Université Mohammed V École Nationale Supérieure d'Arts et Métiers Rabat (ENSAM) Cours: Automatique Années Préparatoires Intégrées: 2-ème API Année universitaire: 2025/2026 Pr. RAYYAM Marouane Cours d’Automatique 14/12/2025 C OURS D Déroulement du cours DÉROULEMENT DU COURS ’AUTOMATIQUE OBJECTIFS DU COURS : ➢ Comprendre les systèmes asservis; ➢ Modéliser un système avec une fonction de transfert; ➢ Appliquer la fonction de transfert pour l’étude du comportement temporel et fréquentiel de processus physiques; ➢ Analyser les performances dynamiques d’un système linéaire continu. 12/14/2025 Situation du problème L’Automatique dans le cursus Ingénieur COURS D’AUTOMATIQUE PRÉREQUIS : ✓ Fonctions usuelles : exponentielle,… ; ✓ Décomposition en éléments simples; ✓ Diagramme de Bode; ✓ Transformée de Laplace; ✓ Résolution d’équations différentielles par transformée de Laplace. 3 PLAN DU COURS I. Introduction Générale II. Notions de Systèmes Asservis III. Descriptions Mathématiques des Systèmes Physiques IV. Schéma Bloc (Schéma Fonctionnel) V. Systèmes du 1-er Ordre et systèmes du 2-ème ordre VI. Analyse et étude des systèmes Asservis L’Automatique dans le cursus Ingénieur ❑ L’Automatique et le traitement du signal constituent la couche liaison entre les mathématiques et les technologies. ❑ L’Automatique s’appuie sur des bases solides en mathématiques mais elle est totalement indépendante des technologies électroniques, informatiques,… de mise en œuvre. 5 le cursus Ingénieur I. DL’Automatique ÉFINITIONS & dans BUT DE D’AUTOMATIQUE ?! Automatique… 6 Situation du problème I. D ÉFINITIONS Définition de l’Automatique & BUT DE D’AUTOMATIQUE 1. L’Automatique, une science du quotidien "L’Automatique permet à des systèmes d'agir de manière autonome, sans surveillance humaine constante, même dans un environnement changeant." L’Automatique est présente dans notre vie quotidienne de façon naturelle. ❑ Exemple concret : Réglage automatique de la température ➢ Grâce à un thermostat, on maintient automatiquement la température constante à l’intérieur d’une pièce. ➢ Que la température extérieure soit de -5°C en hiver ou +25°C en été, le système corrige tout écart par rapport à la consigne fixée (ex. : 18°C). 7 Situation du problème I. D ÉFINITIONS But de l’Automatique & BUT DE D’AUTOMATIQUE 2. L’être humain : un régulateur naturel "Même sans formation scientifique, chacun de nous agit comme un régulateur au quotidien. ▪ Quand il fait froid : ▪ Quand il fait chaud : ✓ On commence par mettre un pull (action directe) ✓ Puis, si besoin, on allume le chauffage (renforcement de l’action) ✓ On ouvre une ou deux fenêtres pour produire un courant d’air Notre cerveau analyse, décide et agit en permanence : c’est exactement le principe de l’asservissement automatique. 8 Situation du problème I. D ÉFINITIONS Définition de l’Automatique & BUT DE D’AUTOMATIQUE 3. Applications de l’Automatique dans l’industrie ❑ L’Automatique est partout dans l’industrie, dans les chaînes de production dans les environnements hostiles. ❖ Usines automobiles :Des robots industriels réalisent des tâches de soudage, peinture, assemblage… ❖ Environnements dangereux : Dans le nucléaire, les robots remplacent l’Homme pour éviter tout risque physique. ❖ Etc… 9 Situation du problème