Nombres relatifs en écriture décimale

CHAPITRE 3
LES NOMBRES RELATIFS EN ÉCRITURE FRACTIONNAIRE
I.- ÉGALITÉ DE QUOTIENTS
a) Règle fondamentale
Propriété :
La valeur d'un nombre en écriture fractionnaire ne change
pas lorsqu'on multiplie ou on divise son numérateur et son
dénominateur par un même nombre non nul.
Exemple :
−4,5 −4,5×2 −9 −9÷3 −3
3
=
=
=
= =−
6
6×2
12 12÷3
4
4
Pour tous nombres a, b, et k où b et k sont non
nuls :
a a×k
a a÷k
=
=
et
b b×k
b b÷k
b) Produit en croix
Propriété :
Si deux nombres en écriture fractionnaire sont égaux, alors Pour tous nombres a, b, c et d, où b et d sont non
leurs produits en croix sont égaux.
nuls :
a c
Réciproque :
= équivaut à a×d =b×c
b d
Si les produits en croix de deux nombres en écriture
fractionnaire sont égaux, alors ces deux nombres sont égaux.
Exemple 1 :
2,1
4,1
Les nombres
et
sont-ils égaux ?
3,5
6,9
On calcule les produits en croix : 2,1×6,9=14,49 et 3,5×4,1=14,35
On les compare : 14,49 ≠ 14,35.
2,1
4,1
Les produits en croix ne sont pas égaux, donc les nombres ne sont pas égaux :
≠
.
3,5
6,9
Exemple 2 :
−1,2 ...
= .
Déterminer le nombre manquant dans l'égalité
6
7
On écrit l'égalité des produits en croix : −1,2×7=6×?
−8,4=6×?
donc :
−8,4
?=
=−1,4
On trouve le nombre manquant :
6
II.- ADDITION OU SOUSTRACTION
Propriété :
Pour additionner (ou soustraire) des nombres en écriture
fractionnaire ayant le même dénominateur, on additionne (ou on
soustrait) les numérateurs et on garde le dénominateur commun.
Pour tous nombres a, b et c où b est non
nul :
a c a+c
+ =
b b
b
Remarque : Lorsque les nombres en écriture fractionnaire n'ont pas le même dénominateur, il faut les réduire
au même dénominateur.
Exemples :
−2 1 −2×2 1×3 −4 3 −4+3 −1
+ =
+
=
+ =
=
3 2 3×2 2×3 6 6
6
6
−1 7 −1×3 7 −3 7 −3−7 −10
+ =
− = − =
=
3 9 3×3 9 9 9
9
9
8
4 8×3
4×5 24 20 24+20 44
+ =
+
= + =
=
25 15 25×3 15×5 75 75
75
75
III. MULTIPLICATION
Propriété :
Pour multiplier des nombres en écriture fractionnaire, Pour tous nombres a, b, c et d, où b et d sont non nuls :
on multiplie les numérateurs entre eux et les
a c a×c
× =
dénominateurs entre eux.
b d b×d
Exemple :
−5 2
5×2 10
× =+
=
9 −7
9×7 63
On a deux facteurs négatifs donc le produit est positif.
4 −49
2×2×7×7
14
×
=−
=−
35
2
5×7×2
5
On a un facteur négatif donc le produit est négatif.
On simplifie avant d'effectuer le produit.
IV.- DIVISION
a) Inverse d'un nombre
Définitions :
– Dire que deux nombres sont inverses l'un de l'autre signifie que leur produit est égal à 1.
– L'inverse du nombre a non nul est le nombre b tel que a×b=1
Exemples :
• 2×0,5=1 : les nombres 2 et 0,5 sont inverses l'un de l'autre.
• 10×0,1=1 : les nombres 10 et 0,1 sont inverses l'un de l'autre.
1
1
• 3× =1 : les nombres 3 et
sont inverses l'un de l'autre.
3
3
Remarques :
• Un nombre et son inverse sont de même signe.
• 0 n'a pas d'inverse.
Propriété :
a et b étant deux nombres relatifs non nuls, l'inverse de a est
1
a
b
, et l'inverse de
est .
a
b
a
Exemples :
•
•
1
1 5
: 5× = =1 .
5
5 5
5
3 5 3 15
l'inverse de
est
: × = =1 .
3
5
3 5 15
l'inverse de 5 est
b) Quotient de nombres en écriture fractionnaire
Propriété :
Diviser par un nombre non nul revient à multiplier par son inverse.
Pour tous nombres a, b, c et d où b, c et d sont non nuls :
a
1
a c a d
=a÷b=a× et ÷ = ×
b
b
b d b c
Exemples :
2 −1 2 6
12
÷ = × =−
5 6 5 −1
5
6
6
1
6
÷(−7)=
× =
−5
−5 −7 35