Feuille d`exercices n°2 Applications linéaires

Feuille d’exercices n°2? − Applications linéaires
Lycée Chrestien de Troyes
MP1617
Feuille d’exercices n°2?
Applications linéaires
Version du 06-09-2016 à 05:32
Notation : Dans tout ce document, K désigne un corps (commutatif).
Exercice 1. (Quelques contre-exemples)
1. Donner un exemple d’un K-espace vectoriel E et d’un endomorphisme f de E , qui est non injectif,
surjectif.
2. Donner un exemple d’un K-espace vectoriel E et d’un endomorphisme f de E , qui est injectif, non
surjectif.
3. Donner un exemple d’un K-espace vectoriel E et d’un endomorphisme f de E dont le noyau et l’image
ne sont pas en somme directe.
Exercice 2. (Endormorphisme non nul de R3 annulé par X 3 + X )
Soit f un endomorphisme de R3 , non nul, tel que f 3 + f = 0.
1. Prouver que R3 = Ker( f ) ⊕ Im( f ).
¡
¢
2. Justifier que dim Ker( f ) = 1.
3. Prouver qu’il existe une base B de R3 telle que

0
MatB ( f ) =  0
0
0
0
1

0
−1  .
0
¡ ¢n
4. Soit n ∈ N∗ . Prouver qu’il existe un endomorphisme f n de R3 tel que f n = f .
Exercice 3. (Noyau, image d’un endomorphisme en somme directe et polynôme annulateur)
n
X
a k X k ∈ K[X ] tel que
Soit E un K-espace vectoriel, soit u ∈ L (E ). On suppose qu’il existe un polynôme P =
k=0
P (u) :=
n
X
a k .u k = 0L (E )
P 0 (0) 6= 0.
et
k=0
Démontrer que Ker(u) et Im(u) sont en somme directe.
Exercice 4. (Formes linéaires)
Soit E un K-espace vectoriel.
1. Soient ϕ et ψ deux formes linéaires sur E . Démontrer que ϕ et ψ sont colinéaires si et seulement si elles
ont même noyau.
2. Soit ϕ1 , . . . , ϕn et ψ des formes linéaires sur E . Démontrer
¡
¢
ψ ∈ Vect ϕ1 , . . . , ϕn
⇐⇒
n
\
¡ ¢
¡ ¢
Ker ϕk ⊂ Ker ψ .
k=1
Exercice 5. (Formes linéaires)
Soit E un K-espace vectoriel.
1. Soient ϕ et ψ deux formes linéaires sur E . Démontrer que ϕ et ψ sont colinéaires si et seulement si elles
ont même noyau.
2. Soit ϕ1 , . . . , ϕn et ψ des formes linéaires sur E . Démontrer
¡
¢
ψ ∈ Vect ϕ1 , . . . , ϕn
⇐⇒
n
\
k=1
1
¡ ¢
¡ ¢
Ker ϕk ⊂ Ker ψ .
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Exercice 6. (Lemme des cinq)
On considère le diagramme
f1
E1
h1
g1
F1
f2
/ E2
h2
/ F2
g2
/ E3
f3
h3
/ F3
f4
/ E4
g3
/ E5
h4
g4
/ F4
h5
/ F5
formé de K-espaces vectoriels et d’applications linéaires. On suppose que le diagramme est commutatif, i.e.
h2 ◦ f 1 = g 1 ◦ h1
;
h3 ◦ f 2 = g 2 ◦ h2
;
h4 ◦ f 3 = g 3 ◦ h3
;
h5 ◦ f 4 = g 4 ◦ h4
et que les deux lignes sont exactes, i.e.
Ker( f 2 ) = Im( f 1 )
;
Ker( f 3 ) = Im( f 2 )
;
Ker( f 4 ) = Im( f 3 )
Ker(g 2 ) = Im(g 1 )
;
Ker(g 3 ) = Im(g 2 )
;
Ker(g 4 ) = Im(g 3 ).
Montrer que :
h 1 , h 2 , h 4 , h 5 isomorphismes
2
=⇒
h 3 isomorphisme.