Correction - IMJ-PRG

Universit´e Paris-Diderot
M1 Math´ematiques fondamentales deuxi`eme semestre, 2014-2015
G´eom´etrie diff´erentielle Cours de Benjamin Texier
Fibr´e tangent, sous-vari´et´es et plongements
Feuille de TD 3 – correction partielle
5. Montrer qu’une sous-vari´et´e de Rnest localement un graphe au-dessus de son espace tangent.
Pr´ecis´ement: soit M⊂Rnune sous-vari´et´e de classe Cket de dimension m≤n. Montrer que
pour tout x∈M, on peut trouver un ouvert Ude Rncontenant x, un ouvert V0de 0dans TxM
tel que U∩Msoit le graphe de g:V0→E, de classe Ck,o`u Eest un suppl´ementaire de TxM
dans Rn.
Utiliser un param´etrage g, puis la projection πsur TxMparall`element `a E, puis montrer
que π◦gest un diff´eomorphisme. Le diff´eomorphisme r´eciproque fournit un param´etrage `a
partir de l’espace tangent. On passe ensuite au point de vue graphe comme dans le cours.
6. Soit p:M→Bune application Ckentre deux vari´et´es M, B de classe Ck.On dit que
(p, M, B) est un fibr´e vectoriel, ou souvent que pest un fibr´e vectoriel, quand
•pour tout b∈B, la fibre p−1({b}) est un espace vectoriel, et
•pour tout b∈B, il existe un ouvert Ude Bcontenant b, un espace vectoriel Fde dimension
finie, et un Ck-diff´eomorphisme ϕ:p−1(U)→U×Ftel que le diagramme suivant soit
commutatif:
p−1(U)−→
ϕU×F
U
@
@R
p
 π1
avec π1la projection sur la premi`ere composante U×F→U,
•et π2◦ϕ|p−1({y}):p−1({y})→Fest un isomorphisme lin´eaire de chaque fibre p−1({y})
avec y∈Uvers l’espace F, o`u π2:U×F→Fest la deuxi`eme projection.
a) Comparer cette d´efinition avec la d´efinition de revˆetement.
Dans un revˆetement la fibre n’est pas n´ecessairement un espace vectoriel. Dans tous les
exemples qu’on a vus, la fibre ´etait finie. Mais un revˆetement est localement trivialisable,
au sens suivant: avec les notations du cours, chacun des Uiest hom´eomorphe `a V. Donc
on a
ϕ:p−1(V)→V×F,
avec Fl’ensemble fini des indices itels que p−1(V) = SiUi,et ϕapplication qui `a x∈Ui
associe (p(x), i)∈V×F.
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b) Montrer que la projection p:T M →Md´efinit un fibr´e vectoriel, pour toute sous-vari´et´e
Mde Rn.
On prend un ouvert de carte en bas (dans M). Quel est le ϕqui marche en haut ?
On a p−1(U) form´e des (x, u) avec u∈TxM. La carte associ´ee dans T M est localement
(g, g0(x)).Donc un point localement dans p−1(U) est (g(x0), g0(x0)v).Le diff´eo trivial
ϕ= Id convient.
c) On dit qu’un fibr´e vectoriel est trivialisable quand on peut choisir U=B. Montrer
qu’un fibr´e est trivialisable si et seulement s’il existe nsections globales lin´eairement
ind´ependantes, de classe Ck,o`u nest la dimension de B.
On travaille avec des objets Ck, k ≥1.On suppose que p:E→Best trivialisable,
c’est-`a-dire qu’il existe φ:E→B×Rnun Ck-diff´eomorphisme tel que
–π2◦φest un isomorphisme sur chaque fibre Ex=p−1(x),o`u π2est la projection sur
la deuxi`eme composante π2:B×Rn→Rn,
–π1◦φ=p, o`u π1est la projection sur la premi`ere composante: π1:B×Rn→B.
Soit (ei) une base de Rn.V´erifions que x→φ−1(x, ei) est une famille de sections Ck
qui sont lin´eairement ind´ependantes en tout point x. Par propri´et´e de φ, on a bien p◦
φ−1(x, ei) = x, c’est-`a-dire que φ−1(x, ei)∈Expour tout x. Il suffit donc de v´erifier
l’ind´ependance: on se donne une famille de r´eels (αi) et on suppose que
X
1≤i≤n
αiφ−1(x, ei)=0Ex.
