 1
Comme -4 < 0, on a -4x² - 4x + 3 > 0 si x   - ; .
 2 2
3 1
Donc l’ensemble des solutions de cette inéquation est S =  - ; .
 2 2
6
Première ES-L
DS1 second degré
CORRECTION
2015-2016 S1
Vérification graphique :
Les solutions de l’inéquation -4x² - 4x + 3 > 0 correspondent aux abscisses des points
de la parabole d’équation y = 6x² - 11x – 10 ≥ 0 situés au dessus de l’axe des abscisses.
Les points A et B intersection de la parabole avec l’axe des abscisses ont pour
abscisse -1,5 et 0,5.
3 1
On retrouve bien l’ensemble des solutions de l’inéquation :  - ; .
 2 2
b)
Le discriminant associé à cette inéquation du second degré est :
 = (-2)² - 412 = 4 - 8 = -8.
Comme  < 0, alors x² - 2x + 2 est du signe de a = 1.
Donc pour tout x réel, x² - 2x + 2 > 0.
Donc l’ensemble des solutions de cette inéquation est S = .
Vérification graphique :
7
Première ES-L
DS1 second degré
CORRECTION
2015-2016 S1
La parabole d’équation y = -4x² - 4x + 3 étant située entièrement au dessus de l’axe
des abscisses, pour tout x réel -4x² - 4x + 3 ≤ 0 ; donc l’ensemble des solutions de
l’inéquation -4x² - 4x + 3 > 0 est bien l’ensemble vide.
Exercice 3 : ma petite entreprise
(8 points)
Une entreprise fabrique des pièces mécaniques.
On note x le nombre de dizaines de pièces fabriquées au cours d’une journée avec x
variant dans [4 ;10].
Le coût de production C, en euros, de x dizaines de pièces est défini par :
C(x) = x² - 8x + 18.
1) Chaque pièce est vendue 0,30 €. On note R(x) la recette de l’entreprise
lorsqu’elle produit x dizaines de pièces.
a) Déterminer le coût de production de 50 pièces.
b) Expliquer pourquoi R(x) = 3x.
2) Le bénéfice réalisé par l’entreprise, en fonction du nombre x de dizaines de
pièces vendues, est la différence entre la recette et le coût de production.
8
Première ES-L
DS1 second degré
CORRECTION
2015-2016 S1
On note B(x) ce bénéfice.
a)
Vérifier que le bénéfice de l’entreprise est alors B(x) = -x² + 11x – 18 sur
l’intervalle [4 ;10].
b)
Déterminer l’intervalle dans lequel doit se trouver le nombre x de
dizaines de pièces vendues pour que l’entreprise réalise un bénéfice.
3) a)
Déterminer le nombre x de dizaines de pièces à vendre pour que le
bénéfice soit maximal.
b)
Calculer ce bénéfice maximal.
1) a)
C(5) = 5² - 85 + 18 = 25 – 40 + 18 = 3 €
Le coût de production de 50 pièces est de 3 €.
b)
Chaque pièce est vendue 0,30 € ; donc une dizaine de pièces est
vendue 3 €, donc x dizaines de pièces sont vendues 3x €.
Donc R(x) = 3x.
2) a)
B(x) = R(x) – C(x) = 3x – (x² - 8x + 18) = 3x – x² + 8x – 18
B(x) = -x² + 11x – 18
b)
L’entreprise réalise un bénéfice si B(x) > 0.
Soit si –x² + 11x – 18 > 0
Le discriminant de cette inéquation du second degré est :
 = 11² - 4(-1)(-18) = 121 – 72 = 49 = 7²
Comme  > 0, l’équation –x² + 11x – 18 = 0 admet deux solutions réelles
distinctes :
x1 =
-11 + 7 -4
-11 - 7 18
=
= 2 et x2 =
=
=9
2(-1) -2
-2
2
Comme a = -1 < 0, alors sur  l’inéquation –x² + 11x – 18 > 0 a pour
ensemble des solutions l’intervalle ]2 ;9[.
Or comme les fonctions C, R et B sont définies sur l’intervalle [4 ;10],
B(x) > 0 si x  [4 ;9].
L’entreprise réalise un bénéfice pour un nombre de pièces vendues
compris entre 40 et 90.
9
Première ES-L
3) a)
DS1 second degré
CORRECTION
2015-2016 S1
Comme a = -1 < 0, la parabole d’équation y = -x² + 11x – 18 admet un
maximum.
Ce maximum est atteint en x = -
b
-11
=
= 5,5 ; soit pour 55 pièces
2a 2(-1)
vendues.
b)
Le bénéfice maximal est alors B(5,5) = -5,5² + 115,5 – 18 = 12,25 €.
Vérification graphique : tracé des courbes associées aux fonctions C, R et B
dans un repère.
10
Première ES-L
Exercice 1 :
IE1 pourcentages
CORRECTION
2015-2016 S2
(4,5 points)
Résoudre les équations suivantes :
a) 25x² - 20x + 4 = 0
c) 2x² + 3x + 12 = 0
b) 4x² - 4x - 3 = 0
d) 3x² + 2x - 1 = 5x + 1
Le discriminant d’une équation du seconde degré du type ax² + bx + c = 0 est  = b² 4ac.
a)  = (-20)² - 4254 = 400 – 400 = 0
Comme  = 0, alors cette équation admet une seule solution :
x0 = -
b
20
522 2
=
=
= .
2a 225 255 5
2
L’ensemble des solutions de cette équation est S =  .
5
Autre méthode sans calculer  :
25x² - 20x + 4 = 0

