Classe de TSI2 - Exercices de mathématiques

Fonctions à valeurs dans Rmeuclidien
I Opérations algébriques 1
II Limite d’une fonction vectorielle 2
III Continuité d’une fonction vectorielle 2
III.A Continuité en un point .................................... 2
III.B Continuité sur un intervalle ................................. 3
III.C Composition .......................................... 3
IV Dérivée d’une fonction vectorielle 3
V Propriétés des fonctions de classe C14
VI Dérivées successives d’une fonction vectorielle 4
VI.A Fonctions de classe Ck.................................... 4
VI.B Quelques formules de Leibniz ................................ 5
VIIDérivées d’une fonction composée 6
VII.ADérivée première ....................................... 6
VII.BComposée de deux fonctions de classe Cn......................... 7
VIIIDéveloppements limités 8
VIII.AFonction vectorielle négligeable devant une fonction à valeurs réelles .......... 8
VIII.BDéveloppement limité en 0 à l’ordre n........................... 8
VIII.CFormule de Taylor-Young .................................. 9
IX Fonctions de classe C1par morceaux 9
IX.A Subdivision .......................................... 9
IX.B Fonctions continues par morceaux ............................. 9
IX.C Prolongement de la dérivée, pour une fonction à valeurs réelles ............. 10
IX.D Prolongement de classe C1, pour une fonction vectorielle ................. 11
IX.E Fonctions de classe C1par morceaux, à valeurs dans Rm................. 11
Soit Iun intervalle de R, non réduit à un point. On s’intéresse aux fonctions :
−→
f:I→Rm, t 7→ 
f1(t)
.
.
.
fm(t)
Les fonctions fi, à valeurs réelles, s’appellent les fonctions coordonnées de la fonction vectorielle −→ f.
I Opérations algébriques
On définit :
−→
f+−→ g:t7→ 
f1(t) + g1(t)
.
.
.
fm(t) + gm(t)
, λ−→
f:t7→ 
λf1(t)
.
.
.
λfm(t)
ce qui permet de parler du R-espace vectoriel F(I, Rm).
1

II Limite d’une fonction vectorielle
Définition 1.
Soient Iun intervalle de R,t0un point de I,−→ fune fonction de I−{t0}dans Rm, et −→ `un élément
de Rm:
lim
t→t0
−→
f(t) = −→ `⇐⇒
déf lim
t→t0k−→
f(t)−−→ `k= 0
Remarque 1. −→ fpeut éventuellement être définie en t0, mais sa valeur en t0n’a pas d’importance
pour sa limite.
Théorème 1.
−→
f(t)tend vers −→ `si et seulement si chaque fonction coordonnée de −→ ftend vers la coordonnée
correspondante de −→ `. En d’autres termes, on a :
lim
t→t0
−→
f(t) = −→ `⇐⇒ ∀k∈ {1, . . . , m},lim
t→t0
fk(t) = `k
Démonstration. Soit kcompris entre 1et m.Ona:
06
(1)
|fk(t)−`k|6
(2)
k−→ f(t)−−→ `k6
(3)
m
X
i=1
|fi(t)−`i|
(c’est facile à vérifier).
Supposons que k−→ f(t)−−→ `ktende vers 0. Alors, à cause des inégalités (1) et (2), |fk(t)−lk|tend vers 0, et cela quel
que soit kcompris entre 1et m.
Supposons inversement que pour chaque i,|fi(t)−`i|tende vers 0. Alors la somme finie
m
X
i=1
|fi(t)−`i|tend vers 0, et
l’encadrement donné par les inégalités (1) et (3) montre que k−→ f(t)−−→ `ktend vers 0.
Corollaire 1.
La limite d’une somme de fonctions est la somme des limites (pourvu que ces limites existent).
La limite de λ(t)−→ f(t)est égale au produit de la limite de λet de la limite de −→ f(pourvu que ces
limites existent).
Démonstration. A l’aide des fonctions coordonnées.
III Continuité d’une fonction vectorielle
III.A Continuité en un point
Définition 2.
Soient Iun intervalle, t0un point de I,−→ fune fonction de Idans Rm.−→ fest dite continue en t0si
lim
t→t0
−→
f(t) = −→ f(t0).
Remarque 2. Ici, −→ fest définie en t0, et sa limite en t0est égale à sa valeur en t0.
Théorème 2.
−→
fest continue en t0si et seulement si chaque fonction coordonnée de −→ fl’est.
Démonstration. C’est une conséquence du théorème équivalent pour les limites.
2