Alors, par lin´earit´e de π2◦φdans la fibre Ex,
π2◦φ
X
1≤i≤n
αiφ−1(x, ei)
=X
i
αiei=π2◦φ(0Ex).
Comme π2◦φest injective, π2◦φ(0Ex)=0Rn,et donc αi≡0.
R´eciproquement, soit (si) une famille de nsections Cket ind´ependantes en tout point.
Soit y∈E. Alors y∈Ep(y),et yse d´ecompose donc dans la base (si(p(y)) :
y=X
1≤i≤n
λi(y)si(p(y)).
On pose
φ:y∈E→p(y),(λi(y))1≤i≤n∈B×Rn.
Alors φest bijective, puique l’application r´eciproque est
φ−1: (x, (µi)) →X
i
µisi(x).
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Comme φ−1est Ck,il ne reste plus qu’`a v´erifier la r´egularit´e de φ, c’est-`a-dire la r´egularit´e
des applications y→λi(y).Cela prouvera que φest un Ckdiff´eomorphisme, et par ailleurs
le fait que π2◦φsoit un isomorphisme est clair (d´ecomposition d’un vecteur dans une
base).
Un point xdans la base ´etant donn´e, soit φUune trivialisation locale φU:p−1(U)→
U×Rn,o`u Uest un ouvert autour de xdans B. Soit y∈p−1(U).L’image de si(p(y))
par φUest (p(y), σij(p(y)).Soit Σ la matrice (σij (p(y)).C’est une matrice inversible, car
l’image de la famille libre si(p(y)) par π2◦φUest une famille libre. On a donc
π2◦φU(y) = π2◦φU X
i
λi(y)si(p(y))!=X
i,j
λi(y)σij(p(y)) = ΛtΣ
en notant Λ le vecteur ligne des λi(y).Finalement en notant Y=π2◦φU(y),il apparaˆıt
que Λ = Y(tΣ)−1,et donc y→Λ(y) est Ck,puisque y→Yest Ck, y →Σ(y) est Cket
l’inversion est C∞.
d) Montrer que le fibr´e tangent `a S1est trivialisable.
Une section globale partout non nulle est x∈S1→x⊥∈TxS1,en notant x⊥un vecteur
unitaire orthogonal `a x.
7. On dit que f:M→Nest une immersion en x0∈Mquand Tx0f:Tx0M→Tf(x0)Nest
une immersion. V´erifier que cela revient `a dire que flue dans les cartes est une immersion.
L’application Txf: ¯γ−→ f◦γest injective. On cherche `a prouver que ψ◦f◦ϕ−1est une
immersion. Soit donc v1et v2tels que (ψ◦f◦ϕ−1)0(ϕ(x))v1= (ψ◦f◦ϕ−1)0(ϕ(x))v2.Soit γ1
et γ2deux courbes trac´ees sur M, telles que γ1(0) = γ2(0) = x, et (ϕ◦γj)0(0) = vj.Calculons
f◦γ1: on a f◦γ1(0) = f(x),et
(ψ◦f◦γ1)0(0) = (ψ◦f◦ϕ−1)0(ϕ(x))(ϕ◦γ1)0(0) = (ψ◦f◦ϕ−1)0(ϕ(x))v1.
De mˆeme pour v2.Donc f◦γ1=f◦γ2,si bien que ¯γ1= ¯γ2,et donc v1=v2.
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8. Un plongement de P2(R)dans R6.
a) Soit f: (x, y, z)∈R3→(x2, y2, z2,√2yz, √2xz, √2xy)∈R6.Montrer que f(S2)est une
sous-vari´et´e de dimension 2 de R6.
Soit (x0, y0, z0)∈S2tel que x0>0.On a alors un param´etrage local g: (y, z)→
(p1−y2−z2, y, z) de S2au voisinage de (x0, y0, z0).Donc f(S2) admet pour param´etrage
local
G: (y, z)→1−y2−z2, y2, z2,21/2yz, 21/2zp1−y2−z2,21/2yp1−y2−z2
au voisinage de f(x0, y0, z0),c’est-`a-dire
G(y, z) = f◦g(y, z).
Il s’agit de v´erifier que Gest une immersion et un hom´eomorphisme local. La v´erification
du fait que Gest une immersion est un simple calcul.
L’application f:S2→f(S2) est localement injective: si f(x, y, z) = f(x0, y0, z0) avec
x > 0 et x0>0,alors si y=z= 0,on a x=x0,et sinon par exemple y6= 0,et alors en
comparant les premi`eres et derni`eres coordonn´ees x=x0et y=y0et donc z=z0.
