Arithmétique - Mathématiques de M. Delgado

Tle S - exercices M. Delgado
Arithmétique
I Divisibilité dans Z
1) Diviseurs et multiples
Exercice 1 : trouver tous les diviseurs des nombres 20, 36, 80, 120, 150, 157, 185, 230, 700, 1440 et 2048
Exercice 2 : un nombre entier est dit parfait si il est égal à la somme de ses diviseurs excepté lui-même.
1. Donner la liste des diviseurs de 6, 28 et 495.
2. Ces nombres sont-ils parfaits ?
Exercice 3 : deux entiers positifs met nsont dits amicaux, si la somme des diviseurs de m(autres que m) est égale à net
simultanément la somme des diviseurs de n(autres que n) est égale à m. Les plus petits nombres amicaux sont 220 et 284.
1. Décomposer en produit de nombres premiers 220 et 284.
2. Vérifier que 220 et 284 sont amicaux.
Exercice 4 : répondre par vrai ou faux en justifiant les réponses.
1. Si un entier est divisible par 49 et par 35 alors cet entier est divisible par 49×35 =1715.
2. Si un nombre est divisible par 3 alors il est divisible par 9.
3. Si adivise bet c, alors adivise b−c.
4. La somme de deux diviseurs d’un entier est encore un diviseur de cet entier. e) Le produit de deux entiers pairs est
pair.
5. Le produit de deux entiers impairs est impair.
Exercice 5 : démontrer que, pour tout entier n, si n2est pair alors nest pair.
Exercice 6 : dans chacun des cas suivants, déterminer le(s) chiffre(s) a,b,csachant que :
1. 23a4 est divisible par 3.
2. 23a4 est divisible par 3 mais pas par 9.
3. 23b5cest divisible par 3 et par 5.
Exercice 7 : soit le nombre A=23×52×7. Combien possède-t-il de diviseurs ?
Exercice 8 : démontrer par récurrence que, pour tout n∈N,n(n+1)(2n+1) est divisible par 6.
Exercice 9 :
1. (a) Sous quelle forme s’écrit un nombre pair ?
(b) Sous quelle forme s’écrit un nombre impair?
(c) Montrer que le carré d’un nombre pair est un nombre pair.
(d) Montrer que le carré d’un nombre impair est un nombre impair.
2. (a) Développer et réduire l’expression (n+1)2−n2.
(b) En déduire que tout nombre impair peut s’écrire comme la différence de deux carrés.
(c) Appliquer cette propriété aux nombres 13 et 45.
Exercice 10 :
1. 444 et 666 sont-ils divisibles par 37 ?
2. Plus généralement, montrer qu’un nombre s’écrivant aaa est divisible par 37.
Exercice 11 :
1. 239239 est-il divisible par 7, 11 et 13 ?
2. Plus généralement, montrer qu’un nombre s’écrivant abc abc est divisible par 7, 11 et 13.
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Exercice 12 : les longueurs des côtés d’un triangle rectangle sont des nombres entiers. On note ala longueur d’un côté de
l’angle droit. Trouver les longueurs des deux autres côtés dans chaque cas :
1. a=2
2. a=3
3. a=5
4. a=9
5. a=10
6. a=poù pest un nombre pre-
mier autre que 2.
Exercice 13 : dans chaque cas, déterminer tous les couples d’entiers naturels xet yvérifiant la relation.
1. (x+4)(y−1) =14 2. x2−2x y =15 3. x2=y2+21
Exercice 14 : on considère l’équation x y −5x−5y−7=0 où xet ysont des entiers naturels.
1. Montrer que cette équation équivaut à (x−5)(y−5) =32.
2. Résoudre alors l’équation.
Exercice 15 : déterminer tous les entiers relatifs ntels que (n−3) divise (n+5).
Exercice 16 : kétant un entier naturel, on pose a=9k+2 et b=12k+1. Quels peuvent être les diviseurs positifs communs à
aet b?
Exercice 17 : det nsont des entiers naturels, d6=0.
1. Démontrer que si ddivise 9n+2 et 7n−3, alors ddivise 41.
2. Quelles sont les valeurs possibles pour d?
Exercice 18 : dans chaque cas, déterminer les entiers naturels nvérifiant la relation.
