15 février 2010 THÉMATIQUES POUR UNE TH

15 f´evrier 2010
TH´ EMATIQUES POUR UNE TH` ESE EN MATH´ EMATIQUE
OU UN M´ EMOIRE DE MASTER
avec
Benoit Fresse
Je travaille sur la th´eorie des op´erades et ses applications en topologie alg´ebrique. Une
op´erade est une structure alg´ebrique qui mod´elise des collections d’op´erations d´efinissant
une cat´egorie d’alg`ebres. Les cat´egories d’alg`ebres usuelles, comme les alg`ebres associatives
et commutatives, les alg`ebres associatives, les alg`ebres de Lie, et les alg`ebres de Poisson,
sont associ´ees `a des op´erades. La notion d’op´erade a d’abord ´et´e introduite en topologie,
fin des ann´ees soixante, pour ´etudier la structure des espaces de lacets it´er´es. Les op´erades
ont ´et´e utilis´ees fructueusement dans d’autres domaines depuis lors et il est devenu clair
que cette notion fournit un outil conceptuel et effectif pour g´erer des structures alg´ebriques
multiples dans des contextes vari´es.
L’id´ee g´en´erale la plus importante promue dans mes travaux est l’utilisation de mod-
ules sur les op´erades pour comparer et relier des cat´egories d’alg`ebres. De fait, j’ai montr´e
que les modules sur les op´erades permettent de mod´eliser les foncteurs entre cat´egories
d’alg`ebres aussi effectivement que les op´erades permettent de mod´eliser les cat´egories
d’alg`ebres elles-mˆemes. La forme la plus aboutie de ces recherches a ´et´e publi´ee dans
le livre [2].
La th`ese de J.-P. Serre au d´ebut des ann´ees 50 a introduit l’id´ee d’utiliser l’homologie
d’espaces de lacets en topologie. Mes recherches actuelles, utilisant les modules sur les
op´erades, m’ont permis de construire un mod`ele alg´ebrique pour les lacets it´er´es. Un
r´esultat principal de la pr´epublication [3] montre ainsi que la cohomologie d’un espace
de lacets n-it´er´e sur un espace Xse d´etermine par une th´eorie homologique op´eradique,
d´efinie de fa¸con purement alg´ebrique, que l’on applique `a l’alg`ebre des cochaˆınes de X.
Les diff´erents sujets que je propose sont motiv´es par des probl`emes qui apparaissent dans
ces recherches.
Une notion centrale de la th´eorie des op´erades est le type des op´erades En, lequel
comprend les op´erades homotopiquement ´equivalentes `a l’op´erade des petits n-cubes de
J. Boardman et R. Vogt [1]. L’op´erade des petits n-cubes est une op´erade topologique
param´etrant des op´erations qui, dans la conception initiale de J. Boardman et R. Vogt,
agissent au niveau topologique sur les espaces de lacets it´er´es ΩnX. Dans la suite, on
consid`ere des op´erades Endans la cat´egorie des complexes de chaˆınes et on emploie la
terminologie d’alg`ebre Enpour toute cat´egorie d’alg`ebres associ´ee `a une op´erade Endans
cette cat´egorie ambiante. La plupart des mod`eles d’op´erades Ens’int`egrent dans des suites
emboit´ees
(∗)E1⊂ · · · ⊂ En−1⊂En⊂ · · ·
1

telles que E∞= colimnEnest une op´erade E∞, une op´erade homotopiquement ´equivalente
`a l’op´erade Cdes alg`ebres associatives et commutatives. Les op´erades E1qui constituent le
premier terme des suites (*) sont des op´erades homotopiquement ´equivalentes `a l’op´erade
Ades alg`ebres associatives non-commutatives. Intuitivement, une structure d’alg`ebre E1
s’interpr`ete comme une structure homotopiquement associative au sens fort mais non-
commutative, tandis qu’une alg`ebre E∞est homotopiquement (associative et) commuta-
tive au sens fort. Les structures d’alg`ebres En, qui sont interm´ediaires entre E1et E∞,
s’interpr`etent comme des alg`ebres homotopiquement associatives au sens le plus fort mais
homotopiquement commutatives jusqu’`a un certain degr´e seulement. Une alg`ebre commu-
tative h´erite naturellement d’une structure d’alg`ebre En, pour tout n= 1,2, . . . , ∞.
– Un premier sujet de th`ese possible autour de ces th´ematiques est l’´etude de la
cohomologie des alg`ebres En. Une th´eorie homologique et cohomologique est associ´ee `a
toute cat´egorie d’alg`ebres sur une op´erade. La cohomologie des alg`ebres E∞a ´et´e beaucoup
´etudi´ee pour r´esoudre des probl`emes de r´ealisation de structure en homotopie stable. J’ai
d´efini des complexes explicites pour calculer l’homologie et la cohomologie des alg`ebres
En. L’id´ee de ce projet de th`ese est d’´etudier des structures sous-jacentes aux complexes
de cohomologie. Un but serait de montrer que le complexe calculant la cohomologie des
alg`ebres Enh´erite d’une structure d’alg`ebre En+1 (conjecture de Deligne).
– Un second sujet possible est l’´etude d’automorphismes homotopiques associ´es aux
op´erades En. Le but serait de d´eterminer le groupe des automorphismes homotopiques
d’une op´erade E2. Cette question fait intervenir le groupe de Grothendieck-Teichm¨uller,
un groupe d’op´erateurs universels agissant sur les cat´egories tress´ees, qui a ´et´e beaucoup
´etudi´e en th´eorie de Galois. Un mod`ele d’op´erade E2est d´efini par les espaces classifiants
des groupes de tresses, et h´erite d’une action du groupe de Grothendieck-Teichm¨uller
naturelle. On conjecture que cette action donne tout les automorphismes homotopiques
de l’op´erade E2. . .
Je peux proposer diff´erents sujets de m´emoires de M2 permettant d’acqu´erir les bases
math´ematiques pour s’engager dans ces projets de th`eses, ou dans d’autres projets de
recherche en topologie alg´ebrique ou en physique math´ematique :
– op´erades Enet machines de d´ela¸cage ;
– cat´egories mod`eles et op´erades ;
– homologie et cohomologie des alg`ebres sur une op´erade, applications aux probl`emes
de r´ealisation en topologie alg´ebrique ;
– groupes de tresses et op´erades ;
– groupes d’automorphismes homotopiques ;
– invariance homotopique de structures ;
–. . .
R´ ef´ erences
[1] J. Boardman, R. Vogt, Homotopy invariant algebraic structures on topological spaces,
Lecture Notes in Mathematics 347, Springer-Verlag, 1973.
[2] B. Fresse, Modules over operads and functors, Lecture Notes in Mathematics 1967,
Springer-Verlag, 2009.
2

[3] B. Fresse, Iterated bar complexes of E-infinity algebras and homology theories, pr´epu-
blication arXiv:0810.5147 (2008).
Benoit Fresse •Lab. P. Painlev´e, UMR8524 de l’Universit´e Lille 1 - Sciences et Technologies
- et du CNRS, UFR de Math´ematiques, Cit´e Scientifique - Bˆatiment M2, 59655 Villeneuve
d’Ascq Cedex (France). •Courriel : [email protected] •Internet :
http://math.univ-lille1.fr/∼fresse/
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