I. D ÉFINITIONS Définition de l’Automatique & BUT DE D’AUTOMATIQUE 4. Pourquoi utilise-t-on des systèmes automatiques ? ❑ L'automatisation permet d'apporter des éléments supplémentaires à la valeur ajoutée par le système: ❖ Remplacer l’humain → Pour éviter les tâches dangereuses, répétitives ou pénibles. ❖ Économie de ressources → Un système automatique peut fonctionner 24h/24. ❖ Amélioration de la qualité → Meilleure précision, répétabilité... ❖ Réactivité → Capacité à corriger instantanément face aux perturbations. 10 Situation du problème I. D ÉFINITIONS Définition de l’Automatique & BUT DE D’AUTOMATIQUE 5. Les deux grands domaines de l’Automatique "Tous les systèmes automatiques ne fonctionnent pas de la même manière.« On distingue deux grandes familles : Système séquentiel & Système asservi A. Système séquentiel B. Système asservi Exécute une suite d’instructions prédéfinies Maintient une grandeur physique constante ou la fait suivre une évolution (poursuite) API (automates programmables) Boucle de régulation avec capteurs, actionneurs Ce cours d’Automatique portera uniquement sur les systèmes 11 asservis Situation du problème II. N OTION DE SYSTÈME ASSERVI Définition de l’Automatique 1. Qu’est-ce qu’un système ? « Avant de commander quelque chose, il faut savoir ce que l’on commande » ❑En automatique, un système est un ensemble physique ou technologique sur lequel on agit (en entrée), et dont on observe les effets (en sortie). ❑Définition simple : Un système est une boîte noire avec : ✓des entrées (commandes appliquées), ✓des sorties (réponses observées), ✓et parfois des perturbations (influences non souhaitées). 12 Situation du problème II. NOTION DE SYSTÈME ASSERVI Définition de l’Automatique 2. Représentation schématique ❑Des entrées (commandes appliquées) des sorties (réponses observées) et parfois des perturbations (influences non souhaitées). 3. Système dans son environnement ❑Même si on commande bien un système, il peut réagir de manière inattendue à cause de facteurs extérieurs. C’est pourquoi on ajoute les perturbations dans le modèle : ❑Ces perturbations (vent, température, friction…) sont subies et difficiles à maîtriser. Mais en automatique, on 13 doit faire avec, et souvent, on cherche à les rejeter ou à en limiter les effets. Situation du problème II. NOTION DE SYSTÈME ASSERVI Définition de l’Automatique ❑ Exemple concret : Une voiture "Prenons un exemple que vous connaissez tous : une voiture." Entrées (commandées par le conducteur) : o Le volant → agit sur la direction o L’accélérateur → fait avancer o Le frein → ralentit ou arrête Sorties (observées) : o La position du véhicule o Sa vitesse Perturbations : o Le vent latéral o Les autres véhicules o L’état de la route Perturbations Entrées Sorties ➜ Malgré ces perturbations, le conducteur (ou un système automatique) doit garder le contrôle du véhicule. 