(5x)² - 25x2 + 2² = 0

(5x - 2)² = 0

5x - 2 = 0

x=
2
5
Vérification graphique :
11
Première ES-L
DS1 second degré
2015-2016 S2
CORRECTION
La parabole représentant le polynôme du second degré 25x² - 20x + 4 est
tangente au point A à l’axe des abscisses.
Donc l’équation 25x² - 20x + 4 = 0 admet une solution unique qui est l’abscisse de
A.
2
Or, on lit xA = -0,4 égale à la valeur exacte calculée : - .
5
b)  = (-4)² - 44(-3) = 16 + 48 = 64 = 8²
Comme  > 0 cette équation du second degré admet deux solutions réelles
distinctes :
x1 =
-b -  4 – 8
4
1
-b +  4 + 8 12 3
=
= - = - et x2 =
=
=
=
2a
24
8
2
2a
24
8 2
 1 3
L’ensemble des solutions de cette équation est S = - ; .
 2 2
Vérification graphique :
Les solutions de l’équation sont les abscisses des points d’intersection A et B de la
parabole d’équation y = 15x² + x – 6 avec l’axe des abscisses.
1
3
On lit xA = - 0,5 et xB = 1,5 valeurs égales aux solutions exactes calculées – et .
2
4
c)  = 3² - 4212 = 9 – 96 = - 87.
Comme  < 0, cette équation n’a pas de solution réelle.
L’ensemble des solutions est S = 
12
Première ES-L
DS1 second degré
CORRECTION
2015-2016 S2
Vérification graphique :
La parabole d’équation y = 2x² + 3x + 12 étant située entièrement au dessus l’axe
des abscisses, l’équation 2x² + 3x + 12 = 0 n’a pas de solution.
d) 3x² + 2x - 1 = 5x + 1

3x² + 2x – 1 – 5x – 1 = 0
 3x² - 3x – 2 = 0
 = (-3)² - 43(-2) = 9 + 24 = 33
Comme  > 0 cette équation du second degré admet deux solutions réelles
distinctes :
x1 =
-b -  3 - 33 3 - 33
-b +  3 + 33
=
=
et x2 =
=
2a
23
6
2a
6
3 - 33 3 + 33 
.
;
L’ensemble des solutions de cette équation est S =.
6
6