III.B Continuité sur un intervalle
Définition 3. −→ f, fonction de Idans Rm, est dite continue sur Isi elle est continue en tout point
de I.
Le recours aux fonctions coordonnées permet de démontrer (sans élégance mais sans difficulté !)
les résultats suivants :
– Si −→ fet −→ gsont continues sur I, et si λ, µ ∈R, alors λ−→ f+µ−→ gest continue sur I, ce qui permet
de parler de l’espace vectoriel C(I, Rm)des fonctions continues de Idans Rm.
– Plus généralement, si t7→ λ(t), est continue de Idans Ret si −→ f∈ C(I, Rm), alors t7→ λ(t)−→ f(t)
est continue sur I.
– Le produit de deux fonctions à valeurs complexes, continues sur I, est continu sur I.
– Si −→ f∈ C(I, Rm), alors la fonction t7→ k−→ f(t)kest continue sur I. Ce dernier résultat se montre
plus joliment à l’aide de la double inégalité 06
k−→
f(t)k−k−→ f(t0)k
6k−→
f(t)−−→ f(t0)k.
– Si −→ fet −→ gsont des fonctions continues de Idans Rm(euclidien), alors la fonction t7→
(−→ f(t)|−→ g(t)) est continue sur I. Cela peut s’établir avec les fonctions coordonnées, mais c’est
mieux en utilisant l’expression du produit scalaire à l’aide de la norme.
– Si −→ fet −→ gsont des fonctions continues de Idans R3(euclidien orienté), alors la fonction
t7→ −→ f(t)∧−→ g(t)est continue sur I.
Remarque 3. Tous ces résultats restent valables si on remplace "continuité sur I" par "continuité
en t0".
III.C Composition
Théorème 3.
Soient Iet Jdeux intervalles de R, non réduits à des points. Soient ϕune fonction continue de J
dans I, et −→ fune fonction continue de Idans Rm.
Jϕ −→ I
−→
f
−→ Rm
La fonction −→ f◦ϕ:t7→ −→ f(ϕ(t)) est continue sur J.
Remarque 4. C’est valable aussi pour la continuité en un point : si ϕest continue en t0et si −→ fest
continue en ϕ(t0), alors −→ f◦ϕest continue en t0.
Démonstration. Ce résultat a été vu en sup pour f◦ϕquand fest une fonction à valeurs réelles. Or les fonctions
coordonnées de −→ f◦ϕsont les fonctions fi◦ϕ, où les fisont les fonctions coordonnées de −→ f, continues. Les fi◦ϕsont
donc continues, et par suite −→ f◦ϕest continue.
IV Dérivée d’une fonction vectorielle
Définition 4.
Soient Iun intervalle, t0un point de I,−→ fune fonction de Idans Rm:
−→
fest dérivable en t0⇐⇒
déf
−→
f(t)−−→ f(t0)
t−t0
a une limite −→ aquand t→t0
3

Cette limite est alors notée −→ f0(t0). Il est immédiat que −→ fest dérivable en t0si et seulement si
chaque fonction coordonnée l’est, et que dans ces conditions on a :
−→
f0(t0) = 
f0
1(t0)
.
.
.
f0
m(t0)
Comme pour les fonctions à valeurs réelles, on peut parler de dérivée à droite ou à gauche. Par
exemple :
•−→ fest dérivable à droite en t0si et seulement si
−→
f(t)−
−→
f(t0)
t−t0a une limite −→
aquand t→t0, t > t0.
•Si −→ fest dérivable en tout point de I, et que la fonction −→ f0:t7→ −→ f0(t)est continue, on dit que
la fonction −→ fest de classe C1, et −→ f0s’appelle fonction dérivée de −→ fsur I. Il est clair qu’une
fonction vectorielle est de classe C1si et seulement si ses fonctions coordonnées le sont.
•Enfin, on sait que la dérivabilité des fonctions coordonnées entraîne leur continuité (c’est une
propriété connue des fonctions à valeurs réelles) ; il en est donc de même pour la fonction −→ f:
toute fonction vectorielle dérivable sur Iest continue sur I.
V Propriétés des fonctions de classe C1
Propriétés 1.
– Si −→ fet −→ gsont de classe C1sur I, et si λ∈R, alors −→ f+−→ get λ−→ fsont de classe C1sur I, et
on peut parler du R-espace vectoriel C1(I, Rm)des fonctions de classe C1de Idans Rm.
– Si −→ f∈ C1(I, Rm)et si t7→ λ(t)est une fonction de classe C1de Idans R, alors λ−→ fest de
classe C1sur I, et on a :
∀t∈I, λ−→ f0(t) = λ0(t)−→ f(t) + λ(t)−→ f0(t)
– Si f, g ∈ C1(I, C), alors fg ∈ C1(I, C), et f g0=f0g+f g0.
– Si Rmest muni de sa structure euclidienne canonique, et si t7→ −→ u(t)et t7→ −→ v(t)sont de classe
C1, alors t7→ (−→ u(t)|−→ v(t)) est de classe C1, et l’on a :
(−→ u|−→ v)0= (−→ u0|−→ v)+(−→ u|−→ v0)
– Si R3est euclidien orienté et si t7→ −→ u(t)et t7→ −→ v(t)sont de classe C1, alors t7→ −→ u(t)∧−→ v(t)
est de classe C1, et l’on a :
(−→ u∧−→ v)0=−→ u0∧−→ v+−→ u∧−→ v0
Démonstration. Toutes ces propriétés s’établissent sans problème à l’aide des fonctions coordonnées.
VI Dérivées successives d’une fonction vectorielle
VI.A Fonctions de classe Ck
Soit −→ f∈ C1(I, Rm).−→ f0est une fonction de Idans Rm, qui peut être dérivable, à dérivée continue.
Dans ce cas, la dérivée de −→ f0est notée −→ f00 , et −→ fest dite de classe C2sur I. Plus généralement :
Définition 5.
−→
fest dite de classe Cksur Isi les dérivées −→ f0,−→ f00 ,...,−→ f(k)existent et sont continues sur I.−→ fest
dite de classe C∞sur Isi pour tout k∈N,−→ f(k)existe (inutile de préciser que −→ f(k)est continue,
puisque l’existence de −→ f(k+1) le montre).
4

