Les fonctions sinus et cosinus.

Chapitre 3
Les fonctions sinus et cosinus.
I Rappels des années précédentes.
1 Enroulement de la droite des réels sur le cercle trigonométrique.
On peut, comme sur l’animation, enrouler la droite des nombres réels sur le cercle trigonométrique.
⋆ Remarque On peut constater que, à chaque point du cercle trigonométrique, on peut associer plus d’un nombre
réel :
M
M
O
O
33
CHAPITRE 3. LES FONCTIONS SINUS ET COSINUS.
34
M
M
O
O
6 Pour chaque point M du cercle trigonométrique, combien y a-t-il de réels associés ?
································································································
6 De combien diffèrent deux réels successifs associés à un même point M du cercle trigonométrique ?
································································································
2 Le cosinus et le sinus d’un nombre réel.
Définition Soit x un réel, M le point du cercle trigonométrique qui correspond au réel x. Le cosinus un nombre
x est l’abscisse du point M , le sinus du nombre x est l’ordonnée du point M .
1.0
sinus =0.67
0.5
♠ Propriété On note que :
b
b
M
cosinus=0.74
I
b
−1.5
• −1 6 cos(x) 6 1 et −1 6 sin(x) 6 1 ;
2 2
• cos(x) + sin(x) = 1 à cause du théorème de Pythagore.
−1.0
b
0.5
−0.5
−0.5
−1.0
−1.5
3 Les cosinus et sinus des angles célèbres.
angle en radians
cosinus
sinus
π
6
π
4
π
3
π
2
π
0
−
3π
2
−
π
3
5π
6
b
1.0
I. RAPPELS DES ANNÉES PRÉCÉDENTES.
35
Exercice sur le livre : exercices n◦ 1 à n◦ 5 page 145. On peut s’aider des cercles trigonométriques ci dessous, du
rapporteur trigonométrique qui se trouve page 158 sur votre livre.
1
0
1
1
0
1
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
0
1
CHAPITRE 3. LES FONCTIONS SINUS ET COSINUS.
36
II Les fonctions cosinus et sinus.
1 Définitions et graphiques.
Définition
6 La fonction cosinus associe à tout nombre réel x le cosinus de x.
6 La fonction sinus associe à tout nombre réel x le sinus de x.
♠ Propriété
• Ces deux fonctions sont 2π périodiques, c’est à dire que, quel que soit le réel x :
cos(x + 2π) = cos(x) et sin(x + 2π) = sin(x).
• Quel que soit le nombre réel x, cos(−x) = cos(x) On dit que la fonction cosinus est paire (comme la fonction
carrée par exemple).
• Quel que soit le nombre réel x, sin(−x) = − sin(x) On dit que la fonction sinus est impaire (comme la fonction
inverse, ou la fonction cube, par exemple).
2 Le signe de cos(x), le signe de sin(x) sur [0; 2π].
x
cos(x)
π
2
0
+
0
3π
2
−
0
2π
+
x
0
sin(x)
0
2π
π
+
0
−
0
II. LES FONCTIONS COSINUS ET SINUS.
37
,
3 La dérivation.
♠ Propriété La fonction cosinus et dérivable sur R et
′
cos(x) = − sin(x) .
Par lecture graphique, sur le dessin, la courbe en pointillés est la courbe de la fonction dérivée de la fonction cosinus,
obtenue en utilisant le coefficient directeur de la tangente. On constate que c’est la fonction − sin.
♠ Propriété La fonction sinus et dérivable sur R et
′
sin(x) = cos(x) .
Par lecture graphique, sur le dessin, la courbe en pointillés est la courbe de la fonction dérivée de la fonction sinus, obtenue en utilisant le coefficient directeur de la tangente, se superpose avec la représentation graphique de la
fonction cosinus.
CHAPITRE 3. LES FONCTIONS SINUS ET COSINUS.
38
4 Les variations sur [0; 2π].
x
0
− sin(x)
0
2π
π
−
0
+
1
cos(x)
x
0
π
2
0
cos(x)
+
1
QQ
s
0
3π
2
−
0
2π
+
1
3
3
sin(x)
0
QQ
s
0
−1
3
−1
Exercices sur le livre :
• calculs de fonctions dérivées, exercice n◦ 9 à n◦ 12 page 145 ;
• avec une tangente, exercice n◦ 20 page 146 ;
• études de fonctions et Théorème de Valeurs Intermédiaires, exercice n◦ 24 page 147 et exercice n◦ 34 page 148.
⋆ Remarque
w On sait que la fonction sin est dérivable en zéro et que le nombre dérivé est cos(0) = 1.
w Si on applique la définition de la dérivation, on obtient :
lim
x→0
On peut conclure que
lim
x→0
sin(x) − sin(0)
= cos(0) = 1
x−0
sin(x)
=1
x
2
y=x
1
y = sin(x)
−1
−2
En pratique, cela veut dire que la tangente à la courbe représentative de la fonction sinus à l’origine du repère est la
droite d’équation y = x.