La mécanique des solides H C O D A MP, TSI Hassan ADOCH Professeur agrégé au Lycée Ibn Timiya Classes préparatoires aux grandes écoles, Marrakech TABLE DES MATIÈRES H C O D A 1 Cinématique du solide 1 2 3 4 Vecteurs et torseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Les vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Les torseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Centre de masse - Référentiel barycentrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Moment d'inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Éléments cinétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Le champ des vitesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Champ des accélérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Quantité de mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Moment cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Moment dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Énergie cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exemples d'application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Tige en rotation autour d'un axe xe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Disque en mouvement selon un axe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Dynamique et énergétique du solide 1 2 Théorèmes généraux en dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Notions de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Théorème de la résultante dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Théorème de moment cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Étude énergétique d'un solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Puissance d'une force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Théorème d'énergie cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Théorème d'énergie mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Contact de deux solides 1 1 1 1 2 3 3 4 6 7 7 8 8 9 11 12 13 13 16 18 18 18 19 20 21 21 21 22 24 Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.1 Classication de liaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.2 Vitesse de glissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 i TABLE DES MATIÈRES 2 3 Lois de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Lois de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Puissance des actions de contact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Étude d'un pendule pesant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Position de problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Grandeurs cinétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Équation de mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Portrait de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 26 26 27 28 28 29 29 30 Annexe A Relations de bases 32 Annexe B Formule de Borda 36 H C O D A H.ADOCH ii / 37 [email protected] CHAPITRE 1 CINÉMATIQUE DU SOLIDE 1 H C O D A Vecteurs et torseurs 1.1 Les vecteurs 1.1.1 Dénitions Un vecteur est un être mathématique appartenant à l'espace R3 . On trouve deux types de vecteurs : Les vecteurs liés : qui sont des vecteurs qui possèdent une origine A xe. Exemple : force appliquée sur un point matériel M . Les vecteurs glisseurs : qui sont des vecteurs qui se déplacent le long d'un axe (∆). Exemple : Vecteur → − rotation instantanée Ω 1.1.2 Produit scalaire et Produit vectoriel − − Considérons deux vecteurs → u et → v dont les coordonnées sont respectivement (a, b, c) et (a0 , b0 , c0 ) dans la − → − → − → base ( i , j , k ). On dénit le produit scalaire de ces deux vecteurs comme étant le scalaire qui représente la projection de l'un sur l'autre c'est-àdire : → − − − − − − u .→ v =→ v .→ u = ||→ u || × ||→ v || × cos(α) = aa0 + bb0 + cc0 Telle que α l'angle entre les deux vecteurs. → − v α → − u De même on dénit le produit vectoriel de ces deux vecteurs par la relation : → − − − − − − − u ∧→ v = −→ v ∧→ u = ||→ u || × ||→ v || × sin(α)→ w − − − telle que → w est un vecteur unitaire perpendiculaire au plan (→ u, → v ) et dont le sens est déterminer par la règle de tire bouchon. D'autre part, le produit vectoriel peut être calculer en utilisant les coordonnées des deux vecteurs par la relation : − → − → − → i j k → − → − → − → − − u ∧→ v = a b c = (bc0 − cb0 ) i − (ac0 − ca0 ) j + (ab0 − a0 b) k a0 b 0 c 0 1 CHAPITRE 1. → − → − CINÉMATIQUE DU SOLIDE → − Le double produit vectoriel se fait entre trois vecteurs A , B et C . Il est donné par : → − → − → − → − → − → − → − → − → − A ∧ B ∧ C = A.C B − A.B C Alors que le produit mixte entre trois vecteurs s'écrit : a b c → − → − → − → − → − → − → − → − → − v . ( p ∧ u ) = p . ( u ∧ v ) = u . ( v ∧ p ) = a0 b 0 c 0 a” b” c” − tel que → p est un vecteur dont les coordonnées sont (a”, b”, c”). H C O D A 1.2 Les torseurs 1.2.1 Application antisymétrique-Champ antisymétrique Soit une application L telle que : L : E −→ E → − − u −→ L(→ u) On dit qu'une application L est antisymétrique si et seulement si : − − ∀→ u ,→ v ∈E Exemple : → − − − − − L(→ u ).→ v = −L(→ v ).→ u L : E −→ E → − − → − u −→ A ∧ → u → − − − Avec A 6= 0 . On a ∀→ u ,→ v ∈E → → − → → − → − → − → − → − − − − A ∧ u . v = v ∧ A . u = − A ∧ v .→ u → − Propriété fondamentale : si L est antisymétrique, il existe un seul vecteur noté R ∈ E tel que : → − − − L(→ u)= R ∧→ u On appelle champ vectoriel de vecteur sur un ensemble D, une application de D dans E qui à : − M ∈D→→ u (M ) ∈ E En mécanique D est un ensemble dont les éléments sont les points géométriques alors que E est un ensemble dont les éléments sont les vecteurs. − Un champ de vecteur → u (M ) est dite antisymétrique s'il existe une application antisymétrique L telle que : ∀M, N ∈ D −−→ → − − u (M ) = → u (N ) + L(M N ) Un tel champ de vecteur est dite équiprojectif c'est-à-dire : −−→ − −−→ → − u (M ).M N = → u (N ).M N La démonstration est très facile, il sut d'utiliser la propriété des applications antisymétriques : −−→ − −−→ −−→ − −−→ → − − → −−→ → − − u (M ).M N = → u (N ) + L(M N ) .M N = → u (N ).M N + R ∧ → u .− u =→ u (N ).M N Car : H.ADOCH → − → − R ∧− u .→ u =0 2 / 37 [email protected] CHAPITRE 1. CINÉMATIQUE DU SOLIDE 1.2.2 Torseurs − On appelle torseur [τ ] un ensemble formé d'un champ de vecteur antisymétrique → u (M ) et de son vecteur → − R . Donc : → − −−→ → − − u (M ) = → u (O) + R ∧ OM ∀O → − Un torseur est alors caractérisé par la donnée par le vecteur R et de son champ en un point (par exemple → − − O). C'est ce qu'on appelle les éléments de réduction. On note alors ce torseur [τ (O)] = [→ u (O), R ] : → − u (O) : Moment du torseur en O → − R : Résultante du torseur H C O D A Remarques : • Lorsque deux torseurs sont égales alors les moments sont égales et les résultantes aussi. • La multiplication d'un torseur par une constante donne un torseur. • Le produit scalaire (ou comoment) de deux torseurs est par dénition : → − − → − → − → − − − − [→ u 1 (O), R 1 ].[→ u 2 (O), R 2 ] = → u 1 (O).