Module 3 : Inversion de matrices

Math Stat 1 Module 3 : Inversion de matrices M3
L3_MS1_M3 1/5
Module 3 : Inversion de matrices
Unité 1. Définition
On ne définira l’inverse d’une matrice A que si A est carrée.
On appelle inverse de la matrice carrée A toute matrice B telle que AB=BA=I
(I matrice identité).
La matrice B est alors notée :
1
A
B
−
=
Remarque : une matrice et l’inverse de cette matrice ont nécessairement les mêmes dimensions (pour
que la condition de dimension soit satisfaite et qu’on puisse calculer les produits AB et BA).
Propriétés :
• Deux matrices
1
B et
2
B inverses de la même matrice A sont égales.
• Il suffit qu’une matrice B vérifie l’une des relations
I
AB
=
et
I
BA
=
pour qu’elle vérifie l’autre.
• Si deux matrices A et B sont inversibles, leur produit est inversible et l’inverse du produit est le produit
des inverses effectué dans l’ordre inverse.
(
)
11
1
ABAB
−−
−
⋅=
• L’inverse de la transposée d’une matrice A est égale à la transposé de l’inverse :
[
]
[
]
'
1
1
'
AA
−
−
=
• Déterminant de l’inverse d’une matrice :
A
1
A
1
=
−
Une matrice carrée n’admettant pas d’inverse est dite singulière. Une matrice carrée admettant une inverse
est dite inversible ou régulière.
2. Adjointe d’une matrice
Soit A une matrice carrée à n lignes et n colonnes.
On appelle matrice des cofacteurs la matrice A dans laquelle on remplace chaque élément par son
cofacteur. On la note
A
~
.
La matrice adjointe est la matrice des cofacteurs transposée. Elle a aussi n lignes et n colonnes.
On la note :
A
~
′
• Exemple 1 :
=
605 842 731
A
Matrice des cofacteurs :
264 152918 202824
A
~
42 31 82 71 84 73 05 31
65 71 60 73 05 42
65 82 60 84
A
~
−−
−−
−
=→
+−+
−+−
+−+
=→

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Transposée de la matrice des cofacteurs
−−
−
−−
=⇒
21520 62928 41824
'A
~
On peut vérifier que l’on peut calculer l’adjointe en prenant les cofacteurs de la matrice transposée :
Matrice A : =
605 842 731
A Transposée de A : =
′
→
687 043 521
A
Cofacteurs de la transposée de A :
+−+
−+−
+−+
=
′
→
43 21 03 51 04 52 87 21
67 51 68 52 87 43
67 03 68 04
A
~
−−
−
−−
=
′
21520 62928 41824
A
~
Ainsi, On peut procéder de la façon suivante : on transpose la matrice A, puis on remplace chaque élément
par son cofacteur. La matrice obtenue est dite matrice adjointe de la matrice A ; elle a aussi n lignes et n
colonnes.
• Exemple 2
=
433 232 321
A =
′
423 332 321
A
−−
−−
−
=
′
133 452 516
A
~
Remarque : l’égalité suivante est vérifiée :
n
IAA
~
A⋅=
′
⋅ (
n
I matrice identité).
Exemple :
Soit =
433 232 321
A
−−
−−
−
=
′
→
133 452 516
A
~
(Cf Exemple 2)
3
7
700 070 007
133 452 516 433 232 321
A
~
A
Ι⋅−=
−
−
−
=
−−
−−
−
=
′
⋅
( ) ( )
7946 963682612 33 32
3
43 22
2
43 23
A
−=−−=
−+−−−=
+−=