Donc Gest localement injective. C’est donc localement un hom´eomorphisme sur son
image (application injective, donc bijective sur son image, continue, d´efinie sur un espace
localement compact – cf question e).
Remarquons que f(−x, −y, −z) = f(x, y, z),donc fn’est pas globalement injective.
b) Montrer que fse factorise en une application f:P2(R)→R6.
Il s’agit de v´erifier que f(−x, −y, z) = f(x, y, z),cf d´efinition de f.
c) Montrer que fest injective.
Soit f(x, y, z) = f(x0, y0, z0),pour deux points sur la sph`ere. Alors (x, y, z) = ±(x0, y0, z0).
d) Montrer que fest une immersion.
Il suffit de v´erifier que flue dans les cartes est une immersion, cf exercice 7 plus haut.
Ici f:P2→R6,et donc une carte en z∈P2a la forme ϕ◦(π|U)−1,o`u ϕest une carte
de S2et πle revˆetement S2→P2.On cherche `a v´erifier que f◦ϕ◦(π|U)−1−1est une
immersion. Cette application est
f◦π|U◦ϕ−1=f◦ϕ−1
qui est une immersion car fest une immersion en tout point de la sph`ere.
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e) Montrer qu’une immersion injective d’une vari´et´e compacte vers une vari´et´e est un plonge-
ment (c’est-`a-dire une immersion qui est un hom´eomorphisme sur son image).
Une application continue bijective d´efinie sur un compact est un hom´eo. En effet, l’image
continue d’un compact est compact, et un ferm´e d’un compact est compact. Donc
l’application est ferm´ee: l’image d’un ferm´e est l’image d’un compact donc ferm´ee. Donc
l’image r´eciproque d’un ferm´e par la r´eciproque est ferm´ee: la r´eciproque est continue.
9. Montrer que si f:M→Nest un plongement, alors T f :T M →T N est un plongement.
Il suffit de v´erifier les propri´et´es (immersion, hom´eomorphisme sur son image) pour T f lue
dans les cartes (cf exercice 7), c’est-`a-dire pour (avec les notations du cours)
f
T f =˜ ψ◦T f ◦˜ϕ−1=ψ◦f◦ϕ−1,(ψ◦f◦ϕ−1)0.
Soit donc (x, v) et (y, w) tels que f T f(x, v) = f T f(y, w).Par injectivit´e de la premi`ere composante
de f T f, on a donc x=y. Par injectivit´e de la deuxi`eme composante ´evalu´ee en x, on a alors
v=w. Donc f T f est une bijection sur son image. Elle est bicontinue (fest un hom´eomorphisme
qu’on suppose bien sˆur au moins C2).
La diff´erentielle f T f0(x, v) en un point (x, v) est l’application lin´eaire (w1, w2)∈Rm×Rm→
(w0
1, w0 2)∈Rm×Rm:
(w1, w2)−→ (w0
1, w0 2) = (ψ◦f◦ϕ−1)0(x) 0
(ψ◦f◦ϕ−1)00(x)(v, ·) (ψ◦f◦ϕ−1)0(x)w1 w2.
La matrice ci-dessus est de rang 2mcar (ψ◦f◦ϕ−1)0(x) est bijective.
10. Soit Mune sous-vari´et´e de Rn.On note ψ:M→TxMla projection orthogonale sur TxM.
Calculer Txψ.
Ici xest fix´e sur M. On utilise l’exercice 5: soit htel que Msoit localement le graphe
de hau-dessus (orthogonalement) de TxM. On a donc U={(x0, h(x0)), x0∈V0},avec Uun
voisinage de xdans M, et π(x0, h(x0)) = x0,avec πprojection orthogonale sur TxM, qui coincide
avec ψsur M. Soit γune courbe trac´ee sur M, telle que γ(0) = x, et γ0(0) = v∈TxM. On
cherche `a calculer (ψ◦γ)0(0).Comme γest trac´ee sur M, on a γ(t) = (γ0(t), h(γ0(t)),et donc
γ0(0) = x, et aussi (h◦γ0)0(0) = 0,puisque v∈TxM. Donc ψ◦γ0≡π◦γ0≡(γ0,0) ∈Rn
satisfait (π◦γ0)0(0) = (v, 0) = v(dans l’identification TxM⊕⊥F=TxM×F=Rn) si bien que
Txψ= Id.
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