MORPHISMES QUADRATIQUES ENTRE MODULES SUR UN

MORPHISMES QUADRATIQUES ENTRE MODULES SUR UN ANNEAU CARRÉ
HENRI GAUDIER AND MANFRED HARTL
Abstract. We introduce the notions of a commutative square ring R and of a quadratic map between
modules over R, called R-quadratic map. This notion generalizes various notions of quadratic maps
between algebraic objects in the literature. We construct a category of quadratic maps between Rmodules and show that it is a right-quadratic category and has an internal Hom-functor.
Along our way, we recall the notions of a general square ring R and of a module over R, and discuss
their elementary properties in some detail, adopting an operadic point of view. In particular, it turns out
that the associated graded object of a square ring R is a nilpotent operad of class 2, and the associated
graded object of an R-module is an algebra over this operad, in a functorial way. This generalizes the
well-known relation between groups and graded Lie algebras (in the case of nilpotency class 2). We also
generalize some elementary notions from group theory to modules over square rings.
Introduction
In this paper we generalize various notions of quadratic map between algebraic objects studied in the
literature: quadratic forms certainly are the most classical example, followed by the notion of quadratic
map between modules defined to be the sum of a linear and a homogenous quadratic map. The latter
notion does not cover the map Z → Z, n 7→ n2 , which, however, is a quadratic map in the sense of
Passi who first introduced polynomial maps from groups to abelian groups [11]. In [9] we introduce a
more general notion of quadratic map between modules which in the case of Z-modules is equivalent with
Passi’s notion specialized to abelian domains. On the other hand, quadratic maps between arbitrary
groups were studied in [10], [6] after they had arisen in the new field of “quadratic algebra”, namely the
theory of square rings and their modules, see [2] and numerous papers by Baues, Jibladze, Muro and
Pirashvili giving applications of these structures in homotopy theory, see for example [1], [3], [4], [5].
Square rings and their modules also constitute the framework of this paper; this allows to define a
notion of quadratic map which covers the one for modules over an ordinary ring in [9], as well as quadratic
maps between nilpotent groups of class 2 (which is the generic case of quadratic maps between groups,
see proposition 2.2.31 below); but it also provides a notion of quadratic map between nilpotent algebras
of class 2 over any operad, as the latter can be interpreted as modules over a suitable square ring, see
section 8 of [2]. We start by recalling the definition and elementary properties of square rings and their
modules, noting in addition that the associated graded group of a square ring R has the structure of
a nilpotent operad of class 2, and that the associated graded group of an R-module is an algebra over
this operad, in a functorial way. We need, however, to distinguish two notions of module over R, the
original one from [2], and a slightly more general one coming from the theory of modules over a square
ringoid, by specializing to the one-object case [8]. The latter notion is needed in the last section where we
construct a category of R-quadratic maps between R-modules, equipped with an internal Hom-functor,
thus generalizing the category CP of quadratic maps between pairs of groups in [6]. The construction of
this category indeed is the main objective of this paper: it allows us in forthcoming work to introduce
square algebras and their modules, as a new approach to the study of quadratic maps, even between
vector spaces.
To define R-quadratic maps, R has to be commutative, a property we introduce in section 2.1, and
which can be conveniently expressed in terms of the operad associated with R. Several equivalent characterizations of R-quadratic maps are given, as well as some canonical examples; as a striking fact, the
endomorphism of R given by r 7→ r2 is no longer R-quadratic in general, nor is the map r 7→ r2 − r,
which is the universal quadratic map annihilating 1 on an ordinary commutative ring. In fact, lack of a
canonical R-quadratic endomorphism, we were not able so far to determine the structure of the target of
Date: March 23, 2011.
2000 Mathematics Subject Classification. 13C99, 13N99, 15A78, 20F18.
Key words and phrases. quadratic map, square ring, modules over square rings, commutative square ring, operad.
1
2
H. GAUDIER AND M. HARTL
the universal R-quadratic map on an R-module, as we did in [9] for quadratic maps on a module over an
ordinary ring.
1. Anneaux carrés et leurs modules
1.1. Anneaux carrés.
H
Définition 1.1.1. [2] Un anneau carré R = ( Re
/ Ree
P
/ Re ) est donné par
– un presque-anneau (nearring) à droite Re (i.e. un objet qui satisfait tous les axiomes d’un anneau
sauf la commutativité de l’addition et la distributivité à gauche),
– un groupe abélien Ree ,
– une application quadriadditive(1) Re × Re × Ree × Re → Ree , (r, s, x, t) 7→ (r, s) · x · t munissant
Ree d’une action à gauche du monoı̈de multiplicatif Re × Re et d’une action à droite du monoı̈de
multiplicatif Re , compatibles entre elles,(2)
– un morphisme de groupes T : Ree → Ree tel que T 2 = Id
– une application H : Re → Ree et un morphisme de groupes P : Ree → Re vérifiant les propriétés
suivantes, où r, s, t ∈ Re et x, y ∈ Ree :
(AC0)
P HP = P + P,
(AC1)
P est binaturel, i.e. P ((r, r) · x · s) = rP (x)s,
(AC2)
T = HP − Id,
(AC3)
P T = P,
(AC4)
(P (x), r) · y = (r, P (x)) · y = 0 = y · P (x), (3)
(AC5)
H(r + s) = H(r) + H(s) + (s, r) · H(2), où 2 = 1R + 1R ,
(AC6)
H(rs) = (r, r) · H(s) + H(r) · s,
(AC7)
(r + s)t = rt + st + P ((r, s) · H(t)),
(AC8)
T ((r, s) · x · t) = (s, r) · T (x) · t.
op
Remarque 1.1.2. Rappelons [2] qu’alors R = Coker P est un anneau et que Ree est un R ⊗ R ⊗ R module. Grâce à la relation (AC8), on obtient ainsi une opérade nilpotente de classe ≤ 2, notée OP(R),
où OP(R)1 = R et OP(R)2 = Ree (rappelons qu’une opérade P est dite nilpotente de classe ≤ n si Pk = 0
pour k > n).
Remarquons également que H(1) = 0 (prendre r = s = 1 dans (AC6)), et que (AC2) ⇒ ( (AC0) ⇔
(AC3) ).
Des exemples d’anneaux carrés et de leurs modules (cf. le paragraphe suivant) seront donnés dans le
paragraphe 1.4.
1.2. Modules sur un anneau carré. Nous donnons, en parallèle, deux définitions pour la notion de
module sur un anneau carré. La première se trouve dans la littérature, par exemple dans [2], nous la
notons ici BHP-module. La seconde, inspirée de la notion analogue pour les groupes ([6]), s’impose
lorsque l’on veut que la somme et la composée d’applications quadratiques restent quadratiques. C’est
aussi celle qu’on obtient en spécialisant la notion de module sur un annélide carré ([7]). Nous la notons
ici CP-module.
1 Pour éviter toute ambiguité, une application qui respecte l’addition, sera dite additive (et non pas linéaire).
2 ou si l’on préfère d’une action à gauche du monoı̈de R × R × Rop .
e
3 la dernière relation ne figure pas dans [2].
e
e
MORPHISMES QUADRATIQUES ENTRE MODULES SUR UN ANNEAU CARRÉ
Définition 1.2.1. ([2] def 7.9) Soit R =
P
H /
/ Re ) un anneau carré. Un
( Re
Ree
R-BHP-module à droite est un groupe M (additif mais non nécessairement commutatif) muni
d’opérations
– M × Re → M ,
(m, r) 7→ m · r,
– M × M × Ree → M ,
(m, n, x) 7→ [m, n] · x
satisfaisant les relations suivantes, où r, s ∈ Re ,
x, y ∈ Ree , m, m0 , n ∈ M :
3
=
Définition
1.2.2. ([8])
Soit
R
P
H /
/ Re ) un anneau carré.
( Re
Ree
Un R-CP-module à droite est un couple (M, A)
formé d’un groupe M et un sous groupe A de M ,
muni d’opérations
– M × Re → M ,
(m, r) 7→ m · r,
– M × M × Ree → M ,
(m, n, x) 7→ [m, n] · x
satisfaisant les relations suivantes, où r, s ∈ Re ,
x, y ∈ Ree , m, m0 , n ∈ M :
(MC0) A est stable sous l’action de Re
(MC1) m · 1 = m,
(m · r) · s = m · (rs),
m · (r + s) = m · r + m · s,
(MC1) m · 1 = m,
(m · r) · s = m · (rs),
m · (r + s) = m · r + m · s,
(MC2) (m + n) · r = m · r + n · r + [m, n] · H(r),
(MC2) (m + n) · r = m · r + n · r + [m, n] · H(r),
(MC3) m · P (x) = [m, m] · x,
(MC3) m · P (x) = [m, m] · x,
(MC4) [m, n] · T (x) = [n, m] · x,
(MC4) [m, n] · T (x) = [n, m] · x,
(MC5) [m, n] · x est additif en m, n et x,
(MC5) [m, n] · x est additif en m, n et x,
(MC6) ([m · r, n · s] · x) · t = [m, n] · ((r, s) · x · t),
(MC6) ([m · r, n · s] · x) · t = [m, n] · ((r, s) · x · t),
0
(MC7a) [m, n] · x = 0 si m ∈ A,
(MC7) [[m, m ] · x, n] · y = 0.
(MC7b) [m, n] · x ∈ A.
Remarque 1.2.3. L’axiome (MC7) découle clairement des axiomes (MC7a) et (MC7b), par conséquent
tout R-CP-module est un R-BHP-module.
Remarque 1.2.4. La définition peut s’interpréter de la façon suivante. On se donne un groupe M
(dont on verra plus tard (1.2.6) par l’axiome (MC7) qu’il est nilpotent de classe ≤ 2) muni d’une famille
d’opérations unaires paramétrées par Re et d’une famille d’opérations binaires paramétrées par Ree (on
verra plus loin que quand R est commutatif les opérations unaires sont quadratiques, et les opérations
binaires sont bilinéaires). Les applications H et P relient ces deux familles d’opérations: l’axiome (MC2)
exprime que l’effet croisé de l’opération unaire associée à r ∈ Re est l’opération binaire associée à H(r),
et l’axiome (MC3) exprime que la composée de l’application diagonale de M et de l’opération binaire
associée à x ∈ Ree est l’opération unaire associée à P (x).
Exemples 1.2.5.
1) On vérifie aisément que le groupe Re muni des
actions
Re × Re → Re
Re × Re × Ree → Re
r · s = rs
[r, s] · x = P ((r, s) · x),
est un R-BHP-module.
2) Soit A un sous groupe de Re stable par la multiplication à droite par Re et tel que P (Ree ) ⊆
A ⊆ ZR (Re ) (a). On vérifie aisément que (Re , A)
muni des mêmes actions que ci-contre est un RCP-module.
a cette notation est définie en 1.2.17.
3) Soit M un R-module à droite, par restriction des scalaires on a une action à droite de Re sur
M . En prenant l’application nulle M × M × Ree → M , on obtient une structure de R-BHP-module
sur M . On vérifie aisément que pour tout sous-R-module à droite M 0 , le couple (M, M 0 ) est un R-CPmodule. En particulier, si R est un anneau carré, Ree est naturellement un R-BHP-module. Et pour
tout Re -sous-module B de Ree , (Ree , B) est un R-CP-module.
D’autres exemples seront donnés plus loin en 1.4.
Proposition 1.2.6. [8] Soient M un R-BHP-module, m, n ∈ M , r ∈ Re et x, y ∈ Ree :
(1) les éléments [m, n] · x sont dans le centre de M ,
(2) on a [m, n] · H(2) = [n, m],
(3) le groupe M est nilpotent de classe 2,
(4) (−m) · r = −(m · r) + [m, m] · H(r) = −(m · r) + m · P H(r),
(5) (m − n) · r = m · r − n · r − [m − n, n] · H(r),
(6) ([m, n] · x) · P (y) = 0, en particulier P (x)P (y) = 0.
4
H. GAUDIER AND M. HARTL
On peut interpréter la propriété 2), en disant que les opérations binaires associées aux éléments x de
Ree généralisent les commutateurs de M (pour l’addition) définis par [m, n] := m + n − m − n.
Preuve. Remarquons d’abord que l’axiome (MC2) donne
[m, n] · H(2) = −n − n − m − m + m + n + m + n = −n + [−n, −m] + n
Remplaçant m et n par leurs opposés on a grâce à (MC5)
(*)
[m, n] · H(2) = [−m, −n] · H(2) = n + [n, m] − n
L’axiome (MC7) avec y = H(2) et la relation (*) donnent alors
0 = [[m, m0 ] · x, n] · H(2) = n + [n, [m, m0 ] · x] − n,
d’où l’on déduit n = n + [n, [m, m0 ] · x], ce qui prouve (1).
Puisque [m, n] · H(2) est dans le centre, la propriété (2) découle immédiatement de (*). Puisque les
commutateurs sont centraux, la propriété (3) est vraie.
Pour la quatrième relation, on a :
0 = (m − m) · r = m · r + (−m) · r + [m, −m] · H(r) = m · r + (−m) · r − [m, m] · H(r),
ce qui montre la formule, en terminant avec (MC3).
Pour la cinquième relation, on développe m · r = ((m − n) + n) · r à l’aide de (MC2). Pour la sixème
relation on a d’après la dernière relation de (AC4)
([m, n] · x) · P (y) = [m, n] · (x · P (y)) = [m, n] · 0 = 0.
En prenant alors M = Re , et m = n = 1 on obtient la toute dernière égalité.
Appliquant ce résultat au R-module Re on a
Corollaire 1.2.7. L’image de P est contenue dans le centre (additif ) de Re . Pour r, s ∈ Re on a
[r, s] = P ((s, r) · H(2)). Le groupe additif de Re est nilpotent de classe 2 et P H(2) = 0. En outre
(−r)s = −(rs) + rP H(s) et (r − s)t) = rt − st − P ((r − s, s) · H(t)).
En particulier pour r = 1 on a s + (−1)s = P H(s).
Corollaire 1.2.8. L’application P H vérifie P H(rs) = rP H(s) + P H(r)s.
Preuve. D’après (AC6) et (MC3) on a P H(rs) = P (((r, r) · H(s)) + P (H(r) · s) = rP H(s) + P H(r)s.
Remarque 1.2.9. Si (M, A) est un R-CP-module, tout sous-groupe de M contenant A est normal,
d’après les relations 1.2.6(2) et (MC7b).
Définition 1.2.10. Un R-BHP-sous-module de
M est un sous-groupe N de M stable sous les actions de Re et de Ree . Il sera dit normal si en
outre [m, n] · x est dans N pour n ∈ N , m ∈ M et
x ∈ Ree .
Définition 1.2.11. Un R-CP-sous-module de
(M, A) est un R-CP-module (N, B) où N (resp.
B) est un sous-groupe de M (resp. A) stable sous
les actions de Re et de Ree . Il sera dit normal si
en outre B = N ∩ A et si [m, n] · x est dans N pour
n ∈ N , m ∈ M et x ∈ Ree .
Proposition 1.2.12. Soient M un R-BHPmodule et N un R-BHP-sous-module normal de
M . Le groupe sous-jacent à N est un sous-groupe
normal de M , et le quotient M/N est naturellement muni d’une structure de R-BHP-module.
Proposition 1.2.13. Soient M = (M, A) un
R-CP-module et N = (N, B) un R-CP-sousmodule normal de M . Le groupe sous-jacent à N
est un sous-groupe normal de M , et le quotient
(M/N, A/B) est naturellement muni d’une structure de R-CP-module.
Preuve. [Preuve de 1.2.12] Soient m ∈ M et n ∈ N , puisque [n, m] = [m, n] · H(2) ∈ N , N est un
sous-groupe normal de M . On vérifie que les actions de Re et de Ree sur M passent bien au quotient:
(m + n) · r = m · r + n · r + [m, n] · H(r)
où les deux derniers termes sont dans N .
[m + n, m0 ] · x = [m, m0 ] · x + [n, m0 ] · x,
où le dernier terme est dans N .
MORPHISMES QUADRATIQUES ENTRE MODULES SUR UN ANNEAU CARRÉ
5
Preuve. [Preuve de 1.2.13] Il reste à vérifier les axiomes (MC0), (MC7a) et (MC7b). Puisque B = N ∩ A,
il est stable sous l’action de Re , et on a A/B ' A + N/N et (M/N )/(A/B) ' M/(A + N ). Soient alors
m, m0 ∈ M et x ∈ Ree . Puisque [m, m0 ] · x ∈ A, sa classe modulo A + N est nulle, donc [m, m0 ] · x ∈ A/B
(où m est la classe de m modulo N ). Et si a ∈ A on a [m, a] · x = 0. Donc [m, a] · x = 0.
Proposition 1.2.14. Soit M un R-BHP-module, et soit (Ni )i∈I une famille de R-BHP-sous-modules de
N . L’intersection N = ∩i∈I Ni est un R-BHP-sous-module de M .
Définition 1.2.15. Soit M un R-BHP-module et soit E un sous ensemble de M . On appelle R-BHPsous-module engendré par E l’intersection des sous-modules de M qui contiennent E. C’est le plus petit
sous-module de M qui contienne E.
Proposition 1.2.16. Soit M un R-BHP-module et soit E un sous ensemble de M . Le R-BHP-sousmodule engendré par E est formé de l’ensemble des éléments de M de la forme
X
X
(1.2.1)
mi · ri +
[m0j , m00k ] · xj,k
où mi , m0j , m00k ∈ E, ri ∈ Re et xj,k ∈ Ree .
Définition 1.2.17. Soit M un R-BHP-module, un élément m ∈ M est dit R-central si [m, n] · x = 0
pour tous n ∈ M et x ∈ Ree .
On appelle R-centre de M l’ensemble ZR (M ) des m ∈ M qui sont R-centraux. On appelle module
R-dérivé de M le R-BHP-sous-module [M, M ]R de M , (ou [M ] s’il n’y a pas ambiguité) engendré par les
[m, n] · x pour m, n ∈ M et x ∈ Ree .
Proposition 1.2.18. 1) Le R-centre et le module R-dérivé sont des sous-R-BHP-modules normaux, et
on a les inclusions:
(1.2.2)
[M, M ] ⊆ [M, M ]R ⊆ ZR (M ) ⊆ Z(M ).
2) Le R-centre, le module R-dérivé, le quotient M/ZR (M ) et le R-abélianisé M R-ab = M = M/[M, M ]R
sont des R-modules. De même, si (M, A) est un R-CP-module, A et M = M/A sont des R-modules.
Preuve. La première assertion découle de (MC5) et (MC7). Les trois inclusions sont des conséquences
immédiates de la proposition 1.2.6. On notera en particulier que l’inclusion [M, M ]R ⊆ ZR (M ) équivaut
à la propriété (MC7).
La seconde vient de ce que Im P annule les quatre modules. en effet, d’après (MC3) m·P (x) = [m, m]·x
qui est dans le groupe R-dérivé pour m ∈ M , et est nul si m est dans le R-centre.
Corollaire 1.2.19. Si M est un R-BHP-module à droite, alors (M, A) est un R-CP-module à droite
pour tout sous-groupe A de M stable sous les actions de Re et tel que [M ] ⊆ A ⊆ ZR (M ). (Autrement
dit, A doit être un sous-R̄-module de ZR (M ) contenant [M ].)
Preuve. Les propriétés (MC7a) et (MC7b) équivalent respectivement à A ⊆ ZR (M ) et à [M, M ]R ⊆
A.
On notera que A est stable sous les actions de Ree puisque celles-ci sont triviales sur A.
En particulier, (Re , A) est un R-CP-module à droite pour tout sous-groupe A de Re stable sous les
actions de Re et tel que [Re ] ⊆ A ⊆ ZR (Re ).
Remarque 1.2.20. Si (M, A) est un R-CP-module, il en résulte que [M, M ] ⊆ A ⊆ Z(M ), par conséquent
le couple (M, A) est un objet de la catégorie CP définie en [6].
Proposition 1.2.21. Soit M un R-BHP-module.
Alors les groupes abéliens N∗ -gradués
Proposition 1.2.22. Soit M = (M, A) un R-CPmodule. Alors le groupe abélien N∗ -gradué
Grγ (M ) = (M R-ab , [M, M ]R , 0, . . .)