1. n2+n=20 2. n2+2n=35
Exercice 19 : dans chaque cas, déterminer les entiers relatifs nvérifiant la relation.
1. n+4 divise 3n+22 2. n+1 divise 3n−4 3. n+3 divise n+10
Exercice 20 : montrer que pour tout entier relatif a, 6 divise a(a2−1).
Exercice 21 : nest un naturel. Démontrer que quel que soit n, 3n4+5n+1 est impair et en déduire que ce nombre n’est jamais
divisible par n(n+1).
Exercice 22 : en utilisant un raisonnement par récurrence, démontrer que, pour tout entier naturel n, 7n−2nest un multiple
de 5.
Exercice 23 : sur le catalogue d’une entreprise de vente par correspondance, la référence de chaque article est constituée
d’un nombre à cinq chiffres x y zt u (le premier de ces chiffres xétant différent de zéro), suivi d’une lettre majuscule choisie
entre A et N, à l’exception de la lettre I. À cette lettre majuscule est associé un nombre appelé "clé" selon le tableau suivant :
Lettre A B C D E F G H J K L M N
Clé 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
A des fins de contrôle, on impose, pour chaque référence, que la somme du nombre à cinq chiffres et de la clé obtenue
grâce au tableau, soit un nombre divisible par 13.
1. Les deux références suivantes vérifient-elles la condition précédente? Justifier.
13587 M 45905 A
2. On veut retrouver la lettre d’une référence dont il ne reste que le nombre à cinq chiffres 26014. Déterminer la lettre
manquante.
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2) Division euclidienne
Exercice 24 : effectuer la division euclidienne de 431 par -17 puis de -121 par -9.
Exercice 25 : trouver tous les entiers qui divisés par 5 donnent un quotient égal à 3 fois le reste.
Exercice 26 : soient n et p deux entiers naturels. Répondre par vrai ou faux en justifiant.
1. Si na pour reste 2 dans la division euclidienne par 7 alors 2na pour reste 14 dans la division euclidienne par 7.
2. Si 5 divise np alors 5 divise net 5 divise p.
3. Si le reste dans la division euclidienne de npar pest 3 alors le reste dans la division euclidienne de n2par pest 9.
Exercice 27 : aet bsont deux entiers, lorsqu’on divise apar ble reste est 8 et lorsqu’on divise 2apar ble reste est 5. Déterminer
b.
Exercice 28 : on divise un entier naturel npar 152, puis par 147. Les quotients sont égaux et les restes respectifs sont 13 et 98.
Quel est cet entier naturel n?
Exercice 29 : écrire la division euclidienne de -5000 par 17.
Exercice 30 : si on divise 4373 et 826 par un même nombre positif b, on obtient 8 et 7 pour reste. Déterminer b.
Exercice 31 :
1. Quand on le divise par 6, le reste est 5, mais quand on le divise par 7, le reste est 3 et le quotient reste inchangé. Quel
est ce nombre ?
2. Le reste de la division euclidienne de l’entier naturel a par 45 est 9. Quel est le reste de la division euclidienne de a par
15 ? par 9 ? par 5? par 3 ?
3. Dans la division euclidienne de 394 par l’entier naturel non nul b, le quotient est 17 et le reste r. Quelles sont les valeurs
possibles pour b et r ?
4. Dans une division euclidienne, on augmente le dividende de 36 et le diviseur de 3 ; le quotient et le reste sont alors
inchangés. Quelle est la valeur du quotient ?
Exercice 32 : la différence entre deux naturels est 538. Si l’on divise l’un par l’autre le quotient est 13 et le reste 34. Quels sont
ces deux entiers naturels?
Exercice 33 : trouver les entiers naturels nqui divisés par 4 donne un quotient égal au reste.
Exercice 34 : trouver un naturel qui, divisé par 23, donne pour reste 1 et, divisé par 17, donne le même quotient et pour reste
13.
Exercice 35 : le quotient d’un entier relatif xpar 3 est 7. Quels sont les restes possibles? En déduire quelles sont les valeurs de
x possibles.
Exercice 36 : si l’on divise un entier apar 18, le reste est 13. Quel est le reste de la division de apar 6 ?
Exercice 37 : si l’on divise un entier Apar 6, le reste est 4. Quels sont les restes possibles de la division de Apar 18 ?
