Les fonctions sinus et cosinus.

Chapitre 3
Les fonctions sinus et cosinus.
I Rappels des années précédentes.
1 Enroulement de la droite des réels sur le cercle trigonométrique.
On peut, comme sur l’animation, enrouler la droite des nombres réels sur le cercle trigonométrique.
⋆Remarque On peut constater que, à chaque point du cercle trigonométrique, on peut associer plus d’un nombre
réel :
O
M
O
M
33

34 CHAPITRE 3. LES FONCTIONS SINUS ET COSINUS.
O
M
O
M
6Pour chaque point Mdu cercle trigonométrique, combien y a-t-il de réels associés ?
································································································
6De combien diffèrent deux réels successifs associés à un même point Mdu cercle trigonométrique ?
································································································
2 Le cosinus et le sinus d’un nombre réel.
Définition Soit xun réel, Mle point du cercle trigono-
métrique qui correspond au réel x. Le cosinus un nombre
xest l’abscisse du point M, le sinus du nombre xest l’or-
donnée du point M.
♠Propriété On note que :
• −16cos(x)61et −16sin(x)61;
•cos(x)2 +sin(x)2 = 1 à cause du théo-
rème de Pythagore.
0.5
1.0
−0.5
−1.0
−1.5
0.5 1.0−0.5−1.0−1.5
sinus =0.67
cosinus=0.74
I
M
3 Les cosinus et sinus des angles célèbres.
angle en radians π
6
π
4
π
3
π
2π0−3π 2−π 3
5π
6
cosinus
sinus

I. RAPPELS DES ANNÉES PRÉCÉDENTES. 35
Exercice sur le livre : exercices n◦1 à n◦5 page 145. On peut s’aider des cercles trigonométriques ci dessous, du
rapporteur trigonométrique qui se trouve page 158 sur votre livre.
0 1
1
0 1
1
0 1
1
0 1
1
0 1
1
0 1
1

36 CHAPITRE 3. LES FONCTIONS SINUS ET COSINUS.
II Les fonctions cosinus et sinus.
1 Définitions et graphiques.
Définition
6La fonction cosinus associe à tout nombre réel xle cosinus de x.
6La fonction sinus associe à tout nombre réel xle sinus de x.
♠Propriété
•Ces deux fonctions sont 2πpériodiques, c’est à dire que, quel que soit le réel x:
cos(x+ 2π) = cos(x)et sin(x+ 2π) = sin(x).
•Quel que soit le nombre réel x,cos(−x) = cos(x)On dit que la fonction cosinus est paire (comme la fonction
carrée par exemple).
•Quel que soit le nombre réel x,sin(−x) = −sin(x)On dit que la fonction sinus est impaire (comme la fonction
inverse, ou la fonction cube, par exemple).
2 Le signe de cos(x), le signe de sin(x)sur [0; 2π].
x0π
2
3π
22π
cos(x) + 0 −0 +
x0π2π
sin(x) 0 + 0 −0

II. LES FONCTIONS COSINUS ET SINUS. 37
,
3 La dérivation.
♠Propriété La fonction cosinus et dérivable sur Ret cos(x)′ =−sin(x).
Par lecture graphique, sur le dessin, la courbe en pointillés est la courbe de la fonction dérivée de la fonction cosinus,
obtenue en utilisant le coefficient directeur de la tangente. On constate que c’est la fonction −sin.
♠Propriété La fonction sinus et dérivable sur Ret sin(x)′ = cos(x).
Par lecture graphique, sur le dessin, la courbe en pointillés est la courbe de la fonction dérivée de la fonction si-
nus, obtenue en utilisant le coefficient directeur de la tangente, se superpose avec la représentation graphique de la
fonction cosinus.