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3
AA
~
AΙ⋅=
′
⇒
3. Inversion d’une matrice régulière par la méthode de l’adjointe
Soit A une matrice carrée régulière.
Soit
A
~
′
sa matrice adjointe.
On sait que
n
AA
~
AΙ⋅=
′
0A ≠
Posons:
A
A
~
B
′
=
, alors
n
n
A
A
A'A
~
AAB Ι=
Ι
==
B est donc l’inverse de A et on note :
1
A
B
−
=
Donc
Adeantmindéter Adeeintadjo
A
A
~
A
1
=
′
=
−
Exemples :
• Exemple 1 :
=
341 431 321
A =
′
343 432 111
A
+−+
−+
−+−
=
′
121 101 167
A
~
2327 41 31
3
31 41
2
34 43
AAdet
−=++−=
+−==
−−
−
−
=
′
=
−
2
1
1
2
12
1
0
2
12
1
3
2
7
A
A
~
A
1
• Exemple 2 :
=
213 321 132
A
18)5()7(3)1(2AAdet =−+−−==
=
′
231 123 312
A
−
−
−
=
′
175 517 751
A
~

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−
−
−
=
−
175 517 751
18
1
A
1
Exemple concret de comptabilité analytique
Dans une entreprise, certains services travaillent directement pour la production, tandis que d’autres
travaillent au profit des autres services, sans contribuer eux-mêmes directement à la production. Il est
cependant utile de pouvoir analyser les coûts (directs et indirects) de production.
Soit une entreprise comportant deux départements de production A et B, et trois départements de services
intérieurs S1, S2 et S3. On connaît le coût direct de chaque département.
Département A B S1 S2 S3
Coût (milliers d’€) 2000 1500 400 300 600
On estime que l’activité des services intérieurs est faite au profit des différents départements selon la
répartition suivante :
Au profit de
%
d’activité de
A B S1 S2 S3 Total
S1 30 25 5 20 20 100
S2 40 20 10 15 15 100
S3 50 20 5 15 10 100
1°) Exprimer le coût total des départements de serv ices sous forme matricielle.
Le coût total des départements de services comporte leur coût direct et la fraction du coût des services
consommés, soit respectivement :
Pour S1 :
3211
x05,0x10,0x05,0400x
+
+
+
=
Pour S2 :
3212
x15,0x15,0x20,0300x
+
+
+
=
Pour S3 :
3213
x10,0x15,0x20,0600x
+
+
+
=
Soit matriciellement :
= = =
1,015,02,0 15,015,02,0 05,01,005,0
M
600
300
400
D
x
x
x
X
3
2
1
⇒ équation :
)1,3()3,3()1,3()1,3(
XMDX
+
=
2°) Résoudre l’équation
a) DX)MI(DMXX
=
−
⇔
=
−
⇔
D)MI(X
1−
−=⇔
ou

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b) DX)IM(DXMX
−
=
−
⇔
−
=
−
D)IM(X)IM()IM(
11 −−
−−=−−⇔
D)IM(X
1−
−−=⇔
(M-I) doit être inversible
Le calcul de
1
)IM(
−
− peut être fait une fois pour toutes tant que restent fixes les proportions que les
services consacrent aux différents départements, une simple multiplication matricielle permettant de
s’adapter aux variations de D.
−
−
−
=−
9,015,02,0 15,085,02,0 05,01,095,0
)IM(
−
−
−
=
′
−
9,015,005,0 15,085,01,0 2,02,095,0
)IM(
+
++
+
=
′
−
7875,01625,02,0 1525,0845,021,0 0575,00975,07425,0
)IM(
674375,0)2,0(05,0)21,0(1,0)7425,0(95,0 15,02,0 85,02,0
05,0
9,02,0 15,02,0
1,0
9,015,0 15,085,0
95,0IM)IMdet(
−=+−−−=
−
+
−
−
−
−
−=−=−
( )
−−−
−−−
−−−
=
−
′
−
=−
−
17,124,030,0 23,025,131,0 09,014,010,1
IM IM
)IM(
1
D)IM(X
1−
−−=
=
894
637
536
X
)1,3(
Ainsi, le coût total du Service S1 est de 536, celui du service S2 est de 637 et celui de S3 de 894