Analyse des vibrations des systèmes à plusieurs degrés de liberté

ANALYSE DES VIBRATIONS DES SYSTÈMES À PLUSIEURS DEGRÉS DE LIBERTÉ
Ce chapitre introduit l’analyse nécessaire pour comprendre la vibration des
systèmes ayant plus d’un degré de liberté.
❑Le nombre de degrés de liberté d’un système est déterminé par le nombre de
parties mobiles et le nombre de directions dans lesquelles chaque partie peut se
déplacer.
❑Un système avec plus d’un degré de liberté possède plus d’une fréquence
propre, ce qui augmente considérablement les risques de résonance.
❑Ce chapitre introduit également :
❑Le concept de formes modales (mode shape).
❑L’analyse modale, qui est une méthode largement utilisée pour étudier la
réponse des systèmes à multiples degrés de liberté (MDOF - Multiple Degree Of
Freedom).1

EXEMPLES DE SYSTÈMES MDOF
❑La plupart des structures réelles sont modélisées comme des systèmes MDOF.
❑Exemple : la tour de lancement de la navette spatiale de la NASA
- Cette structure est bien modélisée par un système MDOF et a présenté un problème de
résonance dans sa conception initiale.
-La tour subit d’énormes chocs lors du lancement, nécessitant une modélisation
approfondie de ses propriétés vibratoires.
❑D’autres exemples de systèmes vibrants modélisés par l’analyse MDOF incluent :
➢Les Bâtiments
➢Les avions
➢Les satellites
➢Les automobiles 2

VALEURS PROPRES ET FRÉQUENCES NATURELLES
•La méthode de solution indiquée dans la Section du problème à deux
degrés de liberté peut être étendue et formalisée afin de tirer parti du
problème algébrique symétrique de valeurs propres.
•Cela permet :
✔D'utiliser la puissance des mathématiques pour résoudre les
problèmes de vibrations.
✔D'exploiter des logiciels mathématiques pour faciliter les calculs.
✔De poser les bases nécessaires à l'analyse de systèmes ayant un
nombre quelconque de degrés de liberté.
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❑De plus, les concepts fondamentaux de formes modales et fréquences
propres peuvent être généralisés en reliant le problème de vibrations
non amorties aux mathématiques du problème algébrique de valeurs
propres.
❑Il existe de nombreuses façons de connecter la solution du problème de
vibration avec celui du problème algébrique de valeurs propres.
L'approche la plus efficace consiste à formuler le problème sous forme
d'un problème algébrique de valeurs propres.
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SYSTÈMES À DEGRÉS DE LIBERTÉ MULTIPLES
Le problème des vibrations peut être formulé comme un problème de
valeurs propres symétrique en raison des propriétés spécifiques associées
à la symétrie. Il est important de noter que la nature physique des matrices
de masse et de raideur fait qu'elles sont généralement symétriques. Il est
donc naturel de préserver cette symétrie lors de la résolution du problème
des vibrations. Étant donné que est une matrice symétrique et définie
positive, elle peut être factorisée en deux termes :
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