→ u 2 (O) + R 1 . R 2 • Un glisseur est un torseur dont le moment est nul. Alors qu'un couple est un torseur dont la résultante est nulle. • Tout torseur peut s'écrit sous la forme d'une somme d'un glisseur et un couple : → − − → − → → − − − [→ u (O), R ] = [ 0 , R ] + [→ u (O), 0 ] 2 Généralités 2.1 Présentation En première année, le programme de la mécanique consiste à étudier les corps en utilisant la modélisation ponctuelle (modèle de point matériel) en utilisant des notions cinétiques et dynamiques (exemples : vitesse, accélération, énergie, force...etc). En deuxième année on se propose d'étudier quelques notions de la mécanique des solides. On dénit un solide dans le cas le plus général comme étant un ensemble de points. On dit que le solide est rigide ou indéformable si les distances mutuelles restent constants au cours du temps. Ce qu'on écrit mathématiquement sous la forme : −→2 AB = cte ⇐⇒ −→ −→ AB AB. =0 dt Tels que A et B des points quelconques de solide (S). On se limite dans le cadre de programme à l'étude des solides indéformables. Cette étude peut se diviser en trois parties : • La cinématique : c'est l'étude de mouvement des corps sans s'intéresser aux causes (forces) produisent ces mouvements c'est-à-dire la généralisation de la notion de vitesse et de l'accélération. • La dynamique : c'est l'étude des causes du mouvement c'est-à-dire la relation entre les forces et les grandeurs cinématiques. • L'énergétique : c'est la généralisation de la notion de l'énergie et la puissance. H.ADOCH 3 / 37 [email protected] CHAPITRE 1. CINÉMATIQUE DU SOLIDE 2.2 Centre de masse - Référentiel barycentrique 2.2.1 Dénitions La mécanique classique associe à tout corps matériel une grandeur positive, conservative appelée la masse qu'on note généralement m. Cette masse est distribuée selon l'une des façons suivantes : • Discrète : le solide est un ensemble de points, la masse totale est alors : mtot = N X mN m1 mi m2 m3 m4 i=1 H C O D A • Continue : la masse est distribuée de façon continue ce qui correspond à l'une des cas suivantes : Distribution volumique Distribution surfacique C'est un volume caractérisé par une grandeur appelée masse volumique notée ρ. Exemples : sphère, cylindre, parallélépipède...etc. La masse totale est alors : C'est une surface caractérisée par une grandeur appelée masse surfacique notée σ. Exemples : surface d'une sphère, surface d'un cylindre, plan ...etc. La masse est alors : ¨ mtot = ρ dτ ¨ dm et λ = dτ mtot = σ dS dm et λ = dS Distribution linéique C'est un l qu'on caractérise par une grandeur appelée masse linéique notée λ. La masse totale est alors : ˆ m= λ dl et λ = dm dl On appelle centre de masse (ou centre d'inertie, centre de gravité, barycentre) le point G qui vérie : a) Pour les distributions discrètes : −−→ −→ X mi OM i OG = mtot i avec : O quelconque b) Pour les distributions continues : −→ OG = ˆ −−→ OM dm mtot ˆ ⇐⇒ −−→ → − GM dm = 0 avec : O quelconque et M ∈ (S) Remarques : • On rappelle qu'on a deux types de masse à savoir la masse inertielle qui quantie la résistance d'un corps au mouvement et la masse gravitationnelle qui permet à un corps de sentir la force gravitationnelle. • Si un solide possède un élément de symétrie (plan ou axe de symétrie ...etc), le centre de masse G appartient H.ADOCH 4 / 37 [email protected] CHAPITRE 1. CINÉMATIQUE DU SOLIDE à cet élément. • Le référentiel barycentrique R∗ associée à un solide (S) est un référentiel lié à G et en translation par rapport au référentiel d'étude R. On a alors : ˆ → − 1 → − → − → − → − ∗ v (G/R ) = v (M ∈ (S)/R∗ ) dm = 0 et Ω (R∗ /R) = 0 mtot • Le référentielle barycentrique R∗ n'est pas galiléen que si : − → → − v (G/R) = cte H C O D A 2.2.2 Exemple d'une sphère homogène Considérons une sphérique de centre O, de rayon R et de masse m distribuée de façon homogène. On se propose de déterminer son barycentre G. Par dénition, on a : −→ OG = Pour une sphère homogène : ˚ dm = ρdτ Donc : ˆ −−→ OM dm m alors m = ˚ 4 dτ = ρ πR3 3 ρ dτ = ρ dm = 3m dτ 4πR3 En coordonnées sphériques (r, θ, ϕ), on a : −−→ − OM = r→ er et dτ = r2 sin(θ)drdϕdθ Alors, la dénition de le barycentre devient : −→ 1 3m OG = m 4πR3 ˆ R ˆ π ˆ 2π 0 0 − r→ e r r2 sin(θ)drdϕdθ = 0 3 4πR3 ˆ R ˆ π ˆ 2π 0 0 − r3 sin(θ)drdϕdθ→ er 0 Or le vecteur radiale de la base sphérique dépend de ϕ et de θ par la relation : → − − − − − − e r = cos(θ)→ e z + sin(θ)→ e ρ = cos(θ)→ e z + sin(θ) (cos(ϕ)→ e x + sin(ϕ)→ e y) Donc : −→ OG = ˆ R ˆ π 3 r dr ˆ 2π sin(θ) 0 0 0 Ce qu'on peut écrire sous la forme : −→ OG = 3 R4 4πR3 4 − − − (cos(θ)→ e z + sin(θ) (cos(ϕ)→ e x + sin(ϕ)→ e y )) dϕdθ ˆ π ˆ 2π sin(θ)cos(θ)dθ 0 ˆ π dϕ + 0 ˆ 2π sin(θ)dθ 0 − − (cos(ϕ)→ e x + sin(ϕ)→ e y ) dϕ 0 Ce qui se calcule facilement pour donner : −→ 3R OG = 16π π sin2 (θ) → − 2π π → − → − 2π + [sin(θ)]0 [sin(ϕ) e x − cos(ϕ) e y ]0 = 0 2 0 Donc le centre de masse est confondu avec le centre de la sphère O ≡ G. H.ADOCH 5 / 37 [email protected] CHAPITRE 1. CINÉMATIQUE DU SOLIDE 2.2.3 Exemple d'un quart-disque Considérons un quart de disque homogène de masse m et de rayon R. Pour déterminer le centre de masse en utilise la base polaire (r, ϕ). Par dénition, on a : −→ OG = ˆ −−→ OM dm m Y Or la distribution est surfacique alors : M ¨ H C O D A dm = σdS Alors : avec : m= σdS = σS = σ πR2 4 R O X σ= 4m πR2 En coordonnée cylindrique on a : −−→ − OM = r→ er Alors : et dS = rdrdϕ −→ 1 4m OG = m πR2 ˆ Rˆ π 2 0 − r→ e r rdrdϕ 0 Le vecteur radiale de la base cylindrique dépend de ϕ, en eet : → − − − e r = cos(ϕ)→ e x + sin(ϕ)→ ey l'expression devient donc : −→ OG = 4 πR2 ˆ R ˆ π 2 2 r dr 0 − − (cos(ϕ)→ e x + sin(ϕ)→ e y ) dϕ 0 Par une simple intégration, on trouve : π −→ 4R 4R → − − − [sin(ϕ)→ e x − cos(ϕ)→ e y ]02 = (− ex+→ e y) OG = 3π 3π Donc les coordonnées de G dans la base cartésienne est : 4R xG = yG = 3π alors rG = q 2 x2G + yG = OG = 4R √ 2 ≃ 0, 6R 3π 2.3 Moment d'inertie Considérons un solide (S), M un point quelconque de ce solide et (∆) un axe passant par O et de vecteur − directeur → u . On dénit le moment d'inertie de solide par rapport à l'axe (∆) par : ˆ J∆ (S) = −−→ 2 → − u ∧ OM dm = (S) ˆ r2 dm (S) L'unité d'une telle grandeur est kg.m2 , telle que r est appelée distance orthogonale qui représente la distance minimale entre l'axe (∆) et le point M . On a : −−→ − r = HM = → u ∧ OM = OM sin(α) H.ADOCH 6 / 37 [email protected] CHAPITRE 1. (S) α M CINÉMATIQUE DU SOLIDE (∆) → − u O r H Le moment d'inertie est au mouvement de rotation l'analogue de la masse pour le mouvement de translation, il reète la "résistance" qu'oppose un corps à sa mise en mouvement. H C O D A Remarques : • On remarque que : −−→ 2 − −−→ → −−→ → − − −−→ → − u ∧ OM = → u ∧ OM . − u ∧ OM = A . → u ∧ OM avec : → − −−→ − A =→ u ∧ OM En utilisant la permutation circulaire d'un produit mixte on peut écrire : → − → −−→ − −−→ → − − −−→ → −−→ A. − u ∧ OM = → u . OM ∧ A = → u . OM ∧ − u ∧ OM Alors : ˆ −−→ −−→ → − → − u . OM ∧ u ∧ OM dm J∆ (S) = (S) D'où la relation : − J∆ (S) = → u. ˆ −−→ −−→ → − OM ∧ u ∧ OM dm (S) • Considérons maintenant un axe (∆0 ) parallèle à (∆) et passant par G. classique s'écrit : Le théorème de Huygens J∆ (S) = J∆0 (S) + md2 d est la distance minimale entre les deux axes. Solide Tige de longueur L Disque de rayon R Cylindre de rayon R et de hauteur h) J∆ (S) 3 1 mL2 3 2 mR2 3 1 mR2 2 Éléments cinétiques Considérons un solide (S) de masse m, et dm un élément de masse autour d'un point M de solide. On note R un référentiel. 3.1 Le champ des vitesses Pour un solide rigide contenant deux points A et B , on a : −→2 AB = cte H.ADOCH ⇒ −→ −→ AB AB. =0 dt ⇒ −→ → − AB. (− v (B ∈ (S)/R) − → v (A ∈ (S)/R)) = 0 7 / 37 [email protected] CHAPITRE 1. Alors : CINÉMATIQUE DU SOLIDE −→ → −→ − AB.− v (B ∈ (S)/R) = AB.→ v (A ∈ (S)/R) → − Donc il existe un vecteur noté Ω telle que : → − −→ → − − v (B ∈ (S)/R) = → v (A ∈ (S)/R) + Ω ∧ AB Le champ des vitesses d'un solide est donc un tenseur, on l'appelle torseur cinématique qu'on note [V]. → − − Ces éléments de réduction au point A sont Ω (S/R) et → v (A ∈ (S)/R). → − Le vecteur Ω (S/R) est le vecteur rotation instantané du référentiel lié au solide (ce n'est pas R∗ généralement) par rapport au référentiel d'étude R. H C O D A Remarques : → − → − • Pour un solide en translation dans R, on a Ω (S/R) = 0 . Le torseur cinématique est alors un couple → − − [→ v (A ∈ (S)/R), 0 ]. → − − • Pour un solide en rotation autour d'un axe xe dans R, → v (A/R) = 0 quelque soit A de l'axe de rotation − → − → (∆). Or A ∈ (S) donc le torseur cinématique est un glisseur [ 0 , Ω (S/R)]. 