Exercice 38 : la division euclidienne de apar bdonne a=625b+8634. De quels naturels peut-on augmenter à la fois aet b
sans changer de quotient ?
Exercice 39 : le code ISBN (International Standard Book Number) est un nombre à 9 chiffres abcde f g hi suivi d’une clé K.
Pour déterminer la clé, on calcule le nombre N=10a+9b+8c+7d+6e+5f+4g+3h+2ipuis le reste Rde la division
euclidienne de Npar 11. Si R=0, alors K=0 ; si R=1, alors on remplace Kpar la lettre X, sinon K=11 −R.
1. Calculer la clé des codes 204730284, 221984028 et 204396892.
2. Vérifier que le code 247684123 7 est erroné.
3. Proposer un algorithme permettant de déterminer la clé à partir de la donnée des 9 chiffres a,b, ... et i.
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3) Congruence
Exercice 40 :
1. Les nombres -13 et -8 sont-ils congrus modulo 5 ?
2. Les nombres 7 et 8 sont-ils congrus modulo 5 ?
Exercice 41 : les règles d’un jeu sont les suivantes, un joueur A propose un nombre entier entre 1 et 4, le joueur B ajoute à ce
nombre 1, 2, 3 ou 4 et à tour de rôle, les joueurs A et B ajoutent 1, 2, 3 ou 4 au nombre obtenu. Le 1er qui arrive à 87 a gagné.
1. Déterminer le reste de la division euclidienne de 87 par 5.
2. Comment le joueur A peut-il s’y prendre pour gagner à coup sûr?
Exercice 42 : à quel entier naturel inférieur à 27 le nombre 523 est-il congru modulo 27 ?
Exercice 43 :
1. Dresser la table de multiplication modulo 7.
2. Déterminer un entier n tel que 52n congru à 1 modulo 7.
Exercice 44 :
1. Montrer que 74≡1[5].
2. En déduire que le reste de la division euclidienne de 72015 et 72016 par 5.
Exercice 45 :
1. Déterminer le reste de la division de 2456 par 5.
2. Déterminer le reste de la division de 2437 par 7.
3. Déterminer le reste de la division euclidienne de 62013 par 7.
Exercice 46 :
1. Déterminer le reste de la division euclidienne de 2012×2011 ×2010 par 7.
2. Déterminer le reste de la division euclidienne de 2012104 par 7.
3. Quel est le chiffre des unités de 2013104 ?
Exercice 47 : déterminer les restes dans la division euclidienne par 7 des nombres 50100, 100, 1003et 50100 +100100.
Exercice 48 :
1. À quel entier naturel inférieur à 11 le nombre 7 654 est-il congru modulo 11 ?
2. Les nombres 14 533 et 6 742 sont-ils congrus modulo 7 ?
Exercice 49 : sans utiliser la calculatrice, déterminer le reste dans les divisions euclidiennes suivantes.
1. de 1473×1474 ×1475 ×1476 par 7 ;
2. de 19328 par 3 ;
3. de 7202 par 5.
Exercice 50 : on note abcd =1000a+100b+10c+dl’écriture d’un nombre (en base dix) dont les chiffres sont a,b,cet d. Par
exemple, 5432 =1000 ×5+100 ×4+10×3+2.
1. Déterminer le reste de la division euclidienne de 100 par 11, puis de 1000 par 11.
2. Montrer que si un nombre entier nvérifie n≡10[11] alors on peut aussi écrire n≡−1[11].
3. En déduire que abcd est divisible par 11 si, et seulement si, −a+b−c+dest divisible par 11.
Exercice 51 :
1. Donner l’écriture de 32104en base 10.
2. Donner l’écriture décimale (en base 10) de AD7816 .
3. Donner l’écriture de 1001012en base 10.
4. Donner l’écriture de 31 427 en base 8.
5. Donner l’écriture de 1 792 en base 2.
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Exercice 52 : on note 0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, A,B, les chiffres de l’écriture d’un nombre en base 12.
Par exemple B A712 =11×122+10 ×12 +7=1711.
1. (a) Soit N1le nombre s’écrivant en base 12 N1=B1A12. Déterminer l’écriture de N1en base 10.
(b) Soit N2le nombre s’écrivant en base 10 N2=1131. Déterminer l’écriture de N2en base 12.
Dans toute la suite, un entier naturel Ns’écrira de manière générale en base 12 par N=an...a1a012.