Gr(M, A) = (M/A, A, 0, . . .)
GrZ (M ) = (M/ZR (M ), ZR (M ), 0, . . .)
ont une structure naturelle d’algèbre graduée sur
l’opérade OP(R).
a une structure naturelle d’algèbre graduée sur
l’opérade OP(R).
6
H. GAUDIER AND M. HARTL
Preuve. (pour (M, A), les autres étant des cas particuliers) : M/A et A sont des R-modules d’après la
proposition 1.2.18. Vu la graduation et le fait que OP(R) est nilpotente de classe 2, la structure de
OP(R)-algèbre sur Gr(M, A) est entièrement déterminée par les applications
(M/A ⊕ A) ⊗ OP(R)1 → M/A ⊕ A,
(M/A) ⊗ (M/A) ⊗ OP(R)2 → A,
(m, a) ⊗ r 7→ (mr, ar)
m ⊗ m0 ⊗ x 7→ [m, m0 ] · x .
Les propositions précédentes généralisent le fait que les quotients de la suite centrale descendante d’un
groupe (nilpotent de classe 2 ici) forment une algèbre de Lie, cf. le paragraphe 1.4.3 plus loin.
1.3. Morphismes de modules sur un anneau carré. Soit M et N deux R-BHP-modules, une application f de M dans N sera dite additive (et non pas linéaire) si elle respecte l’addition, elle sera dite
Re -équivariante si elle respecte l’action de Re , et elle sera dite Ree -équivariante si elle respecte l’action
de Ree sur M et N , c’est à dire si
f ([m, m0 ] · x) = [f (m), f (m0 )] · x.
Elle sera dite Re -linéaire si elle est additive et Re -équivariante.
Définition 1.3.1. ([2]) Soient M et N deux R- Définition 1.3.2. ([8]) Soient (M, A) et (N, B)
BHP-modules, un BHP-morphisme ou application deux R-CP-modules un R-CP-morphisme de
R-BHP-linéaire est une application α : M → N (M, A) dans (N, B) est une application α : M →
qui est Re -linéaire et Ree -équivariante.
N qui est Re -linéaire et Ree -équivariante, et telle
que α(A) ⊆ B.
L’application α est donc un homomorphisme de groupe tel que α(m · r) = α(m) · r, et α([m, m0 ] · x) =
[α(m), α(m0 )] · x.
Il est clair qu’on obtient ainsi une catégorie, notée Il est clair qu’on obtient ainsi une catégorie, notée
BHP-ModR . Si N est un sous R-BHP-module nor- CP-ModR . Si (N, B) est un sous R-CP-module
mal de M on peut vérifier que N est le noyau dans normal de (M, A) on peut vérifier que (N, B) est
BHP-ModR du morphisme M → M/N .
le noyau dans CP-ModR du morphisme (M, A) →
(M/N, A/B).
Il est immédiat qu’à un R-BHP-morphisme M → N on associe canoniquement un R-CP-morphisme
(M, [M ]) → (N, [N ]), ou plus généralement (M, [M ]) → (N, B) où B est un sous-BHP-module tel que
[N ] ⊆ B ⊆ ZR N .
Exemple 1.3.3. Soit M un R-BHP module, pour tout m ∈ M l’application gm : Re → M , r 7→ m · r est
R-BHP-linéaire. En effet, elle est additive et Re équivariante par (MC1), et Ree -équivariante puisque,
d’après (MC3) et (MC6) on a:
m · ([r, s] · x) = m · P ((r, s) · x) = [m, m] · ((r, s) · x) = [m · r, m · s] · x.
En particulier, si M = Re les multiplications à gauche dans Re sont R-BHP-linéaires.
Proposition 1.3.4. Une application R-BHPlinéaire f : M → N entre R-BHP-modules induit
un morphisme de OP(R)-algèbres graduées
Proposition 1.3.5. Une application R-CPlinéaire f : (M, A) → (N, B) entre R-CP-modules
induit des morphismes de OP(R)-algèbres graduées
Grγ (f ) : Grγ (M ) → Grγ (N )
Gr(f ) : Gr(M, A) → Gr(N, B) ,
de façon évidente.
On obtient ainsi des foncteurs
de façon évidente.
Grγ : BHP-ModR → GrAlg2 (OP(R)) ,
Gr : CP-ModR → GrAlg2 (OP(R))
où GrAlg2 (OP(R)) désigne la catégorie des algèbres graduées nilpotentes de classe 2 sur l’opérade OP(R).
Ils généralisent le foncteur qui associe à un groupe nilpotent de classe 2 l’algèbre de Lie formée des
quotients de la suite centrale descendante, cf. le paragraphe 1.4.3 plus loin.
Définition 1.3.6. Un R-module est dit R-abélien, si l’application M × M × Ree → M est nulle.
Lemme 1.3.7. Soit M un R-module R-abélien. Alors
– le groupe additif de M est abélien,
– M est annulé par Im P ,
– l’action de Re sur M est distributive à gauche,
MORPHISMES QUADRATIQUES ENTRE MODULES SUR UN ANNEAU CARRÉ
7
et M est naturellement un R̄-module.
Preuve. Cela découle immédiatement de 1.2.6 (2) et des axiomes (MC3) et (MC2).
Corollaire 1.3.8. La sous catégorie pleine de
BHP-ModR formée des modules R-abéliens est
équivalente à la catégorie des R̄-modules.
Proposition 1.3.10. Soient M et N deux RBHP-modules, et supposons que N est R-abélien.
Toute application R-BHP-linéaire de M dans N se
factorise par M̄ = M/[M ]R . On obtient donc une
bijection naturelle
R̄-mod(M̄ , N ) → BHP-ModR (M, N ).
Corollaire 1.3.9. La sous-catégorie pleine de
CP-ModR formée des modules R-abéliens est
équivalente à la catégorie des couples de R̄modules.
Proposition 1.3.11. Soient (M, A) et (N, B)
deux R-CP-modules, et supposons que (N, B) est
R-abélien. Toute application R-CP-linéaire de
(M, A) dans (N, B) se factorise par (M̄ , Ā) =
(M/[M ]R , A/[M ]R . On obtient donc une bijection
naturelle
R̄-mod((M̄ , Ā), (N, B)) →
CP-ModR ((M, A), (N, B)).
Corollaire 1.3.12. Sous les mêmes hypothèses,
l’ensemble BHP-ModR (M, N ) est naturellement un
groupe abélien. Si en outre l’anneau R̄ est commutatif, c’est un R̄-module.
Corollaire 1.3.13. Sous les mêmes hypothèses,
l’ensemble CP-ModR ((M, A), (N, B)) est naturellement un groupe abélien.
Si en outre
l’anneau R̄ est commutatif, c’est un R̄-module. Exemple 1.3.14. Soit M un R-BHP-module et
m ∈ M . Il existe une unique application Rlinéaire Re → M qui envoie 1 sur m. En effet, si
une telle application ϕ existe, comme elle est Re équivariante, on a ϕ(r) = ϕ(1 · r) = ϕ(1) · r = m · r.
d’où l’unicité. On a vu 1.3.3 que r 7→ m · r est
R-BHP-linéaire. On en déduit alors que Re est le
R-BHP-module libre à un générateur.
Exemple 1.3.15. Soit (M, A) un R-CP-module
et m ∈ M . Il existe une unique application R-CPlinéaire (Re , P (Ree )) → (M, A) qui envoie 1 sur m.
On en déduit que (Re , P (Ree )) est le R-CP-module
libre à un générateur.
Définition 1.3.16. Soit E un ensemble, M un R-BHP-module, et f : E → M une application. On
appelle R-image de f , qu’on note ImR f le R-BHP-sous-module de M engendré par l’ensemble f (E) (cf.
1.2.15).
Lemme 1.3.17. Avec les notations ci-dessus, si Y est une partie de f (E) qui R-centralise tous les
éléments de f (E), alors le R-BHP-sous-module de M engendré par Y est R-central dans ImR f .
Preuve. Cela découle immédiatement de la proposition 1.2.16.
1.4. Exemples. Nous rappelons ici des exemples du paragraphe 8 de [2].
1.4.1. Modules sur un anneau commutatif classique. Soit R un anneau commutatif classique et R = (R →
0 → R) l’anneau carré associé. Un BHP-module M est simplement un R-module classique (les propriétés
(MC3) à (MC7) sont vides, et le groupe M est commutatif puisque H = 0).
H /
P
/ Ze ) avec Ze = Zee = Z, H(n) = n
1.4.2. Modules sur l’anneau Znil . On a Znil = ( Ze
Zee
2
et P = 0. Un Znil -BHP-module est un groupe nilpotent de classe 2. L’action de Ze est donnée par
m · r = m + . . . m (r fois); celle de Zee est déterminée par [m, m0 ] · 1 = [m0 , m].
1.4.3. Modules sur les anneaux carrés tels que P = 0. Soit R un anneau, prenons Re = R et soit Ree un
Re ⊗ Re ⊗ Reop -module tel que pour r, s, t ∈ Re
(1.4.1)
(r ⊗ s) · x · t = (s ⊗ r) · x · t.
Pour toute application H : Re → Ree vérifiant
H(r + s) = H(r) + H(s) + (s, r) · H(2)
H
on obtient un anneau carré Rnil
= ( Re
P = 0 est obtenu de cette façon.
H
/ Ree
et
P =0
H(r s) = (r ⊗ r) · H(s) + H(r) · s
/ Re ), où T = − Id. Et tout anneau carré tel que
8
H. GAUDIER AND M. HARTL
H
Un Rnil
-module M est alors un groupe muni d’une action à droite du monoı̈de Re , et d’opérations
indexées par Ree vérifiant les axiomes de la définition 1.2.1. Les axiomes (MC3) et (MC4) entraı̂nent que
ces opérations sont toutes alternées.
En particulier, si R est commutatif et si on prend pour Ree l’idéal I2 de R engendré par les éléments
r2 − r avec H(r) = r2 − r, on obtient l’anneau carré RNil = (R → I2 → R) [9].
P =0 /
H /
r
Lorsque R est un anneau 2-binomial, l’anneau carré Rnil = ( R
R
R ) avec H(r) := 2
est isomorphe à RNil . Les R-groupes nilpotents de classe ≤ 2 classiques ([13]) sont donc exactement
les RNil -modules. La notion de RNil -module pour un anneau commutatif quelconque généralise donc la
notion de R-groupe nilpotent de classe ≤ 2 pour un anneau 2-binomial.
Notons aussi que Op(Rnil ) est l’opérade Lie tronquée, et que pour un Rnil -BHP-module M (càd, un
R-groupe nilpotent de classe ≤ 2), la Op(Rnil )-algèbre Grγ (M ) est la R-algèbre de Lie graduée associée
à M classique.
1.4.4. Modules sur l’anneau carré ΛR . Soit R un anneau commutatif, soit
(1.4.2)
ΛR := ( R
0
/R
0
/R)
l’anneau carré où Re = R avec les mêmes addition et multiplication, Ree = R avec la même addition,
H = P = 0. Les actions de Re sur Ree sont données par : (r, s) · x · t := rsxt.
Soit maintenant M un ΛR -BHP-module. D’après 1.2.6 (2) le groupe additif de M est commutatif, et
d’après (MC2) M est un R-module (au sens classique). D’après (MC6) les crochets sur M sont déterminés
par le seul crochet [m, n] · 1 qui est bilinéaire en m et n d’après (MC5) et qui doit vérifier [m, m] · 1 = 0,
[n, m] · 1 = −[m, n] · 1 et [[m, m0 ] · 1, n] · 1] = 0. Il en résulte qu’un ΛR -BHP-module n’est rien d’autre
qu’une R-algèbre de Lie nilpotente de classe ≤ 2.
On vérifie de même qu’un ΛR -CP-module est un couple (M, A), où M est une R-algèbre de Lie
nilpotente de classe ≤ 2, et A un sous module de M contenant [M, M ] et tel que [A, M ] = 0.
N
1.4.5. Modules sur l’anneau carré R . Dans cet exemple et les deux qui vont suivre, soit R un anneau
commutatif, et soit Re le groupe R ⊕ R muni de la multiplication
(1.4.3)
(r, s)(r0 , s0 ) := (rr0 , r2 s0 + sr0 ).
On vérifie que Re satisfait tous les axiomes d’un anneau, sauf la distributivité à droite. On a en effet:
(r + r0 , s + s0 )(r00 , s”) = (rr00 + r0 r00 , (r + r0 )2 s00 + (s + s0 )r00 ),
(r, s)(r00 , s00 ) + (r0 , s0 )(r00 , s00 ) = (rr00 , r2 s00 + sr00 ) + (r0 r00 , r02 s00 + s0 r00 ),
= (rr00 + r0 r00 , r2 s00 + sr00 + r02 s00 + s0 r00 ).
Donc
((r, s) + (r0 , s0 ))(r00 , s00 ) = (r, s)(r00 , s00 ) + (r0 , s0 )(r00 , s00 ) + (0, 2rr0 s00 ).
On remarquera que l’inclusion canonique R → Re , r 7→ (r, 0) est compatible avec les deux opérations.
Définissons alors un anneau carré:
N
P /
H /
(1.4.4)
Re )
R⊕R
R := ( Re
où H(r, s) := (s, s), P (x, y) := (0, x + y) et où les actions de Re sur Ree sont données par
((r, s), (r0 , s0 )) · (x, y) · (r00 , s00 ) := (rr0 xr00 , rr0 yr00 ).
N
Le lecteur vérifiera alors que R satisfait les axiomes d’un anneau carré. Par exemple, pour (AC7) on a
P (((r, s), (r00 , s0 )) · H(r00 , s00 )) = P (((r, s), (r0 , s0 )) · (s00 , s00 ) = P ((rr0 s00 , rr0 s00 )) = (0, 2rr0 s00 ).
On a T (x, y) = HP (x, y) − (x, y) = H(0, x + y) − (x, y) = (x + y, x + y) − (x, y) = (y, x).
Soit maintenant M un ⊗R -BHP-module. Comme on a H(2) = H((2, 0)) = 0, la propriété 1.2.6 (2)
montre que le groupe additif de M est commutatif. En outre, M est naturellement un R-module via
l’inclusion de R dans Re .
D’après (MC5), (MC4), et (MC6) on a
[m, n] · (r, s) = [m, n] · (r, 0) + [m, n] · (0, s) = [m, n] · (r, 0) + [m, n] · T (s, 0) = [m, n] · (r, 0) + [n, m] · (s, 0)
= ([m, n] · (1, 0))r + ([n, m] · (1, 0))s.
MORPHISMES QUADRATIQUES ENTRE MODULES SUR UN ANNEAU CARRÉ
9
Les crochets sont donc entièrement déterminés par le seul crochet [m, n] · 1. Si on pose m ∗ n := [m, n] · 1,
le calcul précédent s’écrit:
[m, n] · (r, s) = (m ∗ n)r + (n ∗ m)s.
L’action de la seconde composante de Re sur M s’exprime aussi à l’aide de l’opération ∗ grâce à (MC3):
m · (0, s) = m · P (s, 0) = [m, m] · (s, 0) = (m ∗ m)s
N
Il en résulte que la donnée d’un
R -BHP-module M équivaut à la donnée d’un R-module M muni
d’une multiplication ∗ qui est R-bilinéaire et nilpotente de classe ≤ 2, puisque (MC7) avec x = y = 1
donne (m ∗ m0 ) ∗ n = 0 pour tous m, m0 et n. Autrement dit, M est une R-algèbre non nécessairement
commutative (sans unité) nilpotente
N de classe ≤ 2.
On vérifie de même qu’un
R -CP-module est un couple (M, A), où M est une R-algèbre non
nécessairement commutative (sans unité) nilpotente de classe ≤ 2, et A un idéal de M contenant M ∗ M
et tel que A ∗ M = M ∗ A = 0.
1.4.6. Modules sur l’anneau carré SR . A partir du même Re , définissons un autre anneau carré:
(1.4.5)
SR := ( Re
H
/R
P
/ Re )
où H(r, s) := 2s, P (x) := (0, x) et où les actions de Re sur Ree sont données par
((r, s), (r0 , s0 )) · x · (r00 , s00 ) := rr0 xr00 .
Le lecteur vérifiera alors que SR satisfait les axiomes d’un anneau carré. Par exemple, pour (AC7) on a
P (((r, s), (r0 , s0 )) · H(r00 , s00 )) = P (((r, s), (r0 , s0 )) · (2s00 )) = P ((2rr0 s00 )) = (0, 2rr0 s”).
On a T (x) = HP (x) − x = H(0, x) − x = 2x − x = x.
Soit maintenant M un SR -BHP-module. Comme on a H(2) = H((2, 0)) = 0, la propriété 1.2.6 (2)
montre que le groupe additif de M est commutatif. En outre, M est naturellement un R-module via
l’inclusion de R dans Re .
D’après (MC6) on a
[m, n] · x = [m, n] · (1 · (x, 0)) = ([m, n] · 1)(x, 0) = ([m, n] · 1)x.
Les crochets sont donc entièrement déterminés par le seul crochet [m, n] · 1. Définissons alors une multiplication sur M par m ∗ n := [m, n] · 1.
L’action de la seconde composante de Re sur M s’exprime aussi à l’aide de l’opération ∗ grâce à (MC3):
m · (0, s) = m · P (s) = [m, m] · s = (m ∗ m)s
En outre, d’après (MC4) on a [m, n] · T (1) = [n, m] · 1. Et comme T = Id on en déduit que la
multiplication * est commutative.
Il en résulte que la donnée d’un SR -BHP-module M équivaut à la donnée d’un R-module M muni
d’une multiplication commutative ∗ qui est R-bilinéaire et nilpotente de classe ≤ 2, puisque (MC7) avec
x = y = 1 donne (m∗m0 )∗n = 0 pour tous m, m0 et n. Autrement dit, M est une R-algèbre commutative
(sans unité) nilpotente de classe ≤ 2.
On vérifie de même qu’un SR -CP-module est un couple (M, A), où M est une R-algèbre commutative
nilpotente de classe ≤ 2, et A un idéal de M contenant M ∗ M et tel que A ∗ M = 0.
1.4.7. Modules sur l’anneau carré ΓR . Toujours à partir du même Re définissons un troisième anneau
carré:
(1.4.6)
ΓR := ( Re
H
/R
P
/ Re )
où H(r, s) := s, P (x) := (0, 2x) et où les actions de Re sur Ree sont données par
((r, s), (r0 , s0 )) · x · (r00 , s00 ) := rr0 xr00 .
Le lecteur vérifiera alors que ΓR satisfait les axiomes d’un anneau carré. Par exemple, pour (AC7) on a
P (((r, s), (r0 , s0 )) · H(r00 , s00 )) = P (((r, s), (r0 , s0 )) · (s00 )) = P ((rr0 s00 )) = (0, 2rr0 s00 ).
On a T (x) = HP (x) − x = H(0, 2x) − x = 2x − x = x.
Soit maintenant M un ΓR -BHP-module. Comme on a H(2) = H((2, 0)) = 0, la propriété 1.2.6 (2)
montre que le groupe additif de M est commutatif. En outre, M est naturellement un R-module via
10
H. GAUDIER AND M. HARTL
l’inclusion de R dans Re . Définissons alors une application γ : M → M par γ(m) := m · (0, 1). D’après
(MC2) on a
[m, n] · 1 = [m, n] · H(0, 1) = (m + n) · (0, 1) − m · (0, 1) − n · (0, 1) = γ(m + n) − γ(m) − γ(n).
Il en résulte que la multiplication m ∗ n := [m, n] · (0, 1) est commutative et R-bilinéaire, et que m ∗ m =
2γ(m). On a aussi
γ(mr) = γ(m · (r, 0)) = m · (r, 0) · (0, 1) = m · (0, r2 ) = m · (0, 1) · (r2 , 0) = γ(m) · (r2 , 0) = γ(m)r2 .
Il en résulte que la donnée d’un ΓR -BHP-module M équivaut à la donnée d’une R-algèbre à puissance
divisée (sans unité) nilpotente de classe ≤ 2.