3.2 Champ des accélérations Pour A, B ∈ (S) on a : → − −→ → − − v (B ∈ (S)/R) = → v (A ∈ (S)/R) + Ω ∧ AB En dérivant cette relation par rapport au temps, on obtient : −→ → − − dAB d Ω −→ → → − → − ∧ AB + Ω ∧ a (B ∈ (S)/R) = a (A ∈ (S)/R) + dt dt Ce qui correspond à : → − − → − −→ d Ω −→ → → − → − a (B ∈ (S)/R) = a (A ∈ (S)/R) + ∧ AB + Ω ∧ Ω ∧ AB dt Remarques : → − → − −→ • Le terme Ω ∧ Ω ∧ AB n'est pas nul généralement, donc le champ des accélérations d'un solide n'est pas un torseur. • Par dénition : − m→ a (G/R) = ˆ → − a (M ∈ (S)/R)dm (S) 3.3 Quantité de mouvement La quantité de mouvement de l'élément dm est par analogie à un point matériel donnée par : − − d→ p ((S)/R) = dm→ v (M/R) H.ADOCH 8 / 37 [email protected] CHAPITRE 1. La quantité de mouvement de solide est alors : → − p ((S)/R) = ˆ − d→ p = ˆ (S) CINÉMATIQUE DU SOLIDE − dm→ v (M/R) (S) Or : ˆ ˆ −→ −−→ 1 d OG 1 1− → − → − = v (G/R) = dm OM = v (M/R) dm = → p ((S)/R) dt m dt m m Alors pour tout solide (S), la quantité de mouvement est : H C O D A → − − p ((S)/R) = m→ v (G/R) 3.4 Moment cinétique En utilisant la même technique, le moment cinétique de l'élément dm par rapport à un point O est donné par : −−→ − − d→ σ O ((S)/R) = OM ∧ → v (M/R)dm Alors le moment cinétique du solide est : → − σ O ((S)/R) = ˆ − d→ σ O ((S)/R) = ˆ −−→ → OM ∧ − v (M/R)dm (S) Soit A un point quelconque de l'espace, on a : → − σ O ((S)/R) = ˆ −−→ → OM ∧ − v (M/R)dm = (S) ˆ −→ −−→ − OA + AM ∧ → v (M/R)dm (S) Les points O et A sont indépendants de solide donc : → − σ O ((S)/R) = ˆ −→ −−→ −→ → − OA + AM ∧ v (M/R)dm = OA ∧ ˆ (S) (S) Or : ˆ → − − v (M/R)dm = m→ v (G/R) et (S) Donc : → − v (M/R)dm + ˆ ˆ −−→ → AM ∧ − v (M/R)dm (S) −−→ → − AM ∧ − v (M/R)dm = → σ A ((S)/R) (S) −→ → − − − σ O ((S)/R) = → σ A ((S)/R) + OA ∧ m→ v (G/R) Cette écriture vérie la structure d'un torseur c'est le torseur cinématique qu'on note [C]. Ce torseur est caractérisé par les éléments : → − − − σ O ((S)/R) et → p ((S)/R) = m→ v (G/R) Remarques : • En choisissant A ≡ G, on trouve le premier théorème de Koening : −→ → − − − σ O ((S)/R) = → σ G ((S)/R) + OG ∧ m→ v (G/R) • Pour un solide en translation : −→ −→ → − − − − σ A ((S)/R) = → σ G ((S)/R) + AG ∧ m→ v (G/R) = AG ∧ m→ v (G/R) H.ADOCH 9 / 37 [email protected] CHAPITRE 1. CINÉMATIQUE DU SOLIDE • Soit R∗ le référentiel barycentrique et R le référentiel d'étude, on a : ˆ ˆ −−→ − −−→ → − − → − v (M/R∗ ) + → v e ) dm σ G ((S)/R) = GM ∧ v (M/R)dm = GM ∧ (→ ve est la vitesse d'entraînement (c.f : mécanique de point) qui s'écrit dans ce cas : → − −−→ − → − − ve=→ v (G/R) + Ω (R∗ /R) ∧ GM = → v (G/R) Donc : ˆ ˆ ˆ H C O D A → − σ G ((S)/R) = −−→ → GM ∧ − v (M/R∗ )dm + ´ −−→ −−→ → GM ∧ − v (G/R)dm = −−→ → GM ∧ − v (M/R∗ )dm → − Car d'après la dénition de G on a (S) GM dm = 0 , d'où : → − − σ G ((S)/R) = → σ G ((S)/R∗ ) • Dans le référentiel barycentrique R∗ , on a aussi: ˆ ˆ ˆ −−→ → −−→ → −−→ → − −−→ → − − − ∗ ∗ ∗ σ G ((S)/R ) = GM ∧ v (M/R )dm = GM ∧ v (G/R )dm + GM ∧ Ω ((S)/RG ) ∧ GM dm Alors : → − σ G ((S)/R∗ ) = ˆ −−→ → − −−→ GM ∧ Ω ((S)/RG ) ∧ GM dm − • Soit ∆ un axe de vecteur unitaire → u et A un point quelconque appartient à ∆. On dénit le moment cinétique du solide par rapport à l'axe ∆ par : − − σ∆ (S/R) = → σ A (S/R).→ u Cette grandeur est indépendante du point A choisi. • Dans le cas d'un solide en rotation par rapport à l'axe de rotation ∆ xe dans R, passant par un − point A et de vecteur unitaire → u , le moment cinétique est donné par : − − σ∆ ((S)/R) = → σ A ((S)/R).→ u avec : → − → − Ω ((S)/R) Ω ((S)/R) → − u = → = − ω || Ω ((S)/R)|| On remarque que si A ∈ (S), on a : → − → − − Ω (S/R).→ σ A ((S)/R) = Ω (S/R). ˆ −−→ → → − AM ∧ − v (M/R)dm = Ω (S/R). ˆ (S) −−→ → − −−→ AM ∧ Ω (S/R) ∧ AM dm (S) En utilisant le moment d'inertie associé à ce solide par rapport à l'axe ∆ on remarque que : → − Ω (S/R). ˆ ˆ −−→ → − −−→ − 2→ AM ∧ Ω (S/R) ∧ AM dm = ω u . (S) (S) Donc : −−→ −−→ → − AM ∧ u ∧ AM dm = ω 2 J∆ (S) → − − σ∆ ((S)/R) = ω J∆ (S) et → σ A ((S)/R) = J∆ (S) Ω ((S)/R) • Pour le cas d'un solide en translation d'une translation : −→ → − − σ O ((S)/R) = m OG ∧ → v (G/R) H.ADOCH 10 / 37 [email protected] CHAPITRE 1. CINÉMATIQUE DU SOLIDE 3.5 Moment dynamique On dénit le moment dynamique d'un solide (S) par rapport à O par la relation : → − (en kg.m .s ) D O (S/R) = 2 ˆ −−→ → OM ∧ − a (M/R)dm −2 (S) Considérons un point A quelconque du solide, on a : → − D O (S/R) = ˆ −−→ → OM ∧ − a (M/R)dm = ˆ (S) −→ −−→ − OA + AM ∧ → a (M/R)dm (S) H C O D A Ce qu'on peut écrire sous la forme : → − −→ D O (S/R) = OA ∧ ˆ → − → − a (M/R) dm + D A (S/R) (S) En utilisant la dénition de centre de masse G, on trouve que : → − → − −→ − D O (S/R) = D A (S/R) + OA ∧ m→ a (G/R) Alors le moment dynamique vérie la structure d'un torseur. C'est ce qu'on appelle torseur dynamique noté [D]. Les éléments de réduction d'un telle torseur est : → − − D O (S/R) et m→ a (G/R) Remarques : − • le terme m→ a (G/R) est appelée quantité d'accélération. • On dénit aussi le moment dynamique par rapport à un axe (∆) (généralement l'axe de rotation) passant − par un point A et dont le vecteur directeur est → u par : → − − D∆ (S/R) = D A (S/R).→ u • On montre facilement le théorème de Koening du moment dynamique qui s'écrit : → − → − −→ − D A (S/R) = D A (S/R∗ ) + AG ∧ m→ a (G/R) • A partir de théorème de Koening, on remplaçant R par R∗ on trouve que dans le référentiel barycentrique le moment dynamique ne dépend pas du point A : → − → − D A (S/R∗ ) = D A (S/R∗ ) • Pour un point A quelconque, le moment cinétique du solide (S) par rapport à A dans R s'écrit : ˆ −−→ → → − σ A (S/R) = AM ∧ − v (M/R)dm (S) En dérivant cette expression dans R, on obtient : ˆ ˆ −−→ − −−→ → dAM → d→ σ A (S/R) − = ∧ v (M/R)dm + AM ∧ − a (M/R)dm dt dt (S) (S) H.ADOCH 11 / 37 [email protected] CHAPITRE 1. Alors : CINÉMATIQUE DU SOLIDE ˆ − → − d→ σ A (S/R) − − − = (→ v (M/R) − → v (A/R)) ∧ → v (M/R)dm + D A (S/R) dt (S) Ce qui se simplie pour donner : ˆ − − d→ σ A (S/R) → → − − = D A (S/R) − v (A/R) ∧ → v (M/R)dm dt (S) Or : ˆ (S) Alors : → − − − v (A/R) ∧ → v (M/R)dm = → v (A/R) ∧ ˆ → − − − v (M/R)dm = → v (A/R) ∧ → v (G/R) H C O D A (S) − − d→ σ A (S/R) → − − = D A (S/R) − → v (A/R) ∧ → v (G/R) dt Cette relation se simplie de plus pour donner : − − d→ σ A (S/R) → = D A (S/R) dt Dans quatre cas particuliers à savoir : → − − 1) Le référentiel d'étude c'est le référentiel barycentrique R ≡ R∗ ce qui donne → v (G/R∗ ) = 0 → − − 2) Le point A est xe dans R ce qui signie que → v (A/R) = 0 . → − − − 3) le point A est confondue avec le barycentre G ce qui donne → v (A/R) ∧ → v (G/R) = 0 . 4) Le vecteur vitesse de A est celui de G sont parallèles à chaque instant. Dans ces cas on a : ˙ = [D] [C] ⇐⇒ − − d→ σ A (S/R) → = D A (S/R) et dt − d→ p − = m→ a (G/R) dt 3.6 Énergie cinétique Par dénition, l'énergie cinétique d'un élément de masse dm centré sur un point M est : 1 dEc (S/R) = v 2 (M/R)dm 2 Alors l'énergie cinétique du solide (S) est donnée par : ˆ Ec (S)/R) = dEc (M/R) = (S) ˆ 1 2 v (M/R)dm (S) 2 Or la décomposition des vitesse permet d'écrire : → − −−→ → − − − − − v (M/R) = → v (M/R∗ ) + → ve=→ v (M/R∗ ) + → v (G/R) + Ω (R∗ /R) ∧ GM Le référentiel barycentrique R∗ est en translation par rapport à R alors : → − − − v (M/R) = → v (M/R∗ ) + → v (G/R) En remplaçant dans l'énergie cinétique, on trouve : ˆ 1 2 Ec (S/R) = v (M/R)dm = (S) 2 H.ADOCH ˆ 1 → − − − − v 2 (M/R∗ ) + 2→ v (M/R∗ ).→ v (G/R) + → v 2 (G/R) dm (S) 2 12 / 37 [email protected] CHAPITRE 1. Ce qui s'écrit : ˆ 1→ 1− 2 − Ec (S/R) = v 2 (M/R∗ )dm + → v (G/R) 2 (S) 2 Or : ˆ → − v (M/R∗ )dm = ˆ CINÉMATIQUE DU SOLIDE − dm + → v (G/R). (S) ˆ → − v (M/R∗ )dm (S) ˆ (S) ˆ −−→ −−→ d dGM → − dm = GM dm = 0 dt dt (S) (S) Ce qui permet d'obtenir le deuxième théorème de Koening : H C O D A 1 −2 v (G/R) Ec (S/R) = Ec (S/R∗ ) + m→ 2 Remarques : • L'énergie cinétique est donnée par : ˆ ˆ 1 1 2 → − → − − Ec (S/R) = ( v (M/R)) dm = v (M/R).