Support de cours MMI2

Méthodes Mathématiques pour
l’Ingénieur
Suite de la boite à outils …
en 5 séances de cours
+ 5 séances de TD
1
Sommaire
• Vecteurs et valeurs propres des matrices
• Applications aux systèmes d’équations
différentielles
• Intégrales curvilignes et multiples
2
Objectifs – Auto-évaluation
A la fin de la matière, l’étudiant doit pouvoir :
• calculer les valeurs et vecteurs propres d’une
matrice de dimension 2 ou 3.
• appliquer la décomposition en éléments
propres à la résolution d’un système
d’équations différentielles
• calculer des intégrales curvilignes, de surface,
de volume avec changement de variables
3
Vecteurs et valeurs
propres des matrices
4
Introduction
Deux grandes classes de problèmes en algèbre linéaire :
• Résoudre un système linéaire d’équations
AX = b
Déjà vu en STE3
• Trouver les éléments propres d’une matrices
X: vecteur propre
λ: valeur propre
AX = λX
L’objectif de ce cours
5
Pourquoi faire ?
• La détermination des éléments propres d’une matrice
carrée a de multiples applications: résonnance,
traitement d’image, géométrie, recherche sur le web,
balançoire, vibration, marché financier, résolution de
certaines équations aux dérivées partielles (équation de
la chaleur), des systèmes d’équations différentielles
ordinaires (EDO), …
• Voici un exemple concret à partir du système d’EDO
suivant …
6
Exemple introductif
• Système différentiel de taille 2:
• Les inconnues sont les fonctions
v(t) et w(t)
 dv
 dt = 4v − 5w
(S ) 
dw

= 2v − 3w
 dt
• Il s’agit d’un problème aux conditions initiales tel que
souvent rencontré en pratique (ex: modèle de type
proie-prédateur)
• Ici on prendra v(0)=8 et w(0)=5 et le but du jeu est de
trouver v(t) et w(t) pour t>0
7
Exemple introductif
• Ce système peut facilement être écrit sous forme
matricielle. On pose pour cela:
 v(t) 
U(t) = 

w(t)


4 − 5 
A=

2
−
3


• Le système différentiel (S) est alors équivalent à:
dU
= AU, avec
dt
8 
U(0) =  
5 
• C’est une équation linéaire du premier ordre pour la
nouvelle inconnue U(t)
8
Exemple introductif
• On sait résoudre cette équation sans problème dans le cas
scalaire (U(t)=u(t) est une fonction réelle et plus un vecteur:
du
= au, avec
dt
• La solution est alors connue:
u ( 0) = u 0
[
]
u (t ) = u (0) e at , en fait : u (t ) = Re u (0) e at = u (0) cos( βt ) eαt
• Le comportement pour les grandes valeurs de t dépend de la
valeur du paramètre (éventuellement complexe) a=α+iβ:
– α > 0: solution instable
– α < 0: solution amortie qui tend vers zéro
– β ≠ 0: solution oscillante amortie, instable ou à amplitude constante
9
Exemple introductif
• Retour au cas du système: on cherche une solution avec une
dépendance exponentielle:
 v(t ) = ye λt
solution de (S) cherchée sous la forme 
λt
=
w
(
t
)
ze

• En injectant dans (S) on obtient:
λe λt y = 4e λt y − 5e λt z
 λt
λt
λt
e
z
=
e
y
−
e
z
λ
2
3

• Qui se simplifie en
4 y − 5 z = λ y
y 
ou en notation matricielle AX = λX avec X =  

 2 y − 3 z = λz
z 
10
Exemple introductif
• On obtient donc le problème aux valeurs propres suivant:
AX = λX
• Si l’on sait résoudre ce problème d’algèbre linéaire, c’est-àdire déterminer la ou les valeurs propres λ et les vecteurs
propres associés X = [y z ]t , alors on connait la solution du
système différentiel (S):
 v(t ) = ye λt

