TS. Évaluation 2 -Correction 1 ( 3 points ) 1. Restitution organisée

TS. Évaluation 2 -Correction ♣
1( 3 points ) 1. Restitution organisée de connaissances :
Prérequis : On rappelle que deux évènements Aet Bsont indépendants pour la probabilité p si et seulement si : p(A ∩B) =
p(A) ×p(B).
Questions : Soient Aet Bdeux évènements associés à une expérience aléatoire
a. Démontrer que p(B) =p(B ∩A)+p³B∩A´.
A et A sont deux événements incompatibles dont la réunion est l’univers Ω, donc on obtient une partition de
l’univers Ωen considérant un événement A et son contraire A, ainsi P(B) =P(A ∩B) +P(A∩B)
Remarque : p(B)=p(B∩Ω)=p³B∩(A ∪A)´=p³(B∩A)∪³B∩A´´=p(B∩A)+p³B∩A´
b. Démontrer que, si les évènements Aet Bsont indépendants pour la probabilité p, alors les évènements Aet Ble
sont également.
P(A ∩B) =P(B) −P(A∩B) comme A et B sont indépendants, on a :
P(A ∩B) =P(B) −P(A)×P(B) =P(B)(1−P(A))⇐⇒ P(A ∩B) =P(A)×P(B) ⇐⇒ A et B sont indépendants
2. Application : Chaque matin de classe, Stéphane peut être victime de deux évènements indépendants :
•R: « il n’entend pas son réveil sonner » ; •S: « Son scooter, mal entretenu, tombe en panne ».
Il a observé que chaque jour de classe, la probabilité de Rest égale 0,1 et que celle de Sest égale à 0,05. Lorsque qu’au
moins l’un des deux évènements se produit, Stéphane est en retard au lycée sinon il est à l’heure.
a. Calculer la probabilité qu’un jour de classe donné, Stéphane entende son réveil sonner et que son scooter tombe
en panne.
Il faut calculer p³R∩S´. Les évènements R et S étant manifestement indépendants, R et S le sont aussi.
Donc p³R∩S´=p³R´×p(S) =(1 −0,1)×0,05 =0,9×0,05 =0,045
b. Calculer la probabilité que Stéphane soit à l’heure au lycée un jour de classe donné.
Il faut que Stéphane entende son réveil et que son scooter marche. La probabilité qu’il soit à l’heure est donc
égale à p³R∩S´. D’après la propriété démontrée au-dessus R et S sont indépendants.
Donc p³R∩S´=p³R´×p³S´=(1−0,1)×(1−0,05) =0,9 ×0,95 =0,855
c. Au cours d’une semaine, Stéphane se rend cinq fois au lycée. On admet que le fait qu’il entende son réveil sonner
un jour de classe donné n’influe pas sur le fait qu’il l’entende ou non les jours suivants.
Quelle est la probabilité que Stéphane entende le réveil au moins quatre fois au cours d’une semaine ? Arrondir
le résultat à la quatrième décimale.
À la répétition, 5 fois de façon indépendante d’une épreuve à 2 issues (succès si Stéphane entend son réveil
p=0,9) on peut associer une variable aléatoire X, qui comptabilise le nombre de fois où Stéphane entend
son réveil. X suit une loi binomiale de paramètres n=5 et p=0,9. X,→B(5 ; 0,9)
La probabilité que Stéphane entende le réveil au moins quatre fois est p(X >4) :
p(X =4)+p(X =5) =Ã5
4!×0,94×0,1+Ã5 5!×0,95×0,10=0,5 ×0,94+0,95=0,94×1,9 =0,918 54 ≈0,918 5
2( 4 points ) Dans un jeu, le joueur doit effectuer 10 parties. On suppose que toutes les parties sont indépendantes. La
probabilité de gagner chaque partie est égale à 1
4.
Soit Xla variable aléatoire égale au nombre de parties gagnées par le joueur.
1. a. Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire X? Justifier.
Les épreuves étant identiques et indépendantes, la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire X est une
loi binomiale avec n=10 et p=1
4.X,→Bµ10 ; 1 4¶
b. Quelle est la probabilité que le joueur gagne au moins une partie ? Le résultat sera arrondi à 10−2près.
On a p(X >1) =1−p(X =0) =1−Ã10
0!×µ1 4¶0µ3 4¶10
=1−310
410 '0,943 ≈0,94 à 10−2près.
c. Déterminer l’espérance de X.On a E(X) =n×p=10 ×1
4=2,5

