Formulaire maths Terminale S : dérivées, primitives, complexes

Formulaire de mathématiques – Terminale S
Fiche de révision : dérivées, primitives, limites usuelles, logarithme et exponentielle, suites,
nombres complexes
1. Dérivées usuelles
Fonction f(x) Dérivée f′(x) Domaine de dérivabilité
k (constante) 0 ℝ
xⁿ (n entier ≥ 1) n·xⁿ⁻¹ ℝ
1/x −1/x² ℝ*
√x 1/(2√x) ]0 ; +∞[
ln x 1/x ]0 ; +∞[
eˣ eˣ ℝ
sin x cos x ℝ
cos x −sin x ℝ
tan x 1 + tan²x = 1/cos²x x ≠ π/2 + kπ
2. Opérations sur les dérivées
Fonction Dérivée
u + v u′ + v′
k·u k·u′
u·v u′v + uv′
u / v (v ≠ 0) (u′v − uv′) / v²
uⁿ (n entier ≥ 1) n·u′·uⁿ⁻¹
√u (u > 0) u′ / (2√u)
ln u (u > 0) u′ / u
eᵘ u′·eᵘ
v ∘ u u′ × (v′ ∘ u)

3. Primitives usuelles (à une constante près)
Fonction Une primitive Condition
xⁿ (n ≠ −1) xⁿ⁺¹ / (n+1) x > 0 si n n'est pas un entier naturel
1/x ln |x| x ≠ 0, sur un intervalle
eˣ eˣ —
cos x sin x —
sin x −cos x —
u′·uⁿ (n ≠ −1) uⁿ⁺¹ / (n+1) u > 0 si n n'est pas un entier naturel
u′ / u ln |u| u ne s'annule pas
u′ / √u 2√u u > 0
u′·eᵘ eᵘ —
cos(ax + b), a ≠ 0 (1/a)·sin(ax + b) —
sin(ax + b), a ≠ 0 −(1/a)·cos(ax + b) —
4. Logarithme népérien et exponentielle
ln 1 = 0 ; ln e = 1 ; e⁰ = 1
ln(ab) = ln a + ln b (a, b > 0)
ln(a/b) = ln a − ln b
ln(1/a) = −ln a
ln(aⁿ) = n·ln a (n entier)
ln √a = ½ ln a
e^(a+b) = eᵃ·eᵇ ; e^(a−b) = eᵃ/eᵇ
(eᵃ)ⁿ = e^(na)
e^(ln x) = x pour x > 0 ; ln(eˣ) = x
ln a = ln b ⇔ a = b ; ln a < ln b ⇔ a < b
eᵃ = eᵇ ⇔ a = b ; eᵃ < eᵇ ⇔ a < b
aˣ = e^(x ln a) (a > 0)
5. Limites usuelles
lim (x→+∞) ln x = +∞ ; lim (x→0⁺) ln x =
−∞
lim (x→+∞) eˣ = +∞ ; lim (x→−∞) eˣ = 0
lim (x→+∞) (ln x)/x = 0
lim (x→0⁺) x ln x = 0
lim (x→+∞) eˣ/x = +∞
lim (x→−∞) x eˣ = 0
lim (x→0) (eˣ − 1)/x = 1
lim (x→0) ln(1 + x)/x = 1
lim (x→0) (sin x)/x = 1
lim (x→0) (1 − cos x)/x² = ½
6. Suites
Suite arithmétique (raison
r)
Suite géométrique (raison q)
Relation uₙ₊₁ = uₙ + r uₙ₊₁ = q·uₙ
Terme
général
uₙ = u₀ + n·r = uₚ + (n − p)·r uₙ = u₀·qⁿ = uₚ·qⁿ⁻ᵖ
Somme u₀ + … + uₙ = (n + 1)·(u₀ +
uₙ)/2
u₀ + … + uₙ = u₀·(1 − qⁿ⁺¹)/(1 − q), q ≠
1
Si −1 < q < 1 : lim qⁿ = 0. Si q > 1 : lim qⁿ = +∞.
Toute suite croissante et majorée (ou décroissante et minorée) converge.

7. Nombres complexes
z = a + ib ; z̄ = a − ib ; i² = −1
|z| = √(a² + b²) ; z·z̄ = |z|²
Forme trigonométrique : z = r(cos θ + i
sin θ), r = |z|
Forme exponentielle : z = r·e^(iθ)
|zz′| = |z|·|z′| ; arg(zz′) = arg z + arg z′
(2π)
arg(z/z′) = arg z − arg z′ (2π)
Moivre : (cos θ + i sin θ)ⁿ = cos nθ + i sin
nθ
Euler : cos θ = (e^(iθ) + e^(−iθ))/2 ; sin θ
= (e^(iθ) − e^(−iθ))/(2i)
az² + bz + c = 0 (a, b, c réels, Δ < 0) : z =
(−b ± i√(−Δ))/(2a)
Fiche de révision rédigée à partir des résultats du programme de Terminale S. Les formules sont des
résultats classiques de cours ; vérifiez toujours les conditions d'application (domaines, signes) avant de les
utiliser.