→ v (M/R)dm 2 (S) 2 (S) Alors dans le cas d'une rotation autour d'un axe (∆) xe dans R, on a pour tout point A de solide et appartenant à ∆ : → − −−→ → − −−→ → − − v (M/R) = → v (A/R) + Ω (S/R) ∧ AM = Ω (S/R) ∧ AM Donc l'énergie cinétique s'écrit : ˆ ˆ → −−→ → − −−→ − 1 1→ − → − AM ∧ v (M/R) dm Ec (S/R) = v (M/R). Ω (S/R) ∧ AM dm = Ω (S/R). 2 (S) 2 (S) Ce qui donne : − 1→ Ec (S/R) = Ω (S/R). 2 ˆ −−→ → − −−→ AM ∧ Ω (S/R) ∧ AM dm (S) On introduit le moment d'inertie par rapport à l'axe de rotation ∆ passant par A on obtenue : 1 Ec (S/R) = ω 2 J∆ (S) 2 • Dans le cas général, on montre que : 1 1 Ec (S/R) = J∆ (S) ω 2 + m v 2 (G/R) 2 2 4 Exemples d'application 4.1 Tige en rotation autour d'un axe xe Considérons une tige homogène (S) de longueur L, de masse m en rotation autour d'un axe (∆) xe, − − − perpendiculaire à la tige et passant par son extrémité O. Le référentiel d'étude est R(O, → e x, → e y, → e z ). H.ADOCH 13 / 37 [email protected] CHAPITRE 1. 1) Déterminer la position de centre de masse G. 2) Donner l'expression du moment d'inertie J∆ . 3) Déterminer alors l'expression du moment cinétique − σ∆ (S/R). Déduire → σ O (S/R) 4) Déterminer alors l'expression de l'énergie cinétique du solide. CINÉMATIQUE DU SOLIDE (∆) → − ez O ω (S) 5) On assimile cette tige à un point matériel M0 H C O D A de masse m confondu avec le centre de masse G Déterminer l'expression des grandeurs précédentes − (→ σ O (M/R), Ec (M/R)) dans ce cas. Commenter. H.ADOCH 14 / 37 [email protected] CHAPITRE 1. CINÉMATIQUE DU SOLIDE Réponses 1) La tige tourne dans le plan perpendiculaire à l'axe ∆ alors on utilise le système de coordonnées cylindriques (r, ϕ, z ). on aura alors pour tout point M de la tige : −−→ − OM = r→ er 0≤r≤L avec : Par dénition, le centre de masse est donné par : −→ 1 OG = m ˆ −−→ 1 OM dm = m (S) ˆ −−→ OM λ dr H C O D A (S) La distribution de masse est linéique donc : dm = λdl = λdr Donc : −→ 1 OG = L ˆ L 0 avec : 1 − r→ e r dr = L L2 2 λ= m L L− → − er= → er 2 Alors le centre de masse est au milieu de la tige. 2) Le moment d'inertie d'une tige de longueur L est : 1 J∆ = mL2 3 3) On a un solide en rotation autour d'un axe (∆) alors : 1 σ∆ = J∆ ω = mL2 ω 3 donc : 1 → − − σ O ((S)/R) = mL2 ω → ez 3 4) L'énergie cinétique dans le cas d'une rotation autour d'un axe xe est donnée par : 1 1 Ec ((S)/R) = J∆ ω 2 = mL2 ω 2 2 6 5) En assimilant le solide à un point matériel M0 placé en G alors : −−→ L− OM 0 = → er 2 ⇒ L − L − → − v (M0 /R) = ϕ̇→ e ϕ = ω→ eϕ 2 2 Le moment cinétique de ce point par rapport à O dans R est donné par : −−→ L2 → → − → − σ O ((S)/R) = OM 0 ∧ m v (M0 /R) = ω− ez 4 Alors que l'énergie cinétique de M0 dans R est donnée par : 1 L2 Ec (M0 /R) = mv 2 (M0 /R) = mω 2 2 8 Les résultats trouvées ne sont pas en accord avec les résultats trouvés dans les questions précédents donc la tige ne peut pas être considérée comme étant un point matériel. H.ADOCH 15 / 37 [email protected] CHAPITRE 1. CINÉMATIQUE DU SOLIDE 4.2 Disque en mouvement selon un axe Soit un disque (S) homogène de centre C et de rayon a en mouvement sur un axe Ox. R est le référentiel lié − − − à la base (O, → e x, → e y, → e z) Questions : Y → − ez 1) Déterminer la position de centre de masse G. 2) Donner l'expression du moment d'inertie J∆ . 3) Déterminer alors l'expression du moment cinétique H C O D A − σ∆ (S/R). Déduire → σ O (S/R) C 4) Déterminer alors l'expression de l'énergie cinétique du solide. ω O Réponses : X I 1) Par dénition, le centre de masse est : −→ CG = ˆ −−→ CM dm m Or la distribution est surfacique alors : dm = σdS ¨ avec : 2 m= σdS = σS = σπa Alors la masse surfacique est donnée par : m πa2 − − − On associe une base cylindrique (→ e r, → e ϕ, → e z ) au centre C , on obtient: σ= −→ − OC = r→ er Alors : −→ CG = 0 ≤ r ≤ a et dS = rdrdϕ avec : ˆ −−→ ˆ a ˆ 2π ˆ a ˆ 2π CM 1 1 → − − 2→ 2 r e r drdϕ = 2 r dr e r dϕ dm = 2 m πa 0 0 πa 0 0 Or le vecteur radiale de la base cylindrique dépend de ϕ alors : ˆ 2π 0 → − e r dϕ = ˆ 2π − − (cos(ϕ)→ e x + sin(ϕ)→ e y ) dϕ 0 Une simple intégration donne : ˆ 2π 0 Alors : → − 2π → − − − e r dϕ = [sin(ϕ)→ e x − cos(ϕ)→ e y ]0 = 0 −→ 1 CG = 2 πa ˆ a ˆ 2π 2 r dr 0 → − → − e r dϕ = 0 0 Donc le centre du disque C c'est le centre de masse. H.ADOCH 16 / 37 [email protected] CHAPITRE 1. CINÉMATIQUE DU SOLIDE 2) Le moment d'inertie de ce disque est donné par : 1 J∆ (S) = ma2 2 3) On a une rotation autour de OZ est une translation selon OX donc le moment cinétique de solide par rapport à O est donné par : −→ → − −→ → − − − − σ O ((S)/R) = → σ C ((S)/R) + OG ∧ m→ v (G/R) = J∆ Ω ((S)/R) + OG ∧ m→ v (G/R) Or : H C O D A → − − Ω ((S)/R) = ω → ez −→ − − et OG = x→ e x + a→ ey ⇒ → − − v (G/R) = ẋ→ ex Donc le moment cinétique est : 1 1 → − − − − σ O ((S)/R) = ma2 ω → e z + maẋ→ e z = am (aω + ẋ) → ez 2 2 4) De même, l'énergie cinétique du solide est : 1 1 1 Ec ((S)/R) = J∆ (S) ω 2 + mv 2 (G/R) = ma2 ω 2 + mẋ2 2 2 2 H.ADOCH 17 / 37 [email protected] CHAPITRE 2 DYNAMIQUE ET ÉNERGÉTIQUE DU SOLIDE 1 H C O D A Théorèmes généraux en dynamique 1.1 Notions de base Une force est une modélisation d'une action mécanique exercée par un objet sur un autre. On dénit la force → − → − F appliquée sur un solide (S) en utilisant l'élément de force d F appliquée sur un petit volume de masse dm centré sur un point M de solide. Ce qu'on écrit : ˆ ˆ → − → − → − F = dF = f (M ) dm (S) (S) → − → − f (M ) est appelée densité massique de la force F . Le moment d'une telle force par rapport à un point A quelconque est déni alors − → → − MA ( F ) = ˆ −−→ → − AM ∧ d F = ˆ − −−→ → AM ∧ f (M ) dm (S) (S) Remarques : • Les forces se divisent en deux types : a/ Forces localisées : s'appliquent en un point d'un objet ou sur un objet ponctuel. Par exemple un → − l tire un objet avec une force T localisée au point d'accrochage. b/ Forces réparties : s'appliquent sur un ensemble de points répartis sur une surface ou dans un → − volume de l'objet. Par exemple le poids P est réparti dans tout le volume d'un objet. → − − • Le moment d'une force F par rapport à un axe (∆) passant par A et de vecteur directeur → u est donné par : → − − → → − − M∆ ( F ) = → u . MA ( F ) Cette grandeur ne dépend pas du point A choisi de l'axe. • On remarque que le moment d'une force par rapport à un point A s'écrit : − → → − MA ( F ) = ˆ (S) −−→ → − AM ∧ d F = ˆ −→ → − AB ∧ d F + (S) ˆ (S) 18 −→ → − −→ → − − → → − AB ∧ d F = AB ∧ F + MB ( F ) CHAPITRE 2. DYNAMIQUE ET ÉNERGÉTIQUE DU SOLIDE Le moment d'une force est alors un torseur appelé torseur des actions mécaniques. → − • Un couple de force est une action dont la résultante des forces est nulle et dont le moment résultant Γ est non nul et indépendant du point où on le calcule : ˆ → − Γ = −−→ → − → − AM ∧ d F et F = ˆ (S) → − → − dF = 0 (S) Exemple : Le poids est une force répartie sur le volume de solide, son moment par rapport à un point A est : ˆ ˆ ˆ H C O D A − → → − MA ( P ) = −−→ → − AM ∧ d P = (S) −−→ → AM ∧ − g dm = (S) −−→ −→ − −→ − − AM dm ∧ → g = mAG ∧ → g = AG ∧ m→ g (S) Donc le poids peut être modélisé par une force localisée en G. 1.2 Théorème de la résultante dynamique Considérons un solide (S) indéformable de masse m et de centre de masse G en mouvement par rapport à un référentiel R galiléen. Soit dm un élément de solide centré sur un point M . Cette élément est soumis à un ensemble de forces dont la résultante s'écrit : → − → − → − d F tot = Σ d F ext + Σ d F int En appliquant le principe fondamental sur cet élément dm, on