Indépendance.

Université Pierre et Marie Curie
Probabilités de base - 4M010
2015 – 2016
Feuille 5
Indépendance.
1. Déterminer à quelle condition une variable aléatoire réelle est indépendante d’ellemême.
2. Soient E = {x1 , x2 , x3 } et F = {y1 , y2 , y3 } deux ensembles finis. Pour chacune des
matrices P = (Pij )i,j=1,2,3 ci-dessous, on considère un couple (X, Y ) de variables aléatoires
à valeurs dans E × F tel que pour tous i, j ∈ {1, 2, 3}, on ait P(X = xi , Y = yj ) = Pij .
Déterminer si les variables aléatoires X et Y sont indépendantes.


1
1 3 3

1
3
3 
1
0
0
0
0
4
32
96
4
32
96
4
12
3
12
2 
1
1 
2
 2 1 1 .
P
=
,
P
=
P =  0 0 0  , P =  17
17
17
15
20
60
15
20
20
1
1
17
17
17
1
1
3
0
0
0
0
2
6
60
160
480
4
10
80
3. a. Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes de loi gaussienne centrée
réduite. Déterminer la loi de X
.
Y
b. Soit Z une variable aléatoire qui suit la loi de Cauchy standard. Déterminer la loi
de Z1 .
4. Soient N1 , . . . , Nr des variables aléatoires indépendantes qui suivent des lois de
Poisson de paramètres respectifs λ1 , . . . , λr . Déterminer la loi de N1 + . . . + Nr .
5. Calculer la loi de la somme de deux variables aléatoires indépendantes, l’une de
loi de binomiale de parmètres n et p, l’autre de paramètres m et p, où p ∈ [0, 1] et m, n
sont deux entiers.
6. Montrer que si la somme de deux variables aléatoires discrètes indépendantes a
la loi de Bernoulli de paramètre p ∈ [0, 1], alors l’une des deux variables aléatoires est
constante.
7. Soient X et Y deux variables aléatoires normales centrées réduites indépendantes.
On pose Z = X − Y . Calculer la matrice de covariance du vecteur (X, Y, Z) et vérifier
que Var(X + Y + Z) = Var(X) + Var(Y ) + Var(Z).
1
8. Soit z un nombre complexe.
a. Montrer que l’intégrale
1
I(z) = √
2π
+∞
Z
x2
e− 2 ezx dx
−∞
est convergente.
b. Montrer que pour tout n ≥ 1, on a l’inégalité
n
X
k k
z
x
≤ e|z||x|
k!
k=0
et en déduire que
1
I(z) = lim √
n→+∞
2π
Z
+∞
2
− x2
e
−∞
n
X
z k xk
k=0
k!
dx.
c. Calculer I(z).
d. Déterminer la fonction caractéristique d’une variable aléatoire de loi N (µ, σ 2 ).
e. Soit X une variable aléatoire de loi normale. Montrer qu’on a l’égalité
1
E[eX ] = eE[X]+ 2 Var(X) .
9. Soient X1 , . . . , Xn des variables indépendantes et identiquement distribuées de loi
normale centrée réduite. Soient a1 , . . . , an des réels. Déterminer la loi de a1 X1 +. . .+an Xn .
10. Pour tout réel t > 0, on pose
Z
+∞
xt−1 e−x dx.
Γ(t) =
0
Soient θ et t deux réels strictement positifs. On appelle loi gamma de paramètres θ et
t la loi de densité
θt t−1 −θx
x e 1R+ (x).
Γ(t)
a. Vérifier que la fonction Γ(t) est bien définie sur R∗+ . Vérifier également que la densité
donnée ci-dessus est bien d’intégrale égale à 1.
b. Calculer la fonction caractéristique de la loi Γ(θ, t).
c. Soient t1 , . . . , tn des réels strictement positifs. Soient X1 , . . . , Xn des variables aléatoires indépendantes de lois respectives Γ(θ, t1 ), . . . , Γ(θ, tn ). Calculer la loi de la somme
X 1 + . . . + Xn .
2
11. Soit X1 , X2 , . . . une suite infinie de variables aléatoires, toutes de même loi. On
suppose que cette loi admet un moment d’ordre 2, et on en note m l’espérance. On suppose
également que pour tout n ≥ 1, les variables aléatoires X1 , . . . , Xn sont indépendantes.
Pour tout n ≥ 1, on pose Sn = X1 + . . . + Xn . Montrer que l’on a
"
2 #
Sn
lim E
−m
= 0.
n→+∞
n
Sn
converge en moyenne quadratique, lorsque n tend
On dit que la moyenne empirique
n
vers +∞, vers m.
12. Pour toute variable aléatoire réelle X qui admet un moment d’ordre 3, on définit
k3 (X) = E[X 3 ] − 3E[X 2 ]E[X] + 2E[X]3 .
Montrer que si X et Y sont deux variables aléatoires réelles indépendantes qui admettent un moment d’ordre 3, alors k3 (X + Y ) = k3 (X) + k3 (Y ).
13. Soit (Ω, F , P) un espace de probabilités. Soient U, V : (Ω, F , P) → R deux
variables aléatoires indépendantes de loi uniforme sur l’intervalle [−1, 1].
a. Calculer la fonction caractéristique de la variable aléatoire U + V .
b. Soit X : (Ω, F , P) → R une variable aléatoire. On suppose que X, U, V sont indépendantes.
Montrer que la loi de X + U + V admet une densité par rapport à la mesure de
Lebesgue.
3