λt
w
(
t
)
=
ze

11
Résolution de AX=λX
• On remarque tout d’abord que:
AX = λX peut s' écrire également : (A − λI )X = 0
• On se ramène à un problème de résolution de système
linéaire du type :
MX = b avec : M = A − λI et b = 0
• Mais b=0, X=0 est toujours solution !! Fin de l’histoire ?
• NON bien sûr ! On cherche une solution X non nulle
(pour qu’elle puisse avoir une utilité pour la résolution du
système (S) …)
12
Résolution de AX=λX
• Rappel du cours sur les systèmes linéaires:
MX = b avec M matrice carrée admet :
- 1 solution unique si : det(M) ≠ 0
- 0 ou une infinité de solutions si : det(M) = 0
Dans le cas det(M) = 0, on dit que M est singulière
• Conséquence pour le problème aux valeurs propres:
Puisque X = 0 est toujours solution de (A − λI )X = 0 et que l' on cherche
des solutions X ≠ 0, on se place dans le cas où M = A − λI est singulière
Autrement dit on cherche les valeurs propres λ de A en résolvant
l' équation :
det (A − λI ) = 0
13
Retour sur l’exemple
• Avec la matrice A de l’exemple on a:
−5 
4 − 5 1 0 4 − λ
A − λI = 
− λ
=



2
−
3
0
1
2
3
λ
−
−

 
 

• Le déterminant de cette matrice de taille 2 se calcule
simplement:
det (A − λI ) = (4 − λ )(− 3 − λ ) − (−5)(2) = λ2 − λ − 2
• C’est un polynôme d’ordre 2 (= taille de la matrice de départ).
On l’appelle polynôme caractéristique de A
• Ses racines annulent le déterminant de A-λ
λI; ce sont donc les
valeurs propres de A
14
Retour sur l’exemple
• Le polynôme caractéristique de A est d’ordre 2; il admet -1 et
+2 comme racine
• A admet donc 2 valeurs propres que l’on notera :
λ1 = −1 et λ2 = 2
• Le cours sur les systèmes linéaires indique que pour les choix
λ=λ1 ou λ=λ2 (et uniquement pour ces choix), l’équation
AX=λX admet des solutions X non nulles
15
Retour sur l’exemple
• Calcul du vecteur propre X1 associé à λ1: ses composantes
(y1, z1) vérifient le système d’équations:
4 y1 − 5 z1 = (− 1) y1

 2 y1 − 3 z1 = (− 1)z1
• Les deux lignes de ce système sont en fait identiques et
équivalentes à :
y1 − z1 = 0, vérifiée notamment par y1 = z1 = 1
• Par conséquent, tout vecteur non nul proportionnel à [1,1]t
est vecteur propre de A associé à λ1=-1.
16
Retour sur l’exemple
• Calcul du vecteur propre X2 associé à λ2: ses composantes
(y2, z2) vérifient le système d’équations:
4 y2 − 5 z 2 = (+ 2 ) y2

 2 y2 − 3 z 2 = (+ 2 )z2
• Les deux lignes de ce système sont en fait identiques et
équivalentes à :
2 y2 − 5 z2 = 0, vérifiée notamment par y2 = 5 et z 2 = 2
• Par conséquent, tout vecteur non nul proportionnel à [5,2]t
est vecteur propre de A associé à λ2=+2.
17
Résolution de AX=λX
• Elle se fait en 3 étapes systématiques:
1. Calcul du déterminant de A-λ
λI
2. Détermination des racines du polynôme caractéristique
obtenu en écrivant : det(A-λ
λI)=0
3. Pour chaque racine (chaque valeur propre), résoudre le
système linéaire AX=λ
λX afin de déterminer le ou les
vecteurs propres associés.
18
Re-Retour sur l’exemple
• Deux solutions ont été obtenues pour le problème AX=λ
λX:
1
5 
λ = −1 avec X proportionnel à   et λ = +2 avec X proportionnel à  
1
 2
• Cela correspond à deux solutions pour le système différentiel
(S):
1
2t 5 
U(t) = e   et U(t) = e  
1
2
-t
• Comme le système différentiel (S) est linéaire, toute
combinaison linéaire de ces deux solutions est
potentiellement solution. La solution générale est alors:
1
2t 5 
U(t) = C1e   + C 2 e  
1
2
-t
19
Re-Retour sur l’exemple
• Les constantes C1 et C2 sont à déterminer en utilisant les
conditions initiales:
1
5 
8
U(t = 0) = C1   + C 2   = U (0) =  
1
2
5
• Cela revient à résoudre le système linéaire suivant
 C1  3
1 5  C1  8
1 2 C  = 5 dont la solution est C  = 1