14 II. NOTION DE SYSTÈME ASSERVI 5. Systèmes mono-variable vs multi-variable Systèmes: ▪ Mono-variable (SISO) ▪ Multi-variable (MIMO) Une seule entrée et une seule sortie Plusieurs entrées et/ou plusieurs sorties Chauffage d’une pièce (entrée = consigne de température, sortie = température réelle) Voiture, robot, drone ➢ Dans ce cours, pour simplifier l’étude, on se limitera principalement à des systèmes mono-variables, 15 même si la réalité est souvent plus complexe. Situation du problème II. N OTION DE SYSTÈME ASSERVI Définition de l’Automatique 1. Qu’est-ce qu’un système asservi ? « Un système asservi est un système dont la sortie suit une consigne, même en cas de perturbations » ❑ C’est une forme intelligente de commande automatique. Il repose sur un principe fondamental : observer ce que fait le système et corriger s’il y a un écart. ❑ Deux termes à distinguer : ➢ Asservissement : Le but du système de commande est d’assurer la poursuite de la sortie y(t) à la consigne variable y*(t). ▪ Exemple: Asservissement de position : Poursuite d’une trajectoire d’une fusée, ➢ Régulation : Le but du système de commande est de maintenir la sortie y(t) à la valeur de consigne constante y*, quelques soient les perturbations. ▪ Exemple: Régulation de vitesse, de température… 16 Situation du problème II. N OTION DE SYSTÈME ASSERVI Définition de l’Automatique 2. Schéma fonctionnel d’un système asservi ❑ Voici une version simplifiée du synoptique classique : ❑ La version normalisée 17 Situation du problème II. N OTION DE SYSTÈME ASSERVI Définition de l’Automatique 3. Rôle des blocs dans un asservissement + - ❖ Consigne: Objectif à atteindre. ❖ Comparateur: Fait la différence entre sortie et consigne. ❖ Correcteur (ou régulateur): Détermine l’action à appliquer. ❖ Système: Ce qu’on commande. ❖ Capteur: Mesure la sortie réelle. 18 Situation du problème II. N OTION DE SYSTÈME ASSERVI Définition de l’Automatique 4. Importance de la boucle fermée: un mécanisme d’ajustement automatique Chaine directe + - Chaine de retour ✓ Le capteur mesure ce que fait réellement le système. ✓ Cette mesure est comparée à ce que l’on veut (consigne). ✓ Si la différence est trop grande, le correcteur agit pour éliminer/réduire l’erreur. ➜ Sans ce retour, le système ne saurait jamais s’il atteint son objectif → il fonctionnerait en boucle ouverte (donc moins fiable). « C’est le retour de l’information qui permet au système de se corriger tout 19 Situation du problème II. SYSTÈMES ASSERVIS Définition de l’Automatique Type des entrées: ✓ Remarque : si E = 1 l’échelon est dit unitaire. 20 Situation du problème II. N OTION DE SYSTÈME ASSERVI Définition de l’Automatique 5. Performances d’un système asservi A.Pourquoi parler de performances ? "On ne veut pas seulement que le système atteigne sa consigne… on veut qu’il le fasse correctement, rapidement et de manière stable. ❑Ces critères sont essentiels dans le dimensionnement et le choix d’un régulateur. B.Trois performances fondamentales à évaluer: 1. Précision 2. Rapidité 3. Stabilité 21 Situation du problème II. N OTION DE SYSTÈME ASSERVI Définition de l’Automatique 5. Performances d’un système asservi 1.Précision « La précision mesure l’écart entre la sortie et la consigne une fois l’équilibre atteint. » ➤ Interprétation : • Plus l’erreur est faible, plus le système est précis. Exemple : Si on demande 100°C à un four, et qu’il se stabilise à 98°C ➝ il y a une erreur de 2°C, donc un manque de précision. 