1.4.8. Anneaux carrés associés à la suspension des pseudo-plans projectifs. Dans l’exemple précédent,
soit I2 l’idéal de R engendré par les éléments r2 − r et soit ε ∈ Ann(I2 ). Déformons l’addition de Re en
posant
(r, s) + (r0 , s0 ) := (r + r0 , s + s0 + ε r r0 )
Avec la même multiplication dans Re , le même Ree , les mêmes actions de Re sur Ree et les mêmes
applications H et P que pour l’anneau carré ΓR , on obtient un nouvel anneau carré ΓεR , qui généralise
l’exemple précédent puisque Γ0R = ΓR .
Lorsque l’on prend R = Z/nZ et ε = n2 l’anneau carré obtenu est l’anneau carré des endomorphismes
de ΣPn .
2. Anneaux carrés commutatifs et applications R-quadratiques
Dans ce paragraphe nous introduisons et étudions les applications quadratiques entre modules sur
un anneau carré. On rappelle que, pour pouvoir définir des applications quadratiques entre modules
sur un anneau ordinaire R, celui-ci doit être commutatif, car le défaut d’additivité d’une application
R-quadratique doit être R-bilinéaire, notion qui n’a pas beaucoup de sens autrement. Pour une raison
analogue, nous sommes donc amenés à introduire une notion d’aneau carré commutatif.
Pour tout anneau carré R, notons [[r, s]] = rs−sr le commutateur pour la multiplication de r et s ∈ Re ,
et [[Re , Re ] le R-sous-module de Re engendré par les commutateurs multiplicatifs.
Lemme 2.0.1. Soient R un anneau carré, M , M 0 et N trois R-modules et f : M × M 0 → N une
application Re -biéquivariante. L’image de f est annulée par [ Re , Re ] , et on a f (m, m0 ) = 0 si m ∈
M [ Re , Re ] ou m0 ∈ M 0 [ Re , Re ] .
Preuve. Selon l’ordre dans lequel on exprime la biéquivariance on a
f (m · r, m0 · s) = f (m, m0 · s) · r = f (m, m0 ) · r · s
f (m · r, m0 · s) = f (m · r, m0 ) · s = f (m, m0 ) · s · r
Et en formant la différence, on obtient
0 = f (m, m0 ) · (rs − sr) = f (m, m0 · (rs − sr)) = f (m · (rs − sr), m0 )
2.1. Anneaux carrés commutatifs.
Définition 2.1.1. Un anneau carré R est dit commutatif si
(1) pour r, s, t, u ∈ Re on a
(2.1.1)
[ r, s]][ t, u]] = 0
t[[r, s]] = [ r, s]]t2 ,
(2) les trois actions de Re sur Ree coı̈ncident, c’est à dire (r, 1) · x = (1, r) · x = x · r.
La condition t[[r, s]] = [ r, s]]t2 est équivalente à [ t, [ r, s]]] = [ r, s]](t2 − t).
(???) Remarquons que la propriété de commutativité s’exprime en termes de l’opérade associée : R
est commutatif si et seulement si l’anneau OP(R)1 est commutatif et OP(R) est une opérade de OP(R)1 modules. (???)
Lemme 2.1.2. Si R est commutatif, on a x · [ r, s]] = 0 pour r, s ∈ Re et x ∈ Ree . En outre le groupe
additif de Re est commutatif et P H est une application additive.
(???)
MORPHISMES QUADRATIQUES ENTRE MODULES SUR UN ANNEAU CARRÉ
11
Preuve. La première relation est une conséquence immédiate de la définition puisque x · rs = (r, s) · x =
x · sr. Pour la seconde propriété, soient r et s dans Re , on a d’après 1.2.7
[r, s] = P ((s, r) · H(2)) = P ((1, 1) · H(2)) rs = P H(2) rs = 0.
On en déduit P H(r + s) = P H(r) + P H(s) + P ((s, r) · H(2)) = P H(r) + P H(s).
Lemme 2.1.3. Soit M un module sur l’anneau carré commutatif R. Pour m, n ∈ M , r, s, t ∈ Re et
x ∈ Ree , on a [m · r, n · s] · (x · t) = ([m, n] · x) · rst, et dans le produit rst on peut changer l’ordre des
facteurs.
Preuve. Cela découle de (MC6).
Corollaire 2.1.4. Soit R un anneau carré commutatif, le Re -sous-module à droite de Re engendré par
Im P et par les commutateurs multiplicatifs est un idéal bilatère de carré nul qu’on notera Im P . On notera
¯ le quotient R /Im P ; c’est le plus grand quotient commutatif de l’anneau R̄. Alors Im P ⊂ Z (R ) et
R̄
R
e
e
pour tous t ∈ Re et r ∈ Im P on a tr = rt2 .
Preuve. En utilisant (AC1), la définition 2.1.1 et à nouveau (AC1)on a:
rP (x) = P ((r, r) · x) = P (x · r2 ) = P (x)r2 ,
ce qui montre la dernière assertion et que Im P est un idéal bilatère. Il est de carré nul d’après 2.1.1
et 1.2.6 (6). Pour tous r, s, t ∈ Re on a [[[r, s]], t] · x = 0 d’après 2.0.1. Les autres assertions sont
immédiates.
Lemme 2.1.5. Soit R un anneau carré pour r et s ∈ Re , on a [ 2, r]] = P H(r) et si R est commutatif,
[ r, s]]2 ∈ Im P .
Preuve. D’après (AC7) on a 2r = (1 + 1)r = r + r + P H(r) = r2 + P H(r) ce qui montre la première
propriété.
Remarquons d’abord que pour tous r, s, t on a d’après la définition 2.1.1:
[ r, [ s, t]]] = r[[s, t]] − [ s, t]]r = [ s, t]]r2 − [ s, t]]r = [ s, t]](r2 − r)
Dans l’anneau R écrivons l’identité de Jacobi pour 2, r et s:
0 = [ 2, [ r, s]]] + [ r, [ s, 2]]] + [ s, [ 2, r]]]
= [ r, s]](4 − 2) + [ s, 2]](r2 − r) + [ 2, r]](s2 − s)
= [ r, s]]2
puisque d’après ce qui précède [ s, 2]] et [ 2, r]] sont dans Im P .
2.1.6. Si M est un R-module, on notera [M ] le sous-module de M engendré par [M ] et M · [ Re , Re ] ; et
on notera M le le quotient de M par [M ].
H
2.1.7. Exemples. Les anneaux N
carrés des exemples 1.4.1, Znil (1.4.2), Rnil
si R est commutatif et si (r, 1) ·
ε
x = x · r (1.4.3), ΛR (1.4.4),
(1.4.5),
S
(1.4.6),
Γ
(1.4.7)
et
Γ
R
R
R (1.4.8)sont des anneaux carrés
R
commutatifs.
2.2. Applications quadratiques entre R-modules. Dans toute la suite, on supposera que R est un
anneau carré commutatif.
Définition 2.2.1. Soient R un anneau carré commutatif, M et N deux R-modules et f : M → N une
application. On appelle défaut additif de f l’application
df : M × M → N
(2.2.1)
(m, m0 ) 7→ df (m, m0 ) := f (m + m0 ) − f (m0 ) − f (m).
On appelle défauts scalaires de f les applications
f(r) : M → N
(2.2.2)
m 7→ f(r) (m) := f (m · r) − f (m) · r,
pour r ∈ Re . On appelle défauts des commutateurs de f les applications
(2.2.3)
f[x] : M × M → N
pour x ∈ Ree .
(m, m0 ) 7→ f[x] (m, m0 ) := f ([m, m0 ] · x) − [f (m), f (m0 )] · x,
autre notation
possible [[M ]]
12
H. GAUDIER AND M. HARTL
Définition 2.2.2. Soit R un anneau carré commutatif et soient M et N deux R-BHP-modules, une
application f : M → N est R-BHP-quadratique si
elle satisfait:
(1) les images des défauts : ImR df , ImR f(r) et
ImR f[x] sont R-centrales dans ImR f , pour
r ∈ Re et x ∈ Ree .
(2) le défaut additif df et les défauts des commutateurs f[x] sont R-bilinéaires,
(3) les défauts scalaires f(r) sont homogènes de
degré 2 (a), i.e. f(r) (m · s) = f(r) (m) · s2 ,
pour m ∈ M , r, s ∈ Re .
a Nous n’utilisons pas ici l’appellation ”quadratique ho-
Définition 2.2.3. Soit R un anneau carré commutatif et soient (M, A) et (N, B) deux R-CPmodules, on appelle application R-CP-quadratique
de (M, A) dans (N, B) une application f : M → N
qui satisfait :
(1) l’image f (A) et celles des défauts : ImR df ,
ImR f(r) et ImR f[x] sont contenues dans B,
pour r ∈ Re et x ∈ Ree ,
(2) le défaut additif df et les défauts des commutateurs f[x] sont R-bilinéaires,
(3) les défauts scalaires f(r) sont homogènes
de degré 2, i.e. f(r) (m · s) = f(r) (m) · s2 ,
(4) tous les défauts s’annulent sur A, c.à.d.
df (M, A) = df (A, M ) = 0
mogène” car pour le moment rien ne dit que f(r) est Rquadratique. On verra plus loin 2.2.20 que si f est R-BHPquadratique, les f(r) le sont aussi.
f(r) (A) = 0
f[x] (M, A) = f[x] (A, M ) = 0.
pour m ∈ M , r, s ∈ Re et x ∈ Ree .
Puisque f (A) ⊂ B, que df est biadditif et
que df (M, A) = df (A, M ) = 0, l’application
f : (M, A) → (N, B) est une “quadratic pair map”
au sens de [6].
Remarquons qu’une application R-BHP-quadratique ou R-CP-quadratique annule 0 car df (0, 0) = 0.
Exemple 2.2.4. On a vu (1.2.5) que Re et Ree
sont des R-BHP-modules quadratiques. L’application H : Re → Ree est R-BHP-quadratique.
On vérifie en effet que dH (r, s) = (s, r) · H(2),
H[x] (r, s) = HP ((r, s) · x), H(r) (s) = (s, s) · H(r).
Exemple 2.2.5. Soit A un sous-groupe de Re
stable par multiplication à droite par Re et tel
que P (Ree ) ⊆ A ⊆ ZR (Re ), et soit B un sousR-module de Ree . On a vu (1.2.5) que (Re , A)
et (Ree , B) sont des R-CP-modules quadratiques.
Alors si H(A) ⊆ B l’application H : (Re , A) →
(Ree , B) est R-CP-quadratique.
Lemme 2.2.6. Soit M un R-BHP-module, on a l’inclusion M · [ Re , Re ] ⊂ ZR (M ), et par conséquent
[M ] ⊂ ZR (M ).
Preuve. On a [m[[r, s]], n] · x = [m, n] · (x · [ r, s]]) qui est nul car x · [ r, s]] l’est.
Exemple 2.2.7. Soit M un R-BHP-module. Pour tout t ∈ Re la multiplication à droite µt : M → M ,
µt (m) = m · t est une application R-BHP quadratique. En effet, on a dµt (m, n) = [m, n] · H(t) qui
est bien R-bilinéaire et d’image R-centrale. D’autre part (µt )(r) (m) = m · (rt − tr) est bien R-centrale
d’après le lemme 2.2.6 et on a (µt )(r) (m · s) = m · s · [ r, t]] = m · [ r, t]] · s2 = (µt )(r) (m) · s2 . Enfin on a
(µt )[x] (m, n) = [m, n] · (x · (t − t2 )) qui est R-bilinéaire et d’image R-centrale.
En particulier, si M = Re , les multiplications à droite dans Re sont des applications R-BHP-quadratiques.
La proposition suivante est une conséquence immédiate de la définition 2.2.3.
Proposition 2.2.8. (????) Soit f : (M, A) → (N, B) une application R-CP-quadratique. Elle induit des
morphismes de R-modules
f = Gr1 (f ) : M/A → N/B
et
f2 = Gr2 (f ) : A → B
tels que f (m) = f (m) et f2 (a) = f (a), pour m ∈ M et a ∈ A.
Proposition 2.2.9. Soient M et N deux R-BHP-modules, et ϕ : M × M → ZR (N ) une application
R-bilinéaire. Alors ϕ s’annule sur M × [M ] et [M ] × M . Elle définit donc une application R-linéaire
ϕ : M ⊗R M → ZR (N ). L’ensemble R-Bil(M × M, ZR (N )) des applications R-bilinéaires de M dans le
R-centre de N est un R-module.
(???)
MORPHISMES QUADRATIQUES ENTRE MODULES SUR UN ANNEAU CARRÉ
13
Preuve. Soient m, m0 , m00 ∈ M et x ∈ Ree . Puisque ϕ est R-bilinéaire, on a ϕ([m, m0 ] · x, m00 ) =
[ϕ(m, m00 ), ϕ(m0 , m00 )] · x = 0 puisque l’image de ϕ est dans le R-centre de N . D’autre part on a
ϕ(m·[[r, s]], n) = 0 d’après le lemme 2.0.1, donc l’application injective R-Bil(M ×M , ZR (N )) → R-Bil(M ×
M, ZR (N )) induite par la surjection M → M est bijective. La preuve se termine grâce à la bijection
naturelle entre R-Bil(M × M , ZR (N )) et R-mod(M ⊗R M , ZR (N )).
Remarque 2.2.10. Soit f : M → N une application R-BHP-quadratique. Les applications df et f[x]
sont R-bilinéaires et R-centrales dans l’image. D’après 1.3.10 elles s’annulent si l’un de leurs arguments
est dans [M ], et d’après 2.0.1 elles s’annulent si l’un de leurs arguments est dans M · [ Re , Re ] autrement
dit df (M, [M ]) = df ([M ], M ) = 0 et f[x] (M, [M ]) = f[x] ([M ], M ) = 0.
Exemple 2.2.11. Le commutateur pour la multiplication Re × Re → Re , (r, s) 7→ rs − sr est une
application bi-R-BHP-quadratique. Montrons-le pour la première variable: fixons s, alors cs (r) := rs −
sr = µs (r) − gs (r). D’aprs le lemme 2.2.6 l’image de cs est R-centrale donc tous les défauts de cs sont
R-centraux dans l’image de cs . Comme le groupe additif de Re est commutatif, dcs = dµs − dgs = dµs
puisque gs est R-BP-linéaire. Donc dcs est R-bilinéaire. De même, on a
(cs )[x] (r, r0 ) = cs ([r, r0 ] · x) − [cs (r), cs (r0 )] · x = (µs )[x] (r, r0 ),
puisque gs est R-BHP-linéaire et en utilisant 2.1.3. D’après la proposition précédente, cs est R-bilinéaire.
Enfin on a
(cs )(t) (r) = cs (rt) − cs (r)t = µs (rt) − gs (rt) − (µs (r)t + (−gs (r))t + [µs (r), −gs (r)] · H(t))
= (µs )(t) (r) − (gs )(t) (r) + [cs (r), gs (r)] · H(t) = (µs )(t) (r),
puisque gs est R-linéaire. Donc (cs )(t) est quadratique homogène.
Explicitons maintenant les différentes conditions de la définition d’une application BHP-quadratique:
Lemme 2.2.12. Soit f : M → N .
(1) le défaut additif df est R-central dans ImR f si et seulement si
(2.2.4)
[f (m + m0 ), f (n)] · x = [f (m), f (n)] · x + [f (m0 ), f (n)] · x.
(2) le défaut scalaire f(r) est R-central dans ImR f si et seulement si
(2.2.5)
[f (m · r), f (n)] · x = ([f (m), f (n)] · x) · r.
(3) le défaut du commutateur f[x] est R-central dans ImR f si et seulement si
(2.2.6)
[f ([m, m0 ] · x), f (n)] · y = 0.
L’ensemble de ces trois relations équivaut à dire que les applications m 7→ [f (m), n] · x sont R-linéaires
pour n ∈ Im f et x ∈ Ree .
Preuve. (1) On doit avoir [f (m + m0 ) − f (m0 ) − f (m), f (n)] · x = 0. L’additivité du crochet en la première
variable (MC5) permet de conclure.
(2) On doit avoir [f (m · r) − f (m) · r, f (n)] · x = 0. La même additivité et (MC6) donnent la relation
cherchée.
(3) On doit avoir [f ([m, m0 ] · x) − [f (m), f (m0 )] · x, f (n)] · y = 0. La même additivité et (MC7) donnent
la relation cherchée.
Lemme 2.2.13. Soit f : M → N telle que son défaut additif df soit R-central dans ImR f .
(1) L’image du défaut additif est annulée par l’image de P .
(2) Le défaut df est biadditif si et seulement si
(2.2.7) f (m + m0 + m00 ) + f (m) + f (m0 ) + f (m00 ) =
f (m + m0 ) + f (m0 + m00 ) + f (m + m00 ) − [f (m0 ), f (m + m00 )].
(3) Le défaut df est Re -équivariant si et seulement si il est annulé par [ Re , Re ] et si
(2.2.8) f (m · r + n · s) = f (m + n) · rs − f (n) · rs − f (m) · rs
+ f (m · r) + f (n · s) − [f (m), f (n)] · H(rs).
(4) Le défaut df commute aux commutateurs si et seulement si
(2.2.9)
f ([m, m0 ] · x + n) = f ([m, m0 ] · x) + f (n)
14
H. GAUDIER AND M. HARTL
Preuve. (1) En effet, on a d’après (MC3)
df (m, m0 ) · P (x) = [df (m, m0 ), df (m, m0 )] · x = 0,
puisque df (m, m0 ) est R-central.
(2) Pour l’additivité en la première variable on doit avoir
df (m + m0 , m00 ) = df (m, m00 ) + df (m0 , m00 )
f (m + m0 + m00 ) − f (m00 ) − f (m + m0 ) = df (m0 , m00 ) + df (m, m00 )
f (m + m0 + m00 ) = f (m + m0 ) + df (m0 , m00 ) + f (m00 )
+ f (m + m00 ) − f (m00 ) − f (m)
f (m + m0 + m00 ) = f (m + m0 ) + f (m0 + m00 ) − f (m00 )
− f (m0 ) + f (m00 ) + f (m + m00 ) − f (m00 ) − f (m)
f (m + m0 + m00 ) = f (m + m0 ) + f (m0 + m00 ) − f (m0 )
+ [f (m00 ), f (m0 )] + f (m + m00 ) − f (m00 ) − f (m)
f (m + m0 + m00 ) = f (m + m0 ) + f (m0 + m00 ) − f (m0 )
+ f (m + m00 ) + [f (m00 ), f (m0 )] − f (m00 ) − f (m)
f (m + m0 + m00 ) = f (m + m0 ) + f (m0 + m00 ) + f (m + m00 ) + [f (m + m00 ), f (m0 )]
+ [f (m00 ), f (m0 )] − f (m0 ) − f (m00 ) − f (m)
f (m + m0 + m00 ) = f (m + m0 ) + f (m0 + m00 ) + f (m + m00 )−
[f (m0 ), f (m + m00 )] − f (m00 ) − f (m0 ) − f (m).
Un calcul analogue pour la seconde variable aboutit à la même relation, ce qui montre la deuxième
propriété.
(3) La première condition découle de df (m · r, n · s) = df (m, m0 ) · rs = df (m, m0 ) · sr. On doit alors
avoir
df (m · r, n · s) = df (m, n) · rs = (f (m + n) − f (n) − f (m)) · rs
= f (m + n) · rs + (−f (n)) · rs + (−f (m)) · rs + ([f (m + n), −f (n)] · H(rs)
+ [f (m + n), −f (m)] · H(rs) + [−f (n), −f (m)] · H(rs))
= f (m + n) · rs − f (n) · rs + [f (n), f (n)] · H(rs) − f (m) · rs + [f (m), f (m)] · H(rs)
− [f (m), f (n)] · H(rs) − [f (n), f (n)] · H(rs) − [f (m), f (m)] · H(rs)
f (m · r, n · s) = f (m + n) · rs − f (n) · rs − f (m) · rs + f (m · r) + f (n · s) − [f (m), f (n)] · H(rs)
Ce qui montre la troisième propriété.