2. Le joueur doit payer 30 €pour jouer les 10 parties. Chaque partie gagnée lui rapporte 8€.
a. Expliquer pourquoi ce jeu est désavantageux pour le joueur.
Le joueur doit payer 30 €pour les 10 parties et récupérera en moyenne 2,5 ×8=20 €.
(avec une espérance de gagner 2,5 parties sur 10).
En moyenne les 10 parties coûteront 30−20 =10 €, soit 1 €par partie. Le jeu est donc désavantageux.
Remarque : En posant Y = −30+8.X, la variable aléatoire Y représente le gain du joueur sur 10 parties
on a : E(Y) =E(−30 +8X) = −30+8×E(X) = −30 +8×2,5 = −10 €
b. Calculer la probabilité pour un joueur de réaliser un bénéfice supérieur à 40 €? Le résultat sera arrondi à 10−5
près.
Pour réaliser un bénéfice supérieur à 40 €, vu la mise de 30 €, il faut gagner plus de 70 €. Comme 8×8=64, il
faut donc gagner 9 parties au moins sur 10 (9 ×8=72).
p(X =9)+p(X =10) =Ã10
9!µ1 4¶9µ3 4¶+Ã10 10!µ1 4¶10 µ3 4¶0
=10×3
410 +1 410 =31 410 '0,000 029 56 ≈0,000 03
3( 3 points ) Un point Peffectue n déplacements horizontalement selon l’algorithme suivant :
1. Faire fonctionner l’algorithme dans le cas où
n=4. Où se trouve votre pion ?
Initialisation : P←0
Traitement : Pour n=4, la variable P, peut par
exemple, recevoir successivement, les
affectations suivantes :
P←P+1 avec entier_aleatoire(0,1) =1
P←P−1 avec entier_aleatoire(0,1) =0
P←P+1 avec entier_aleatoire(0,1) =1
P←P+1 avec entier_aleatoire(0,1) =1
Sortie : La valeur de P affichée correspond
dans cette simulation à la position
P=2
−4−3−2−1 0 1 2 3 4
P
−5−4−3−2−1012345
P
Variables :n,iet P sont des entiers naturels
Début de l’algorithme :
Lire n
iprend la valeur 0
P prend la valeur 0
Tant que i<n
P prend la valeur P +2×entier_aleatoire(0,1)−1
iprend la valeur i+1
Fin Tant que
Afficher P
Fin algorithme
Bentier_aleatoire(0,1) est une commande qui génère l’entier 0 ou l’entier 1 de façon pseudo-aléatoire.
Remarque : pour n=4, la valeur de P affichée appartient à l’ensemble ©−4 ; −2 ; 0 ; 2 ; 4ª.
2. Calculer la probabilité, que votre pion revienne à la position initiale après 4déplacements.
Après 4 déplacements, la position de P peut-être modélisée par la somme des 4 valeurs e0+e1+e2+e3
avec ei= ±1 pour chaque valeur de iconduisant à l’exécution du bloc de la boucle « Tant que ».
En effet si entier_aleatoire(0,1) =1 alors P avance de 2 ×1−1= +1
sinon entier_aleatoire(0,1) =0 et alors P avance de 2 ×0−1= −1.
En considérant l’univers Ωcomme l’ensemble des quadruplets (e0,e1,e2,e3) avec ei= ±1 pour 0 6i63,
on définit une loi de probabilité équirépartie en associant à chaque quadruplet la probabilité 1
16 ¡Card Ω=24=16¢.
Le pion revient à la position initiale si, et seulement si le quadruplet est tel que e0+e1+e2+e3=0.
Les quadruplets réalisant cet évènement noté A, sont donc constitués d’autant de valeurs +1 que de valeurs −1
soit pour 4 déplacements : 2 valeurs +1 et 2 valeurs −1 il y a Ã4
2!=6 quadruplets favorables
(il faut choisir 2positions parmi 4pour les +1)
La probabilité que le pion revienne à la position initiale après 4 déplacements est : p(A) =Card A
Card Ω=6 16 =3 8
Remarque : À la répétition 4 fois, de façon indépendante d’une épreuve à 2 issues (succès si le pion avance de +1
avec p=1
2) je peux associer une variable aléatoire X qui comptabilise le nombre de succès. X suit une loi binomiale
de paramètres n=4 et p=1
2.X,→Bµ4 ; 1
2¶Si le pion est retourné à la position initiale après 4 déplacements,
alors il a avancé 2 fois de +1 et reculé 2 fois de −1 donc il y a 2 succès. P(A) =P(X =2) =Ã4
2!×µ1 2¶2
×µ1
2¶2
=6×µ1
2¶4
=3
8

3. Calculer, en fonction de n, la probabilité que votre pion revienne à la position initiale après n déplacements.
On considère l’univers Ωcomme l’ensemble des n-uplets (e0,e1,...,en−1) avec ei= ±1 pour 0 6i6n−1.
(Card Ω=2n), on note Anl’évènement « le pion revient à la position initiale après ndéplacements ».
•si nest impair, il est impossible d’obtenir un n-uplet constitué d’autant de valeurs +1 que de valeurs −1, donc
p(An)=0 si nest impair
•si nest pair, il y a Ãn
n/2!façons de choisir la position des +1, donc p(An)=Ãn
n/2!
2nsi nest pair
Remarque :
Si nest pair, le pion retourne à la position initiale après ndéplacements, si il avance n
2fois de +1 et reculé n 2fois
de −1, donc il y a n
2succès pour la variable aléatoire X avec X ,→B¡n;1 2¢
p(An)=p³X=n
2´=Ãn n/2!×µ1 2¶n/2
×µ1
2¶n/2
=Ãn
n/2!×µ1 2¶n
si nest pair