22 Comparaison de précision Situation du problème II. N OTION DE SYSTÈME ASSERVI Définition de l’Automatique 5. Performances d’un système asservi 2. Rapidité « La rapidité exprime le temps nécessaire pour atteindre la consigne » ➤ Temps de réponse ts : « C’est le temps mis par la sortie y(t) pour rester définitivement dans une bande de ±5 % autour de la valeur finale » ➤ Illustration : Un système rapide réagit vite à une consigne. Un système lent atteint tardivement son régime. ➤ Comparaison de courbes : y1(t) (bleu) atteint 95 % en 1 seconde → rapide y2(t) (rouge) met 5 secondes → lent Comparaison de rapidité 23 Situation du problème II. N OTION DE SYSTÈME ASSERVI Définition de l’Automatique 5. Performances d’un système asservi 3. Stabilité « Un système est stable s’il revient naturellement à l’équilibre après une perturbation » ➤ Interprétation : Si une perturbation (choc, changement d’entrée...) survient : ✓ Un système stable revient à sa valeur cible. ✓ Un système instable diverge ou oscille. ➤ Exemple visuel : ✓ Le signal s2(t) tend vers une valeur constante ➝ stable ✓ Le signal s1(t)) diverge ou oscille ➝ instable Comparaison de stabilité entre S1 et S2 24 Situation du problème III. DESCRIPTIONS MATHÉMATIQUES DES SYSTÈMES PHYSIQUES Définition de l’Automatique 1. Classification des systèmes ❑ Les systèmes qui nous intéressent sont les systèmes linéaires continus invariants (SLCI). 25 Situation du problème III. DESCRIPTIONS MATHÉMATIQUES DES SYSTÈMES PHYSIQUES Définition de l’Automatique 2. Description des systèmes continus linéaires invariants (SLCI) : 2.1. Définitions a. Système continu : ❖ Un système est continu si les signaux d’entrées et de sorties sont des fonctions continues. b. Système causal : ❖ Un système est dit causal si le signal d’entrée est nul pour un intervalle de temps négatif. c. Système invariant : ❖ On dit qu’un système est invariant lorsque les caractéristiques de son comportement ne varient pas au cours du temps. Même entrée = même sortie 26 Situation du problème III. DESCRIPTIONS MATHÉMATIQUES DES SYSTÈMES PHYSIQUES Définition de l’Automatique 2. Description des systèmes continus linéaires invariants (SLCI) : c. Système Linéaire : ❖ Au sens mathématique : Un système est linéaire si sa sortie respecte deux propriétés fondamentales : i. Principe de superposition Les effets s’additionnent ii. Principe de proportionnalité 27 Situation du problème III. DESCRIPTIONS MATHÉMATIQUES DES SYSTÈMES PHYSIQUES Définition de l’Automatique 2.2. Représentation de SLCI : On considère un système physique représenté par son schéma bloc. ✓ Ce système est linéaire lorsqu’il est décrit par une équation différentielle à coefficients constants. 𝑑 𝑛 𝑠(𝑡) 𝑑2𝑠 𝑡 𝑑𝑠 𝑡 𝑑 𝑚 𝑒(𝑡) 𝑑2𝑒 𝑡 𝑑𝑒 𝑡 𝑎𝑛 + ⋯ + 𝑎2 + 𝑎1 + 𝑎1 𝑠 𝑡 = 𝑏𝑚 + ⋯ + 𝑏2 +𝑏 + 𝑏0 𝑒 𝑡 𝑑𝑡 𝑛 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑚 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 ❑ Exemples de systèmes : Déterminer les équations différentielles des systèmes ci-dessous: 1. Circuit électrique 2. système mécanique 3. système électromécanique 28 Situation du problème III. DESCRIPTIONS MATHÉMATIQUES DES SYSTÈMES PHYSIQUES Définition de l’Automatique 2.2. Représentation de SLCI : ❑ Exemples de systèmes : 1. Circuit électrique 2. système électromécanique 3. système électromécanique 29 Situation du problème III. DESCRIPTIONS MATHÉMATIQUES DES SYSTÈMES PHYSIQUES Définition de l’Automatique 2.2. Représentation de SLCI : ❑ Exemples de systèmes : 