(4) On doit avoir
df ([m, m0 ] · x, n) = [df (m, n), df (m0 , n)] · x
Or le second membre est nul puisque l’image de df est R-centrale. On développe alors le premier membre:
df ([m, m0 ] · x, n) = 0 = f ([m, m0 ] · x + n) − f (n) − (f ([m, m0 ] · x)
ce qui donne la dernière équation.
Lemme 2.2.14. Soit f : M → N
(1) Si le défaut df est R-bilinéaire et R-central dans ImR f alors les défauts des commutateurs sont
biadditifs.
(2) Si les défauts f(r) sont R-centraux dans ImR f alors les défauts des commutateurs sont Re -biéquivariants si et seulement si f(r) ([M ]) = 0 pour tout r ∈ Re , c.à.d. si et seulement si
(2.2.10)
f ([m, n] · x · r) = (f ([m, n] · x)) · r
(3) Si les défauts f[x] sont R-centraux dans ImR f alors ils sont Ree -équivariants.
MORPHISMES QUADRATIQUES ENTRE MODULES SUR UN ANNEAU CARRÉ
15
Preuve. (1) En effet, en utilisant successivement 2.2.12(1) et 2.2.13(4), on a:
f[x] (m, m0 + m00 ) = f ([m, m0 + m00 ] · x) − [f (m), f (m0 + m00 )] · x
= f ([m, m0 ] · x + [m, m00 ] · x) − [f (m), f (m0 ) + f (m00 )] · x
= f ([m, m0 ] · x) + f ([m, m00 ] · x) − ([f (m), f (m0 )] · x + [f (m), f (m00 )] · x)
= f ([m, m0 ] · x) − [f (m), f (m0 )] · x + f ([m, m00 ] · x) − [f (m), f (m00 )] · x
= f[x] (m, m0 ) + f[x] (m, m00 ).
Ce qui montre la première partie du lemme.
(2) En utilisant la relation (2.2.5) et le fait que les crochets sont R-centraux, on a
f[x] (m · r, m0 ) − (f[x] (m, m0 )) · r
= f ([m · r, m0 ] · x) − [f (m · r), f (m0 ))] − (f ([m, m0 ] · x) − [f (m), f (m0 )] · x) · r
= f ([m, m0 ] · x · r) − [f (m), f (m0 )] · x · r − f ([m, m0 ] · x) · r + [f (m), f (m0 )] · x · r
= f ([m, m0 ] · x · r) − f ([m, m0 ] · x) · r = f(r) ([m, m0 ] · x).
(3) Supposons maintenant que les images des f[x] sont centrales dans l’image de f . On a d’une part
d’après 2.2.12(3)
f[x] ([m, m0 ] · y, n) = f ([[m, m0 ] · y, n] · x) − [f ([m, m0 ] · y), f (n)] · x = −[f ([m, m0 ] · y), f (n)] · x = 0,
et d’autre part:
[f[x] (m, n), f[x] (m0 , n)].y = 0.
On peut résumer ces trois lemmes sous la forme:
Proposition 2.2.15. Une application f : M → N est R-BHP-quadratique si et seulement si elle vérifie
les relations:
(2.2.11a)
[f (m + m0 ), f (n)] · x = [f (m), f (n)] · x + [f (m0 ), f (n)] · x,
(2.2.11b)
[f (m · r), f (n)] · x = ([f (m), f (n)] · x) · r
(2.2.11c)
[f ([m, m0 ] · x), f (n)] · y = 0,
(2.2.11d)
f (m + m0 + m00 ) + f (m) + f (m0 ) + f (m00 ) =
f (m + m0 ) + f (m0 + m00 ) + f (m + m00 ) − [f (m0 ), f (m + m00 )],
(2.2.11e)
f (m · r + n · s) = f (m + n) · rs − f (n) · rs − f (m) · rs
(2.2.11f)
f (m · r + n · s) = f (m + n) · sr − f (n) · sr − f (m) · sr
+ f (m · r) + f (n · s) − [f (m), f (n)] · H(rs),
+ f (m · r) + f (n · s) − [f (m), f (n)] · H(sr),
0
(2.2.11g)
f ([m, m ] · x + n) = f ([m, m0 ] · x) + f (n)
(2.2.11h)
f (m · sr) − (f (m · s)) · r = (f (m · r) − (f (m)) · r) · s2 ,
(2.2.11i)
f ([m, n] · x · r) = (f ([m, n] · x)) · r,
pour tous m, m0 , m00 , n ∈ M , r, s ∈ Re et x, y ∈ Ree .
Il résulte de cette proposition et plus particulièrement du lemme 2.2.14
16
H. GAUDIER AND M. HARTL
Corollaire 2.2.16. Une application f : M →
N entre deux R-BHP-modules est R-BHPquadratique si et seulement si elle satisfait les propriétés suivantes:
(1) les applications m 7→ [f (m), n] · x sont Rlinéaires pour n ∈ Im f et x ∈ Ree .
(2) le défaut additif df est R-bilinéaire,
(3) les défauts scalaires f(r) sont quadratiques
homogènes, i.e. f(r) (m · s) = f(r) (m) · s2 ,
pour m ∈ M , r, s ∈ Re ,
(4) on a f(r) ([M ]) = 0 pour r ∈ Re .
Remarque 2.2.17. Il résulte de (3) que l’on a
f(r) (M · [ Re , Re ] ) = 0, et donc f(r) ([M ]) = 0.
Corollaire 2.2.18. Une application f : (M, A) →
(N, B) entre deux R-CP-modules est R-CPquadratique si et seulement si elle satisfait les propriétés suivantes:
(1) l’image f (A) et les images du défaut additif et des défauts scalaires, ImR df et
ImR f(r) , sont contenues dans B, pour r ∈
Re .
(2) le défaut additif df est R-bilinéaire,
(3) les défauts scalaires f(r) sont quadratiques
homogènes, i.e. f(r) (m · s) = f(r) (m) · s2 ,
pour m ∈ M , r, s ∈ Re ,
(4) le défaut additif et les défauts scalaires
s’annulent sur A :
df (M, A) = df (A, M ) = 0 = f(r) (A)
pour r ∈ Re .
On notera que la caractérisation d’une application R-CP-quadratique dans le corollaire 2.2.18 ne contient
aucune condition portant sur les défauts des commutateurs ; en effet, leurs propriétés souhaitées découlent
des conditions portant sur les autres défauts : ImR f[x] ⊂ B car f (A) ⊂ B ⊃ [N ], l’application f[x] annule
A en chaque variable car les commutateurs de M resp. de N annulent A resp. B et donc f (A) en chaque
variable, et f[x] est R-bilinéaire d’après le lemme 2.2.14.
Lemme 2.2.19. [Lemme des 3 défauts] Soit f : M → N une application vérifiant les conditions (1) et
(2) de 2.2.2 , et r ∈ Re alors
df(r) (m, m0 ) = f[H(r)] (m, m0 ) + df (m, m0 ) · (r2 − r).
Preuve. On a
df(r) (m, m0 ) = f(r) (m + m0 ) − f(r) (m0 ) − f(r) (m)
= f ((m + m0 ) · r) − (f (m + m0 )) · r − f(r) (m0 ) − f(r) (m)
= f (m · r + m0 · r + [m, m0 ] · H(r))
− (f (m) + f (m0 ) + df (m, m0 )) · r − f(r) (m0 ) − f(r) (m)
= f (m · r + m0 · r) + f ([m, m0 ] · H(r))
− (f (m) + f (m0 )) · r − df (m, m0 ) · r − f(r) (m0 ) − f(r) (m)
= df (m · r, m0 · r) + f (m · r) + f (m0 · r) + f ([m, m0 ] · H(r))
− [f (m), f (m0 )] · H(r) − f (m0 ) · r − f (m) · r
− df (m, m0 ) · r − f(r) (m0 ) − f(r) (m)
puisque f(r) et f[H(r)] sont R-centraux dans ImR f :
df(r) (m, m0 ) = f[H(r)] (m, m0 ) + df (m, m0 ) · r2 + f (m · r) − f (m) · r
− df (m, m0 ) · r − f(r) (m)
= f[H(r)] (m, m0 ) + df (m, m0 ) · r2 − df (m, m0 ) · r
= f[H(r)] (m, m0 ) + df (m, m0 ) · (r2 − r)
Proposition 2.2.20. Soit f : M → N une application R-BHP-quadratique. Les défauts scalaires
f(r) : M → N sont R-BHP-quadratiques.
Preuve. D’après le lemme précédent et puisque
les défauts additifs et des commutateurs de f
commutent entre eux, les défauts df(r) sont Re bilinéaires.
Proposition 2.2.21. Soit f : (M, A) → (N, B)
une application R-CP-quadratique. Les défauts
scalaires f(r) : (M, A) → (N, B) sont R-CPquadratiques.
Preuve. Puisque f(r) (A) =
tions supplémentaires de la
immédiatement satisfaites.
0, les condidéfinition sont
MORPHISMES QUADRATIQUES ENTRE MODULES SUR UN ANNEAU CARRÉ
17
Le corollaire 2.2.18, la remarque 2.2.17 et la proposition 2.2.21 permettent de donner une caractérisation
plus concise d’une application R-CP-quadratique, comme suit.
Proposition 2.2.22. Soient (M, A) et (N, B) deux R-CP-modules et f : M → N une application. Alors
f : (M, A) → (N, B) est R-CP-quadratique si et seulement si elle satisfait les propriétés suivantes.
(1) f (A) ⊂ B ;
(2) l’application df : M × M → N se factorise par un morphisme de R-modules
df : M ⊗R M −→ B ,
i.e. df (m, m0 ) = iB df (m ⊗ m0 ) où iB : B ,→ N ;
(3) pour r ∈ Re , l’application f(r) : M → N se factorise par un morphisme de R-modules
f(r) : Γ2 (M ) −→ B ,
R
i.e. f(r) = iB f(r) γ2 πA où Γ2 (M ) est le terme homogène de degré 2 de l’algèbre des puissances
R
divisées sur M , (cf. [12] ou [9] où sa structure a été déterminée pour tout anneau commmutatif )
et πA : M M/A.
Proposition 2.2.23. Soit f : (M, A) → (N, B) une application R-CP-quadratique, l’application f :
M → N est R-BHP-quadratique.
Preuve. C’est immédiat: puisque B ⊂ ZR (N ), il centralise aussi f (M ).
Proposition 2.2.24. Inversement soit f : M → N une application R-BHP-quadratique. L’application
f : (M, [M ]) → (ImR f, ZR (ImR f )) est R-CP-quadratique.
Preuve. Remarquons d’abord que, par 1.2.19, et le lemme 2.2.6, (M, [M ]) et (ImR f, ZR (ImR f )) sont des
R-CP-modules. Appliquant les corollaires 2.2.16 et 2.2.18 il suffit de montrer que
df (M, [M ]) = df ([M ], M ) = f[x] (M, [M ]) = f[x] ([M ], M ) = 0,
ce qui découle de 2.2.10, et que f ([M ]) ⊆ ZR (ImR f ). Or on a d’une part
[f ([m, m0 ] · x), f (m00 )] · y = f ([[m, m0 ] · x, m00 ] · y) − f[y] ([m, m0 ] · x, m00 ).
Le premier terme de la différence est nul par (MC7), et le second par la remarque 2.2.10. Et d’autre part
d’après le lemme 2.1.2
[f (m · [ r, s]]), f (n)] · x = ([f (m), f (n)] · x) · [ r, s]] = [f (m), f (n)] · (x · [ r, s]]) = 0.
Remarque 2.2.25. Soit f une application R-BHP-quadratique, on peut vérifier que df(2) (m, m0 ) =
df (m, m0 )+df (m0 , m). On en déduit que lorsque r = 2, la formule du lemme 2.2.19 se réduit à df (m0 , m)−
df (m, m0 ) = f ([m0 , m]) − [f (m0 ), f (m)], et on retrouve la formule (9) de [6].
Exemple 2.2.26. Lorsque la multiplication dans Re n’est pas commutative, l’application
Re → Re ,
N
r 7→ r2 n’est pas toujours quadratique. Prenons par exemple l’anneau carré R = R (1.4.5). On peut
vérifier que la condition de biadditivité du défaut additif (2.2.11d) est satisfaite pour les éléments (r, s),
(r0 , s0 ) et (r00 , s00 ) de Re si et seulement si 2rr0 s00 + 2rs0 r00 + 2sr0 r00 = 0 c’est à dire si et seulement si R est
de caractéristique 2. La condition (2.2.11g) pour les éléments m = m0 = (1, 0), m00 = (r, 0) et x = (1, 0)
donne r2 + r = 0. Par conséquent l’application Re → Re , r 7→ r2 est quadratique si et seulement si
l’anneau R est booléen, mais alors Re est lui-même un anneau commutatif.
↓
Proposition 2.2.27. Soit f : M → N une application R-BHP-quadratique. Pour tout m ∈ M
l’application f<m> : Re → N définie par f<m> (r) := f(r) (m) est R-BHP-quadratique.
Preuve. Montrons que f<m> vérifie les conditions du corollaire 2.2.16. Soient r ∈ Re , x ∈ Ree et
n ∈ Im f<m> ⊂ Im f :
[f<m> (r), n] · x = [f(r) (m), n] · x = 0
puisque f(r) (m) R-centralise l’image de f . La première propriété est donc trivialement satisfaite.
18
H. GAUDIER AND M. HARTL
Calculons alors df<m> (r, s):
df<m> (r, s) = f<m> (r + s) − f<m> (s) − f<m> (r) = f(r+s) (m) − f(s) (m) − f(r) (m)
= f (m · (r + s)) − f (m) · (r + s) − f(r) (m) − f(s) (m)
= f (m · r + m · s) − f (m) · s − f (m) · r + f (m) · r − f(s) (m) − f (m · r)
= f (m · r + m · s) − f (m) · s + f (m) · s − f (m · s) − f (m · r) = df (m · r, m · s)
= df (m, m) · r s.
Comme df (m, m) centralise l’image de f , on a bien une application R-bilinéaire en r et s, ce qui montre
la seconde propriété.
Soit maintenant r et s ∈ Re . Montrons que (f<m> )(r) est quadratique homogène :
(f<m> )(r) (s) = f<m> (sr) − f<m> (s) · r = f(sr) (m) − (f(s) (m)) · r
= f (m · sr) − f (m) · sr − (f (m · s) − f (m) · s) · r
= f (m · sr) − f (m) · sr + f (m) · sr − f (m · s) · r = f (m · sr) − f (m · s) · r
= f(r) (m · s) = f(r) (m) · s2 = f<m> (r) · s2 .
Donc (f<m> )(r) (st) = f(r) (m) · s2 t2 = (f<m> )(r) (s) · t2 . Enfin d’après le calcul précédent (f<m> )(r) (t) =
f(r) (m) · t2 = 0 pour t ∈ Im P , ce qui prouve la dernière condition.
2.2.28. Applications quadratiques entre modules sur un anneau commutatif classique. Soient R un anneau
commutatif classique, R = (R → 0 → R) l’anneau carré associé et M et N deux BHP-modules (cf. 1.4.1)
Une application f : M → N est R-BHP-quadratique si et seulement si elle est quadratique au sens de
[9]: les conditions portant sur les défauts des crochets sont triviales et la R-bilinéarité se réduit à la
R-bilinéarité.
De même une application R-CP-quadratique f : (M, A) → (N, B) est une application R-quadratique
au sens de [9] vérifiant les conditions (1) et (4) de 2.2.3, c’est à dire R-quadratique au sens de [9],
quadratique dans la catégorie CP ([6]) et vérifiant la condition (4) de 2.2.3.
H /
P
/ Ze )
2.2.29. Applications quadratiques entre modules sur l’anneau Znil . Soient Znil = ( Ze
Zee
(1.4.2), M et N deux Znil -BHP-modules, c’est à dire deux groupes nilpotents de classe ≤ 2, et f : M → N
une application Znil -BHP-quadratique. D’après 2.2.25 on a
f[1] (m, m0 ) = df (m, m0 ) − df (m0 , m),
par conséquent les défauts des commutateurs sont biadditifs et Znil -bilinéaires. On vérifie même que
f[1] (m, [n, n0 ]) = df (m, [n, n0 ]) − df ([n, n0 ], m) = 0,
en effet, puisque df est bilinéaire et d’image centrale:
df (m, [n, n0 ]) = df (m, n + n0 − n − n0 )
= df (m, n) + df (m, n0 ) − df (m, n) − df (m, n0 ) = 0.
On a donc pour tout r ∈ Z, f[r] (M, [M ]) = f[r] ([M ], M ) = 0. Il en résulte qu’une application Znil -BHPquadratique f : M → N est simplement une application quadratique entre groupes nilpotents de classe 2.
En fait, toute application quadratique entre groupes f : G → H se ramène à une application quadratique
entre groupes nilpotents de classe 2, “à un morphisme entre les troisièmes termes des suites centrales
descendantes près”, comme suit : notons γ3 (G) = [G, [G, G]], G = G/γ3 (G), et πG : G → G la projection
canonique.
Proposition 2.2.30. Soient G un groupe et q : G → Q(G) son application quadratique universelle [6].
Alors la restriction q3 : γ3 (G) → Q(G) de q à γ3 (G) est un isomorphisme sur γ3 (Q(G)).
Preuve. L’application q3 est un homomorphisme car dq annule [G, G] en chaque variable. De plus, pour
a, b, c ∈ G, on a q[a, [b, c]] = [qa, [qb, qc]], cf. [10], donc γ3 (Q(G)) = q(γ3 (G)). Or q est injective car elle
admet une rétraction, à savoir, l’application 1G : Q(G) → G obtenue en appliquant la propriété universelle
de q à l’application identique 1G de G qui est bien quadratique.
MORPHISMES QUADRATIQUES ENTRE MODULES SUR UN ANNEAU CARRÉ
19
Corollaire 2.2.31. Toute application quadratique entre groupes f : G → H induit un diagramme commutatif d’homomorphismes de groupes dont les lignes sont exactes :
0
/ γ3 (G)
0
/ γ3 (H)
q3
f3
/ Q(G)
Q(πG )
f
/H
/ Q(G)
/0
f
πH
/H
/0
On remarque que f correspond à une application quadratique de G dans H, donc entre groupes
nilpotents de classe ≤ 2.
Preuve. L’application f est obtenue en appliquant la propriété universelle de q à f . D’après la proposition
2.2.30 il ne reste qu’à montrer que Ker(Q(πG )) = γ3 (Q(G)). Rappelons de [6] que l’on a une suite exacte
naturelle
/ Gab ⊗ Gab wG / Q(G) 1G / G
/0 .
0
Elle donne naissance au diagramme commutatif suivant dont les lignes sont exactes :
Gab ⊗ Gab
πQ(G) wG
/ Q(G)/γ3 (Q(G))
'
0
ab
/ ab
G ⊗G
πG 1G
/ G/γ3 (G)
/0
/G
/0
Q(πG )
wG
/ Q(G)
1G
Notons que l’application Q(πG ) est bien définie d’après la proposition 2.2.30. On en déduit que πQ(G) wG
est injective et que Q(πG ) est donc un isomorphisme.
2.3. Module et catégorie des applications CP-quadratiques.
Lemme 2.3.1. Soit R un anneau carré non nécessairement commutatif, soient A ⊂ M deux ensembles
et N = (N, B) un R-CP-module quadratique. Désignons par ApplA/B (M, N ) l’ensemble des applications
de M dans N telles que l’image de A soit contenue dans B et par ApplA/0 (M, B) le sous-ensemble formé
des applications de M dans B telles que l’image de A soit 0. Définissons point par point sur ces ensembles
une addition, une action de Re et une action de Ree . Alors le couple
Appl(M , N ) := (ApplA/B (M, N ), ApplA/0 (M, B))
est un R-CP-module quadratique.
Preuve. Les applications f + g, −f , f · r et [f, g] · x sont définies par
(f + g)(m) = f (m) + g(m)
(f · r)(m) = (f (m)) · r
(−f )(m) = −(f (m))
([f, g] · x)(m) = [f (m), g(m)] · x .