  2  
 2  
• La solution recherchée pour le système différentiel (S) est
finalement:
1 2t 5
U(t) = 3e   + e   c' est − à − dire :
1
 2
-t
 v(t ) = 3e -t + 5e 2t

-t
2t
w
(
t
)
=
3e
+
2e

20
Eléments propres de quelques
matrices simples
• Matrice diagonale:
3 0 
1
A=
λ1 = 3; X1 =  

0 2 
0 
0 
λ2 = 2; X 2 =  
 2
• Matrice de Projection
1 / 2 1 / 2
1
A=
λ1 = 1; X1 =  

1 / 2 1 / 2
1
1
λ2 = 0; X 2 =  
− 1
• Matrice de rotation
 3/2
A=
 1/ 2
−1/ 2 
3 −i
; X1 non réel
 λ1 =
2
3 / 2
3 +i
λ2 =
; X 2 non réel
2
21
Eléments propres de quelques
matrices simples
• Matrice défective:
2 − 1
1
A=
λ1 = 1; X1 =  

1 0 
1
1
λ2 = 1; X 2 =   = X1 !!
1
• Valeur propre double
 2/2
2 / 2 0
 −1 


A =  2 / 2 − 2 / 2 0 λ1 = −1; X1 =  2 + 1
 0
 0 
0
1

• Matrice non normale
1 2
2
A=
λ1 = 1 + 2 ; X1 =  

1 1
 2
On remarque que : X1 ⋅ X 2 ≠ 0
 2 + 1


λ2 = 1; X 2 =  1 
 0 


0 
λ3 = 1; X 3 = 0
1
− 2
λ2 = 1 − 2 ; X 2 =  
 2
22
Quelques observations
• Le nombre de valeurs propres (éventuellement complexes) est
TOUJOURS égal à la taille de la matrice
• Le nombre de vecteurs propres réels PEUT être inférieur à la
taille de la matrice qui est alors dite défective
• Une matrice ne peut être défective que si elle admet une
valeur propre multiple. Autrement dit, deux valeurs propres
distinctes admettent des vecteurs propres distincts
• La somme des valeurs propres d’une matrice est égale à la
trace de cette matrice
• Le produit des valeurs propres d’une matrice est égal au
déterminant de cette matrice
23
Diagonalisation des matrices
• Si A est une matrice de taille n qui admet n vecteurs propres
distincts (linéairement indépendants), alors on dit que A est
diagonalisable. Si on note S la matrice dont les colonnes sont
les n vecteurs propres de A, alors on montre facilement:
AS = SΛ ; Λ = S −1 AS ; A = SΛS −1
• Dans ces trois égalité équivalentes, Λ est une matrice
diagonale dont les éléments diagonaux sont les valeurs
propres de A:
M
M
M 
λ1

 M


X X K X 
λ
2
2
n


 1
Λ=



O


λn 
S=
 M

 M
M
M
M
M
M 

M 
24
Au sujet du terme « diagonalisable »
• Si A et B sont deux matrices carrées de même taille et qu’il
existe une matrice S inversible telle que
AS = SB ; B = S −1 AS ; A = SBS −1
alors on dit que A et B sont semblables.
• A est donc diagonalisable si elle est semblable à une matrice
diagonale.
25
Variables caractéristiques
• Si la matrice A est diagonalisable:
A = S ΛS
−1
avec Λ matrice diagonale
• Le système différentiel initial peut s’écrire:
dU
−1
−1 dU
= AU = SΛS U soit : S
= ΛS −1 U
dt
dt
• On introduit alors les variables caractéristiques: W = S −1 U
qui permettent d’écrire le système sous la forme:
dW
= ΛW
dt
W1 

W
 2
• On notera dans la suite: W = 
26
Re-Re-Retour sur l’exemple
• Ecrit à partir des variables caractéristiques, le système
différentiel est découplé:
 dW1
 dt = λ1W1 = −W1
dW
= ΛW ⇔ 
dW
dt
 2 = λ2W2 = 2W2
 dt
• Les variables caractéristiques évoluent de manière
indépendante l’une de l’autre
W1 (t ) = W1 (0)e − t

2t
=
W
(
t
)
W
(
0
)
e
2
 2
27
Re-Re-Retour sur l’exemple
• Les conditions initiales pour les variables caractéristiques
s’obtiennent simplement:
−1
1 5
1 − 2 5 
= 
W = S U avec S = 