2. (a) Démontrer que N≡a0[3]. En déduire un critère de divisibilité par 3 d’un nombre en base 12.
(b) À l’aide de son écriture en base 12, déterminer si N2est divisible par 3. Confirmer avec son écriture en base 10.
3. (a) Démontrer que N≡an+... +a1+a0[11]. En déduire un critère de divisibilité par 11 d’un nombre en base 12.
(b) À l’aide de son écriture en base 12, déterminer si N1est divisible par 11. Confirmer avec son écriture en base 10.
4. Un nombre Ns’écrit x4y12. Déterminer les valeurs de xet ypour lesquelles Nest divisible par 33. Déterminer alors
les nombres Npossibles avec leurs écritures en base 10.
Exercice 53 : le R.I.B. (Relevé d’Identité Bancaire) est un nombre Nconstitué de gauche à droite de la façon suivante :
Code de la banque Code du guichet Numéro du compte Clé
5 chiffres 5 chiffres 11 chiffres 2 chiffres
Pour calculer la clé de contrôle d’un RIB, on considère le nombre a formé par les 21 premiers chiffres ; on calcule le reste
rde la division euclidienne de N=100 ×apar 97 ; la clé RIB est 97 −r. Calculer à l’aide de la calculatrice la clé du RIB
suivant (l’écriture décimale de N comportant "trop de chiffres" pour la calculatrice, on pourra se demander comment les
congruences peuvent nous aider à mener ce calcul) :
Code de la banque Code du guichet Numéro du compte Clé
12345 25896 35715942681 ?
Exercice 54 :
1. Déterminer les entiers xtels que 6 +x≡5[3].
2. Déterminer les entiers xtels que 3x≡5[4].
Exercice 55 : montrer que ∀n∈N, 3n+3−44n+2est divisible par 11.
Exercice 56 :
1. Donner suivant les valeurs de l’entier naturel n, les restes de la division euclidienne de 2npar 5. (On pourra éventuel-
lement donner le résultat par un tableau).
2. En déduire alors le reste de la division euclidienne par 5 de 20122015.
Exercice 57 : montrer que 44≡3[11] puis en déduire que ∀n∈N, 44n+2−3n+3est divisible par 11.
Exercice 58 : dans cet exercice, on appelle numéro du jour de naissance jle rang de ce jour dans le mois et numéro du mois
de naissance m, le rang du mois dans l’année. Par exemple, pour une personne née le 14 mai, alors j=14 et m=5.
Partie A : lors d’une représentation, un magicien demande aux spectateurs d’effectuer le programme de calcul suivant :
"Prenez le numéro de votre jour de naissance et multipliez-le par 12. Prenez le numéro de votre mois de naissance et
multipliez-le par 37. Ajoutez les deux nombres obtenus. Je pourrai alors vous donner la date de votre anniversaire."
Un spectateur annonce 308 et en quelques secondes, le magicien déclare : "Votre anniversaire tombe le 1er août!".
1. Vérifier que pour une personne née le 1er août, le programme de calcul donne effectivement le nombre 308.
2. (a) Pour un spectateur donné, on note zle résultat obtenu en appliquant le programme de calcul. Exprimer zen
fonction de jet de met démontrer que z≡m[12].
(b) Retrouver alors la date de l’anniversaire d’un spectateur ayant obtenu le nombre 455.
Partie B : lors d’une autre représentation, le magicien dé-
cide de changer son programme de calcul. Pour un specta-
teur dont le numéro du jour de naissance est jet le numéro
du mois de naissance est m, le magicien demande de cal-
culer le nombre zdéfini par z=12j+31m. On considère
alors l’algorithme ci-contre :
Variables : j,m,zentiers
Traitement : Pour mallant de 1 à ... faire :
Pour jallant de 1 à ... faire :
12j+31m→z
Si ... alors :
Afficher jet m
1. Compléter cet algorithme afin qu’il affiche toutes les valeurs de jet de mtelles que 12j+31m=503.
2. Quel est alors la date d’anniversaire correspondante ?
Exercice 59 :
1. Aujourd’hui c’est lundi, quel jour serons-nous dans 130 jours ?
2. Le 13 avril est un vendredi. Pourquoi le 13 juillet est-il aussi un vendredi ?
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