L’ensemble ApplA/B (M, N ) est clairement un sous-groupe du groupe des applications de M dans N , et
ApplA/0 (M, B) en est un sous-groupe. Puisque les opérations sont définies point par point elles héritent
des propriétés du couple (N, B), ce qui montre la proposition.
Proposition 2.3.2. Soient M = (M, A) et N = (N, B) deux R-CP-modules quadratiques, et soit B :=
(B, 0). Le couple
R-Quad(M , N ) := (R-CP-quad(M , N ), R-CP-quad(M , B))
muni des opérations naturelles est un R-CP-module quadratique.
Preuve. Montrons que R-CP-quad (M , N ) est un sous-groupe du groupe des applications de M dans N ,
c.a.d. que f + g et −f sont des applications R-CP-quadratiques si f et g le sont. On a
(f + g)(a) = f (a) + g(a) ∈ B
(−f )(a) = −(f (a)) ∈ B.
df +g (m, m0 ) = (f + g)(m + m0 ) − (f + g)(m0 ) − (f + g)(m)
= f (m + m0 ) + g(m + m0 ) − g(m0 ) − f (m0 ) − g(m) − f (m)
= f (m + m0 ) + dg (m, m0 ) + [f (m0 ), g(m)] − f (m0 ) − f (m)
= df (m, m0 ) + dg (m, m0 ) + [f (m0 ), g(m)] ∈ B.
20
H. GAUDIER AND M. HARTL
En prenant g = −f on en déduit
d−f (m, m0 ) = −df (m, m0 ) − [f (m), f (m0 )] ∈ B.
(f + g)(r) (m) = (f + g)(m · r) − ((f + g)(m)) · r
= f (m · r) + g(m · r) − (f (m) + g(m)) · r
= f (m · r) + g(m · r) − g(m) · r − f (m) · r − [f (m), g(m)] · H(r)
= f (m · r) + g(r) (m) − f (m) · r − [f (m), g(m)] · H(r)
= f(r) (m) + g(r) (m) − [f (m), g(m)] · H(r) ∈ B.
D’où l’on déduit
(−f )(r) (m) = −f(r) (m) − [f (m), f (m)] · H(r) ∈ B.
Ce qui montre que les applications f + g et −f satisfont les conditions du (1) du corollaire 2.2.18. On
en déduit aussi qu’elles satisfont les conditions (4) car f (A) ⊂ B ⊂ ZR (N ).
Les calculs ci-dessus montrent que les défauts additifs de f + g et −f sont des combinaisons linéaires
d’applications R-bilinéaires de M dans B. D’après la proposition 2.2.9 elles sont aussi R-bilinéaires, ce
qui démontre la condition (2) du corollaire 2.2.18.
Montrons la condition (3). D’après les calculs ci-dessus, et en utilisant 2.2.15(b) on a:
(f + g)(r) (m · s) = f(r) (m · s) + g(r) (m · s) − [f (m · s), g(m · s)] · H(r)
= f(r) (m) · s2 + g(r) (m) · s2 − ([f (m), g(m)] · H(r)) · s2
= (f(r) (m) + g(r) (m) − [f (m), g(m)] · H(r)) · s2 = ((f + g)(r) (m)) · s2 ,
la factorisation se faisant sans terme correctif puisque tous les termes sont dans B. On a également:
(−f )(r) (m · s) = −f(r) (m · s) − [f (m · s), f (m · s)] · H(r)
= −f(r) (m) · s2 − ([f (m), f (m)] · H(r)) · s2
= ((−f )(r) (m)) · s2 .
On a donc montré que (R-CP-quad (M , N ), R-CP-quad (M , B)) est un sous-R-CP-module quadratique
de (ApplA/B (M, N ), ApplA/0 (M, B)).
Proposition 2.3.3. Soient f : (M, A) → (N, B) et g : (N, B) → (L, C) deux applications R-CPquadratiques. L’application composée g ◦ f : (M, A) → (L, C) est R-CP-quadratique.
Preuve. D’après [6] le défaut additif de g ◦ f est donné par
(2.3.1)
dg◦f (m, m0 ) = gdf (m, m0 ) + dg (f (m), f (m0 )) .
Donc dg◦f a son image dans C, annule A en chaque variable, et est R-bilinéaire d’après les propositions
2.2.8 et 2.2.22.
Considérons les défauts scalaires (g ◦ f )(r) . On a
(g ◦ f )(r) (m) = (g ◦ f )(m · r) − ((g ◦ f )(m)) · r = g(f (m · r)) − (g(f (m)) · r
= g(f(r) (m) + f (m) · r) − (g(f (m)) · r
= g(f(r) (m)) + g(f (m) · r) − (g(f (m)) · r + dg (f(r) (m), f (m) · r)
Le dernier terme est nul puisque son premier argument est dans B, donc
(2.3.2)
(g ◦ f )(r) (m) = g(f(r) (m)) + g(r) (f (m)).
Ce qui montre que (g ◦ f )(r) a son image dans C et s’annule si m est dans A. Enfin on a
(g ◦ f )(r) (m · s) = g(f(r) (m · s)) + g(r) (f (m · s))
= g(f(r) (m) · s2 ) + g(r) (f(s) (m) + f (m) · s)
= g(f(r) (m)) · s2 + g(s2 ) (f(r) (m)) + g(r) (f(s) (m))
+ g(r) (f (m) · s) + dg(r) (f(s) (m), f (m) · s)
MORPHISMES QUADRATIQUES ENTRE MODULES SUR UN ANNEAU CARRÉ
21
Or le deuxième, le troisième et le cinquième terme sont nuls puisque f(r) (m) et f(s) (m) sont dans B, donc
(g ◦ f )(r) (m · s) = g(f(r) (m)) · s2 + g(r) (f (m) · s)
= g(f(r) (m)) · s2 + g(r) (f (m)) · s2 = (g ◦ f )(r) (m) · s2 .
Pour des usages futurs, déterminons enfin les défauts (g ◦ f )[x] . On a
(g ◦ f )[x] (m, m0 ) = (g ◦ f )([m, m0 ] · x) − [(g ◦ f )(m), (g ◦ f )(m0 )] · x
= g(f ([m, m0 ] · x)) − [g(f (m)), g(f (m0 ))] · x
= g(f[x] (m, m0 )) + [f (m), f (m0 )] · x) − [g(f (m)), g(f (m0 ))] · x
= g(f[x] (m, m0 )) + g([f (m), f (m0 )] · x) − [g(f (m)), g(f (m0 ))] · x
+ dg (f[x] (m, m0 ), [f (m), f (m0 )] · x)
Le dernier terme est nul puisque son second argument est dans B, donc
(g ◦ f )[x] (m, m0 ) = g(f[x] (m, m0 )) + g[x] (f (m), f (m0 ))
(2.3.3)
Proposition 2.3.4. Soient f : (M, A) → (N, B) et g : (N, B) → (L, C) deux applications R-CPquadratiques. L’application
f ∗ : R-Quad((N, B), (L, C)) → R-Quad((M, A), (L, C))
g 7→ g ◦ f
est R-CP-linéaire. Et l’application
g∗ : R-Quad((M, A), (N, B)) → R-Quad((M, A), (L, C))
f 7→ g ◦ f
est R-CP-quadratique.
Preuve. Montrons que f ∗ est additive. On a
(f ∗ (g1 + g2 ))(m) = ((g1 + g2 ) ◦ f )(m) = (g1 + g2 )(f (m)) = g1 (f (m)) + g2 (f (m))
= (g1 ◦ f )(m) + (g2 ◦ f )(m) = (g1 ◦ f + g2 ◦ f )(m) = (f ∗ (g1 ) + f ∗ (g2 ))(m).
Montrons que f ∗ est Re -équivariante. On a
(f ∗ (g · r))(m) = ((g · r) ◦ f )(m) = (g · r)(f (m)) = g(f (m)) · r = (f ∗ (g))(m) · r = ((f ∗ (g)) · r)(m).
Pour montrer que f ∗ est R-linéaire il reste à montrer que f ∗ conserve les crochets. On a
(f ∗ ([g1 , g2 ] · x))(m) = ([g1 , g2 ] · x)(f (m)) = [g1 (f (m)), g2 (f (m))] · x
= [(f ∗ (g1 ))(m)), (f ∗ (g2 ))(m)] · x = ([(f ∗ (g1 )), (f ∗ (g2 ))] · x)(m).
Montrons maintenant que g∗ est R-CP-quadratique. On a
(dg∗ (f1 , f2 ))(m) = (g∗ (f1 + f2 ) − g∗ (f2 ) − g∗ (f1 ))(m) = (g(f1 + f2 ))(m) − (g(f2 ))(m) − (g(f1 ))(m)
= g(f1 (m) + f2 (m)) − g(f2 (m)) − g(f1 (m))
= g(f1 (m)) + g(f2 (m)) + dg (f1 (m), f2 (m)) − g(f2 (m)) − g(f1 (m))
= dg (f1 (m), f2 (m))
Il en résulte immédiatement que dg∗ est R-bilinéaire en les variables f1 et f2 , qu’elle s’annule si l’image
de f1 ou celle de f2 est dans B, que son image est constituée d’applications de M dans C. Il reste à
étudier les défauts scalaires.
(g∗ )(r) (f ) = g∗ (f · r) − (g∗ (f )) · r = g ◦ (f · r) − (g ◦ f ) · r.
(g∗ )(r) (f )(m) = g((f · r)(m)) − ((g ◦ f ) · r)(m) = g(f (m) · r) − (g(f (m)) · r = g(r) (f (m))
Ce qui assure que (g∗ )(r) s’annule si l’image de f est dans B et que l’image de (g∗ )(r) (f ) est dans C.
Enfin on a
(g∗ )(r) (f )(m · s) = g(r) (f (m · s)) = g(r) (f (m) · s + f(s) (m))
= g(r) (f (m) · s) + g(r) (f(s) (m)) + dg(r) (f (m) · s, f(s) (m)).
22
H. GAUDIER AND M. HARTL
Dans cette somme on remarque que f(s) (m) ∈ B d’après 2.2.3 (1). Il en résulte d’une part que le deuxième
terme est nul d’après 2.2.3 (4), et que le dernier terme est aussi nul car g(r) est quadratique d’après 2.2.21.
On a donc
(g∗ )(r) (f )(m · s) = g(r) (f (m) · s)
(2.3.4)
En prenant s = 1 on obtient pour t ∈ Re
(g∗ )(r) (f · t)(m) = g(r) ((f · t)(m)) = g(r) (f (m) · t) = g(r) (f (m)) · t2 = (g∗ )(r) (f )(m) · t2
= (((g∗ )(r) (f )) · t2 )(m)
On a donc bien (g∗ )(r) (f · t) = ((g∗ )(r) (f )) · t2 .
Les résultats de ce paragraphe se résument comme suit :
Théorème 2.3.5. Il existe une catégorie CPR dont les objets sont les R-CP-modules quadratiques et dont
les morphismes sont les applications R-CP-quadratiques. Elle est préquadratique à droite au sens de [2],
et admet un foncteur Hom interne.
Remarque 2.3.6. Soit R un anneau commutatif. En prenant R = (R → 0 → R), on obtient une
catégorie CPR = CPR qui contient toute application R-quadratique f : M → N entre R-modules M ,
N (au sens de [9]) comme morphisme, d’au moins deux façons canoniques : f : (M, 0) → (N, N ) et
f : (M, radR (f )) → (N, f (rad(f )) + Df ) sont des morphismes dans CPR où radR (f ) désigne l’ensemble
des éléments m de M tels que df (m, m0 ) = 0 pour tout m0 ∈ M et f (mr) = f (m)r pour tout r ∈ R, et où
Df désigne le sous-R-module de N engendré par les images de df et des f(r) , r ∈ R. Nous nous attendons
à ce que l’étude des catégories CPR fournisse alors une approche nouvelle des applications quadratiques
entre modules (carrés et classiques) qui sera développée dans [7].
3. anneaux carrés commutatifs libres et module PR2 (Re )
Intro
3.1. Compléments pour les anneaux carrés commutatifs.
Proposition 3.1.1. Soit R = (Re , Ree , P, H) un quadruplet tel que:
(1) Re et Ree sont des groupes abélien, P : Ree → Re est un homomorphisme de groupes et H : Re →
Ree une application,
(2) Re est muni d’une multiplication associative, avec unité et distributive à droite,
(3) Im P est stable par multiplication à gauche et à droite, est de carré nul et R := Re /Im P est un
anneau commutatif,
(4) Ree est muni d’une structure de R-module (notée à droite: (x, r) 7→ x · r) et P est un morphisme
de R-modules,
(5) pour r, s et t ∈ Re et x ∈ Ree on a les relations
(3.1.1)
P HP = P + P
(3.1.2)
(3.1.3)
rP (x) = P (x)r2
(r + s)t = rt + st + P H(t)rs
H(r + s) = H(r) + H(s) + H(2) · rs
H(rs) = H(r) · s + H(s) · r2 .
Alors R est de façon unique un anneau carré commutatif
Preuve. Soit T := HP − Id. le lemme suivant montre que T est en endomorphisme de R-module, et il
suffit de vérifier que T 2 = Id, ce qui découle de la première relation 3.1.1, et que AC7 est vrai, ce qui est
clair car (r, s) · x = x · rs.
Lemme 3.1.2. L’application HP est un endomorphisme R-linéaire de Ree .
Preuve. On a
HP (x + y) = H(P (x) + P (y)) = HP (x) + HP (y) + H(2) · P (x)P (y) = HP (x) + HP (y)
HP (x · r) = H(P (x)r) = HP (x)r + H(r) · P (x)2 = HP (x)r.
MORPHISMES QUADRATIQUES ENTRE MODULES SUR UN ANNEAU CARRÉ
23
3.2. Applications quadratiques de Re dans M .
Proposition 3.2.1. Soit M un R-module, toute application R-quadratique f : Re → M se décompose
de façon unique comme somme d’une application R-quadratique nulle sur 0 et 1 et d’une application
R-linéaire.
Preuve. Soit f 0 : Re → M l’application définie par f 0 (r) = f (1) · r. Elle est clairement additive et
Re -équivariante. Et elle est R-linéaire puisque
f 0 ([r, s] · x) = f (1) · P (x)rs = ([f (1), f (1] · x)rs = [f (1) · r, f (1) · s] · x = [f 0 (r), f 0 (s)] · x.
Or on a vu (2.2.27 que l’application f 00 = f<1> est R-quadratique. Et on a bien
f 00 (r) + f 0 (r) = f<1> (r) + f 0 (r) = f(r) (1) + f 0 (r) = f (r) − f (1) · r + f (1) · r = f (r).
L’unicité de la décomposition est claire puisqu’on a nécessairement f 0 (1) = f (1)
Nous allons donc nous intéresser uniquement aux applications quadratiques de Re dans M nulles sur
0 et 1.
Lemme 3.2.2. Soit f : Re → M une application R-quadratique, nulle sur 0 et 1. L’image de f est un
R-module sur lequel tous les crochets sont nuls.
Preuve. On a en effet d’après la relation (2.2.11b)
[f (r), f (s)] · x = [f (1 · r), f (s)] · x = [f (1), f (s)] · x) · r = 0
Les crochets sont donc tous nuls sur Im f . Il en résulte d’une part que son groupe sous-jacent est abélien,
et qu’il est annulé par Im P puisque f (r) · P (x) = [f (r), f (r)] · x = 0.
Proposition 3.2.3. Une application f : Re → M nulle sur 0 et 1 est R-quadratique si et seulement si
elle vérifie les propriété suivantes:
f (r + s) = f (r) + f (s) + f (2) · rs
(3.2.1)
f (rs) = f (r) · s + f (s) · r2
(3.2.2)
[f (r), f (s)] · x = 0,
(3.2.3)
pour tous r, s ∈ Re et x ∈ Ree .
Preuve. Soit f R-quadratique nulle sur 0 et 1, la troisième condition est satisfaite d’après le lemme
précédent. En prenant la relation (2.2.11e) avec m = n = 1 on obtient:
f (r + s) = f (2)rs + f (r) + f (s)
ce qui donne la première relation puisque l’image de f est commutative. Pour la seconde relation on
applique la relation (2.2.11h) avec m = 1.
Réciproquement soit f vérifiant les trois conditions de l’énoncé. Des calculs élémentaires montrent
qu’elle satisfait alors les relations de la proposition 2.2.15.
Proposition 3.2.4. Soit f : Re → M une application R-quadratique nulle sur 0 et 1. L’image de f est
annulée par les commutateurs multiplicatifs de R. C’est donc un R-module.
Preuve. D’après la proposition pécédente, les éléments
ϕ1 (r, s) := f (r + s) − f (r) − f (s) − f (2) · rs
ϕ2 (r, s) := f (rs) − f (r) · s − f (s · r2
sont nuls pour tous r et s dans Re . Or on a
ϕ1 (s, r) − ϕ1 (r, s) = f (s + r) − f (s) − f (r) − f (2) · sr − (f (r + s) − f (r) − f (s) − f (2) · rs) = f (2) · (rs − sr),
ce qui montre d’abord que f (2) est annulé par les commutateurs.
Pour le cas général, développons l’expression X suivante, qui est nulle dans l’image de f :
X := ϕ2 (r + s, t) − ϕ2 (r, t) − ϕ2 (s, t) − ϕ2 (2, t)rs + ϕ2 (t, 2)rs + ϕ1 (r, s)t − ϕ1 (rt, st)
+ ϕ1 ((r + s)t, −P H(t)rs) − ϕ1 (P H(t)rs, −P H(t)rs) − ϕ2 (P H(t), rs) + ϕ1 (t2, P H(t))rs.
24
H. GAUDIER AND M. HARTL
On obtient :
X = f ((r + s)t) − f (r + s)t − f (t)(r + s)2 − f (rt) + f (r)t + f (t)r2 − f (st) + f (s)t + f (t)s2
2
− (f (2t) − f (2)t − f (t)4)rs + (f (t2) − f (t)2 − f (2)t )rs + f (r + s)t − f (r)t − f (s)t − f (2)rst
− (f (rt + st) − f (rt) − f (st) − f (2)rtst) − (f ((r + s)t − P H(t)rs) − f ((r + s)t) − f (−P H(t)rs))
− (−f (P H(t)rs) − f (−P H(t)rs)) − (f (P H(t)rs) − f (P H(t))rs)
+ f (t2 + P H(t))rs − f (t2)rs − f (P H(t))rs.
En supprimant les termes opposés :
X = −f (t)(r + s)2 + f (t)r2 + f (t)s2
2
− (f (2t) − f (2)t − f (t)4)rs + (−f (t)2 − f (2)t )rs − f (2)rst
− (f (rt + st) − f (2)rtst) + f ((r + s)t − P H(t)rs)
+ f (t2 + P H(t))rs.
On simplifie encore en utilisant que 2t = (1 + 1)t = t + t + P H(t) = t2 + P H(t), que (r + s)t =
rt + st + P H(t)rs, que, d’après le cas particulier vu ci-dessus, f (2)t2 rs = f (2)rtst et f (2)trs = f (2)rst
et enfin en développant (r + s)2 :
X = −f (t)(rs + sr) + f (t)4rs − f (t)2rs = f (t)(rs − sr) = 0.
Considérons alors le R-module engendré par les éléments p2 (r) pour r ∈ Re avec les relations (3.2.1)
et (3.2.2), et notons PR2 (Re ) le R-BHP-module obtenu en restreignant les scalaires par la surjection
canonique Re → R et en définissant tous les crochets comme nuls.
Corollaire 3.2.5. L’application p2 : Re → PR2 (Re ), r 7→ p2 (r) est R-quadratique nulle sur 0 et 1. Elle
induit une bijection fonctorielle
R-mod(PR2 (Re ), M ) → R-quad(Re , M ).