1
2
1
−
1
3



W1 (0)  1 − 2 5   v(0)  1 − 2 5  8 3
d' où 
= 
= 
= 







W2 (0) 3  1 − 1  w(0) 3  1 − 1 5 1
−1
−1
• Les variables caractéristiques sont finalement égales à
W1 (t ) = 3e − t

2t
=
W
(
t
)
e
 2
28
Re-Re-Retour sur l’exemple
• Connaissant les variables caractéristiques, on peut retrouver
les variables primitives v(t) et w(t):
W = S −1U ⇔ U = SW
 v(t )  1 5 3e −t 
c' est − à − dire : 
=

  2t 
w
(
t
)
1
2

 
 e 
• On retrouve évidemment la même solution que
précédemment:
 v(t ) = 3e -t + 5e 2t

-t
2t
w
(
t
)
=
3e
+
2e

29
Base propre
• Si A est une matrice diagonalisable, elle admet n vecteurs
propres linéairement indépendants. Ces vecteurs constituent
une base appelée « base propre »
• Les colonnes de la matrice S contiennent les composantes des
vecteurs propres dans la base canonique: c’est aussi par
définition la matrice de passage de la base canonique (base
B) à la base propre (base B’)
• Si un vecteur admet X comme composantes dans la base
canonique et X’ dans la base propre, alors:
ATTENTION !!
X = PBB' X' , PBB' = S
30
Changement de base
• Dans le cas d’un système différentiel, cette formule de changement de
base permet de passer des variables primitives aux variables
caractéristiques et inversement
W = S −1U ⇔ U = SW
• En géométrie Euclidienne, elle permet de déterminer les composantes
d’un même vecteur lorsque représenté dans différentes bases :
r
r
r
r
r
V = Vx i + V y j = Vx ' i '+V y ' j '
y
Les composantes sont liées par :
Vx 
Vx ' 
V = PBB' V' avec V =  ; V' =  
V y 
V y ' 
et les colonnes de PBB' contiennent les
r r
composantes de B' = (i ' , j ') exprimées
r r
dans la base B = (i , j )
r
r j
j'
r
V
y’
X’
r
i'
r
i
X
31
Une application géométrique …
• On s’intéresse à la courbe C d’équation :
5 2 7 2
3
x + y +
xy = 1
4
4
2
 x
1 5
Sous forme matricielle : X AX = 1, avec X =   et A = 
4 3
 y
t
3

7
• On montre que A est diagonalisable :
 2 0
1  1 − 3
A = SΛS −1 , avec Λ = 
et
S
=