écrit : → − → − → − − dm→ a (M/R = d F tot = Σ d F ext + Σ d F int Pour retrouver la forme de ce principe pour un solide, on intègre cette relation sur tout le solide ce qui donne : ˆ ˆ ˆ → − Σ d F ext + − dm→ a (M/R = (S) (S) → − Σ d F int (S) → − Telle que Σ d F int est la somme des forces intérieurs c'est-à-dire les forces appliquées par les autres parties de solide. Lorsqu'on somme ces forces sur tout le solide (indéformable), la résultante obtenue est nulle selon le principe de l'action réciproque. Ce qu'on écrit : → − Σ F int = ˆ → − → − Σ d F int = 0 (S) D'autre part : ˆ − − dm→ a (M/R) = m→ a (G/R) (S) D'où le théorème de la résultante dynamique qui s'écrit : → − − m→ a (G/R) = Σ F ext Remarques : • Ce théorème est appelée aussi théorème des quantités de mouvement, théorème de centre de masse (centre d'inertie/centre de gravité). − → − • Pour un solide isolé ou pseudo-isolé, le solide possède un mouvement rectiligne uniforme (→ v (G/R) = cte) alors le référentiel barycentrique est galiléen. H.ADOCH 19 / 37 [email protected] CHAPITRE 2. DYNAMIQUE ET ÉNERGÉTIQUE DU SOLIDE • Pour un solide isolé ou pseudo-isolé, on a conservation de la quantité de mouvement : ˆ − → → − → − → − p (G/R) = m v (G/R) = v (M/R)dm = cte (S) • Dans le cas d'un référentiel R0 non galiléen, il sut d'ajouter les forces d'inerties dont l'expression est : ˆ ˆ → − → − → − → − a e (M ) dm et F ic = − a c (M ) dm F ie = − (S) (S) On rappelle que l'accélération d'entraînement est : H C O D A → − → → → −−→ − − d Ω (R0 /R) −− → − → − 0 a e (M ) = a (O /R) + ∧ O0 M + Ω (R0 /R) ∧ Ω (R0 /R) ∧ O0 M dt Alors que l'accélération de Coriolis est : → − → − − a c (M ) = 2 Ω (R0 /R) ∧ → v (M/R0 ) 1.3 Théorème de moment cinétique On rappelle que le moment dynamique d'un solide indéformable (S) par rapport à un point A est dénit par: → − D A (S/R) = ˆ −−→ → AM ∧ − a (M/R)dm (S) En utilisant le théorème de la résultante dynamique, on écrit : ˆ −−→ → AM ∧ − a (M/R)dm = ˆ −−→ → − AM ∧ Σd F ext = Σ Ce qui donne le moment des forces extérieurs : ˆ −−→ → AM ∧ − a (M/R)dm = (S) −−→ → − AM ∧ d F ext (S) (S) (S) ˆ ˆ − → → − −−→ → − AM ∧ Σ d F ext = Σ MA ( F ext ) (S) D'où le théorème du moment cinétique : − → − − → → − d→ σ A (S/R) → − v (A/R) ∧ → v (G/R) = D A (S/R) = Σ MA ( F ext ) +− dt Remarques : • Cette relation devient : − − → → − d→ σ A (S/R) = Σ MA ( F ext ) dt Dans quatre cas particuliers à savoir : → − − 1) Le référentiel d'étude c'est le référentiel barycentrique R ≡ R∗ ce qui donne → v (G/R∗ ) = 0 → − − 2) Le point A est xe dans R ce qui signie que → v (A/R) = 0 . → − − − 3) le point A est confondue avec le barycentre G ce qui donne → v (A/R) ∧ → v (G/R) = 0 . 4) Le vecteur vitesse de A est celui de G sont parallèles à chaque instant. • Dans un référentiel R0 non galiléen, on ajoute le moment des forces d'inertie : − → → − MA ( F ie ) = − ˆ −−→ → − → → − AM ∧ − a e dm et MA ( F ic ) = − (S) H.ADOCH ˆ −−→ → AM ∧ − a c dm (S) 20 / 37 [email protected] CHAPITRE 2. DYNAMIQUE ET ÉNERGÉTIQUE DU SOLIDE − • Pour un axe (∆) xe dans R passant par un point A et dont le vecteur directeur → u , le théorème de moment cinétique s'écrit : → − dσ∆ (S/R) − − − + (→ v (A/R) ∧ → v (G/R)) .→ u = Σ M∆ ( F ext ) dt • Dans le référentiel barycentrique R∗ , on a : − − → → − d→ σ A (S/R) = Σ MA ( F ext ) et dt 2 → − dσ∆ (S/R) = Σ M∆ ( F ext ) dt H C O D A Étude énergétique d'un solide 2.1 Puissance d'une force → − On dénit la puissance d'une force F appliquée sur un solide (S) par : → − P( F ) = ˆ → − → − v (M/R).d F = ˆ (S) → − → − v (M/R). f (M ) dm (S) On montre que pour tout point A du solide, la puissance s'écrit : → − → − → − − → → − − P( F ) = → v (A/R). F + Ω ((S)/R).MA ( F ) Remarques : • Dans le cas d'un solide en rotation autour d'un axe (∆) xe passant par A donc : → − → − − → → − → − P( F ) = Ω ((S)/R).MA ( F ) = ωM∆ ( F ) • Le travail d'une force entre deux instants t1 et t2 donc : ˆ t2 → − W = P( F ) dt t1 2.2 Théorème d'énergie cinétique Considérons un solide (S) de masse m et centre de masse G en mouvement dans un référentiel R galiléen. L'énergie cinétique du solide dans le référentiel R s'écrit : ˆ ˆ 1 dm v 2 (M/R) = Ec ((S)/R) = dEc ((S)/R) = 2 (S) (S) ˆ 1 − − dm → v (M/R).→ v (M/R) 2 (S) La dérivée de cette énergie cinétique dans R s'écrit : dEc ((S)/R) d = dt dt Alors : dEc ((S)/R) = dt ˆ 1 − − dm → v (M/R).→ v (M/R) (S) 2 ˆ 1 − − dm → a (M/R).→ v (M/R) + 2 (S) ˆ 1 − − dm → v (M/R).→ a (M/R) 2 (S) En utilisant principe fondamental de la dynamique, on aura : dEc ((S)/R) = dt H.ADOCH ˆ −→ −→ − → − → − dF ext + dF int .→ v (M/R) = P( F ext ) + P( F int ) (S) 21 / 37 [email protected] CHAPITRE 2. DYNAMIQUE ET ÉNERGÉTIQUE DU SOLIDE On obtient le théorème d'énergie cinétique : → − → − dEc ((S)/R) = P( F ext ) + P( F int ) dt Remarques : • Dans le cas d'un référentiel R0 non galiléen : → − → − → − → − dEc ((S)/R) = P( F ext ) + +P( F int ) + P( F ie ) + P( F ic ) dt telle que : H C O D A → − P( F ie ) = − ˆ → − → − − v (M/R0 ).→ a e dm et P( F ic ) = − ˆ (S) → − − v (M/R0 ).→ a c dm = 0 (S) • Dans le référentiel barycentrique R∗ , on a : dEc ((S)/R)∗ =0 dt → − → − → − P( F ext ) + P( F int ) + P( F ie ) = 0 ⇒ • Pour un solide indéformable, on montre que : → − P( F int ) = 0 2.3 Théorème d'énergie mécanique → − Une force F est dite conservative si son travail ne dépend pas de chemin suivi mais seulement des positions initiale et nale. Ce qu'on écrit mathématiquement sous la forme : ˛ → − −−−→ F .dOM = 0 → − A tout force conservative, on associe une énergie potentielle Ep ( F ) dénie par : → − Ep ( F ) = − ˆ → − −−−→ → − F .dOM = −δW ( F ) L'énergie potentielle d'un solide (S) soumis à un ensemble de forces conservatives est la somme des énergies potentielles associées à ces forces. X → − Ep,i ( F c ) Ep (S) = i L'énergie mécanique de solide est alors : Em (S) = Ec ((S)/R) + Ep (S) Considérons un solide (S) de masse m en mouvement dans un référentiel R galiléen sous l'eet d'un ensemble → − de forces extérieurs Σ F ext . Ces forces se divisent en deux types à savoir des forces conservatives et d'autres non conservatives : → − → − → − Σ F = Σ F c + Σ F nc Le théorème d'énergie cinétique s'écrit pour ce solide dans R : → − → − → − → − dEc ((S)/R) = P(Σ F ext ) + P( F int ) = P(Σ F c ) + P(Σ F nc ) dt H.ADOCH 22 / 37 [email protected] CHAPITRE 2. DYNAMIQUE ET ÉNERGÉTIQUE DU SOLIDE Or l'énergie potentielle est par dénition : Ep (S) = X → − → − Ep,i ( F c ) = −ΣδW ( F c ) ⇒ i → − → − dEp δW (Σ F c ) =− = −P(Σ F c ) dt dt D'où le théorème d'énergie mécanique qui s'écrit : → − dEm ((S)/R) = P(Σ F nc ) dt Remarques : H C O D A → − • On dit qu'un solide est conservatif si P(Σ F nc ) = 0 ce qui donne Em ((S)/R) = cte. • L'équation Em = cte est appelée intégrale première de mouvement (ou d'énergie). • Dans un référentiel non galiléen R0 , on ajoute la puissance des forces d'inertie. Sachant que la force d'inertie de Coriolis ne travail pas c'est-à-dire que : → − P(Σ F ic ) = 0 H.ADOCH 23 / 37 [email protected] CHAPITRE 3 CONTACT DE DEUX SOLIDES 1 H C O D A Présentation 1.1 Classication de liaisons Le mouvement d'un solide quelconque peut être décomposer en une association de six mouvements à savoir trois translations et trois rotations, on dit alors que le solide possède généralement six degré de liberté. Lorsqu'on ce solide rencontre un autre solide. On dit qu'on a un contact entre les deux. Ce contact peut être ponctuel (le contact se fait dans un ensemble de points séparés) ou linéique (le contact se fait sur un segment) ou surfacique (le contact se fait sur une surface). Contact ponctuel Contact linéique Contact surfacique Un tel contact diminue - dans le cas général - le nombre de degré de liberté de solide. On dit qu'on a une liaison