Dérivées n-ièmes: Calcul des dérivées d'ordre n

#8512
Dérivées -ièmes
Soit ℕet ℝ. Déterminer la dérivée -ième des applications suivantes.
(i) cos;
(ii)  ;
(iii) cos ;
(iv) ;
(v) sin ;
(vi) cos;
(vii)  
;
(viii)  ln.
(i) Soit cos. Cette fonction est lisse par composition.
On vérie directement (par récurrence) que
cos si mod 
sin si mod 
cos si mod 
sin si mod 
On peut simplier cette disjonction de cas en écrivant plutôt
  cos si pair
 sin si impair.
(ii) Soit . Cette fonction est lisse, car elle est le produit de et , toutes
deux lisses.
D’après la formule de Leibniz, on a alors, quel que soit ℝ:
(iii) Soit cos . Cette fonction est lisse, car elle est le produit de exp et cos, toutes deux lisses.

D’après la formule de Leibniz, on a
 cosexp
pair  cos impair  sin
pair 
𝑛
cos
impair 
𝑛
sin
On peut alors utiliser le binôme de Newton. Notamment car est imaginaire pur dès que est impair,
on a 
pair 
pair 
 cos 
De même,  
impair 
 sin 
On obtient donc
  cos 
cos sin  sin  cos 
Il est peut-être plus simple d’accepter dès le début l’aspect « complexe » de ce calcul et de commencer
par calculer la dérivée -ième de la fonction à valeurs complexes
dont est la partie réelle.
On obtient alors directement    π
4
 π
4
donc    cos 

(iv) Pour éviter tout problème en , on pose
ℝ
ℝ
 expln 
Cette fonction est lisse par opérations et on vérie facilement par récurrence que
Notons que cette fonction est nulle si , ce qui n’est pas très surprenant.
Si est un entier , on peut réécrire cette expression sous la forme
(v) Soit sin  . Cette fonction est lisse, car elle est le produit de et sin , toutes deux lisses.
D’après la formule de Leibniz, on a, pour tout ℝ,
sin sin sin
sinsin
 sincossi pair
 cossinsi impair.
(vi) Notons cos.
On commence par linéariser. Pour tout ℝ, on a
cos cos
Ainsi (voir la première question),
cos cossi pair
sin sinsi impair.
(vii) Notons
ℝ ℝ
Le plus simple est d’eectuer une décomposition en éléments simples.
Quel que soit ℝ, on a  
On vérie alors facilement par récurrence que la dérivée -ième de est (quel que soit
ℝ) 
On en déduit, par linéarité, que

(viii) Notons  ln . Cette fonction est lisse sur le domaine où elle est dénie (
si et ).
On peut calculer les premières dérivées demandées.
.ln
.ln
.ln
ln  ln
.ln
ln 
ln 
1−(1+𝑥)2
(1+𝑥)2
ln 
Enhardis par ces calculs (mais pas assez pour conjecturer la bonne valeur pour la constante multiplica-
tive), on note, pour tout ℕ,l’assertion
ℝ
Montrons ℕpar récurrence.
Initialisation. L’assertion est démontrée par nos calculs, avec .
Hérédité. Soit ℕtel que .
On peut donc trouver ℝtel que 
.
On écrit alors comme le produit de et de , ce qui permet d’utiliser la formule de
Leibniz : pour tout , on a
D’après , on connaît l’expression de 
, et on peut la dériver une fois de plus pour obtenir
que

On en déduit, pour ,
Le calcul peut se poursuivre en utilisant notamment que pour tout ,
On en déduit, pour ,
ce qui montre , en posant  .
Cela démontre l’expression voulue, et la suite ℕ∗ se détermine facilement à partir des informations
et ℕ  obtenues au cours de la démonstration : on a ℕ∗ℕ∗ .
On en déduit que
ln
si 
si ℕ.