13
Première ES-L
DS1 second degré
CORRECTION
2015-2016 S2
Vérification graphique :
Les solutions de l’équation 3x² + 2x - 1 = 5x + 1 sont les abscisses des points
d’intersection A et B de la parabole d’équation y = 3x² + 2x - 1 et de la droite d’équation
y = 5x + 1.
On lit xA  -0,46 et xB  1,46.
A comparer avec les valeurs exactes calculées :
Exercice 2 :
3-
33
6
 -0,4574 et
3+
33
6
 1,4574.
(4 points)
Résoudre les inéquations suivantes :
a) -2x² + x - 1 ≤ 0
b) 6x² - 11x - 10 ≥ 0
a)
Le discriminant associé à cette inéquation du second degré est :
 = 1² - 4(-2)(-1) = 1 - 8 = -7.
Comme  < 0, alors -2x² + x - 1 est du signe de a = -2.
Donc pour tout x réel, -2x² + x - 1 < 0.
Donc l’ensemble des solutions de cette inéquation est S = .
14
Première ES-L
DS1 second degré
CORRECTION
2015-2016 S2
Vérification graphique :
La parabole d’équation y = -2x² + x - 1 étant située entièrement sous l’axe des
abscisses, pour tout x réel 2x² + x – 1 ≤ 0.
Donc l’ensemble des solutions de l’inéquation 2x² + x – 1 ≤ 0 est bien l’ensemble .
b)
Le discriminant associé à cette inéquation du second degré est :
 = (-11)² - 46(-10) = 121 + 240 = 361 = 19².
Les solutions de l’équation 6x² - 11x - 10 = 0 sont :
x1 =
11 - 19
8
2
11 + 19 30 5
== - et x2 =
=
=
26
12
3
12
12 2
2
5
Comme 6 > 0, on a 6x² - 11x - 10 < 0 si x > - . et x <. .
3
2
 2 5 
Donc l’ensemble des solutions de cette inéquation est S = - ; .
 3 2 
15
Première ES-L
DS1 second degré
CORRECTION
2015-2016 S2
Vérification graphique :
Les solutions de l’inéquation 6x² - 11x - 10 ≥ 0 correspondent aux abscisses des points
de la parabole d’équation y = 6x² - 11x – 10 ≥ 0 situés au dessus de l’axe des abscisses.
Les points A et B intersection de la parabole avec l’axe des abscisses ont pour
abscisse  -0,67 et 2,5.
2
5
On retrouve bien l’ensemble des solutions de l’inéquation :  -  ; -    ; +  .
3  2


