n°1 second degré

Première ES-L DS1 second degré 2015-2016 S1
1
Exercice 1 : (8 points)
Résoudre les équations suivantes :
a) 15x² + x – 6 = 0
b) -x² + 2x – 15 = 0
c) 49x² - 28x + 4 = 0
d) 2x² - 5x + 9 = 12x - 1
Exercice 2 : (4 points)
Résoudre les inéquations suivantes :
a) -4x² - 4x + 3 > 0
b) x² - 2x + 2 ≤ 0
Exercice 3 : ma petite entreprise (8 points)
Une entreprise fabrique des pièces mécaniques.
On note x le nombre de dizaines de pièces fabriquées au cours d’une journée avec x variant dans
[4 ;10].
Le coût de production C, en euros, de x dizaines de pièces est défini par :
C(x) = x² - 8x + 18.
1) Chaque pièce est vendue 0,30 €. On note R(x) la recette de l’entreprise lorsqu’elle produit
x dizaines de pièces.
a) Déterminer le coût de production de 50 pièces.
b) Expliquer pourquoi R(x) = 3x.
2) Le bénéfice réalisé par l’entreprise, en fonction du nombre x de dizaines de pièces
vendues, est la différence entre la recette et le coût de production.
On note B(x) ce bénéfice.
a) Vérifier que le bénéfice de l’entreprise est alors B(x) = -x² + 11x – 18 sur
l’intervalle [4 ;10].
b) Déterminer l’intervalle dans lequel doit se trouver le nombre x de dizaines de
pièces vendues pour que l’entreprise réalise un bénéfice.
3) a) Déterminer le nombre x de dizaines de pièces à vendre pour que le bénéfice
soit maximal.
b) Calculer ce bénéfice maximal.

Première ES-L DS1 second degré 2015-2016 S2
2
Exercice 1 : (6 points)
Résoudre les équations suivantes :
a) 25x² - 20x + 4 = 0
b) 4x² -4x - 3 = 0
c) 2x² + 3x + 12 = 0
d) 3x² + 2x - 1 = 5x + 1
Exercice 2 : (4 points)
Résoudre les inéquations suivantes :
a) -2x² + x - 1 ≤ 0 b) 6x² - 11x - 10 < 0
Exercice 3 : ma petite entreprise (8 points)
Une entreprise de menuiserie fabrique des tables.
On note x le nombre de tables fabriquées chaque mois, x étant un entier compris entre 6 et
25.
Le coût de production C, exprimé en dizaines d’euros, de ces x tables est défini par :
C(x) = x² + 7x + 21.
1) Chaque table est vendue 290 €.
On note R(x) la recette de l’entreprise, exprimée en dizaines d’euros, lorsqu’elle produit
x tables.
a) Déterminer le coût de production de 10 tables.
b) Expliquer pourquoi R(x) = 29x.
2) Le bénéfice réalisé par l’entreprise, exprimé en dizaines d’euros, en fonction du nombre
x de tables vendues par semaine, est la différence entre la recette et le coût de
production.
On note B(x) ce bénéfice.
a) Vérifier que le bénéfice de l’entreprise est alors :
B(x) = -x² + 22x – 21.
b) Déterminer l’intervalle dans lequel doit se trouver le nombre x tables vendues
pour que l’entreprise réalise un bénéfice.
3) a) Déterminer le nombre x de tables à vendre pour que le bénéfice soit maximal.
b) Calculer ce bénéfice maximal.

Première ES-L DS1 second degré 2015-2016 S1
CORRECTION
3
Exercice 1 : (8 points)
Résoudre les équations suivantes :
a) 15x² + x – 6 = 0
b) -x² + 2x – 15 = 0
c) 49x² - 28x + 4 = 0
d) 2x² - 5x + 9 = 12x - 1
Le discriminant d’une équation du seconde degré du type ax² + bx + c = 0 est  = b² - 4ac.
a)  = 1² - 415(-6) = 1 + 360 = 361 = 19²
Comme  > 0, cette équation admet deux solutions réelles distinctes :
x1 = - b - 
2a = -1 – 19 215 = - 20 215 = - 252 253 = - 2 3
et x2 = - b + 
2a = -1 + 19 215 = 18 215 = 233 235 = 3 5
L’ensemble des solutions de cette équation est S = 
- 2
3; 3 5.
Vérification graphique :
Les solutions de l’équation sont les abscisses des points d’intersection A et B de la
parabole d’équation y = 15x² + x – 6 avec l’axe des abscisses.
On lit xA  -0,67 et xB = 0,6.
A comparer avec les solutions exactes calculées – 2
3 et 3 5.

Première ES-L DS1 second degré 2015-2016 S1
CORRECTION
4
b)  = 2² - 4(-1)(-15) = 4 – 60 = - 56
Comme  < 0, cette équation n’a pas de solution réelle.
L’ensemble des solutions est S = 
Vérification graphique :
La parabole d’équation y = -x² + 2x – 15 étant située entièrement sous l’axe des
abscisses, l’équation –x² + 2x – 15 = 0 n’a pas de solution.
c)  = (-28)² - 4494 = 784 – 784 = 0
Comme  = 0, alors cette équation admet une seule solution :
x0 = - b
2a = 28 249 = 227 277 = 2 7.
L’ensemble des solutions de cette équation est S = 
2
7.
Autre méthode sans calculer  :
49x² - 28x + 4 = 0  (7x)² - 27x2 + 2² = 0
 (7x – 2)² = 0
 7x – 2 = 0

Première ES-L DS1 second degré 2015-2016 S1
CORRECTION
5
 x = 2
7
Vérification graphique :
La parabole d’équation y = 49x² - 28x + 4 est tangente au point A à l’axe des
abscisses.
Donc l’équation 49x² - 28x + 4 = 0 admet une solution unique qui est l’abscisse de
A.
Or, on lit xA  0,29 à comparer à la valeur exacte calculée : 2
7.
d) 2x² - 5x + 9 = 12x – 1  2x² - 5x + 9 – 12x + 1 = 0
 2x² - 17x + 10 = 0
 = (-17)² - 2410 = 289 – 80 = 209
Comme  > 0, cette équation du second degré admet deux solutions réelles
distinctes :
x1 = 17 - 209
22 = 17 - 209 4 et x2 = 17 + 209 4.
L’ensemble des solutions de cette équation est S = 
17 - 209
4; 17 + 209 4.