0
1
2
3
1




• On remarque que S est orthogonale: SSt=StS=I (ou bien S-1=St).
C’est toujours le cas pour les matrices symétriques (At=A) ou même
simplement normales (AtA=AAt)
• La courbe C admet donc également pour équation:
( ) ( )
t
X t SΛS t X = 1, ou encore : S t X Λ S t X = 1
32
Une application géométrique …
• Exprimée à l’aide des coordonnées X’=StX= S-1X, l’équation de la courbe C
devient alors plus simple:
X't ΛX' = 1, ou encore : 2 x' 2 + y' 2 = 1
• C’est l’équation d’une ellipse de grand axe y’ et de petit axe x’
y
y’
X’
θ
X
L’analyse en valeurs propres permet
de déterminer la bonne base pour
observer /décrire la courbe C.
Cette base est la base propre associée à
la matrice A.
La formule de changement de base
permet de se placer effectivement dans
cette base.
33
Vecteurs et valeurs propres des
matrices
Consulter les notes de cours ‘Algèbre
linéaire’ pour plus de propriétés et
définitions
34
Intégrales curvilignes et
multiples
35
Introduction
• Intégrale de Riemann bien connue pour les fonctions numériques à
une variable y=f(x):
f(x)
b
∫ f ( x)dx
x =a
a
b
x
• On a étudié en STE3 les fonctions de plusieurs variables et leur
différentiabilité:
–
–
–
–
Dérivée directionnelle, partielle
Gradient,
Différentielle
Matrice Jacobienne et Jacobien
• Dans les sciences de l’ingénieur, il est souvent utile voire
indispensable de généraliser la notion d’intégrale aux fonctions de
plusieurs variables
36
Intégrales curvilignes
• Le domaine d’intégration est une courbe de l’espace (une
trajectoire).
• Exemple: la quantité d’énergie dépensée par un véhicule
pour aller du point A au point B suivant un itinéraire
• Ne peut pas être représentée par une intégrale de Riemann
qui vaut nécessairement zéro lorsque A=B …
• Doit dépendre du chemin parcouru
B
A
37
Intégrales curvilignes
• On se donne une courbe C de R2 (pourrait être R3) liant les deux points A
et B
• On se donne une suite de points M0, M1, …, Mn telle que
– M0=A
– Mn=B
– toutes les longueurs MiMi+1 sont identiques: M0M1 = M1M2 = … = MiMi+1 = … = Mn-1Mn
Mi
M1
M0
Mi+1
Mn
B
A
• On se donne également une fonction f de deux variables:
f : ( x, y ) a f ( x, y ) = f ( M ),
où M est le point géométrique de coordonnées ( x, y )
38
Intégrales curvilignes
• On note alors Sn la somme:
n
S n = ∑ f ( M i ) M i M i +1 avec M i M i +1 la longueur du segment [M i M i +1 ]
i =1
• Et on définit l’intégrale curviligne de f sur le parcours C comme la limite
suivante:
∫ f ( x, y)dl = lim S
• Remarques:
C
n→∞
n
– Similarité avec la définition de l’intégrale de Riemann (passage à la limite)
– 3 ingrédients doivent impérativement être choisis pour définir l’intégrale curviligne: la
fonction f, le parcours C, l’élément différentiel dl (ici la longueur de l’élément de
parcours dl)
– Si elle existe, cette intégrale est un nombre (si f est une fonction scalaire)
39
Un exemple concret …
y
I=
∫ (x − y ) dl = ?
2
B(3,2)
C : A→B
A(1,1)
1
Rq : AB =
∫ dl =
C : A→B
•
5
0
0
1
2
3
x
dl est la longueur parcourue sur le parcours C lorsque les coordonnées x et y
évoluent de dx et dy
dl = dx 2 + dy 2
•
Le parcours C est le segment de droite [AB]. Son équation est par exemple:
x 1
y= +
avec 1 ≤ x ≤ 3
2 2
40
Un exemple concret …
y
I=
∫ (x − y ) dl = ?
2
B(3,2)
C : A→B
A(1,1)
1
0
0
•
1
2
x
3
Le calcul de l’intégrale curviligne I se fait en la reformulant comme une
intégrale de Riemann classique en x
2
1
 dy 
dl = dx 2 + dy 2 = dx 1 +   = dx 1 + =
4
 dx 
x =3
2 3


x 1 5
5  1 x  1 3 

I = ∫ x− − 
dx =
  − [x ]1  =

2 2 2
2 2  2 1 2
x =1 


5
dx
2
5
≠ AB
2
41
Intégrales curvilignes
• On peut définir de manière analogue les intégrales curvilignes
suivantes (avec g une fonction vectorielle définie sur C):
∫ f ( x, y)dl : c' est un vecteur
∫ df : c' est un scalaire
C
C
r
∫ g ( x, y) ⋅ dl : c' est un scalaire
∫ dg : c' est un vecteur
C
C
r
g
∫ ( x, y) ∧ dl : c' est un vecteur
...
C
• Dans le cas où A=B, C est un contour fermé et on note
∫
C
au lieu de
∫
C
42
Intégrales curvilignes
• Propriétés: ∫
C : A→ B
∫
C : A→ B
=
∫
+
C : A →O
=−
∫
avec O un point du parcours C
C :O → B
∫
C :B → A
∫ df = f ( B) − f ( A) si df est une différentielle exacte de primitive f
C : A→ B
∫ df = 0 si df est une différentielle exacte
C
• Calcul pratique: on se ramène à une intégrale de Riemann en
utilisant l’équation du parcours C sous une des formes
suivantes:
 x = x(t )
y = y ( x); x = x( y ); 
t ∈ [t A , t B ]
 y = y (t )
43
Un exemple concret … suite
y
I=
∫ (x − y ) dl = ?
2
B(3,2)
C : A→ B
A(1,1)
1
Rq : AB =
∫ dl =
C : A→ B
•
5
0
0
1
2
3
x
Le parcours C est le segment de droite [AB]. Son équation est par exemple:
 x = 2t + 1
avec 0 ≤ t ≤ 1

 y = t +1
•
dl est la longueur parcourue sur le parcours C lorsque le paramètre t évolue dt
2
2
 dx   dy 
dl = dx 2 + dy 2 = dt   +   = dt 4 + 1 = 5dt
 dt   dt 
44
Un exemple concret … suite
y
I=
∫ (x − y ) dl = ?
2
B(3,2)
C : A→ B
A(1,1)
1
0
0
•
1
2
3
x
Le calcul de l’intégrale curviligne I se fait en la reformulant comme une
intégrale de Riemann classique en t
  t 2 1 
5
I = ∫ (2t + 1 − t − 1) 5dt = 5     =
≠ AB