entre les deux solides. On distingue entre deux types de liaisons : • Liaison unilatérale : c'est une liaison dont le contact entre les deux solides n'est pas nécessairement maintenu pendant le mouvement. Exemple: voiture sur la route. • Liaison bilatérale : c'est un type de liaison dans lequel le contact est maintenu le long de mouvement. On trouve plusieurs types de liaisons bilatérales (voir cours SI ), on s'intéresse ici à deux types à savoir : Liaison pivot : (ou cylindrique) c'est une liaison qui rend xe un ensemble de point donc un axe (∆) du solide. Dans ce cas, le solide possède un seul degré de liberté c'est la rotation autour de l'axe. Liaison rotule : (ou sphérique c'est une liaison dont un point O de contact est xé. Ceci ne permet pas au solide de faire des translations mais seulement des rotations autour de point O. 1.2 Vitesse de glissement Considérons deux solides (S1 ) et (S2 ) en mouvement par rapport à un référentiel R de manière à ce que leurs surfaces restent en contact ponctuel. A chaque instant, on doit distinguer 3 points confondus dont les vitesses 24 CHAPITRE 3. CONTACT DE DEUX SOLIDES sont diérentes en général : . I1 un point matériel appartenant à (S1 ). . I2 un point matériel appartenant à (S2 ). . I un point géométrique qui est confondu avec les diérents points matériels de contact. (S1 ) I1 (S2 ) I I2 On appelle vitesse de glissement de (S1 ) sur (S2 ) est dénie par : → − − v g ((S1 )/(S2 )) = → v (I1 /(S2 )) H C O D A De même la vitesse de glissement de (S2 ) sur (S1 ) est dénie par : → − − v g ((S2 )/(S1 )) = → v (I2 /(S1 )) Pour tout référentiel R, on peut dénir la vitesse de glissement par : → − − − − v g ((S1 )/(S2 )) = → v (I1 /R) − → v (I2 /R) = −→ v g ((S2 )/(S1 )) Démonstration : Considérons R2 le référentiel relatif associé au solide (S2 ). Alors : → − − − v g ((S1 )/(S2 )) = → v (I1 /(S2 )) = → v (I1 /R2 ) Or d'après la loi de décomposition des vitesses (vue en mécanique de point) on a : → − − − v (I1 /R) = → v (I1 /R2 ) + → v e (I1 ) Avec : ⇒ → − − − v (I1 /R2 ) = → v (I1 /R) − → v e (I1 ) → − −−→ → − − v e (I1 ) = → v (O2 /R) + Ω (R2 /R) ∧ O2 I1 O2 est le centre de référentiel R2 et donc il appartient au solide (S2 ) donc : → − −−→ → − − v (O2 /R) = → v (I2 /R) + Ω (R2 /R) ∧ I2 O2 En remplaçant dans la relation précédente, on trouve : → − −−→ − → − −−→ − → − − v e (I1 ) = → v (O2 /R) + Ω (R2 /R) ∧ O2 I1 = → v (I2 /R) + Ω (R2 /R) ∧ I2 I1 = → v (I2 /R) −−→ → − Car à chaque instant I2 I1 = 0 . Donc : → − − − − v g ((S1 )/(S2 )) = → v (I1 /R2 ) = → v (I1 /R) − → v (I2 /R) C'est la deuxième relation qui permet de calculer la vitesse de glissement de solide (S1 ) par rapport à (S2 ). Remarques : La vitesse de glissement ne dépend pas de référentiel R. La vitesse de glissement appartient au plan tangent aux deux solides en I . → − − si → v g = 0 on dit que le mouvement est sans glissement. H.ADOCH 25 / 37 [email protected] CHAPITRE 3. 2 CONTACT DE DEUX SOLIDES Lois de Coulomb 2.1 Généralités Considérons un solide (S) au repos sur une table par exemple. On distingue entre trois types de frottements entre le solide et la table : • Frottement de glissement : c'est la réaction de la surface de la table au mouvement de translation de solide (S). • Frottement de pivotement : c'est la résistance d'un solide (ici la table) à la rotation de solide (S) autour d'un axe perpendiculaire au plan de contact. • Frottement de roulement : c'est la résistance d'un solide (ici la table) à la rotation de solide (S) autour d'un axe parallèle au plan de contact. H C O D A ω → − F (S) Frottement de glissement ω Frottement de pivotement Frottement de roulement 2.2 Lois de Coulomb Les actions de contact entre solide ne sont rien d'autre que des forces électromagnétiques qui s'exercent entre les particules chargées appartenant aux deux solide. La très grande complexité microscopique de la distribution des tomes dans la région de contact rend impossible ou quasi-impossible un calcul rigoureux des actions de contact. Historiquement, les lois phénoménologiques du frottement de glissement entre solides ont été introduites dés le XV e siècle par L.di Vinci puis étudiées par l'ingénieur G.Amontons en 1699 et par C.A. Coulomb en 1779. → − Considérons deux solides (S1 ) et (S2 ) en contact. La force R 2/1 appliquée par le solide (S2 ) sur (S1 ) → − possède nécessairement une composante normale notée N dirigée du solide (S2 ) vers (S1 ). Ce qui constitue la condition de contact qu'on écrit mathématiquement : → − N (S1 ) → − → − − || N || = R 2/1 .→ n >0 − avec → n est le vecteur unitaire normale dirigé du solide (S2 ) vers (S1 ). → − n → − R 2/1 (S2 ) → − Dans le cas d'un frottement de glissement, on remarque que lorsqu'on applique une force F sur un → − solide au repos, ce solide ne se déplace pas que lorsqu'on applique une force minimale F ms . Ceci signie → − → − qu'il existe une force de frottement qui s'oppose à la force F c'est la composante tangentielle de R qui est toujours opposée à la direction de mouvement. Lorsque le solide commence à ce déplacer, on remarque qu'il → − → − faut appliquer une force F md plus faible que F ms pour maintenir un mouvement à une vitesse constante. H.ADOCH 26 / 37 [email protected] CHAPITRE 3. CONTACT DE DEUX SOLIDES Ces remarques expérimentales permet de déduire les lois de Coulomb qui s'écrivent : 1/ Cas d'un frottement statique : c'est la cas d'un solide au repos par rapport à l'autre solide c'est-à-dire → − → − v g ((S1 )/(S2 )) = 0 , on a : → − → − → − R = T + N avec : → − → − || T || ≤ fs || N || fs (ou µs ) est le coecient de frottement statique (ou coecient d'adhérence). → − − 2/ Cas d'un frottement dynamique : ce qui signie que → v ((S )/(S )) 6= 0 . On a : g → − → − → − R = T + N avec : 1 2 → − → − || T || = fd || N || H C O D A fd (ou µd ) est le coecient de frottement dynamique. Remarques : • fs est un coecient sans unité qui dépend de l'état de la surface mais ne dépend pas de l'aire de la surface → − de contact ni de || N ||. • fd est aussi un coecient sans unité qui est généralement inférieur de coecient fs . • Généralement fd − fs << fs alors on peut considérer qu'on pratique fs ≃ fd qu'on note généralement f . • Ordres de grandeur : Contact Acier-Acier Bois - Bois Garniture frein - Acier Caoutchouc - Bitume f 0, 2 0, 3 0, 45 0, 6 • Les lois de Coulomb fournit un modèle simple pour décrire les phénomènes de glissement et d'adhérence mais dans la plupart des cas, il faut tenir compte de nombreux autres paramètres pour obtenir un modèle acceptable. → − • Géométriquement, la réaction R est situé à l'intérieur d'un cône de révolution, l'axe normale en I au plan de tangent aux deux solides, de sommet I et de demi-angle ϕs = arctan(fs ) ≃ arctan(f ); ce cône est appelée cône de frottement. (S1 ) En eet la loi de Coulomb pour les frottements statiques s'écrit : → − → − || T || ≤ fs || N || ⇒ ϕs → − || T || → − ≤ fs = tan(ϕs ) || N || I → − Donc le vecteur R appartient toujours à l'intérieur du cône. Cône de frottement 2.3 Puissance des actions de contact Soit un solide (S1 ) en contact ponctuel avec un autre solide (S2 ). Les actions de contact appliquée de (S2 ) sur (S1 ) ont pour résultante : → − → − → − R 2/1 = N + T → − → − Avec N est la composante normale et T est la composante tangentielle. Alors que I est la point géométrique de contact confondue avec I1 ∈ (S1 ) et I2 ∈ (S2 ) à chaque instant. H.ADOCH → − N (S1 ) 27 / 37 (S2 ) I → − R 2/1 → − T [email protected] CHAPITRE 3. CONTACT DE DEUX SOLIDES La puissance de cette force appliquée par (S2 ) sur (S1 ) par rapport à un référentiel R s'écrit : → − → − → − − → → − − P1 = P( R 2/1 /R) = → v (I1 /R). R 2/1 + Ω ((S1 )/R).MI1 ( R 2/1 ) → − Or le point d'application de la