(3.2.4)
3.3. Anneaux carrés libres. Soit I un ensemble totalement ordonné, on note R l’anneau des polynômes
en les variables Xi pour i ∈ I à coefficients dans Z. On considère ∗ un élément n’appartenant pas à
I, et soit I∗ = I ∪ {∗} ordonné en prenant ∗ comme élément maximal. Prenons (Xi )i∈I une famille
d’indéterminées, posons par convention X∗ = 2, et notons B 0 = {X n }n∈N(I) l’ensemble des monômes
unitaires en les variables Xi , i ∈ I rangées par ordre croissant, et soit Re0 le groupe abélien libre de base
B 0 . Soit B 00 = {Xi,j }i>j∈I∗ et Re00 le R-module à droite engendré par B 00 avec les relations
2
(3.3.1)
2
2
Xi,j (X k − X k ) + Xj,k (X i − X i ) − Xi,k (X j − X j ) = 0,
pour i > j > k ∈ I∗ . On considère alors le groupe abélien Re somme directe de Re0 et du groupe abélien
n
sous-jacent à Re00 , et on notera π : Re → R l’homomorphisme de groupe tel que π(X n ) := X et qui
annule Re00 . On écrira aussi π(r) = r.
Considérons maintenant Ree le R-module à droite libre de base {Yi }i∈I∗ Définissons P : Ree → Re
comme la composée de l’application R-linéaire de Ree dans Re00 déterminée par
(3.3.2)
P (Yi ) = X∗,i pour i ∈ I
P (Y∗ ) = 0,
et de l’inclusion canonique de Re00 dans Re .
Théorème 3.3.1. Il existe sur Re une unique multiplication et une unique application H : Re → Ree
vérifiant les conditions
(3.3.3)
(Xi )(Xj ) = Xi Xj
(3.3.4)
(Xi,j )(Xk ) = Xi,j X k
(3.3.5)
H(Xi ) = Yi pour i ∈ I∗
i ≤ j,
si
si
i>j
(Xi )(Xj ) = Xj Xi + Xi,j
(Xi,j )(Xk,m ) = 0
2
si
2
si
i>j
i > j et k > m
H(Xi,j ) = Yj (X i − X i ) − Yi (X j − X j ) pour i > j ∈ I∗ .
MORPHISMES QUADRATIQUES ENTRE MODULES SUR UN ANNEAU CARRÉ
/ Ree
H
telles que ( Re
/ Re ) soit un anneau carré commutatif. C’est l’anneau carré libre engendré
P
par les variables Xi , i ∈ I, c’est à dire que pour tout anneau carré commutatif S = ( Se
l’application canonique:
AnnCarr(R, S) −→ SeI
(3.3.6)
25
/ See
H
P
/ Se ),
ϕ 7→ (ϕ(Xi ))i∈I
est une bijection.
Commençons par montrer l’unicité de H et de la multiplication. Nous introduisons les applications hi
pour i ∈ I définies par
(3.3.7)
hi (Xiαi )
2α
i −2
X
:=
2αi
k
Xi =
(3.3.8)
hi (X ) :=
Y
αi
− Xi
2
2αj
α
hi (Xj j ) := X j
,
si j < i ,
αj
α
hi (Xj j ) := X j si j > i ,
Xi − Xi
k=αi −1
α
Xi
α
hi (Xj j )
.
j
On conviendra que hi (1) = hi (Xi0 ) = 0 et par conséquent hi (X α ) = 0 si αi = 0 et on remarquera que
hi (Xi ) = 1. On remarquera également que les hi vérifient les relations de récurrence
2αi
2
αi
hi (Xiαi +1 ) = hi (Xiαi )X i + X i
hi (Xiαi +1 ) = hi (Xiαi )X i + X i
(3.3.9)
Lemme 3.3.2. L’application H vérifie nécessairement
(1) H(n) = Y∗ n2 = Y∗ n(n−1)
pour n ∈ Z,
2
(2) H(Xiαi ) =P
Yi hi (Xiαi ) pour i ∈ I et αi ∈ N,
m
(3) H(X α ) = i=1 Yi hi (X α ),
2α n
(4) H(X α n) = H(X α )n + Y∗ X
2 , Pu
Pu
P
(5) H( α=1 Mα ) = α=1 H(Mα ) + Y∗
1≤α<β≤u M α M β , où les Mα sont des monômes en les
variables Xi
(6) H(r + r00 ) = H(r) + H(r00 ) pour r ∈ Re et r00 ∈ Re00 ,
(7) la restriction de H à Re00 est R-linéaire.
Preuve. (1) Pour n = 0 ou 1 on a H(n) = 0. Si n = 2, n = X∗ Donc H(2) = Y∗ . Par
récurrence sur n
on a, en utilisant AC5 H(n + 1) = H(n) + H(1) + H(2)n = H(2)( n2 + n) = Y∗ n+1
2 , ce qui montre la
relation pour n ≥ 0. Pour un entier négatif on a : 0 = H(n + (−n)) = H(n) + H(−n) + H(2)(−n2 ), d’où
H(−n) = H(2)(n2 − n(n−1)
) = H(2)( n(n+1)
) = Y∗ −n
2
2
2 , ce qui montre la relation pour n ∈ Z.
(2) Par récurrence sur αi . La relation est vraie par définition si αi = 1. D’après la seconde relation
3.1.3 et d’après la relation de récurrence (3.3.9) on a
2αi
H(Xiαi +1 ) = H(Xiαi )X i + H(Xi )X i
2αi
= Yi hi (Xiαi )X i + Yi X i
= Yi hi (Xiαi +1 ).
(3) Par récurrence sur m. Si m = 1 c’est la relation (2) ci-dessus. En utilisant la seconde relation 3.1.3
on a:
m+1
m
m
Y
Y
Y
αm+1
2αi
αm+1
H(
Xiαi ) = H( Xiαi )X m+1 + H(Xm+1
)
Xi
i=1
i=1
i=1
=
m
X
i=1
Yi hi (
m
Y
αi
αm+1
α
m+1
X i )X m+1 + Ym+1 hm+1 (Xm+1
)
i=1
m
Y
2βj
Xj
=
j=1
m+1
X
i=1
Yi hi (
m+1
Y
Xiαi ),
i=1
ce qui montre la relation.
(4) La relation se déduit des relations (1) et (3) ci-dessus en utilisant encore la seconde relation 3.1.3.
(5) La relation se déduit de AC5 par récurrence sur u. Elle entraı̂ne l’unicité de H sur Re0 .
00
(6) D’après AC5 on a H(r + r00 ) = H(r) + H(r00 ) + (r, r00 ) · H(2) = H(2)rr , mais le dernier terme est
nul puisque r00 ∈ Re00 = Im P .
(7) D’après le calcul précédent, H est additif sur Re00 . Soit alors r ∈ Re et i > j. On a H(Xi,j r) =
2 = H(X r. Ce qui montre en outre l’unicité de H sur R00 .
H(Xi,j r + H(r)Xi,j
i,j
e
Lemme 3.3.3. La multiplication dans Re vérifie nécessairement :
(1) ar = ra + P H(r) a2 pour a ∈ Z et r ∈ Re ,
26
H. GAUDIER AND M. HARTL
0
0
00
2
0
0
0
00
00
00
0 0
00
00
(2) (r10P+ r100 )(r20 +
Pr2 ) = r1 r2 + r1 r2 + r2 r1 pour r1 , r2 ∈ Re et r1 , r2 ∈ Re ,
(3) r( j Nj ) = j rNj pour r ∈ Re0 et les Nj monômes ordonnés (non nécessairement unitaires)
dans Re0 ,
P
P
P
(4) ( i Mi )N = i Mi N + i<j P H(N )M i M j , pour N et les Mi monômes ordonnés (non nécessairement unitaires) dans Re0 ,
2 (5) (M a)(N b) = M N ab+P H(N )M a2 b pour M et N monômes ordonnés unitaires et a et b entiers
β
β
β
(6) Xiαi Xj j = Xj j Xiαi + Xi,j hi (Xiαi )hj (Xj j ) pour i > j,
(7) pour X α et X β deux monômes ordonnés unitaires, on a
X αX β =
n
Y
i=1
X
Xiαi +βi +
Xi,j hi (X α )hj (X β )
I3i>j
Preuve. (1) La relation est vraie si a = 0 ou a = 1. Montrons la par récurrence pour a > 1. On a:
(a + 1)r = ar + r + P H(r)a = ra + r + P H(r)
a
a+1
+ P H(r)a = r(a + 1) + P H(r)
.
2
2
On en déduit qu’elle est vraie pour tout a en développant 0 = (a − a)r = ar + (−a)r + H(r)a(−a).
(2) En développant on obtient
0 00
(r10 + r100 )(r20 + r200 ) = r10 (r20 + r200 ) + r100 (r20 + r200 ) + P H(r20 + r200 )r1 r1 = r10 (r20 + r200 ) + r100 (r20 + r200 )
= r10 r20 + r10 r200 + r100 r20 + r100 r200 .
Or r100 r200 = 0 car Re00 est engendé par les Xi,j et que leurs produits sont nuls. Enfin par la relation de
2
définition (3.1.1) on a r10 r200 = r200 r1 .
(3) Car la multiplication est distributive à droite.
(4) Car la multiplication vérifie la condition AC7.
(5) En utilisant les relations (1) et (2), on a
2 a
a
(M a)(N b) = M (aN )b = M (N a + P H(N )
)b = (M N a + P H(N )M
)b
2
2
2 a
= M N ab + P H(N )M
b
2
(6) Montons d’abord par récurrence sur αi que pour i > j on a Xiαi Xj = Xj Xiαi + Xi,j hi (Xiαi ). C’est
vrai trivialement pour n = 0 et d’après la seconde formule de (3.3.3) pour n = 1. Et on a
Xiαi +1 Xj = Xiαi (Xi Xj ) = Xiαi (Xj Xi + Xi,j ) = (Xiαi Xj )Xi + Xiαi Xi,j
= Xj Xiαi +1 + Xi,j hi (Xiαi )Xi + Xi,j Xi
2αi
= Xj Xiαi +1 + Xi,j hi (Xiαi +1 )
Montrons ensuite la formule de (6) par récurrence sur βj . Pour βj = 0 c’est trivial, et pour βj = 1 c’est
le calcul précédent. En général on a :
β +1
Xiαi Xj j
β
β
β
β
= (Xiαi Xj )Xj j = (Xj Xiαi + Xi,j hi (Xiαi ))Xj j = Xj Xiαi Xj j + Xi,j hi (Xiαi )Xj j
β
β
β
= Xj (Xj j Xiαi + Xi,j hi (Xiαi )hj (Xj j )) + Xi,j hi (Xiαi )Xj j
2
βj
β +1
Xiαi + Xi,j hi (Xiαi )hj (Xj j )X j + Xi,j hi (Xiαi )X j
β +1
Xiαi + Xi,j hi (Xiαi )hj (Xj j
= Xj j
= Xj j
β
β +1
)
(7) Par récurrence double sur la longueur des suites α et β: montrons d’abord que, pour i fixé on a :
βm
Xiαi X β = X1β1 . . . Xiαi +βi . . . Xm
+
X
i>j
Xi,j hi (Xiαi )hj (X β )
MORPHISMES QUADRATIQUES ENTRE MODULES SUR UN ANNEAU CARRÉ
27
Si β = (0, . . . , 0, βj , 0, . . . ) avec i ≤ j la formule est triviale. Si i > j c’est la formule précédente. Si
β = (0, . . . , 0, β1 , . . . , βm , 0, . . . ) avec i > m + 1 montrons la formule par récurrence sur m : on a
Xiαi
m+1
Y
βm αi
Xi +
Xkβk = (X1β1 . . . Xm
m
X
Xi,j hi (Xiαi )hj (
j=1
k=1
m
Y
β
m+1
Xkβk ))Xm+1
k=1
β
m+1
βm
+
)Xiαi Xm+1
= (X1β1 . . . Xm
m
X
m+1
Y
Xi,j hi (Xiαi )hj (
j=1
=
X1β1
βm βm+1 αi
. . . Xm
Xm+1 Xi
+
X1β1
Xkβk )
k=1
βm+1
βm
)+
. . . Xm
Xi,m+1 hi (Xiαi )hm+1 (Xm+1
m
X
m+1
Y
Xi,j hi (Xiαi )hj (
j=1
=
X1β1
βm βm+1 αi
. . . Xm
Xm+1 Xi
+
Xi,m+1 hi (Xiαi )X12β1
Xkβk )
k=1
βm+1
2βm
. . . Xm
hm+1 (Xm+1
)+
m
X
m+1
Y β
αi
Xi,j hi (Xi )hj (
Xk k )
j=1
k=1
β
β
m+1
m+1
βm
)+
Xiαi + Xi,m+1 hi (Xiαi )hm+1 (Xiβ1 . . . Xm+1
= X1β1 . . . Xm
Xm+1
m
X
m+1
Y
Xi,j hi (Xiαi )hj (
j=1
β
m+1
βm
Xm+1
Xiαi +
= X1β1 . . . Xm
m+1
X
m+1
Y
Xi,j hi (Xiαi )hj (
j=1
Xkβk )
k=1
Xkβk )
k=1
Si maintenant i ≤ m on a
Xiαi
m
Y
Xkβk = Xiαi
i−1
Y
Xkβk
Xkβk
k=i
k=1
k=1
m
Y

β
i−1
= X1β1 . . . Xi−1
Xiαi +
i−1
X
Xi,j hi (Xiαi )hj (
j=1
=
i−1
Y
!
Xkβk
k1
=
i−1
Y
m
Y
Xiαi +βi
Xkβk
m
Y
Xiαi +βi
k1

Xkβk )
Xkβk
+
i−1
X
m
Y
Xi,j hi (Xiαi )hj (
+
j=1
k=1
m
Y
Xi,j hi (Xiαi )hj (
j<i
k=i+1
i−1
Y
X
!
Xkβk
Xkβk
k=i
k=1
!
k=i+1
!
i−1
Y
Xkβk )
m
Y
Xkβk
k=i
Xkβk )
k=1
Pour achever la preuve de (7) il reste à faire une récurrence sur la longueur n de la suite (α1 , . . . , αn ):
!
!
n+1
n
Y
Y
αn+1
αi
αi
β
Xi
Xn+1
αX β
Xi
X =
i=1
i=1
=
n
Y

!
Xiαi
X (...,0,αn+1 ,0,... )+β +
i=1
= X α+β +
X
α
n+1
Xn+1,j hn+1 (Xn+1
)hj (X β )
n+1>j
X
Xi,j hi (X (α1 ,...,αn ) )hj (X (...,0,αn+1 ,0,... )+β )+
n≥i>j
n
Y
!
Xiαi
i=1
X
α
n+1
Xn+1,j hn+1 (Xn+1
)hj (X β )
n+1>j
Or, dans la première somme, comme n + 1 > i > j on a à la fois
α
n+1
hi (X (α1 ,...,αn+1 ) ) = hi (X (α1 ,...,αn ) )Xn+1
et
α
n+1
hj (X (...,0,αn+1 ,0,... )+β ) = hj (X β )Xn+1
,
et par conséquent
hi (X (α1 ,...,αn ) )hj (X (...,0,αn+1 ,0,... )+β ) = hi (X (α1 ,...,αn+1 ) )hj (X β ).
28
H. GAUDIER AND M. HARTL
On a donc
n+1
Y
!
Xiαi
β
X =X
α+β
X
+
i=1
= X α+β +
α
Xi,j hi (X )hj (X ) +
n+1>j
X
X
Xi,j hi (X α )hj (X β ) +
=X
X
+
!
n
Y
Xn+1,j
n≥i>j
α
Xi2αi
n+1
)hj (X β )
hn+1 (Xn+1
i=1
Xn+1,j hn+1 (X α )hj (X β )
n+1>j
n≥i>j
α+β
X
β
α
β
Xi,j hi (X )hj (X )
i>j
Ce qui termine la preuve du lemme et donc de l’unicité de la multiplication.
Preuve. [Preuve du théorème 3.3.1] Vérifions que le quadruplet ainsi construit R[Xi ] = {Re , Ree , P, H}
satisfait les conditions de la proposition 3.1.1. La condition (1) est trivialement satisfaite par construction.
Condition (2): d’après 3.3.3 (1), on a 1 r = r 1 = r, donc la multiplication a une unité.
Associativité : on a d’une part
0
02
0
0
02
((r0 + r00 )(s0 + s00 ))(t0 + t00 ) = (r0 s0 + r00 s + s00 r )(t0 + t00 ) = (r0 s0 )t0 + (r00 s + s00 r )t + t00 r0 s0
0 0
02 0
= (r0 s0 )t0 + r00 s t + s00 r t + t00 r0 s0
2
2
et d’autre part
0
0
02
02
(r0 + r00 )((s0 + s00 )(t0 + t00 )) = (r0 + r00 )(s0 t0 + s00 t + t00 s ) = r0 (s0 t0 ) + r00 s0 t0 + (s00 t + t00 s )r
0 02
02
02 02
= r0 (s0 t0 ) + r00 s0 t0 + s00 t r + t00 s r
Il en résulte qu’il suffit de montrer l’associativité pour les éléments r0 , s0 et t0 dans Re .