2
2
t =0
  0 
t =1
45
Intégrales curvilignes
• Exemples:
∫ dl =
C: y = y ( x )
∫ dl =
 x = x (t )
C:
 y = y (t )
x = xB
∫
1 + y '2 ( x) dx : longueur du graphe de f entre x A et xB
x= xA
t =t B
∫
x'2 (t ) + y '2 (t ) dt : longueur de la courbe paramétrée par t
t =t A
r
r
∫ V ⋅ dl : circulation du champ de vitesse V le long de C
C
t =t
1
1 B
xdy − ydx = ∫ xdy = − ∫ ydx = ∫ (x(t ) y ' (t ) − y (t ) x' (t ) ) dt
∫
2C
2 t =t A
C
C
aire contenue dans C supposée fermée et parcourue dans le sens anti - horaire46
Intégrales de surface
• Le domaine d’intégration est une surface de l’espace
• Exemple: la quantité de pluie qui tombe sur le toit d’une
habitation
• La surface est orientée par son vecteur normal unitaire
• Elle peut être ouverte ou fermée
r
n : vecteur unitaire normal à dS
Élément de surface dS
47
Intégrales de surface
• On se donne une surface S de R3
• On se donne une famille de N de portions élémentaires de S: dS0, dS1, …,
dSn telle que
– L’intersection des dSi est nulle (pas de recouvrement)
– Tout point de S appartient à un unique dSi (pas de trou)
– Les aires dAi des éléments de surface dSi sont toutes identiques: dA1 = dA2 = … = dAi = …
= dAN
dS2
dS1
dS3
S
• On se donne également une fonction f de deux variables:
f : ( x, y, z ) a f ( x, y, z ) = f ( M ),
où M est le point géométrique de coordonnées ( x, y, z )
48
Intégrales de surface
• On note alors Sn la somme:
n
r
S n = ∑ f ( M i )dAi ni avec M i le centre de l' élément de surface dSi
i =1
• Et on définit l’intégrale de surface de f sur la surface S comme la limite
suivante:
∫∫
S
r
f ( x, y, z )n dS = lim S n
n →∞
• Remarques:
– Similarité avec la définition de l’intégrale de Riemann (passage à la limite)
– 3 ingrédients doivent impérativement être choisis pour définir l’intégrale surfacique: la
fonction f, la surface orientée S, l’élément différentiel (ici l’aire de l’élément de surface
fois le vecteur normal unitaire)
– Si elle existe, cette intégrale est un vecteur (f est une fonction scalaire)
49
Un exemple concret …
y
I=
∫∫ (x − y ) dS = ?
2
B(3,2)
A(1,1)
S : triangle ABC
1
Rq : Aire de ABC =
∫∫ dS
=2
S : triangle ABC
•
C(3,0)
0
0
1
2
x
3
dS est l’élément de surface généré lorsque les coordonnées x et y évoluent de
dx et dy
dS = dxdy
•
La surface S est le triangle ABC. Son équation est par exemple:
x 3
x 1
− + ≤ y≤ +
2 2
2 2
et
1≤ x ≤ 3
50
Un exemple concret …
y
I=
∫∫ (x − y ) dS = ?
2
B(3,2)
A(1,1)
S : triangle ABC
1
∫∫ dS
Rq : Aire de ABC =
S : triangle ABC
•
=2
C(3,0)
0
0
1
2
x
3
Le calcul de l’intégrale de surface I se fait en la reformulant comme une
intégrale de Riemann double classique en x et y
x 1
x 1
+