force R 2/1 est I1 donc : − → → − −−→ → − → − MI1 ( R 2/1 ) = I1 I1 ∧ R 2/1 = 0 Donc : → − → − − P1 = P( R 2/1 /R) = → v (I1 /R). R 2/1 De même, la puissance de cette force appliquée par (S1 ) sur (S2 ) par rapport à un référentiel R s'écrit : H C O D A → − → − − P2 = P( R 1/2 /R) = → v (I2 /R). R 1/2 La puissance totale des actions de contact entre les deux solides est alors : → − → − − − Ptot = P1 + P2 = → v (I1 /R). R 2/1 + → v (I2 /R). R 1/2 → − → − Or d'après la loi d'action et de réaction (troisième loi de Newton) R 1/2 = − R 2/1 et la dénition de la vitesse − − − v ((S )/(S )) = → v (I /R) − → v (I /R) alors la puissance totale des de glissement de est (S ) sur (S ) est → 1 2 g actions de contact entre les deux solides est : 1 2 1 2 → − → − − − Ptot = → v g ((S1 )/(S2 )). R 2/1 = → v g ((S2 )/(S1 )). R 1/2 Ce qu'on peut simplier en utilisant le faite que la vitesse de glissement est perpendiculaire à la composante → − normale N écrire sous la forme : → − → − − − Ptot = → v g ((S1 )/(S2 )). T 2/1 = → v g ((S2 )/(S1 )). T 1/2 Remarques : • La vitesse de glissement est toujours opposée à la composante tangentielle donc la puissance totale des actions de contact est toujours négative (Ptot ≤ 0) ce qui signie que les forces de contact sont toujours dissipatives (transforme l'énergie mécanique en énergie thermique). → − − • En absence de glissement → v g ((S1 )/(S2 )) = 0 la puissance dissipée est nulle même si les forces de frottements existent. • Cette relation est valable seulement pour un contact ponctuel. • Une liaison est dite parfaite, ou sans frottement, si la puissance totale des forces des actions mécaniques de contact est nulle au cours du mouvement de S1 et S2 . Pour un point A de (S1 ) → − → − − → → − − Pcontact = → v (A/(S2 )). R 2/1 + Ω ((S1 )/(S2 )).MA ( R 2/1 ) = 0 3 Étude d'un pendule pesant 3.1 Position de problème Un pendule pesant est un solide en mouvement autour d'un axe xe horizontal par rapport à un référentiel R sous l'action de son poids. Évidemment, l'action du poids n'est ecace que si l'axe de rotation ne passe pas par le centre de masse du pendule. Considérons un pendule pesant est constitué d'un solide (S) de masse m, de moment d'inertie Joz par rapport à son axe de suspension OZ et dont le centre de masse G est à la distance L = OG de cet axe. On note θ l'angle d'inclinaison de OG sur la verticale (gure ci-dessous). La liaison entre (S) et Oz est supposée parfaite. On se propose de déterminer l'équation diérentielle de mouvement de ce système puis la forme de − − − la solution θ(t). L'étude se fait dans le référentiel R(O, → e x, → e y, → e z ) qu'on suppose galiléen. H.ADOCH 28 / 37 [email protected] CHAPITRE 3. CONTACT DE DEUX SOLIDES 3.2 Grandeurs cinétiques Le solide est en rotation autour de l'axe OZ qui est un axe xe dans R. On a : Y O −→ − − OG = L cos(θ)→ e x + L sin(θ)→ ey G → − ez θ La vitesse de G par rapport au référentiel R est alors : → − − − v (G/R) = −Lθ̇ sin(θ)→ e x + Lθ̇ cos(θ)→ ey H C O D A X → − Calculons le vecteur instantané de rotation Ω ((S)/R) qui peut être déduit à partir de la relation : → − −→ → − − v (G/R) = → v (O/R) + Ω ((S)/R) ∧ OG ⇒ −→ → → − OG ∧ − v (G/R) − Ω ((S)/R) = = θ̇→ ez 2 OG Alors l'accélération est : → − − − − − a (G/R) = −Lθ̇2 cos(θ)→ e x − Lθ̇2 sin(θ)→ e y − Lθ̈ sin(θ)→ e x + Lθ̈ cos(θ)→ ey Qu'on peut écrire sous la forme : → − − − a (G/R) = − Lθ̇2 cos(θ) + Lθ̈ sin(θ) → e x + Lθ̈ cos(θ) − Lθ̇2 sin(θ) → ey Donc les propriétés cinétiques d'un tel solide s'écrivent : → − → − − σ O ((S)/R) = Joz Ω ((S)/R) = Joz θ̇→ ez − 1 1 → Ec ((S)/R) = Joz Ω 2 ((S)/R) = Joz θ̇2 2 2 3.3 Équation de mouvement Pour déterminer l'équation diérentielle de mouvement, il faut d'abord donner les forces appliquées sur le → − solide. En eet, on a deux forces à savoir le poids P et la réaction R du support (OZ). On peut utiliser l'une des théorèmes fondamentaux : • Théorème de moment cinétique : La liaison est parfaite donc : → − → − − → → − → − − → → − − Pcontact = → v (O/(S)). R + Ω ((S)/R).MO ( R ) = Ω ((S)/R).MO ( R ) = 0 ⇒ − → → − → − MO ( R ) = 0 Alors que pour le poids : − → → − −→ → − − − − − MO ( P ) = OG ∧ P = (L cos(θ)→ e x + L sin(θ)→ e y ) ∧ mg → e x = −mgL sin(θ)→ ez Donc d'après le théorème de moment cinétique appliquée sur (S) dans R on écrit : → − → → − − → → − σ O ((S)/R) − = MO ( R ) + MO ( P ) dt ⇒ Joz θ̈ + mgL sin(θ) = 0 C'est l'équation diérentielle de mouvement de pendule pesant. • Théorème de l'énergie cinétique : la liaison est parfaite donc : → − Pcontact = P( R ) = 0 H.ADOCH 29 / 37 [email protected] CHAPITRE 3. CONTACT DE DEUX SOLIDES D'autre part, pour le poids : → − → − − − − − P( P ) = P .→ v (G/R) = mg → e x . −Lθ̇ sin(θ)→ e x + Lθ̇ cos(θ)→ e y = −mgLθ̇ sin(θ) Le théorème d'énergie cinétique s'écrit alors : → − → − dEc ((S)/R) = P( R ) + P( P ) dt ⇒ Joz θ̈ + mgL sin(θ) = 0 On retrouve alors la même équation diérentielle. • Théorème de l'énergie mécanique : la réaction de support est une force non conservative mais sa puissance est nulle, alors que le poids est conservative. L'énergie potentielle associée au poids est donc : H C O D A ˆ Ep = − → − −−−→ P .dOM = − ˆ mgdx = −mgx + cte = −mgL cos(θ) + cte On peut choisir le constante en xant un état de référentiel (par exemple Ep (θ = 0) = 0). L'énergie mécanique de solide est alors : 1 Em = Joz θ̇2 + mgL(1 − cos(θ)) 2 Le système est conservatif donc le théorème d'énergie mécanique s'écrit : dEm =0 dt ⇒ Joz θ̈ + mgL sin(θ) = 0 car θ̇ 6= 0 On trouve alors la même équation diérentielle. 3.4 Portrait de phase L'équation diérentielle de mouvement de ce pendule pesant est alors : θ̈ + mgL sin(θ) = 0 Joz C'est l'équation d'un oscillateur non linéaire qui devient un oscillateur harmonique dans le cas des petites oscillations (sin(θ) ≃ θ) : θ mgL θ̈ + θ=0 Joz La solution d'une telle équation s'écrit : θ(t) = A cos(ω0 t + ϕ) r 2π mgL telle que ω0 = = est la pulsation propre de T0 Joz système, A l'amplitude des oscillations et ϕ la phase à t l'origine qu'on détermine en utilisant les conditions initiales. La vitesse angulaire (θ̇) d'un tel oscillateur est alors : θ̇ = −Aω0 sin(ω0 t + ϕ) La trajectoire de phase est alors une ellipse d'équation : θ θ̇2 + =1 A2 A2 ω02 H.ADOCH 30 / 37 [email protected] CHAPITRE 3. CONTACT DE DEUX SOLIDES θ̇ θ H C O D A Dans le cas général (sin(θ) 6= θ), on peut tracer le portrait de phase en utilisant la conservation d'énergie mécanique : 1 Em = Joz θ̇2 + mgL(1 − cos(θ)) = cte = E0 2 Ce qu'on peut écrire sous la forme : 1 Joz θ̇2 = (E0 − mgL) + mgL cos(θ) 2 On alors trois cas : a) E0 < 0 on ne peut pas avoir un mouvement dans ce cas car (E0 − mgL) + mgL cos(θ) < 0. b) 0 < E0 < 2mgL on aura un mouvement periodique autour de la position d'équilibre on parle d'un mouvement pendulaire (Courbe 1). le cas la courbe 2 c'est la courbe séparatrice correspondant à E0 = 2mgL. c) E0 > 2mgL dans ce cas on aura une rotation periodique c'est ce qu'on appelle mouvement révolutif. Il est caractérisé par l'absence de limitation en θ et une vitesse θ̇ non nulle (courbe 3). θ̇ 3 1 2 θ En eectuant un développement limité, on peut montrer que la période des oscillations de ce pendule s'écrit : 1 2 θ0 θ02 T = T0 1 + sin ( ) ≃ T0 1 + + ... 