Factorisation des fonctions holomorphes Espaces de Hardy

Juin 2003
Factorisation des fonctions holomorphes
Espaces de Hardy
St´ephane VENTO
Travaux d’Etudes et de Recherches dirig´es par M. FRADELIZI

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Table des mati`eres
1 L’int´egrale de Poisson 5
1.1 D´efinition et premi`eres propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 La propri´et´e de la moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Comportement `a la fronti`ere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Th´eor`eme de repr´esentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Factorisation des fonctions holomorphes 19
2.1 Produitsinfinis ................................. 19
2.2 Th´eor`eme de factorisation de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3 Le th´eor`eme de Mittag-Leffler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4 Un th´eor`eme d’interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.5 FormuledeJensen ............................... 30
2.6 ProduitsdeBlaschke.............................. 34
3 Espaces Hp39
3.1 Fonctions sous-harmoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2 Les espaces Hpet N.............................. 41
3.3 Th´eor`eme de F. et M. Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.4 Th´eor`eme de factorisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
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4 TABLE DES MATI` ERES

Chapitre 1
L’int´egrale de Poisson
Ce chapitre pr´esente bri`evement les propri´et´es de l’int´egrale de Poisson. Il s’agit, pour
une fonction harmonique donn´ee, de la repr´esenter sous une forme int´egrale, tout comme
la formule de Cauchy pour les fonctions holomorphes.
Nous nous bornons, dans cette ´etude, `a travailler sur le disque unit´e ouvert Ude C; le
cas d’un ouvert quelconque s’y ramenant par une transformation affine.
1.1 D´efinition et premi`eres propri´et´es
D´efinition 1.1 On appelle noyau de Poisson la fonction, d´efinie pour 0≤r < 1et t∈R
par
Pr(t) = X
n∈Z
r|n|eint.
Pour z=reiθ (0≤r < 1) et t∈R, on pose
P(z, eit) = Pr(θ−t).
Enfin, si Ud´esigne le disque unit´e ouvert du plan et si f∈L1(∂U), l’int´egrale de Poisson
de fest la fonction P(f)d´efinie sur Upar
P(f)(z) = 1
2πZπ
−π
P(z, eit)f(eit)dt.
Remarquons que Pr(t) est major´e en module par la s´erie g´eom´etrique convergente
X
n∈Z
r|n|, de sorte que la d´efinition de l’int´egrale de Poisson a bien un sens.
Si on pose z=reiθ, on a alors
P(z, eit) = Pr(θ−t) = X
n∈Z
r|n|ein(θ−t)
=X
n≥0
rnein(θ−t)+X
n>0
rne−in(θ−t)
= 2 X
n≥0
rncos n(θ−t)−1
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