+

3
3 
3
x
1
2
2
2
2 2 


+



y
1


2
2
(
)
(
)
I = ∫  ∫ ( x − y )dy dx = ∫  x[ y ] x 3 −  
dx
=
x
x
−
1
−
8
x
−
8

dx

∫
− +
8

 2 − x+3 
2 2

x =1  y = − x + 3
x =1 
x =1 
2 2 

 2 2

3

 8
(
)
x
−
1
2
2
I = ∫ x − 2 x + 1 dx = ∫ ( x − 1) dx = 
 = ≠ Aire de ABC
x =1
x =1
 3 1 3
3
(
)
3
3
51
Intégrales de surface
∫∫
• On peut définir de manière analogue les intégrales de surface
suivantes (avec g une fonction vectorielle définie sur S):
r
f ( x, y, z )dS : c' est un scalaire
∫∫ dg ( x, y, z) : c' est un vecteur
S
r
∫∫ g ( x, y, z )dS : c' est un vecteur
S
r
r
∫∫ g ( x, y, z ) ⋅ ndS : c' est un scalaire
S
r
r
∫∫ g ( x, y, z) ∧ ndS : c' est un vecteur
S
...
S
• Dans le cas où S est une surface fermée on note
∫∫
S
au lieu de
∫∫
S
52
Intégrales de surface
• Calcul pratique: on se ramène à une intégrale double de
Riemann en utilisant l’équation de la surface S sous une des
formes suivantes:
x = x(u, v)


x = x( y, z ); y = y ( x, z ); z = z ( x, y );  y = y (u, v) ,
 z = z (u, v)

u ∈ [umin , umax ]
v ∈ [vmin , vmax ]
• Théorème de Fubini:
si a, b, c et d sont des paramètres fixés alors :
y = d x =b
 y =d



 f ( x, y )dy dx =  f ( x, y )dx dy
∫x=a  y∫=c
∫y =c  x∫=a





x =b
• Et aussi:
si a, b, c et d sont des paramètres fixés et si f ( x, y ) = g ( x)h( y ) alors :
y = d x =b
y =d
x =b
 y =d



 f ( x, y )dy dx =  f ( x, y )dx dy = g ( x)dx × h( y )dy
∫∫
∫=c  x∫=a
∫=a
∫=c


x = a  y =c
y
x
y


x =b
53
Intégrales de surface
• Cas particulier: S est une partie du plan contenue entre les
graphes de deux fonctions numériques:
y=a(x)
y
y=b(x)
S
a
b
x
• Alors:
∫∫
S
 y =b ( x )

f ( x, y )dxdy = ∫  ∫ f ( x, y )dy dx


x =a  y =a ( x )

x =b
54
Intégrales de surface
• Changement de variables:
 x = x(u, v) u = u ( x, y )
⇔

y
=
y
(
u
,
v
)

 v = v ( x, y )
y
S
• Alors:
v
S’
x
u
∫∫ f ( x, y)dxdy = ∫∫ f (x(u, v), y(u, v)) J dudv
S
S'
∂ ( x, y )
avec J le Jacobien de la transformation : J =
≠0
∂ (u, v) 55
Intégrales de surface
• Exemples:
∫∫ dxdy : Aire de S
S
 ∂f   ∂f 
1
+
  +   dxdy :
∫∫S
 ∂x   ∂x 
Aire de la surface z = f ( x, y ) au − dessus de S
2
2
∫∫ [ f ( x, y) − g ( x, y)]dxdy :
S
Volume compris entre les surfaces z = f ( x, y ) et z = g ( x, y )
r r
r
∫∫V ⋅ ndS : Flux du champ de vitesse V à travers la surface S
S
56
Intégrales de volume
• Le domaine d’intégration est une partie (volume) de l’espace
• Exemple: la quantité de nitrate dans une rivière
• On se donne une fonction de l’espace:
f : ( x, y, z ) a f ( x, y, z ) = f ( M ),
où M est le point géométrique de coordonnées ( x, y, z )
• Par une construction similaire à celle utilisée pour les
intégrales de surface, on définit l’intégrale volumique de f sur
un domaine Ω de l’espace et on note:
∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz
Ω
57
Intégrales de volume
• La plupart des propriétés énoncées pour les intégrales de
surface se généralisent directement pour les intégrales de
volume:
– Théorème de Fubini
– Changement de variables avec l’aide du Jacobien
• Pour tout domaine Ω de l’espace:
∫∫∫ dxdydz : Volume de Ω
Ω
∫∫∫ ρ ( x, y, z )dxdydz : Masse de Ω dont la masse volumique est ρ ( x, y, z )
Ω
58