4 2 16 θ0 est la position initiale de pendule, alors la période T dépend de la position initiale donc il n'y a plus isochronisme des oscillations. H.ADOCH 31 / 37 [email protected] ANNEXE A RELATIONS DE BASES H C O D A Cet annexe regroupe des démonstrations des relations fondamentales utilisées en mécanique du solide. Ces démonstrations sont principalement hors programme. A- Moment d'inertie ˆ −−→ 2 → − u ∧ OM dm J∆ (S) = (S) On remarque que : −−→ 2 → −−→ → −−→ → − → −−→ → − − − − u ∧ OM = u ∧ OM . u ∧ OM = A . u ∧ OM avec : → − −−→ − A =→ u ∧ OM En utilisant la permutation circulaire d'un produit mixte on peut écrire : → − → −−→ − −−→ → − − −−→ → −−→ A. − u ∧ OM = → u . OM ∧ A = → u . OM ∧ − u ∧ OM Alors : ˆ −−→ −−→ → − → − u . OM ∧ u ∧ OM dm J∆ (S) = (S) D'où la relation : − J∆ (S) = → u. ˆ −−→ −−→ → − OM ∧ u ∧ OM dm (S) Cette relation peut être utilisée pour démontrer le théorème de Huygens reliant le moment d'inertie passant par O au moment cinétique passant par G. En eet le moment d'inertie passant par O est donné par : − J∆ (S) = → u. ˆ −−→ −−→ − OM ∧ → u ∧ OM dm (S) En utilisant la relation de Chasles, on écrit : − J∆ (S) = → u. ˆ −→ −−→ −→ −−→ − OG + GM ∧ → u ∧ OG + GM dm (S) 32 ANNEXE A. Alors : − J∆ (S) = → u. − +→ u. ˆ ˆ ˆ −→ −→ → − → − OG ∧ u ∧ OG dm + u . (S) −−→ −−→ − GM ∧ → u ∧ GM dm (S) ˆ −→ −−→ → − → − OG ∧ u ∧ GM dm + u . (S) RELATIONS DE BASES −−→ −→ − GM ∧ → u ∧ OG dm (S) L'intégrale est une sommation sur les masses élémentaires dm centrée sur M donc ces intégrales peuvent être simpliées sous la forme : ˆ −→ −→ → − → − J∆ (S) = u . OG ∧ u ∧ OG − dm + → u. ˆ H C O D A (S) ˆ −→ → − → − + u . OG ∧ u ∧ −−→ GM dm (S) ˆ − +→ u. (S) Or par dénition : −−→ −→ − GM dm ∧ → u ∧ OG (S) ˆ ˆ −−→ → − GM dm = 0 dm = m et (S) Alors : −−→ −−→ − GM ∧ → u ∧ GM dm (S) ˆ −→ −→ → → − → − − J∆ (S) = m u . OG ∧ u ∧ OG + u . −−→ −−→ − GM ∧ → u ∧ GM dm (S) Or par dénition le moment d'inertie J∆0 passant par G est par dénition : − J∆0 (S) = → u. ˆ −−→ −−→ − GM ∧ → u ∧ GM dm (S) Alors que : −→ −→ −→ 2 −→ d− → − − − u . OG ∧ → u ∧ OG = → u ∧ OG = OG sin(OG, → u ) = d2 (∆0 ) (∆) → − u → − u (S) M G O d D'où le théorème de Huygens : J∆ = J∆0 + md2 B- Moment cinétique Par dénition, le moment cinétique d'un solide (S) par rapport à un point O est donné par : → − σ O ((S)/R) = ˆ −−→ → OM ∧ − v (M/R) dm = (S) Alors : → − σ O ((S)/R) = −→ −−→ − OG + GM ∧ → v (M/R) dm (S) ˆ −→ → OG ∧ − v (M/R) dm + (S) H.ADOCH ˆ ˆ −−→ → GM ∧ − v (M/R) dm (S) 33 / 37 [email protected] ANNEXE A. Ce qu'on peut écrire sous la forme : ˆ −→ → − σ O ((S)/R) = OG ∧ ˆ → − v (M/R) dm + (S) RELATIONS DE BASES −−→ → GM ∧ − v (M/R) dm (S) Or par dénition : ˆ − m→ v (G/R) = → − v (M/R) dm (S) Alors que : ˆ ˆ = −−→ → GM ∧ − v (M/R) dm = −−→ → → − −−→ − GM ∧ v (G/R) + Ω ∧ GM dm H C O D A (S) −−→ − GM dm ∧ → v (G/R) + (S) Car : ˆ (S) ˆ −−→ → − −−→ GM ∧ Ω ∧ GM dm = (S) ˆ −−→ → − −−→ GM ∧ Ω ∧ GM dm (S) ˆ −−→ → − GM dm = 0 (S) Alors : −→ → − − σ O ((S)/R) = OG ∧ m→ v (G/R) + ˆ −−→ → − −−→ GM ∧ Ω ∧ GM dm (S) On remarque que l'expression du deuxième terme est similaire à la dénition du moment d'inertie par rapport à un axe (∆) passant par G : − J∆ (S) = → u. ˆ −−→ −−→ → − GM ∧ u ∧ GM dm (S) Le mouvement du solide par rapport à l'axe (∆) est une rotation pure car cette axe passe par G. Le vecteur instantané de rotation du solide peut être alors écrit sous la forme : → − − Ω = Ω→ u Donc : → − − J∆ (S) Ω = → u. ˆ ˆ −−→ −−→ → − → − → − GM ∧ u ∧ GM dm Ω u = u . (S) On note : Alors : −−→ → − −−→ − GM ∧ Ω ∧ GM dm → u (S) → − −−→ → − −−→ F = GM ∧ Ω ∧ GM → − − J∆ (S) Ω = → u. ˆ → − − F dm→ u = (S) ˆ → − − → − u .F → u dm (S) Or pour tous trois vecteurs, on : → − → − → − → − → − → − → − → − → − A ∧ B ∧ C = A.C B − A.B C Donc : Alors : ⇒ → − → − → − → − → − → − → − → − → − A.C B = A ∧ B ∧ C + A.B C → → − − − − → → − → − → − − − − − → − u = F .→ u − u = F ∧ (→ u ∧→ u ) + (→ u .→ u)F = F u .F → → − J∆ (S) Ω = ˆ ˆ → − → → − − u . F u dm = (S) → − F dm = (S) ˆ −−→ → − −−→ GM ∧ Ω ∧ GM dm (S) Le moment cinétique est alors donné par : −→ → − → − − σ O ((S)/R) = OG ∧ m→ v (G/R) + J∆ (S) Ω H.ADOCH 34 / 37 [email protected] ANNEXE A. RELATIONS DE BASES C- Énergie cinétique L'énergie cinétique d'un solide (S) par rapport à un référentiel R est par dénition : ˆ 1 1 2 v (M/R)dm = Ec ((S)/R) = 2 (S) 2 ˆ → − − v (M/R).→ v (M/R)dm (S) En utilisant le torseur cinématique, on écrit : 1 Ec ((S)/R) = 2 → − −−→ → → − −−→ → − − v (G/R) + Ω ∧ GM . v (G/R) + Ω ∧ GM dm H C O D A 1 −2 v (G/R) + = m→ 2 Or : ˆ ˆ (S) ˆ ˆ → − → − v (G/R). Ω ∧ ˆ −−→ → − −−→2 1 GM dm + Ω ∧ GM dm 2 (S) (S) (S) ˆ −−→ → − GM dm = 0 et (S) ˆ → − −−→2 2 Ω ∧ GM dm = Ω (S) −−→2 → − u ∧ GM dm = J∆ Ω2 (S) Avec J∆ est le moment d'inertie du solide par rapport à (∆) l'axe de rotation (passant par G) du solide. Donc l'énergie cinétique du solide peut s'écrire sous la forme : 1 1 −2 v (G/R) + J∆ Ω2 Ec ((S)/R) = m→ 2 2 D- Puissance d'une force → − La puissance d'une force F appliquée sur un solide (S) par rapport à un référentiel R est donnée par : → − P( F ) = ˆ → − − d F .→ v (M/R) = ˆ (S) → − − f (M ).→ v (M/R)dm (S) Or pour un point A de (S), on a : → − −−→ → − − v (M/R) = → v (A/R) + Ω ((S)/R) ∧ AM On remplace dans la puissance ce qui donne : → − P( F ) = ˆ → − → − v (A/R). f (M ) dm + (S) ˆ → − − −−→ → Ω ((S)/R) ∧ AM . f (M ) dm (S) En utilisant la permutation circulaire du produit mixte, l'expression devient : ˆ → − → − → − P( F ) = v (A/R). F + ˆ −−→ → − → − → − → − → − Ω ((S)/R). AM ∧ f (M ) dm = v (A/R). F + Ω ((S)/R). (S) −−→ → − AM ∧ f (M ) dm (S) Or la dénition du moment d'une force par rapport à un point A est : − → → − MA ( F ) = ˆ −−→ → − AM ∧ f (M ) dm (S) Donc la puissance est donnée par : → − → − → − − → → − − P( F ) = → v (A/R). F + Ω ((S)/R).MA ( F ) H.ADOCH 35 / 37 [email protected] ANNEXE B FORMULE DE BORDA H C O D A L'étude du pendule (simple ou pesant) permet de démontrer que l'équation diérentielle du mouvement peut s'écrire sous la forme : θ̈ + ω02 sin(θ) = 0 C'est une équation diérentielle non linéaire de deuxième ordre. Elle correspond alors à un oscillateur nonharmonique. Généralement, on eectue un développement limité pour obtenir l'équation linéaire : θ̈ + ω02 θ = 0 Dont la solution est une sinusoïde de période : 2π ω0 T0 = L'objet de ce complément est d'étudier un des eets anharmoniques du pendule simple, à savoir la dépendance de la période T des oscillations avec leur amplitude θ0 . Pour ce faire, on commence à partir de l'équation diérentielle, en multipliant par θ̇ ce qui donne : θ̇θ̈ + ω02 θ̇sin(θ) = 0 Une intégration de cette expression donne : θ̇2 − 2ω02 cos(θ) = cte Initialement, le pendule est au repos à un angle θ0 . Alors : θ̇2 − 2ω02 cos(θ) = −2ω02 cos(θ0 ) Donc : ⇒ θ̇2 = 2ω02 (cos(θ) − cos(θ0 )) p dθ 2 (cos(θ) − cos(θ0 )) = dt Au cours de la première quart de période l'angle θ diminue alors θ̇ < 0 donc : θ̇ = ±ω0 p dθ = −ω0 2 (cos(θ) − cos(θ0 )) dt La séparation des variables donne : dt = − 1 dθ T0 dθ p =− √ p ω0 2 (cos(θ) − cos(θ0 )) 2π 2 cos(θ) − cos(θ0 ) 36 ANNEXE B. L'intégration entre 0 et FORMULE DE BORDA T donne : 4 ˆ T ˆ 0 T dθ 0 4 dt = − T√ p = 4 2π 2 θ0 cos(θ) − cos(θ0 ) 0 Alors : √ ˆ T0 2 θ0 dθ p T = π cos(θ) − cos(θ0 ) 0 A ce stade, on pose : H C O D A θ sin( ) 2 sin(ϕ) = θ0 sin( ) 2 En remplaçant, on obtient : θ cos( ) dθ 2 cos(ϕ)dϕ = θ0 2 sin( ) 2 ⇒ √ ˆ ˆ π 2T0 2 T0 2 0 dθ dϕ p p T =− = π π 0 cos(θ) − cos(θ0 ) 1 − k 2 sin2 (ϕ) θ0 θ 2 Telle que : k = sin( 0 ) On trouve ce qu'on appelle l'intégrale elliptique de première espèce. Cette intégrale présente l'inconvénient de ne pas s'exprimer en termes de fonctions simples. En eectuant développement limité en premier ordre (on considère que k << 1) : 1 − k2 k 2 1 − cos(2ϕ) k2 k2 2 p = 1 − k sin (ϕ) 2 ≃ 1 + sin (ϕ) = 1 + =1+ − cos(2ϕ) 2 2 2 4 2 1 − k 2 sin2 (ϕ) 1 2 Alors : 2 π ˆ π ˆ π 2 2 2 2 dϕ k k k k 2 2 p − cos(2ϕ) dϕ = 1+ ≃ 2 1+ ϕ − sin(2ϕ) 2 2 4 4 4 8 1 − k sin (ϕ) 0 0 0 Ce qui donne : ˆ π dϕ k2 π 2 p ≃ 1+ 4 2 1 − k 2 sin2 (ϕ) 0 En remplaçant dans l'expression de la période, on obtient : 2T0 T ≃ π k2 1+ 4 θ 2 π k2 = T0 1 + 2 4 Or k = sin( 0 alors : T ≃ T0 1 2 θ0 1 + sin ( ) 4 2 En eectuant un développement limité (car k << 1), on trouve la formule de Borda : θ02 T ≃ T0 1 + 16 H.ADOCH 37 / 37 [email protected]
