Chapitre 1: Torseurs - Mécanique du Solide

Notes de cours de Mécanique du solide, SM3, SMI3, SMP4
1
Pr : H.FATMAOUI
Chapitre 1 Torseurs
1.1 Bases
1.1.1 Pointeur / Vecteur Glissant et moments
Un Pointeur est un vecteur
→
V lié à un point A. on le note (A,
→
V ) .
On appelle Moment en P du pointeur (A,
→
V )
le vecteur
→→
∧= VPAVAM
P
),(
r
r
Un Vecteur Glissant est un vecteur
→
Vlié à une droite ∆ //
→
V. on le note (∆,
→
V)
Pour une droite ∆ //
→
Vfixée, on a :
∆
∈
∀
BA,
→
→→→→→→
=∧=∧+=∧= ),()(),( VBMVPBVVPBVPAVAM
PP
rrrr
λ pour
∆
∈
Aqcq
1.1.2 Relation fondamentale des moments
QP,
∀
→→→→→→
∧+∧=∧= VPAVQPVQAVAM
Q
),(
r
r
soit : QP,
∀
→→
∧+= VQPVAMVAM
PQ
),(),(
r
r
r
r
V
r
P
A
),( VAM
P
r
r
A
B
∆
),( VM
P
r
r
∆
V
r

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1.2 Torseurs
Etant donné un champ de pointeurs
{
}
niVAM
ii
...1),( ==
r
ou un champ de vecteurs glissants
{
}
niVVAM
iii
...1)),,(( ==
r
r
on définit le Torseur T associé au champ M au point P comme le couple d’un vecteur et d’un
vecteur lié à P :
{ }
∧=
=
=
=
=
=
→
→
=
→→→
=
→
=
→
=
→
∑
∑
∑
∑
Pen résultant Moment
RésultanteR
avec
),(
1
1
1
1
P
P
n
iiiP
n
ii
P
n
iiiPP
n
ii
P
M
VPAM
VR
VAMM
VR
T
r
rr
r
On appelle
R
r
la Résultante du torseur et
P
M
r
le Moment résultant en P, ce sont les 2 Eléments de
réduction en P.
1.2.1 Propriétés
1.2.1.1 Déplacement
QP,
∀
Q
n
ii
n
iii
n
ii
n
iiiP MVPQVQAVPQVPAM rr +∧=∧+∧=∧= ∑∑∑∑ =
→→
=
→→
=
→→
=
→→
1111
soit :
QP ,
∀
→→→→
∧+=∧+= QPRMRPQMM
QQP
r
r
r

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1.2.1.2 Invariant Scalaire
Le produit scalaire I =
→→
⋅RM
P
est indépendant du point P, on l'appelle Invariant Scalaire du
Torseur.
Démonstration : QP,
∀
I =
→→→→→→→→→
⋅=⋅∧+⋅=⋅ RMRRPQRMRM
QQP
)(
Corollaire
La projection de
→
P
M sur
→
R
est donc indépendante du point P.
1.2.2 Somme
La somme de 2 torseurs revient à la réunion de leurs 2 champs de vecteurs, elle s’obtient par
sommes des éléments de réduction au même point P.
{ } { }
21
21
2
2
1
1
21
P
PPP
P
P
P
P
PP
MMM
RRR
M
R
M
R
TTP 
+=
+=
= + =+∀
→→→
→→→
→
→
→
→
Démonstration
{ } { } { }
),(),(
21
21
1 1 2211
1 1 21
2121
P
PPP
P
n
i
n
iiiPiiPP
n
i
n
iii
PPP
MMM
RRR
VAMVAMM
VVR
TTTTP 
+=
+=
=
+=
+=
=∪=+∀
→→→
→→→
= =
→→→→→
= =
→→→
∑ ∑
∑ ∑
1.2.3 Comoment
Le Comoment de 2 torseurs est défini par le calcul suivant.
1221
2
2
1
1
→→→→
→
→
→
→
⋅+⋅= ⋅ =
PP
P
P
P
P
P
MRMR
M
R
M
R
P ce calcul est indépendant de P !