Soient X α , X β et X γ trois monômes ordonnés unitaires on a
X α (X β X γ )−(X α X β )X γ
= X α (X β+γ +
X
X
Xi,j hi (X β )hj (X γ )) − (X α+β +
i>j
= X α+β+γ +
X
−X
γ
i>j
Xi,j hi (X α )hj (X β+γ ) +
i>j
α+β+γ
Xi,j hi (X α )hj (X β ))X
X
Xi,j hi (X β )hj (X γ )X
2α
i>j
−
X
Xi,j hi (X
α+β
)hj (X γ ) −
i>j
X
Xi,j hi (X α )hj (X β )X
γ
i>j
Or on a
hi (X
α+β
2α1 +2β1
2αi +2βi
Xi
2αi−1 +2βi−1
) = X1
. . . X i−1
2α1 +2β1
Xi −
2αi +2βi
αm +βm
. . . Xm
Xi
2αi +βi
− Xi
Xi
. . . X i−1
αi+1 +βi+1
X i+1
2
2αi−1 +2βi−1
= X1
αi +βi
− Xi
αi+1 +βi+1
X i+1
2
αm +βm
. . . Xm
Xi − Xi
2α1 +2β1
+ X1
2αi−1 +2βi−1
. . . X i−1
2αi +βi
Xi
αi +βi
− Xi
αi+1 +βi+1
αm +βm
X i+1
2
. . . Xm
Xi − Xi
2α1
= (X 1
2αi
. . . Xi
αi+1
αm
2β1
X i+1 . . . X m )(X 1
2βi−1
. . . X i−1
2βi
Xi
βi
− Xi
2
βi+1
βm
X i+1 . . . X m )
Xi − Xi
2β1
+ (X 1
2βi−1
βi
βm
2α1
. . . X i−1 X i . . . X m )(X 1
2αi−1
. . . X i−1
2αi
Xi
αi
− Xi
2
αi+1
αm
X i+1 . . . X m )
Xi − Xi
2α1
= (X 1
2αi
. . . Xi
αi+1
αm
2β1
X i+1 . . . X m )hi (X β ) + (X 1
2βi−1
βi
βm
. . . X i−1 X i . . . X m )hi (X α )
MORPHISMES QUADRATIQUES ENTRE MODULES SUR UN ANNEAU CARRÉ
29
On obtient alors
X α (X β X γ ) − (X α X β )X γ =
X
2β1
2βj
Xi,j hi (X α )(X 1
βj+1
βm
. . . X j X j+1 . . . X m )hj (X γ )
i>j
+
X
−
X
−
X
2γ1
α
Xi,j hi (X )(X 1
2γj−1
γj
γm
. . . X j−1 X j . . . X m )hj (X β ) +
i>j
X
Xi,j hi (X β )hj (X γ )X
2α
i>j
2α1
Xi,j (X 1
2αi
. . . Xi
αi+1
αm
X i+1 . . . X m )hi (X β )hj (X γ )
i>j
2β1
2βi−1
βi
βm
. . . X i−1 X i . . . X m )hi (X α )hj (X γ ) −
Xi,j (X 1
i>j
X
=
X
Xi,j hi (X α )hj (X β )X
γ
i>j
2β1
Xi,j hi (X α )hj (X γ )(X 1
2βj
βj+1
βm
2β1
. . . X j X j+1 . . . X m − X 1
2βi−1
βi
βm
. . . X i−1 X i . . . X m )
i>j
+
X
+
X
2γ1
Xi,j hi (X α )hj (X β )(X 1
2γj−1
γj
γm
γ
. . . X j−1 X j . . . X m − X )
i>j
2α
Xi,j (X
2α1
− X1
2αi
. . . Xi
αi+1
αm
X i+1 . . . X m )hi (X β )hj (X γ )
i>j
Or on vérifie aisément les trois relations
2α
X
2α1
− X1
m
X
=
2αi
. . . Xi
2α1
X1
αi+1
αm
X i+1 . . . X m
2αk−1
2αk
αk
αk+1
αm
− X k )X k+1 . . . X m =
. . . X k−1 (X k
2γ1
2γj−1
γj
γm
γ
2γk−1
2γk
. . . X j−1 X j . . . X m − X
=
j−1
X
2γ1
X1
. . . X k−1 (X k
γk
γk+1
γm
− X k )X k+1 . . . X m =
k=1
2β1
X1
2βj
βj+1
i−1
X
j−1
X
2
(X k − X k )hk (X γ )
k=1
βm
2β1
. . . X j X j+1 . . . X m − X 1
=−
2
(X k − X k )hk (X α )
k=i+1
k=i+1
X1
m
X
2β1
X1
2βk−1
2βi−1
βi
βm
. . . X i−1 X i . . . X m
2βk
. . . X k−1 (X k
βk
βk+1
βm
− X k )X k+1 . . . X m = −
k=j+1
i−1
X
2
(X k − X k )hk (X β )
k=j+1
Et en remplaçant on obtient
X α (X β X γ ) − (X α X β )X γ =
X
Xi,j
i>j
+
X
+
X
i−1
X
k=j+1
Xi,j
i>j
i>j
2
(X k − X k )hk (X β )hi (X α )hj (X γ )
Xi,j
j−1
X
2
(X k − X k )hk (X γ )hi (X α )hj (X β )
k=1
m
X
2
(X k − X k )hk (X α )hi (X β )hj (X γ )
k=i+1
30
H. GAUDIER AND M. HARTL
Et en réaffectant les indices i, j et k de façon à ce que dans chaque somme on ait i > j > k on obtient
X α (X β X γ ) − (X α X β )X γ = −
X
Xi,k
j=k+1
+
X
j−1
X
+
X
Xi,j
Xj,k
=
2
(X k − X k )hk (X γ )hi (X α )hj (X β )
k=1
m
X
2
(X i − X i )hi (X α )hj (X β )hk (X γ )
i=ji+1
j>k
α
2
(X j − X j )hj (X β )hi (X α )hk (X γ )
i>k
i>j
X
i−1
X
2
β
2
2
hi (X )hj (X )hk (X γ )(Xi,j (X k − X k ) + Xj,k (X i − X i ) − Xi,k (X j − X j ))
i>j>k
Comme la dernière parenthèse est nulle d’après la définition même de Re , le produit de trois monômes
unitaires est bien associatif
La fin de la preuve de l’associativité sera donnée plus bas à l’exception d’un cas particulier qui sera
utilisé un peu plus loin: soit Mi une famille de monômes ordonnés non nécessairement unitaire, N un
monôme ordonné unitaire et a un entier. On a
X
X
X
X
X
P H(N a)M i M j =
Mi (N a) +
P H(N )M i M j a
Mi )(N a) =
(Mi N )a +
(
i<j
i
i
i<j
i
X
X
X
Mi )N )a.
=(
Mi N +
P H(N )M i M j )a = ((
i
i
i<j
Distributivité à droite: on a d’une part
0
0
(r0 + r00 )(s0 + s00 + t0 + t00 ) = r0 (s0 + t0 ) + r00 (s + t ) + (s00 + t00 )r
0
0
02
02
= r0 (s0 + t0 ) + r00 s + r00 t + s00 r + t00 r
02
et d’autre part
0
0
02
(r0 + r00 )(s0 + s00 ) + (r0 + r00 )(t0 + t00 ) = r0 s0 + r00 s + s00 r + r0 t0 + r00 t + t00 r
02
Il en résulte qu’il suffit de montrer la distributivité à droite pour les éléments r0 , s0 et t0 dans Re . Soit
d’abord r ∈ Re0 , N un monôme ordonné unitaire et a et a0 deux entiers. On a
r(N a + N a0 ) = r(N (a + a0 )) = (rN )(a + a0 ) = (rN )a + (rN )a0 = r(N a) + r(N a0 )
Si maintenant Ni et Ni0 sont deux familles de monômes ordonnés non nécessairement unitaires, on a
X
X
X
X
X
X
X
r(
Ni +
Ni0 ) = r( (Ni + Ni0 )) =
r(Ni + Ni0 ) =
(rNi + rNi0 ) =
rNi +
rNi0
i
i
i
i
i
i
i
X
X
= r(
Ni ) + r(
Ni0 )
i
i
Ce qui montre la distributivité à droite.
Condition (3) : Im P = Re00 est stable par multiplication à gauche et à droite, et de carré nul d’après
3.3.3 (2). Et par construction R = Re /Im P = Z[X i ] est un anneau commutatif.
Condition (4) : vraie par construction.
Conditions (5):
Montrons que P HP = P + P . Par définition P est R-linéaire; d’après 3.3.2 (7) la restriction de H
à Im P l’est aussi. Il suffit donc de vérifier la relation sur les générateurs de Ree . C’est clair pour le
générateur Y∗ . Pour Yi on a :
2
2
P HP (Yi ) = P H(X∗,i ) = P (Yi (X ∗ − X ∗ ) − Y∗ (X i − X i )) = P (Yi 2) = P (Yi )2.
Montrons que ru = ur2 si u ∈ Re00 . Posons r = r0 + r00 . D’après 3.3.3 (2) on a : (r0 + r00 )u = ur
2
ur = u(r02 + r00 r0 + r00 r02 ) = r00 r02 .
Montrons que (r + s)t = rt + st + P H(t)rs. (H-distributivité à gauche) On a d’une part
0
(r0 + r00 + s0 + s00 )(t0 + t00 ) = (r0 + s0 )t0 + (r00 + s00 )t + t00 (r0 + s0 )2
0
0
02
02
= (r0 + s0 )t0 + r00 t + s00 t + t00 r + t00 s + t00 2r0 s0
02
et
MORPHISMES QUADRATIQUES ENTRE MODULES SUR UN ANNEAU CARRÉ
31
et d’autre part en utilisant 3.3.2 (6) et (7) et 3.3.3 (2)
(r0 + r00 )(t0 + t00 ) + (s0 + s00 )(t0 + t00 ) + P H(t0 + t00 )(r0 + r00 )(s0 + s00 )
0
02
0
02
0
02
0
02
0
02
0
02
0
02
= r0 t0 + r00 t + t00 r + s0 t0 + s00 t + t00 s + P H(t0 + t00 )(r0 s0 + r00 s + s00 r )
= r0 t0 + r00 t + t00 r + s0 t0 + s00 t + t00 s + P H(t0 + t00 )(r0 s0 )
= r0 t0 + r00 t + t00 r + s0 t0 + s00 t + t00 s + P H(t0 )(r0 s0 ) + P H(t00 )(r0 s0 )
Si t00 ∈ Re00 = Im P on a P H(t00 ) = P HP (x) = P (x)2 = t00 2. Si maintenant t00 = Xi,j , on a:
2
2
P H(Xi,j = P (Yj (X i − X i ) − Yi (X j − X j ))
2
2
= X∗,j (X i − X i ) − X∗,i (X j − X j ) = Xi,j 2.
Il en résulte qu’il suffit de démontrer la formule pour r00 = s00 = t00 = 0.
Soient d’abord M et N deux monômes ordonnés unitaires et a, a0 et b des entiers. On a d’une part
2 a + a0
0
0
0
b
(M a + M a )(N b) = (M (a + a ))(N b) = M N (a + a )b + P H(N )M
2
2 a + a0
= M N ab + M N a0 b + P H(N )M
b
2
et d’autre part
2
(M a)(N b) + (M a0 )(N b) + P H(N b)M aa0
2 a0
2
a
0
= M N ab + P H(N )M
b + M N a b + P H(N )M
b + P H(N )M aa0 b
2
2
0
0
et on a bien l’égalité puisque a+a
= a2 + a2 + aa0 . Lorsque les Mi sont P
des monômes ordonnés
2
non nécessairement unitaires de poids distincts, la H-distributivité du produit ( i Mi )N découle de la
définition du produit donnée en 3.3.3 (4). Si maintenant Mi0 est une seconde famille de monômes ordonnés
non nécessairement unitaires de poids distincts, on a
X
X
X
X
X
0
0
(
Mi +
Mi0 )N = ( (Mi + Mi0 ))N =
(Mi + Mi0 )N +
P H(N )(M i + M i )(M j + M j )
2
i
i
i
=
X
i
Mi N +
i
X
Mi0 N
+
i
X
i<j
0
P H(N )M i M i
i
+ P H(N )(
X
M iM j +
i<j
=
X
Mi N + P H(N )
i
X
+ P H(N )(
0
M iM j +
i<j
M iM j +
i<j
X
X
0
M iM j +
i<j
Mi0 N + P H(N )
i
X
X
X
X
0
0
M iM j )
i<j
0
0
M iM j
i<j
0
M iM i +
i
X
0
M iM j +
i<j
X
0
M iM j )
i<j
X
X
X
X 0
=(
Mi )N + (
Mi0 )N + P H(N )(
M i )(
M i)
i
i
i
0
i
Re0
Ce qui montre la formule. Si maintenant r et r sont dans
et Ni est une famille de monômes ordonnés
de poids distincts, non nécessairement unitaires, on a
X
X
X
0
(r + r0 )(
Ni ) =
(r + r0 )Ni =
(rNi + r0 Ni + P H(Ni )rr )
i
i
i
X
X
X
X
X
X
0
0
=
(rNi ) +
(r0 Ni ) +
(P H(Ni )rr ) = r
(Ni ) + r0
(Ni ) + P H(
Ni )rr
i
i
i
i
i
i
Ce qui termine la preuve de la H-distributivité à gauche.
Montrons que H(r + s) = H(r) + H(s) + H(2) · rs. On a d’une part en utilisant 3.3.2 (6) et (7)
H(r0 + r00 + s0 + s00 ) = H(r0 + s0 ) + H(r00 ) + H(s00 )
32
H. GAUDIER AND M. HARTL
et d’autre part:
H(r0 + r00 ) + H(s0 + s00 ) + H(2)(r0 + r00 )(s0 + s00 ) = H(r0 ) + H(r00 ) + H(s0 ) + H(s00 ) + H(2)r0 s0 .
Il en résulte qu’il suffit de démontrer la formule pour r00 = s00 = 0.
Soit M un monôme ordonné unitaire et a et b deux entiers. On a d’une part puisque H(2) = Y∗ :
2 a+b
H(M a + M b) = H(M (a + b)) = H(M )(a + b) + Y∗ M
2
et d’autre part
2 b
2
a
+ H(M )b + Y∗ M
+ Y∗ M ab
H(M a) + H(M b) + Y∗ M ab = H(M )a + Y∗ M
2
2
et les deux quantités sont égales puisque a+b
= a2 + 2b + ab.
2
Soit maintenant Mi une famille de monômes ordonnés unitaires distincts et ai et bi deux familles
d’entiers. On a d’une part
X
X
X
X
X
Mi Mj (ai + bi )(aj + bj ))
H(
Mi ai +
Mi bi ) = H(
Mi (ai + bi ) =
H(Mi (ai + bi ) + Y∗ (
2
i
i
=
2
i
X
H(Mi ai ) +
i
i
X
i<j
X 2
X
H(Mi bi ) + Y∗ (
M i ai bi ) + Y∗ (
Mi Mj (ai + bi )(aj + bj ))
i
i
i<j
et d’autre part
X
X
X
X
H( Mi ai ) + H(
Mi bi ) + Y∗ (
M i ai )(
M i bi ) =
i
i
=
X
i
j
X
X
X
X
X
M i M j ai aj +
H(Mi bi ) + Y∗ (
M i M j bi bj Y∗ (
M i ai )(
M i bi )
H(Mi ai ) + Y∗ (
i
i
i<j
i<j
i
j
On vérifie aisément que les coefficients de Y∗ dans les deux expressions sont les mêmes, ce qui prouve que
H vérifie bien la formule d’addition.
2
Montrons que H(rs) = H(r) · s + H(s) · s . On a d’une part
0
02
0
H((r0 + r00 )(s0 + s00 )) = H(r0 s0 + r00 s + s00 r ) = H(r0 s0 ) + H(r00 )s + H(s00 )r
02
et d’autre part
0
0
02
02
H(r0 + r00 )(s0 + s00 ) + H(s0 + s00 )(r0 + r00 )2 = H(r0 )s + H(r00 )s + H(s0 )r + H(s”)r .
Il en résulte qu’il suffit de démontrer la formule pour r00 = s00 = 0.
Soient α et β deux entiers > 0. On a d’une part
2(α+β)
H(Xiα Xiβ )
=
H(Xiα+β )
=
Yi hi (Xiα+β )
= Yi
Xi
α+β
− Xi
;
2
Xi − Xi
et d’autre part
2α+β
β
H(Xiα )X i
+
2α
H(Xiβ )X i
=
β
Yi hi (Xiα )X i
+
2α
Yi hi (Xiβ )X i
= Yi
Xi
α+β
− Xi
2β+2α
+ Xi
2
Xi − Xi
α
β
Ce qui montre la formule pour le produit X i X i .
α
β
Connsidérons maintenant un produit X i X j avec i 6= j. On a d’une part
α
β
2α
β
2α
H(X i )X i + H(Xjβ )X i = Yi hi (Xiα )X j + Yj hj (Xjβ )X i ;
et d’autre part si i < j
H(Xiα Xjβ ) = Yi hi (Xiα Xjβ ) + Yj hj (Xiα Xjβ ) = Yi hi (Xiα )Xjβ + Yj hj (Xjβ )Xi2α
β+2α
Xi
MORPHISMES QUADRATIQUES ENTRE MODULES SUR UN ANNEAU CARRÉ
33
d’où l’égalité dans ce cas; et si i > j
H(Xiα Xjβ ) = H(Xjβ Xiα + Xi,j hi (Xiα )hj (Xjβ ))
2
2
= H(Xjβ Xiα ) + (Yj (X i − X i ) − Yi (X j − X j )(hi (Xiα )hj (Xjβ ))
α
2β
2α
α
2β
β
= H(Xjβ )X i + H(Xiα )X j + Yj (X i − X i )hj (Xjβ ) − Yi (X j − X j )hi (Xiα )
α
2β
2α
α
2β
β
= Yj hj (Xjβ )X i + Yi hi (Xiα )X j + Yj (X i − X i )hj (Xjβ ) − Yi (X j − X j )hi (Xiα )
= Yi hi (Xiα )Xjβ + Yj hj (Xjβ )Xi2α
ce qui montre la formule dans ce dernier cas.
Considérons maintenant un produit de deux monômes ordonnés unitaires X α et X β . On a
H(X α X β ) = H(X α+β +
X
Xi,j hi (X α )hj (X β ))
i>j
= H(X
α+β
)+
X
H(Xi,j )hi (X α )hj (X β )
i>j
=
m
X
i=1
=
m
X
2
X
Yi hi (X α+β ) +
2
(Yj (X i − X i ) − Yi (X j − X j ))hi (X α )hj (X β )
1≤j<i≤m
i=1
X
2
(
Yj (X i − X i )hi (X α )hj (X β ))
X
Yi hi (X α+β ) +
1≤j≤m−1 i>j
X X
2
(
Yi (X j − X j )hi (X α )hj (X β ))
−
2≤i≤m i>j
Or on a pour j fixé
X
2
(X i − X i )hi (X α ) =
X
i>j
2α1
X1
2αi−1
2αi
. . . X i−1 (X i
αi
αi+1
αm
− X i )X i+1 . . . X m
i>j
2α
=X
2α1
2αj
− X1
. . . Xj
αj+1
αm
X j+1 . . . X m
De même pour i fixé, on a
X 2
X 2β1
2βj−1
2βj
βj
βj+1
βm
(X j − X j )hj (X β )) =
X 1 . . . X j−1 (X j − X j )X 1 . . . X m
j<i
j<i
2β1
= X1
2βi−1
Et puisque hi (Xiαi +βi ) = H(Xiαi +βi ) = H(Xiαi )X
également
m
X
Yi hi (X α+β ) =
i=1
m
X
2(α1 +β1 )
Yi X 1
βi
βm
. . . X i−1 X i . . . X m − X
βi
2αi
+ H(Xiβi )X i
2(αi−1 +βi−1 )
. . . X i−1
β
= hi (Xiαi )X
αi+1 +βi+1
hi (Xiαi +βi )X i+1
βi
2αi
+ hi (Xiβi )X i
αm +βm
. . . Xm
i=1
=
m
X
2(α1 +β1 )
Yi X 1
2(αi−1 +βi−1 )
. . . X i−1
βi
αi+1 +βi+1
hi (Xiαi )X i X i+1
αm +βm
. . . Xm
+
i=1
m
X
i=1
2(α1 +β1 )
Yi X 1
2(αi−1 +βi−1 )
. . . X i−1
2αi
hi (Xiβi )X i
αi+1 +βi+1
X i+1
αm +βm
. . . Xm
, on a
34
H. GAUDIER AND M. HARTL
Donc
H(X α X β ) =
m
X
2(α1 +β1 )
2(αi−1 +βi−1 )
βi αi+1 +βi+1
αm +βm
. . . X i−1
hi (Xiαi )X i X i+1
. . . Xm
Yi X 1
i=1
+
m
X
2(α1 +β1 )
Yi X 1
2(αi−1 +βi−1 )
. . . X i−1
2αi
hi (Xiβi )X i
αi+1 +βi+1
X i+1
αm +βm
. . . Xm
i=1
X
+
Yj hj (X β )(X
2α
2α1
− X1
2αj
αj+1
. . . Xj
αm
X j+1 . . . X m )
1≤j≤m−1
−
X
2β1
Yi hi (X α )(X 1
2βi−1
βi
β
βm
. . . X i−1 X i . . . X m − X )
2≤i≤m
=
m
X
2β1
Yi hi (X α )X 1
2βi−1
βi
βm
. . . X i−1 X i . . . X m +
m
X
2α1
Yi hi (X β )X 1
+
m
X
Yi hi (X β )X
2α
−
m
X
i=1
−
m
X
2α1
Yi hi (X β )X 1
2αi
. . . Xi
αm
αi+1
αm
X i+1 . . . X m
i=1
2β1
Yi hi (X α )X 1
2βi−1
βi
βm
. . . X i−1 X i . . . X m +
m
X
Yi hi (X α )X
β
i=1
i=1
=
αi+1
X i+1 . . . X m
i=1
i=1
m
X
2αi
. . . Xi
Yi hi (X β )X
2α
i=1
+
m
X
Yi hi (X α )X
β
=
H(X β )X
2α
+ H(X α )X
β
i=1
Ce qui montre la formule dans ce cas. Soient maintenant M et N deux monômes ordonnés unitaires et
a et b deux entiers. On a
2 a
2 a
H((M a)(N b)) = H(M N ab + P H(N )M
b) = H(M N ab) + HP H(N )M
b
2
2
2 2 ab
2 a
= H(M N )ab + Y∗ M N
+ HP H(N )M
b
2
2
2
2 2 ab
2 a
+ HP H(N )M
b
= H(M )N ab + H(N )M ab + Y∗ M N
2
2
Or, si N = X β , on a
m
m
m
X
X
X
HP H(N ) = HP (
Yi hi (N )) = H(
X∗,i hi (N )) =
H(X∗,i )hi (N )
i=1
=
m
X
i=1
i=1
m
m
X
X
2
(Yi 2 − Y∗ (X i − X i ))hi (N ) = (
Yi hi (N ))2 − Y∗
(X i − X i )hi (N )
2
i=1
i=1
i=1
2
= H(N )2 − Y∗ (N − N )
la dernière égalité s’obtenant en développant
m
X
i=1
2
(X i − X i )hi (N ) =
m
X
i=1
2β1
X1
2βi−1
2βi
. . . X i−1 (X i
βi
βi+1
βm
2
− X i )X i+1 . . . X m = N − N
MORPHISMES QUADRATIQUES ENTRE MODULES SUR UN ANNEAU CARRÉ
35
On obtient donc
2
2 2 ab
2
2 a
H((M a)(N b)) = H(M )N ab + H(N )M ab + Y∗ M N
+ (H(N )2 − Y∗ (N − N ))M
b
2
2
2
2 2
2
a
ab
a
a
= H(M )aN b + H(N )bM (a + 2
) + Y∗ M N (
−
b) + Y∗ M N
b
2
2
2
2
2 a
2 b
2
2 2
ab
a
= (H(M a) − Y∗ M
)N b + (H(N b) − Y∗ N
)M a2 + Y∗ M N (
−
b)
2
2
2
2
2
a
+ Y∗ M N
b
2
2
2 2
ab
a
b 2
= H(M a)N b + H(N b)M a2 + Y∗ M N (
−
b−
a )
2
2
2
a
b 2
Et puisque ab
2 = 2 b+ 2 a cela montre la formule. Soit maintenant N et Mi des monômes ordonnés
non nécessairement unitaires. On a
X
X
X
X
X
Mi N ) + H(
P H(N )M i M j )
H((
Mi )N ) = H(
Mi N +
P H(N )M i M j ) = H(
i
i
=
X
i<j
H(Mi N ) + Y∗
i
i
X
2
M iM j N +
X
i<j
HP H(N )M i M j
i<j
i<j
Or, si N = N1 b avec N1 unitaire, on a
2
b
HP H(N ) = HP (H(N1 )b + Y∗ N 1
= HP H(N1 )b = H(N1 )2b − Y∗ (N 1 − N 1 )b
2
2 b
2
2
2 − Y∗ (N 1 − N 1 )b = H(N )2 − Y∗ (N − N )
= H(N )2 − Y∗ N 1
2
2
On obtient donc
X
X
X
X
X
2
2
H((
Mi )N ) =
H(Mi )N +
H(N )M i + Y∗
M i M j N + H(N )
M iM j 2
i
i
i<j
i
i<j
2
− Y∗ (N − N )
X
M iM j
i<j
= H((
X
X
X
X
M i M j )N + H(N )(
M i )2 + Y∗ N (
M iM j )
Mi ) − Y∗ (
i
= H(
X
i<j
i
Mi )N + H(N )(
i
X
M i)
i<j
2
i
P
Ce qui est la formule cherchée. Considérons enfin le produit r0 ( i Ni ). On a
X
X
X
X 2 2 2
r Ni Nj
H(r(
Ni )) = H(
rNi ) =
H(rNi ) + Y∗
i
i
=
X
i
H(r)N i +
i
= H(r)(
i<j
X
2
H(Ni )r + Y∗
X
i
X
i
N i) + (
2
2
2
r Ni Nj
i<j
X
i
H(Ni ) + Y∗
X
i<j
2
2
2
N i N j )r = H(r)(
X
i
N i ) + H(
X
Ni )r
2
i
Ce qui achève la preuve de la dernière formule de la condition (5) de 3.1.1.