16
Première ES-L
DS1 second degré
CORRECTION
Exercice 3 : ma petite entreprise
2015-2016 S2
(8 points)
Une entreprise de menuiserie fabrique des tables.
On note x le nombre de tables fabriquées chaque semaine, x étant un entier compris entre 3
et 12.
Le coût de production C, exprimé en centaines d’euros, de ces x tables est défini par :
C(x) = 0,25x² + x + 20,25.
1) Chaque table est vendue 600 €.
On note R(x) la recette de l’entreprise, exprimée en centaines d’euros, lorsqu’elle
produit x tables.
a) Déterminer le coût de production de 10 tables.
b) Expliquer pourquoi R(x) = 6x.
2) Le bénéfice réalisé par l’entreprise, exprimé en centaines d’euros, en fonction du
nombre x de tables vendues par semaine, est la différence entre la recette et le coût
de production.
On note B(x) ce bénéfice.
a)
Vérifier que le bénéfice de l’entreprise est alors :
B(x) = -0,25x² + 5x – 20,25.
b)
Déterminer l’intervalle dans lequel doit se trouver le nombre x tables vendues
pour que l’entreprise réalise un bénéfice.
3) a)
Déterminer le nombre x de tables à vendre pour que le bénéfice
soit
maximal.
1)
b)
Calculer ce bénéfice maximal.
a)
C(10) = 0,2510² + 10 + 20,25 = 55,25.
Le coût de production de 10 tables est donc 55,25100 = 5 525 €.
b)
1 table est vendue 600 €, soit 6 centaines d’euros.
donc x tables sont vendue 6x centaines d’euros.
Donc R(x) = 6x.
2)
a)
B(x) = R(x) – C(x) = 6x – (0,25x² + x + 20,25) = 6x – 0,25x² - x – 20,25
B(x) = -0,25x² + 5x – 20,25.
17
Première ES-L
b)
DS1 second degré
CORRECTION
2015-2016 S2
L’entreprise réalise un bénéfice si B(x) > 0.
Soit si –0,25x² + 5x – 20,25 > 0
Le discriminant de cette inéquation du second degré est :
 = 5² - 4(-0,25)(-20,25) = 121 – 72 = 49 = 7²
Comme  > 0, l’équation –x² + 11x – 18 = 0 admet deux solutions réelles
distinctes :
x1 =
-11 + 7 -4
-11 - 7 18
=
= 2 et x2 =
=
=9
2(-1) -2
-2
2
Comme a = -1 < 0, alors sur  l’inéquation –x² + 11x – 18 > 0 a pour
ensemble des solutions l’intervalle ]2 ;9[.
Or comme les fonctions C, R et B sont définies sur l’intervalle [4 ;10],
B(x) > 0 si x  [4 ;9].
L’entreprise réalise un bénéfice pour un nombre de pièces vendues
compris entre 40 et 90.
4) a)
Comme a = -1 < 0, la parabole d’équation y = -x² + 11x – 18 admet un
maximum.
Ce maximum est atteint en x = -
b
-11
=
= 5,5 ; soit pour 55 pièces
2a 2(-1)
vendues.
b)
Le bénéfice maximal est alors B(5,5) = -5,5² + 115,5 – 18 = 48,25 €.
Vérification graphique : tracé des courbes associées aux fonctions C, R et B
dans un repère.
18
Première ES-L
DS1 second degré
CORRECTION
Exercice 3 : ma petite entreprise
2015-2016 S2
(8 points)
Une entreprise de menuiserie fabrique des tables.
On note x le nombre de tables fabriquées chaque mois, x étant un entier compris entre 6 et
25.
Le coût de production C, exprimé en dizaines d’euros, de ces x tables est défini par :
C(x) = x² + 7x + 21.
3) Chaque table est vendue 290 €.
On note R(x) la recette de l’entreprise, exprimée en dizaines d’euros, lorsqu’elle
produit x tables.
c) Déterminer le coût de production de 10 tables.
d) Expliquer pourquoi R(x) = 29x.
4) Le bénéfice réalisé par l’entreprise, exprimé en dizaines d’euros, en fonction du
nombre x de tables vendues par semaine, est la différence entre la recette et le coût
de production.
On note B(x) ce bénéfice.
a)
Vérifier que le bénéfice de l’entreprise est alors :
B(x) = -x² + 22x – 21.
19
Première ES-L
b)
DS1 second degré
CORRECTION
2015-2016 S2
Déterminer l’intervalle dans lequel doit se trouver le nombre x tables vendues
pour que l’entreprise réalise un bénéfice.
3) a)
1)
Déterminer le nombre x de tables à vendre pour que le bénéfice soit maximal.
b)
Calculer ce bénéfice maximal.
a)
C(10) = 10² + 710 + 21 = 100 + 70 + 21 = 191.
Le coût de production de 10 tables est donc 19110 = 1 910 €.
b)
1 table est vendue 290 €, soit 29 dizaines d’euros.
donc x tables sont vendue 29x dizaines d’euros.
Donc R(x) = 29x.
2)
a)
B(x) = R(x) – C(x) = 29x – (x² + 7x + 21) = 29x – x² - 7x – 21
B(x) = -x² + 22x – 21.
b)
L’entreprise réalise un bénéfice si B(x) > 0.
Soit si –x² + 22x – 21 > 0
Le discriminant de cette inéquation du second degré est :
 = 22² - 4(-1)(-21) = 484 – 84 = 400 = 20²
Comme  > 0, l’équation –x² + 22x – 21 = 0 admet deux solutions réelles distinctes :
x1 =
-22 + 20 -2
-22 - 20 -42
=
= 1 et x2 =
=
= 21
2(-1)
-2
2(-1)
-2
Comme a = -1 < 0, alors sur  l’inéquation –x² + 22x – 21 > 0 a pour ensemble des
solutions l’intervalle ]1 ;29[.
Or comme les fonctions C, R et B sont définies sur l’intervalle [6 ;25],
B(x) > 0 si x  [6 ;21].
L’entreprise réalise un bénéfice pour un nombre de tables vendues compris entre 6 et
21.
3) a)
Comme a = -1 < 0, la parabole d’équation y = –x² + 22x – 21 admet un maximum.
Ce maximum est atteint en x = -
b)
b
-22
=
= 11 ; soit pour 11 pièces vendues.
2a 2(-1)
B(11) = -11² + 2211 - 21 = 100.
Le bénéfice maximal est donc de 10010 = 1 000 €
20
Première ES-L
DS1 second degré
CORRECTION
2015-2016 S2
Vérification graphique : tracé des courbes associées aux fonctions C, R et B dans un
repère.
21