COURS à trous + TP Info ( PDF

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Chap.12 Probabilités.
I Vocabulaire des événements.
Définition1: Une expérience aléatoire est une expérience dont on peut décrire les résultats possibles a priori, sans
être capable de déterminer à l'avance celui qui se produira.
Définition2: Un résultat possible d'une expérience aléatoire est appelé issue.
Activité :
On effectue l’expérience aléatoire suivante : on lance un dé, dodécaèdre régulier, à 12 faces numérotées de 1 à
12. On lit ensuite le numéro apparaissant sur la face supérieure.
Chaque résultat possible est appelé une issue de cette expérience, l’ensemble des issues est appelé l’univers, on le
note .
Ici :
1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12
1°) Quel est l’ensemble A des issues paires ?
2°) Quel est l’ensemble B des issues multiples de 3 ?
3°) Quel est l’ensemble C des issues paires et multiples de 3 ?
4°) Quel est l’ensemble des issues qui ne sont pas multiples de 3 ?
1°) Univers et événements d’une expérience aléatoire.
Définition: Un événement d’une expérience aléatoire est une partie quelconque de l’univers.Un événement ne
comprenant qu’une seule éventualité est un événement élémentaire.
Exemple: Lors du lancer d’un dé à 6 faces :
A : "obtenir un 5" est un événement élémentaire que l’on peut noter A = {5},
B : "obtenir un numéro pair" est un événement que l’on peut noter B =
Définition :
 L’événement qui ne contient aucune éventualité est l’événement impossible, noté ,
 L’événement composé de toutes les éventualités est appelé événement certain.

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Exemples :
 Tirage des six numéros gagnants du loto : "obtenir la combinaison 3 − 25 − 38 − 59 − 67 − 91" est un événement
impossible (les numéros vont de 1 à 49).
 Lancer d’un dé à six faces : "obtenir un nombre positif" est un événement certain.
2°) Evénements contraires, réunion et intersection d’événements.
Définition : Pour tout événement A il existe un événement noté
A
et appelé événement contraire de A, qui est
composé des éléments de Ω qui ne sont pas dans A.
On a en particulier
AA  
.
Exemple :
 Lancer d’une pièce de monnaie : si A = {pile} alors son événement contraire est :
 Lancer d’un dé à six faces : si A est l’événement "obtenir un nombre inférieur ou égal à 4", alors son événement
contraire est :
Définition :
➤ Intersection d’événements: événement constitué des éventualités appartenant à A et à B noté
AB
(Se lit "A inter B" ou "A et B"),
➤ Réunion d’événements: événement constitué des éventualités appartenant à A ou à B noté
AB
(se lit "A union B" ou "A ou B").
Remarque : Si A ∩ B = , on dit que les événements sont incompatibles .
Exemple : On choisit un chiffre au hasard.
On note A l’événement "obtenir un chiffre pair" et B l’événement "obtenir un chiffre strictement
inférieur à six"
A ∩ B :
AB
:
Application : Comment déterminer les issues d’un événement à l’aide d’un tableau ou d’un arbre ?

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1°) On lance deux fois de suite une pièce de monnaie. Par exemple, l’issue « pile au premier lancer et
face au second lancer » sera notée PF.
a) Déterminer, à l’aide d’un tableau, l’univers de cette expérience aléatoire.
b) Ecrire sous forme d’ensemble chacun des événements :
A : « obtenir pile au premier lancer »
B : « obtenir exactement un fois face »
AB
et
AB
2°) Reprendre les questions précédentes à l’aide d’un arbre.
Exercice : Une urne contient deux boules rouges, numérotées 1 et 2, et une boule verte. On tire au hasard,
successivement et sans remise, deux boules de l’urne.
1°)a) A l’aide d’un arbre, déterminer l’univers de cette expérience.
b) Déterminer le nombre d’issues des événements :
- A : « la première boule tirée est verte »
- B : « la deuxième boule tirée est rouge »
2°) Ecrire sous forme d’ensemble les événements
AB
et
A
.
II Notion de probabilité.

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Activité : On lance un dé cubique dont les faces sont numérotées de 1 à 6 puis on lit le chiffre de la face
supérieure.
1°) Quelles sont les issues de cette expérience aléatoire ?
2°) A v o t r e avis, chacune de ces issues a - t -elle les mêmes chances de se réaliser ?
3°) Comment estimer la « chance » d’obtenir 6 ?
Nous allons simuler cette expérience grâce à la calculatrice
En effet, la calculatrice a une fonction qui lui permet d’afficher un nombre aléatoire compris entre 0 et 1 :
la fonction random (hasard).
CASIO
TI
Menu RUN
Taper OPTN
Sélectionner PROB
Choisir RAN#
Taper sur EXE
Taper MATH
Sélectionner PRB
Choisir RAND
Taper sur ENTER
Pour faire afficher un nouveau nombre
a lé a t oi r e , il s u ffi t d ’ appu y e r à nouveau sur Exe ou En t e r
Pour
o b t e n i r un e n t ie r , nous allons u t ili s e r la f o n c t io n In t de la c a lc u l a t r ice qui p e r m e t d ’ a ffi c h e r l a
partie e n t iè r e d ’ un n o mb r e
CASIO
TI
OPTN
NUM
INT
MATH
NUM
INT
Nous cherchons, pour simuler
n o t r e lancer de dé, à faire afficher par la c a lc u l a t r ice un nombre e n t ie r
a lé a t oi r e compris e n t r e 1 et 6.
Pour cela, il s
u ffi t de taper la séquence s u i v an t e :
Ca s io
♦ In t ( 6 × R a n # + 1 )
ou
T I
♦ In t ( 6 × R a n D + 1 )

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Taper sur
Exe ou En t e r , un nombre e n t ie r compris e n t r e 1 et 6 s ’ a ffi c h e.
Effectuer les manipulations nécessaires pour compléter le tableau :
Nombre de
lancers
4
8
12
16
Nombre de « 6 »
obtenus
Fréquence des
« 6 » en %
4°) Si l’on augmentait toujours le nombre de lancers, de quel nombre peut-on penser que la fréquence
se rapprocherait ?
COURS :
Soit
12
; ;...; n x x x
l’univers d’une expérience aléatoire, où chaque
i
x
désigne une issue.
Définition : à chaque issue
i
x
on associe un nombre réel
i
p
tel que :
01
i
p
et
12
... 1
n
p p p   
Ce nombre
i
p
est appelé probabilité de l’événement élémentaire « obtenir
i
x
».
Définition : soit un événement A. La somme des probabilités de toutes les issues de A est appelée
probabilité de l’événement A. On la note
()pA
.
Exemple : les gains possibles pour chaque ticket d’une loterie sont : 50 € avec une chance sur 10, 20 €
avec deux chances sur 10 et O€ avec 7 chances sur 10.
Soit G l’événement « gagner une somme non nulle avec un ticket ». Calculer
()pG
.