1. Circuit électrique 2. système électromécanique 3. système électromécanique 30 Situation du problème III. DESCRIPTIONS MATHÉMATIQUES DES SYSTÈMES PHYSIQUES Définition de l’Automatique 2.2. Représentation de SLCI : ❑ Exemples de systèmes : 1. Circuit électrique 2. système électromécanique 3. système électromécanique 31 Situation du problème III. DESCRIPTIONS MATHÉMATIQUES DES SYSTÈMES PHYSIQUES Définition de l’Automatique 2.2. Représentation de SLCI : ❑ Exemples de systèmes : 1. Circuit électrique 2. système mécanique 3. système électromécanique 32 Situation du problème III. DESCRIPTIONS MATHÉMATIQUES DES SYSTÈMES PHYSIQUES Définition de l’Automatique 3. Résolution des équations différentielles ❑ Pour résoudre une équation différentielle on utilise : Résolution des équations différentielles 1. Méthode classique ✓ Equation différentielle sans second membre : réponse équation libre s1(t) 2. Méthode de la transformée de Laplace ✓ Cette méthode est la plus simple et la plus utilisée. ✓ Solution particulière : réponse forcée s2(t) s(t) = s1(t) + s2(t) 33 Situation du problème III. DESCRIPTIONS MATHÉMATIQUES DES SYSTÈMES PHYSIQUES Définition de l’Automatique 4. Transformée de Laplace : 4.1. Définition Soit f(t) une fonction réelle définie pour t supérieur ou égal à 0 (f est alors dite fonction causale), la transformée de Laplace F(p) est définie par : +∞ soit p ∈ C L 𝐟 𝒕 = 𝐅 𝒑 = න f(t)e−pt dt 0 Cette transformation permet de passer du domaine temporel au domaine de Laplace. ➢ Exemples d’application : ❑ Calculer la transformée de Laplace des fonctions suivantes : ✓ Echelon unité 𝑒 𝑡 défini par : 𝑒 𝑡 = ቊ ✓ 𝑓 𝑡 = 𝑒 −𝑎𝑡 1 0 𝑠𝑖 𝑡 ≥ 0 𝑠𝑖 𝑡 < 0 34 Situation du problème III. DESCRIPTIONS MATHÉMATIQUES DES SYSTÈMES PHYSIQUES Définition de l’Automatique 4. Transformée de Laplace : 4.2. Propriétés et théorèmes 35 Situation du problème III. DESCRIPTIONS MATHÉMATIQUES DES SYSTÈMES PHYSIQUES Définition de l’Automatique 5. Fonction de transfert: a. Problème de départ Les systèmes physiques sont souvent décrits par des équations différentielles complexes. Difficiles à résoudre directement. ❑ Idée clé : ✓ Utiliser la transformée de Laplace pour transformer ces équations différentielles en équations algébriques plus simples. ✓ La fonction de transfert permet d’étudier le comportement du système dans le domaine de Laplace. 36 Situation du problème III. DESCRIPTIONS MATHÉMATIQUES DES SYSTÈMES PHYSIQUES Définition de l’Automatique 5. Transformée de Laplace : b. Problème de départ : Définition : La fonction de transfert 𝐻 𝑝 d’un système linéaire et invariant dans le temps est définie par : 𝑆(𝑝) 𝑏𝑚 𝑝𝑚 + ⋯ + 𝑏2 𝑝2 + 𝑏1 𝑝1 + 𝑏0 𝐻 𝑝 = = = 𝐻(𝑝) 𝐸(𝑝) 𝑎1 𝑝𝑛 + ⋯ + 𝑎2 𝑝2 + 𝑎1 𝑝1 + 𝑎0 où : 𝐸 𝑝 :Transformée de Laplace du signal d’entrée 𝑆 𝑝 :Transformée de Laplace du signal de sortie 𝑝: Variable complexe (Laplace) Conditions : ✓ Les conditions initiales doivent être nulles. 37 Situation du problème III. DESCRIPTIONS MATHÉMATIQUES DES SYSTÈMES PHYSIQUES Définition de l’Automatique 5. Transformée de Laplace : c. Rôle de la fonction de transfert La fonction de transfert : • Caractérise le comportement dynamique du système ; • Permet de prévoir la réponse à une entrée donnée ; • Facilite l’analyse de stabilité et le dimensionnement des correcteurs. Elle traduit le modèle temporel (équation différentielle) en modèle fréquentiel (H(p)). 