Feuille d`exercices n°2 Applications linéaires

Lycée Chrestien de Troyes Feuille d’exercices n°2?−Applications linéaires MP1617
Feuille d’exercices n°2?
Applications linéaires
Version du 06-09-2016 à 05:32
Notation : Dans tout ce document, Kdésigne un corps (commutatif).
Exercice 1. (Quelques contre-exemples)
1. Donner un exemple d’un K-espace vectoriel Eet d’un endomorphisme fde E, qui est non injectif,
surjectif.
2. Donner un exemple d’un K-espace vectoriel Eet d’un endomorphisme fde E, qui est injectif, non
surjectif.
3. Donner un exemple d’un K-espace vectoriel Eet d’un endomorphisme fde Edont le noyau et l’image
ne sont pas en somme directe.
Exercice 2. (Endormorphisme non nul de R3annulé par X3+X)
Soit fun endomorphisme de R3, non nul, tel que f3+f=0.
1. Prouver que R3=Ker(f)⊕Im(f).
2. Justifier que dim¡Ker(f)¢=1.
3. Prouver qu’il existe une base Bde R3telle que
MatB(f)=
0 0 0
0 0 −1
0 1 0
.
4. Soit n∈N∗. Prouver qu’il existe un endomorphisme fnde R3tel que ¡fn¢n=f.
Exercice 3. (Noyau, image d’un endomorphisme en somme directe et polynôme annulateur)
Soit Eun K-espace vectoriel, soit u∈L(E). On suppose qu’il existe un polynôme P=
n
X
k=0
akXk∈K[X] tel que
P(u) :=
n
X
k=0
ak.uk=0L(E)et P0(0) 6= 0.
Démontrer que Ker(u) et Im(u) sont en somme directe.
Exercice 4. (Formes linéaires)
Soit Eun K-espace vectoriel.
1. Soient ϕet ψdeux formes linéaires sur E. Démontrer que ϕet ψsont colinéaires si et seulement si elles
ont même noyau.
2. Soit ϕ1,...,ϕnet ψdes formes linéaires sur E. Démontrer
ψ∈Vect¡ϕ1,...,ϕn¢⇐⇒
n
\
k=1
Ker¡ϕk¢⊂Ker ¡ψ¢.
Exercice 5. (Formes linéaires)
Soit Eun K-espace vectoriel.
1. Soient ϕet ψdeux formes linéaires sur E. Démontrer que ϕet ψsont colinéaires si et seulement si elles
ont même noyau.
2. Soit ϕ1,...,ϕnet ψdes formes linéaires sur E. Démontrer
ψ∈Vect¡ϕ1,...,ϕn¢⇐⇒
n
\
k=1
Ker¡ϕk¢⊂Ker ¡ψ¢.
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Exercice 6. (Lemme des cinq)
On considère le diagramme
E1
f1//
h1
E2
f2//
h2
E3
f3//
h3
E4
f4//
h4
E5
h5
F1
g1//F2 g2//F3 g3//F4 g4//F5
formé de K-espaces vectoriels et d’applications linéaires. On suppose que le diagramme est commutatif, i.e.
h2◦f1=g1◦h1;h3◦f2=g2◦h2;h4◦f3=g3◦h3;h5◦f4=g4◦h4
et que les deux lignes sont exactes, i.e.
Ker(f2)=Im(f1) ; Ker(f3)=Im(f2) ; Ker(f4)=Im(f3)
Ker(g2)=Im(g1) ; Ker(g3)=Im(g2) ; Ker(g4)=Im(g3).
Montrer que :
h1,h2,h4,h5isomorphismes =⇒ h3isomorphisme.
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