Et nous terminons la preuve de l’associativité: soient M , N et Q trois monômes ordonnés unitaires et
a, b et c trois entiers. On a d’une part
2 a
((M A)(N b))(Qc) = (M N ab + P H(N )M
b)(Qc)
2
2 2 ab
2
a
= M N Qabc + P H(Q)M N
c + P H(N )M Q
bc
2
2
36
H. GAUDIER AND M. HARTL
et d’autre part
b
(M a)((N b)(Qc)) = (M a)(N Qbc + P H(Q)N
c)
2
2 a
2 2
2 b
= M N Qabc + P H(N Q)M
c
bc + P H(Q)M N a
2
2
2 a
2
2 a
2 2
2 b
= M N Qabc + P H(N )QM
bc + P H(Q)N M
bc + P H(Q)M N a
c
2
2
2
a
b 2
et on a l’égalité puisque ab
2 = 2 b + 2 a . Soient maintenant Mi , N et Q des monômes ordonnés non
nécessairement unitaires.
2
((
X
X
X
X
X
Mi N )Q + (
P H(N )M i M j )Q
Mi )N )Q = (
Mi N +
P H(N )M i M j )Q = (
i
i
=
X
Mi N Q +
i
=
X
=
i
i<j
X
2
P H(Q)M i M j N +
X
i
i<j
X
Mi N Q +
X
i
P H(N )M i M j Q
i<j
i<j
Mi N Q +
i<j
X
2
(P H(Q)N + P H(N )Q)M i M j
X
P H(N Q)M i M j = (
Mi )(N Q)
i<j
i
Soit maintenant r ∈ Re0 , Ni et Q des monômes ordonnés non nécessairement unitaires:
X
X
X
X
2
(r(
Ni ))Q = (
rNi )Q =
rNi Q +
P H(Q)r N i N j
i
i
i
i>j
X
X
X
= r(
Ni Q +
P H(Q)N i N j ) = r((
Ni )Q)
i
i>j
i
Et enfin, si r et s ∈ Re0 et si les Qi sont des monômes ordonnés non nécessairement unitaires, on a :
X
X
X
X
X
(rs)(
Qi ) =
(rs)Qi =
r(sQi ) = r(
sQi ) = r(s(
Qi ))
i
i
i
i
i
H /
P
/ Re ) est un annneau carré commutatif.
Ce qui achève la preuve du fait que ( Re
Ree
Vérifions alors qu’il a bien la propriété universelle cherchée. Soit (si )i∈I une famille d’éléments de Se .
Elle définit un unique morphisme d’anneau R = Z[X i ] → S, et donc un unique morphisme ϕe : Re → Se
compatible à l’addition et à la multiplication tel que ϕe (Xi ) = si et ϕe (Xi,j ) = ϕe (Xi Xj − Xj Xi ) =
si sj − sj si . Comme Ree est un R-module libre, pour définir un morphisme de R-module ϕee : Ree → See
il suffit de se donner les images d’une base. La compatibilité de ϕ avec les applications H impose que
l’on ait
ϕee (Y∗ ) = HS (2)
ϕee (Yi ) = HS (si ).
On voit donc que les applications ϕe et ϕee sont définies de façon unique.
3.4. Le module PR2 (Re ) pour un anneau carré libre.
Proposition 3.4.1. Soit R l’anneau carré libre engendré par les variables (Xi )i∈I . Le module PR2 (Re )
est le R-module libre engendré par les p2 (Xi ) pour i ∈ I∗ .
Par définition PR2 (Re ) est le R-module engendré par les p2 (r) pour r ∈ Re soumis aux relations (3.2.1)
et (3.2.2). Considérons alors dans le R-module libre de base Re∗ les éléments
(3.4.1)
ρ1 (r, s) := [r + s] − [r] − [s] − [2]rs
(3.4.2)
ρ2 (r, s) := [rs] − [r]s − [s]r
2
MORPHISMES QUADRATIQUES ENTRE MODULES SUR UN ANNEAU CARRÉ
37
Lemme 3.4.2. On a les relations suivantes
(3.4.3a) ρ1 (r + s, t) = ρ1 (r, s + t) − ρ1 (r, s) + ρ1 (s, t)
(3.4.3b) ρ1 (r, s + t) = ρ1 (s, r + t) + ρ1 (r, t) − ρ1 (s, t)
(3.4.3c) ρ1 (
n
X
ri , s) =
i=1
n
X
ρ1 (ri , s +
i=1
i−1
X
rj ) −
j=1
n
X
ρ1 (ri ,
i−1
X
i=2
rj )
j=1
(3.4.3d) ρ2 (r, s + t) = ρ2 (r, s) + ρ2 (r, t) + ρ1 (rs, rt) − ρ1 (s, t)r
(3.4.3e) ρ2 (r,
n
X
si ) =
i=1
n
X
ρ2 (r, si ) +
i=1
n
X
ρ1 (rsi , r
i=2
i−1
X
sj ) −
j=1
n
X
2
ρ1 (si ,
i=2
i−1
X
sj )r̄2
j=1
(3.4.3f) ρ2 (r + s, t) = ρ2 (r, t) + ρ2 (s, t) + (ρ2 (2, t) − ρ2 (t, 2))rs + ρ2 (P H(t), rs) − ρ1 (r, s)t + ρ1 (rt, st)
− ρ1 ((r + s)t, −P H(t)rs) + ρ1 (P H(t)rs, −P H(t)rs) − ρ1 (t2, P H(t))rs
n
X
(3.4.3g) ρ2 (
ri , t) =
i=1
n
X
i=1
+
n
X
+
ri rj +
ρ1 ((
i−1
X
rj )t, ri t) −
j=1
n
X
ρ1 ((
i=2
ρ1 (P H(t)(
i=2
i−1
X
i−1
X
rj ), ri )t +
n
X
n
X
rj )ri , −P H(t)(
i−1
X
rj ri )
j=1
j=1
j=1
X
rj )ri − ρ1 (t2, P H(t))(
j=1
j=1
i−1
X
i
i−1
X
X
rj )ri
ρ1 (
rj )t, −P H(t)(
i=2
j=1
ρ2 (P H(t),
i=2
1≤i<j≤n
i=2
n
X
X
ρ2 (ri , t) + (ρ2 (2, t) − ρ2 (t, 2))
ri rj )
1≤i<j≤n
2
(3.4.3h)
ρ2 (r, st) = ρ2 (rs, t) + ρ2 (r, s)t − ρ2 (s, t)r
(3.4.3i)
ρ2 (rs, t) = ρ2 (rt, s) + (ρ2 (s, t) − ρ2 (t, s))r + ρ2 (r, t)s̄ − ρ2 (r, s)t − ρ2 (r, ts − st)
2
− ρ1 (rst, r(ts − st)) + ρ1 (st, ts − st)r
2
(3.4.3j)
n
Y
ρ2 (r,
si ) =
i=1
n
X
i=1
ρ2 (r
i−1
Y
sj , si )
j=1
n
Y
sj −
j=i+1
n
X
ρ2 (
i=2
i−1
Y
sj , si )
j=1
n
Y
2
sj r
j=i+1
Preuve du Lemme. Les relations (3.4.3a), (3.4.3b) et (3.4.3d) se vérifient par simple identification. La
relation (3.4.3f) é,té prouvée dans la preuve de la proposition 3.2.4. Les formules (3.4.3h) et (3.4.3i) se
vérifient aussi par simple identification.
Les formules (3.4.3c) et (3.4.3e) se déduisent par récurrence des formules (3.4.3a) et (3.4.3d) (on y
Pn+1
Pn
écrira i=1 ri = rn+1 + i=1 ).
La formule (3.4.3g) se déduit par récurrence de la formule (3.4.3f), en remarquant que si r et t sont
dans ImP on a ρ2 (r, s + t) = ρ2 (r, s)
La formule (3.4.3j) se déduit par récurrence de la formule (3.4.3h).
Preuve de la proposition 3.4.1. D’après les propositions 3.2.4 et 3.2.3 on a la suite exacte de R-modules:
(J
(3.4.4)
‘
K)
q
R
/ R(R
∗∗
)
p
/ PR2 (Re )
/0
avec J := Re∗ × Re∗ , qJ ([r, s])) := ρ1 (r, s), K := Re∗∗ × Re∗∗ , qK ([r, s] := ρ2 (r, s) et p([r]) := pr .
Soit
L := (i, j) ∈ I∗2 tels que i > j. On peut alors étendre le morphisme q en un morphisme q1 :
‘ ‘
(J
K
R
(3.4.5)
L)
→R
(R∗∗ )
qui a même image, en posant
qL ((i, j)) : = ρ2 (Xi , Xj ) − ρ2 (Xj , Xi ) − ρ1 (Xi Xj − Xj Xi , Xj Xi )
= pXi Xj − pXi Xj − pXj Xi2 − pXj Xi + pXj Xi + pXi Xj2
− pXi Xj + p(Xi Xj −Xj Xi ) + pXj Xi
(3.4.6)
= pXi,j +
pXi (Xj2
− Xj ) − pXj (Xi2 − Xi )
Nous allons maintenant restreindre les ensembles J et K tout en gardant la même image par l’application
q. Nous désignerons dans la suite de cette preuve par r, s, t . . . des éléments de Re0 et par a, b, c . . . des
éléments de Re00 .
38
H. GAUDIER AND M. HARTL
On remarque d’abord que ρ2 (a, b) est nul car ab, a et b le sont, et que ρ2 (r, a) = ρ2 (a, r2 ). Ensuite, en
utilisant les relations (3.4.3d) et (3.4.3f), on vérifie que
2
(3.4.7) ρ2 (r +a, s+b) = ρ2 (r, s)+ρ2 (a, s)+ρ2 (b, r2 )+ρ1 (rs, as+br2 )+ρ1 (as, br2 )−ρ1 (r, a)s−ρ1 (s, b)r .
`
Par conséquent, on peut remplacer l’ensemble K par l’ensemble K1 = (Re0 ∗∗ × Re0 ∗∗ ) (Re00 ∗ × Re0 ∗∗ ).
De même en utilisant les relations (3.4.3a) et (3.4.3b) et le fait que ρ1 est symétrique en ses deux
variables, on vérifie que
ρ1 (r + a, s + b) = ρ1 (r + s, a + b) − ρ1 (r, a) − ρ1 (s, b) + ρ1 (r, s) + ρ1 (a, b).
`
`
Par conséquent on peut remplacer l’ensemble J par J1 = (Re0 ∗ × Re0 ∗ ) (Re0 ∗ × Re00 ∗ ) (Re00 ∗ × Re00 ∗ ). Ce
qui donne la suite exacte
(3.4.8)
(3.4.9)
R
(J1
‘
K1
‘
L)
q
/ R(R
∗∗
)
p
/0
/ PR2 (Re )
Regardons maintenant ce que deviennent les relations du lemme 3.4.2 lorsque toute les variables r, s, t sont
dans Re0 ∗ . Les variables des relations ρi seront alors dans Re0 ∗ sauf s’il s’agit d’un produit. Par exemple
dans la relation (3.4.3d) on a le terme ρ1 (rs, st). On peut alors le décomposer à l’aide de la relation
(3.4.8) pour que toutes les variables soient dans Re0 ∗ ou Re00 ∗ . de même on utilisera la décomposition
(3.4.7) pour réduire les variables figurant dans les relations ρ2 .
Nous allons maintenant continuer à réduire le sous-ensemble (Re00 ∗∗ × Re00 ∗∗ ) ⊂ K1 .
• Grâce à la relation (3.4.3e) il suffit de prendre les couples (r, s) où s est un monôme unitaire
ordonné.
• Grâce à la relation (3.4.3h) il suffit de prendre les couples r, s où s = Xi pour i ∈ I∗ .
• Grâce à la relation (3.4.3g) il suffit de prendre les couples r, s où r est un monôme ordonné
unitaire et s = Xi pour i ∈ I∗ .
• Soit (r, t) un tel couple, en posant r = r0 s où s est la plus grande variable de r, grâce à la
relation (3.4.3i), il suffit de prendre les couples r, s où r est un monôme ordonné unitaire, s = Xi
pour i ∈ I∗ où Xi est une variable supérieure ou égale à toutes les variables du monôme r. On
remarquera pour cela que puisque t = Xi et s = Xj avec i ≥ j, on a ρ2 (s, t) − ρ2 (t, s) = 0 si
i = j, et vaut qL ((i, j) − ρ1 (Xi Xj − Xj Xi , Xj Xi ) sinon.
Réduisons ensuite le sous-ensemble Re00 ∗ × Re0 ∗∗ ⊂ K1 .
• lorsque tous les ri sont dans Re00 , la relation (3.4.3g) se réduit à
i−1
n
i−1
n
n
n
X
X
X
X
X
X
rj , ri )t.
ρ1 (
rj )t, ri t) −
ρ1 ((
ρ2 (ri , t) +
ri , t) =
ρ2 (
i=1
i=1
j=1
i=2
i=2
j=1
Il suffit donc de prendre les éléments r de la forme Xi,j ri,j avec ri,j ∈ Re0 ∗ .
• Lorsque r est dans Re00 ∗ la relation (3.4.3h) peut s’écrire
ρ2 (rs, t) = ρ2 (r, st) − ρ2 (r, s)t.
Il suffit donc de prendre les couples (Xi,j , s) avec s ∈ Re0 ∗∗
Réduisons le sous ensemble Re00 ∗∗ × Re00 ∗∗ ⊂ J1 . Pour cela on ordonne lexicographiquement les Xi,j .
• Grâce à la relation (3.4.3c), il suffit de prendre les couples (a, b) où a est le produit d’une variable
Xi,j par un monôme ordonné.
• Grâce à (3.4.3b), il suffit de prendre les couples (a, b) où a est le produit d’une variable Xi,j par
un monôme ordonné de degré supérieur à celui de tous les termes de même type de b.
Réduisons enfin le sous ensemble Re0 × Re0 ∗ ⊂ J1 .
• Grâce à (3.4.3c), il suffit de prendre les couples (r, s) où r est un monôme ordonné.
• Grâce à (3.4.3b), il suffit de prendre les couples (r, s) où r est un monôme ordonné de degré
supérieur à celui de tous les monômes de s.
On a donc maintenant la suite exacte de R-modules
∗∗
q
(J2
K2
L)
/ R(R ) p / PR2 (Re )
/0
R
` `
où d’une part J2 = J20 J200 J2000 avec J20 = (r, s) de Re0 ∗ × Re0 ∗ tels que r est un monôme ordonné de
degré supérieur à celui de tous les monômes de s, avec J200 = Re0 ∗ × Re00 ∗ et avec J2000 = (a, b) de Re00 ∗ tels
que a est un monôme ordonné de degré supérieur à celui de tous les monômes de b, et où d’autre part
‘
(3.4.10)
‘
MORPHISMES QUADRATIQUES ENTRE MODULES SUR UN ANNEAU CARRÉ
39
`
K2 = K20 K200 avec K20 = (r, s) où r est dans Re0 ∗∗ et s est une variable Xi supérieure ou égale à toutes
les variables de r, et avec K200 = (a, s) où a est une des variables Xi,j et s est dans Re0 ∗∗ .
Nous allons maintenant simplifier simultanément les deux premiers termes de cette suite exacte.
• Tout élément de Re s’écrit de façon unique sous la forme r + a. Or, si r et a sont non nuls, le
terme [r + a] n’apparait que dans l’image par q de (r, a) ∈ J200 . On peut donc supprimer J200 dans
le premier terme de la suite exacte ‘
et les termes [r + a] dans le deuxième terme de la suite. Ce
Re0 ∗
Re00 ∗
.
deuxième terme devient donc R
• Tout élément de Re00 ∗ a un unique monôme de degré maximal. On peut donc dans le premier
terme supprimer J2000 et dans le deuxième terme remplacer Re00 ∗ par l’ensemble de ses monômes.
• Comme tout monôme de Re00 ∗ est le produit d’une variable Xi,j par un monôme de Re0 ∗ , on peut
dans le premier terme supprimer K20 et ne garder dans le deuxième que Xi,j ⊂ Re00 ∗ .
• Comme tout élément de Re0 ∗ a un unique monôme de degré maximal, on peut supprimer dans le
premier terme J20 et ne garder dans le deuxième terme que les [r] où r est un monôme unitaire.
• Comme tout monôme unitaire a une variable de plus grans degré, on peut dans le premier terme
supprimer K20 et dans le deuxième terme ne garder que les [Xi ].
• On termine enfin en supprimant l’ensemble L du premier terme avec lezs variables Xi,j du
deuxième.
Le premier terme a donc complètement disparu et il ne reste du deuxième que le module libre de base
les Xi pour i ∈ I∗ .
Corollaire 3.4.3. Pour un anneau carré libre l’application H : Re → Im H est universelle pour les
applications quadratiques nulles sur 0 et 1.
References
[1]
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Univ. LILLE Nord de France, F-59000 LILLE, France
UVHC, LAMAV et FR CNRS 2956, F-59313 VALENCIENNES, France
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