Indépendance.

Université Pierre et Marie Curie 2015 – 2016
Probabilités de base - 4M010 Feuille 5
Indépendance.
1. Déterminer à quelle condition une variable aléatoire réelle est indépendante d’elle-
même.
2. Soient E={x1, x2, x3}et F={y1, y2, y3}deux ensembles finis. Pour chacune des
matrices P= (Pij )i,j=1,2,3ci-dessous, on considère un couple (X, Y )de variables aléatoires
à valeurs dans E×Ftel que pour tous i, j ∈ {1,2,3}, on ait P(X=xi, Y =yj) = Pij .
Déterminer si les variables aléatoires Xet Ysont indépendantes.
P=
1
401 12
0 0 0
1
201 6
, P =
000
3
17
12
17
2
17
000
, P =
1
4
3
32
3
96
2
15
1
20
1
60
17
60
17
160
17
480
P=
1
4
3
32
3
96
2
15
1
20
1
20
1
4
1
10
3
80
.
3. a. Soient Xet Ydeux variables aléatoires indépendantes de loi gaussienne centrée
réduite. Déterminer la loi de X
Y.
b. Soit Zune variable aléatoire qui suit la loi de Cauchy standard. Déterminer la loi
de 1
Z.
4. Soient N1, . . . , Nrdes variables aléatoires indépendantes qui suivent des lois de
Poisson de paramètres respectifs λ1, . . . , λr. Déterminer la loi de N1+. . . +Nr.
5. Calculer la loi de la somme de deux variables aléatoires indépendantes, l’une de
loi de binomiale de parmètres net p, l’autre de paramètres met p, où p∈[0,1] et m, n
sont deux entiers.
6. Montrer que si la somme de deux variables aléatoires discrètes indépendantes a
la loi de Bernoulli de paramètre p∈[0,1], alors l’une des deux variables aléatoires est
constante.
7. Soient Xet Ydeux variables aléatoires normales centrées réduites indépendantes.
On pose Z=X−Y. Calculer la matrice de covariance du vecteur (X, Y, Z)et vérifier
que Var(X+Y+Z) = Var(X) + Var(Y) + Var(Z).
1

8. Soit zun nombre complexe.
a. Montrer que l’intégrale
I(z) = 1
√2πZ+∞
−∞
e−x2
2ezx dx
est convergente.
b. Montrer que pour tout n≥1, on a l’inégalité
n
X
k=0
zkxk
k!≤e|z||x|
et en déduire que
I(z) = lim
n→+∞
1
√2πZ+∞
−∞
e−x2
2
n
X
k=0
zkxk
k!dx.
c. Calculer I(z).
d. Déterminer la fonction caractéristique d’une variable aléatoire de loi N(µ, σ2).
e. Soit Xune variable aléatoire de loi normale. Montrer qu’on a l’égalité
E[eX] = eE[X]+ 1
2Var(X).
9. Soient X1, . . . , Xndes variables indépendantes et identiquement distribuées de loi
normale centrée réduite. Soient a1, . . . , andes réels. Déterminer la loi de a1X1+. . .+anXn.
10. Pour tout réel t > 0, on pose
Γ(t) = Z+∞
0
xt−1e−xdx.
Soient θet tdeux réels strictement positifs. On appelle loi gamma de paramètres θet
tla loi de densité θt
Γ(t)xt−1e−θx R+(x).
a. Vérifier que la fonction Γ(t)est bien définie sur R∗
+. Vérifier également que la densité
donnée ci-dessus est bien d’intégrale égale à 1.
b. Calculer la fonction caractéristique de la loi Γ(θ, t).
c. Soient t1, . . . , tndes réels strictement positifs. Soient X1, . . . , Xndes variables aléa-
toires indépendantes de lois respectives Γ(θ, t1),...,Γ(θ, tn). Calculer la loi de la somme
X1+. . . +Xn.
2

11. Soit X1, X2, . . . une suite infinie de variables aléatoires, toutes de même loi. On
suppose que cette loi admet un moment d’ordre 2, et on en note ml’espérance. On suppose
également que pour tout n≥1, les variables aléatoires X1, . . . , Xnsont indépendantes.
Pour tout n≥1, on pose Sn=X1+. . . +Xn. Montrer que l’on a
lim
n→+∞
E"Sn
n−m2#= 0.
On dit que la moyenne empirique Sn
nconverge en moyenne quadratique, lorsque ntend
vers +∞, vers m.
12. Pour toute variable aléatoire réelle Xqui admet un moment d’ordre 3, on définit
k3(X) = E[X3]−3E[X2]E[X]+2E[X]3.
Montrer que si Xet Ysont deux variables aléatoires réelles indépendantes qui ad-
mettent un moment d’ordre 3, alors k3(X+Y) = k3(X) + k3(Y).
13. Soit (Ω,F,P)un espace de probabilités. Soient U, V : (Ω,F,P)→Rdeux
variables aléatoires indépendantes de loi uniforme sur l’intervalle [−1,1].
a. Calculer la fonction caractéristique de la variable aléatoire U+V.
b. Soit X: (Ω,F,P)→Rune variable aléatoire. On suppose que X, U, V sont indé-
pendantes.
Montrer que la loi de X+U+Vadmet une densité par rapport à la mesure de
Lebesgue.
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