C0(I, Rm)désigne tout simplement l’ensemble des fonctions continues de Idans Rm.
Pour tout kentier naturel, et aussi pour k= +∞, on a sans problème l’équivalence :
−→
fest de classe Cksur I⇐⇒ Chacune des fonctions coordonnées de −→ f
est de classe Cksur I
Cela permet de constater que si −→ fet −→ gsont de classe Cksur Iet si λ, µ ∈R, alors λ−→ f+µ−→ gest de
classe Cksur I, ce qui prouve que Ck(I, Rm)est un espace vectoriel sur R.
Remarque 5. On verra dans le chapitre "courbes paramétrées" l’interprétation géométrique des
dérivées −→ f(p)(t0)qui nous permettront de définir vitesse, accélération, rayon de courbure etc. .
VI.B Quelques formules de Leibniz
Théorème 4.
Soit nun entier naturel.
– Soient f, g ∈ Cn(I, R)ou Cn(I, C).f g est de classe Cnsur I, et on a :
(fg)(n)=
n
X
k=0 n
kf(n−k)g(k)
– Soient λ∈ Cn(I, R)et −→ f∈ Cn(I, Rm).λ−→ fest de classe Cnsur I, et on a :
(λ−→ f)(n)=
n
X
k=0 n
kλ(n−k)−→
f(k)
– Soient −→ u , −→ vdes fonctions de classe Cnde Idans l’espace vectoriel euclidien Rm.−→ u
−→
vest
de classe Cnsur I, et on a :
−→
u
−→
v(n)=
n
X
k=0 n
k−→
u(n−k)
−→
v(k)
– Soient −→ u , −→ vdes fonctions de classe Cnde Idans l’espace vectoriel euclidien orienté R3.−→ u∧−→ v
est de classe Cnsur I, et on a :
−→
u∧−→ v(n)=
n
X
k=0 n
k−→
u(n−k)∧−→ v(k)
dans ces formules, n
kdésigne le coefficient binômial n! k!(n−k)! , aussi noté Ck
n
Démonstration. Les quatre démonstrations sont les mêmes, aux notations près. On va par exemple démontrer le
troisième résultat, qui concerne le produit scalaire.
On démontre par récurrence que pour tout pcompris entre 0et n,ona:
−→
u
−→
v(p)=
p
X
k=0 p
k−→
u(p−k)
−→
v(k)
Le résultat est évident pour p= 0, et a déjà été établi pour p= 1.
On fait l’hypothèse de récurrence que pour un certain pcompris entre 1et n−1,ona:
−→
u
−→
v(p)=
p
X
k=0 p
k−→
u(p−k)
−→
v(k)(1)
Toutes les fonctions vectorielles qui interviennent dans les produits scalaires du second membre sont de classe C1
au moins. On peut donc dériver :
−→
u
−→
v(p+1) =
p
X
k=0 p
kh−→
u(p+1−k)
−→
v(k)+−→ u(p−k)
−→
v(k+1)i(2)
−→
u
−→
v(p+1) =
p
X
k=0 p
k−→
u(p+1−k)
−→
v(k)+
p
X
k=0 p
k−→
u(p−k)
−→
v(k+1)(3)
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