ANALYSE 3 : Séries numériques

ANALYSE 3
Séries numériques
ESSOH Modeste
9 décembre 2021

Notion de série
Les séries à termes positifs
Série absolument convergente
Séries alternées
Comparaison entre séries et intégrales
Terminologie des séries
Exemples Classiques de séries numériques
Plan
1Notion de série
Terminologie des séries
Exemples Classiques de séries numériques
2Les séries à termes positifs
3Série absolument convergente
4Séries alternées
5Comparaison entre séries et intégrales 2 / 58
Notion de série
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Série absolument convergente
Séries alternées
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Exemples Classiques de séries numériques
Dans tout ce cours, Kdésigne Rou C, et |·|désigne respectivement la valeur
absolue ou le module.
Définition 1.1
À la suite (un)nà valeurs dans K, on associe la suite Sndéfinie par
Sn=u0+u1+u2+··· +un=
n
X
k=0
uk(1)
On appelle série numérique de terme général unle couple ((un)n,(Sn)n); elle est
notée X
n
un.
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Snest appelé la somme partielle de rang nde la série de terme général un; la
suite (Sn)nest la suite des sommes partielles de cette série.
Ce vocabulaire reste valable pour une suite (un)n≥pdéfinie à partir d’un certain
rang p;
on note X
n≥p
unla série associée.
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Définition 1.2 (Convergence et divergence d’une série)
On dit que la série Punconverge si, et seulement si, la suite (Sn)nde ses
sommes partielles converge dans C, sinon la série est dite divergente.
En cas de convergence, le nombre S= lim
n→+∞Snest appelé somme de la
série Pun; il est noté
S=
∞
X
k=0
uk.
Pour tout n∈N, on définit le reste de rang npar
Rn=S−Sn=
+∞
X
k=n+1
uk.
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On dit que deux séries numériques sont de même nature lorsqu’elles sont toutes
les deux convergentes ou toutes les deux divergentes.
Le lemme suivant exprime que : la nature d’une série n’est pas modifiée lorsque
l’on change l’indice de départ; mais quand il y a convergence, la valeur de la
somme peut être modifiée.
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Lemme 1.3 (Changement d’indice de départ)
Soient X
n≥0
unune série numérique, et p∈N.
Alors la série X
n≥0
unet X
n≥p
unsont de même nature. De plus si elles convergent,
on a : +∞
X
n=0
un=
p−1
X
n=0
un+
+∞
X
n=p
un.
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Proposition 1.4 (Condition NÉCESSAIRE de convergence)
•Si la série X
n
unest convergente, alors la suite (un)ntend vers 0 ;
la réciproque est FAUSSE.
•Si la suite (un)nne converge pas vers 0, alors la série X
n
unest divergente
(On dit alors qu’elle est grossièrement divergente.)
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Exemple
On a lim
n→+∞
1
n= 0. mais la série X
n≥1
1
ndiverge.
Supposons que la série X
n≥1
1
nconverge. Dans ce cas la suite de ses sommes
partielles (Sn)n. Donc lim
n→+∞(S2n−Sn)=0.
Pour tout entier n≥1, on a
S2n−Sn=
2n
X
k=1
1
k−
n
X
k=1
1
k=
2n
X
k=n+1
1
k
S2n−Sn≥1
2
Ce qui prouve que lim
n→+∞(S2n−Sn)≥1
2et ça c’est absurde. Donc X
n≥1
1
ndiverge.

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Proposition 1.5 (Convergence des séries parties réelle et imaginaire)
La série à termes complexes Punest convergente si, et seulement si, les deux
séries à termes réels PR(un)et PIm(un)sont convergentes et dans ce cas :
∞
X
k=0
uk=
∞
X
k=0
R(uk) + i
∞
X
k=0
Im(uk).
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Théorème 1.6 (Critère de Cauchy pour une série)
La série Punest convergente si, et seulement si,
∀ε > 0,∃Nε∈N,∀(n, p)∈N2, n > Nε⇒
n+p
X
k=n+1
uk< ε
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Exemple
On va montrer que la série X
n≥1
1
n2converge.
Soit ε > 0. D’après la propriéte d’Archimède il exysite n0∈N∗tel que n0ε > 1.
Pour tous entiers net ptels que n > n0, on a :
n+p
X
k=n+1
1
k2
=
p
X
k=1
1
(n+k)2=
p
X
k=1
1
(n+k)(n+k)
≤
p
X
k=1
1
(n+k−1)(n+k)=
p
X
k=1 1
n+k−1−1 n+k
n+p
X
k=n+1
1
k2≤1 n−1 n+p≤1 n<1 n0
< ε.
Le critère de Cauchy étant vérifié, a série X
n≥1
1
n2converge.
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Proposition 1.7
Soient X
n
unet X
n
vndeux séries convergentes ; alors, pour tout (λ, µ)∈K2la
série X
n
(λun+µvn)est convergente et :
∞
X
k=0
(λuk+µvk) = λ
∞
X
k=0
uk+µ
∞
X
k=0
vk
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Remarque
1Si λ∈K\{0}, les séries X
n
unet X
n
λunsont de même nature.
Preuve : Il suffit de voir que :
lim
n→+∞
n
X
k=0
λuk=λlim
n→+∞
n
X
k=0
uk.
Exemple :
– La série X
n≥1
1
ndiverge, donc X
n≥1
3
ndiverge,
– La série X
n≥1
1
n2converge, donc X
n≥1−1
n2converge,
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Remarque
2Si la série X
n
unest convergente, les séries Pvnet X
n
(un+vn)sont de
même nature ; en particulier, si la série X
n
unest convergente et la série
X
n
vnest divergente, alors la série X
n
(un+vn)est divergente.
– La série X
n≥1
1
ndiverge et la série X
n≥1
1
n2converge donc les séries
X
n≥11
n+1 n2,X
n≥1−1
n+1 n2et X
n≥11
n−1 n2divergent.
Remarque
3Si les séries X
n
unet X
n
vnsont divergentes, on ne peut rien affirmer a
priori quant à la nature de la série X
n
(un+vn).
– Les séries X
n≥11
n+1 n2et X
n≥1−1
n+1 n2divergent, mais
X
n≥11
n+1 n2+−1 n+1 n2=X
n≥1
2
n2converge.
– Les séries X
n≥11
n+1 n2et X
n≥11
n−1 n2divergent, mais
X
n≥11
n+1 n2+1 n−1 n2=X
n≥1
2
ndiverge.
Exemples Classiques de séries numériques
1Série géométrique : Soit z∈K. La série X
n≥0
zns’appelle la série
géométrique de raison z.
Elle est convergente si et seulement si |z|<1, et en cas de convergence
+∞
X
n=0
zn=1
1−z.
Preuve : Soit n∈N, la somme partielle d’ordre n,Sns’écrit
Sn=
n
X
k=0
zk=1−zn+1
1−zpour z6= 1 et Sn=n+ 1 pour z6= 1.
Comme pour |z|<1,lim
n→+∞zn+1 = 0 donc lim n→+∞Sn=1
1−z; pour |z| ≥ 1,
la suite (zn+1)nne converge pas, donc (Sn)nne converge pas.