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Démonstration :
PPP
PPQQQ
PRQPRRQPRPRQPRRQPRP
RQPMRRQPMRMRMRP
= + +=
∧⋅+ ∧⋅+=
∧+⋅+ ∧+⋅=⋅+⋅=
→→→→→→→→→→→→
→→→→→→→→→→→→
12211221
1122211221
,,,,
1.2.4 Axe central
Théorème et définition
Si
→→
≠0R le lieu de tous les points Q tels que
→→
Q
MR// existe et est une droite
→
∆R// appelée Axe
central du torseur :
=∆
→
RQ ,
0
Démonstration
→→→
→
→→
→→
→
→→→→→→
→→→→→→
→→→→→→→→→
⋅+=⋅⇔
⋅
⋅
+
∧
=⋅⇔
⋅
⋅+∧=⋅⇔
⋅
⋅−⋅+∧=⇔
∧∧+∧=∧=⇔
ROQOQ
R
R
OQR
R
MR
OQ
ROQRMROQR
RQORQORMR
RQORMRMRMR
o
O
O
O
OQQ
λ
22
2
2
0
0//
rr
r
r
ou : – si un tel point Q
0
existe les autres vérifient 
∧∧+∧=∧=
→→→→→→→→
RQQRMRMR
QQ 0
0
0 soit :
=∆∈⇒=⋅
⋅
=⇒⋅
⋅−⋅= ∧∧=
→→→
→→
→→→→→→→→→
RQQRR
R
QQR
QQRQQRQQRRQQR ,0
0
20
000
2
0
λ
r
r
- calcul de Q
0
dans le plan 
=Π
→
RO, soit tel que :
0
0
→→
⋅= OQR
0
2
0
00
0//
→→→→→→→→→→→→
⋅−∧=
∧∧−∧=∧=⇒OQRMRROQRMRMRMR
OOQQ
r
On a donc :
→
→→
→
→→
→
+
∧
=
∧
=R
R
MR
OQ
R
MR
OQ
OO
λ
22
0
rr
Propriétés
Le moment est constant sur l’axe central, et sa norme y est minimum, plus précisément il vient :
→→ ⋅=∆∈∀ R
R
I
MQ Q2
r
et
R
I
M
Q
r
=
→
est le moment minimum du torseur
Démonstration

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→→→→
→
→→
→
→→
→→
→→
→→→→→→
⋅=−⋅+=
⋅
⋅
−⋅
⋅
+=
+
∧
∧+=∧+=∆∈∀
R
R
I
MR
R
I
M
M
R
RR
R
R
MR
MR
R
MR
RMRQOMMQ
OO
O
O
O
O
OOQ
22
222
rr
rrr
λ
∆
∉
∀
P
( )
00
0
0
2
0
22
00
0
0et ,//
QpQp
Q
QP
MMRPQMM
RPQRRPQRM
RPQMM >⇒∧+=⇒
≠∧⊥∧
∧+=
→
→→
1.2.5 Equiprojectivité
Un champ de vecteurs liés
(
)
{
}
3
,REPVP
P
⊂∈ est dit équiprojectif ssi il vérifie :
PM
VMPVMPEPM ⋅=⋅∈∀ ,
Cela revient à dire que EPM
∈
∀
, les projections de
M
V et
P
V sur la droite (MP) sont égales.
Théorème
Le champ
(
)
{
}
3
,RPMP
P
∈ des moments d’un torseur est équiprojectif :
PM
MMPMMPPM ⋅=⋅∀ ,
Démonstration :
(
)
(
)
0, =∧⋅=−⋅=⋅−⋅∀ RMPMPMMMPMMPMMPPM
PMPM
Théorème réciproque
Tout champ
(
)
{
}
3
,RPVP
P
∈ équiprojectif est le champ des moments d’un torseur.