38 Situation du problème III. DESCRIPTIONS MATHÉMATIQUES DES SYSTÈMES PHYSIQUES Définition de l’Automatique 5. Transformée de Laplace : d. Expression de la transformée de Laplace ❑ Équation différentielle générale : 𝑑 𝑛 𝑠(𝑡) 𝑑2𝑠 𝑡 𝑑𝑠 𝑡 𝑑 𝑚 𝑒(𝑡) 𝑑2𝑒 𝑡 𝑑𝑒 𝑡 𝑎𝑛 + ⋯ + 𝑎2 + 𝑎1 + 𝑎1 𝑠 𝑡 = 𝑏𝑚 + ⋯ + 𝑏2 +𝑏 + 𝑏0 𝑒 𝑡 𝑑𝑡 𝑛 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑚 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 ❑ Après transformation de Laplace (et conditions initiales nulles) : 𝑎𝑛 𝑝𝑛 + ⋯ + 𝑎2 𝑝2 + 𝑎1 𝑝1 + 𝑎0 𝑆 𝑝 = 𝑏𝑚 𝑝𝑚 + ⋯ + 𝑏2 𝑝2 + 𝑏1 𝑝1 + 𝑏0 𝐸 𝑝 ❑ Expression générale de la fonction de transfert 𝒃𝒎 𝒑𝒎 + ⋯ + 𝒃𝟐 𝒑𝟐 + 𝒃𝟏 𝒑𝟏 + 𝒃𝟎 𝑯 𝒑 = 𝒂𝒏 𝒑𝒏 + ⋯ + 𝒂𝟐 𝒑𝟐 + 𝒂𝟏 𝒑𝟏 + 𝒂𝟎 où : 𝑁 𝑝 :numérateur (liée à l’entrée) 𝐷 𝑝 :dénominateur (liée au système physique) Notation simplifiée : 𝐻 𝑝 = 𝑁(𝑝) 𝐷(𝑝) Situation du problème III. DESCRIPTIONS MATHÉMATIQUES DES SYSTÈMES PHYSIQUES Définition de l’Automatique 5. Transformée de Laplace : e. Équation caractéristique ❑ L’équation caractéristique est donnée par : 𝐷 𝑝 =0 ❖ Les racines de D(p) sont les pôles du système. ❖ Les racines de N(p) sont les zéros du système. 𝐻 𝑝 =𝐾 𝑝 − 𝑧1 𝑝 − 𝑧1 … (𝑝 − 𝑧𝑚 ) 𝑝 − 𝑝1 𝑝 − 𝑝1 … (𝑝 − 𝑝𝑛 ) ✓ Les pôles → déterminent la stabilité et la dynamique. ✓ Les zéros → influencent la forme de la réponse. 40 Situation du problème III. DESCRIPTIONS MATHÉMATIQUES DES SYSTÈMES PHYSIQUES Définition de l’Automatique 5. Transformée de Laplace : f. Notion de stabilité « Un système est stable si la sortie reste bornée pour une entrée bornée » ❑ Condition dans le domaine de Laplace : 𝕽 𝒑𝒊 < 𝟎 ∀ 𝒊 Position des pôles Comportement du système Re(p) < 0 Stable Re(p) = 0 Marginalement stable Re(p) > 0 Instable ❑ Exemple d’illustration: Un système est décrit par la fonction de transfert H(p). Ce système est-il stable? 𝑝−3 41 𝐻 𝑝 = 2 𝑝 + 3𝑝 + 2 Situation du problème III. DESCRIPTIONS MATHÉMATIQUES DES SYSTÈMES PHYSIQUES Définition de l’Automatique 5. Transformée de Laplace : g. Exemple : système du premier ordre ❑ Équation : 𝑑𝑦 𝑡 𝜏 + 𝑦 𝑡 = 𝑘𝑒(𝑡) 𝑑𝑡 ❑ Fonction de transfert : 𝐻 𝑝 = 𝒌 1 + 𝝉𝑝 ❑ Paramètres physiques : 𝑘: gain statique 𝜏: constante de temps ❑ Réponse à une entrée échelon : 𝑦 𝑡 = 𝑘 1 − 𝑒 −𝑡/𝜏 Plus 𝜏est petit → plus le système réagit rapidement. Situation du problème III. DESCRIPTIONS MATHÉMATIQUES DES SYSTÈMES PHYSIQUES Définition de l’Automatique 5. Transformée de Laplace : f. système du second ordre Équation : 𝑑 2 𝑠(𝑡) 𝑑𝑠 𝑡 + 2𝑚𝜔 + 𝜔0 2 𝑠 𝑡 = 𝑘𝜔0 2 𝑒(𝑡) 0 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Fonction de transfert : 𝑆 𝑝 𝑘𝜔0 2 𝐻 𝑝 = = 2 𝐸 𝑝 𝑝 + 2𝑚𝜔0 𝑝 + 𝜔0 2 Paramètres : 𝑘: gain statique 𝜔0 :pulsation propre 𝑚: coefficient d’amortissement Comportement selon m : m Type de réponse Description m<1 Sous-amorti Oscillations amorties m=1 Critique Temps de réponse minimal m>1 Sur-amorti Réponse lente sans oscillation Situation du problème III. DESCRIPTIONS MATHÉMATIQUES DES SYSTÈMES PHYSIQUES Définition de l’Automatique 5. Transformée de Laplace : Synthèse générale Type de système Fonction de transfert 1er ordre 2ᵉ ordre 𝐻 𝑝 = Paramètres 𝒌 1 + 𝝉𝑝 𝑘𝜔0 2 𝑝2 + 2𝑚𝜔0 𝑝 + 𝜔0 2 𝑘 ,𝜏 𝑘, 𝑚, 𝜔0 Réponse Exponentielle Oscillatoire ou amortie À retenir : 𝐻 𝑝 relie entrée et sortie. Les pôles → stabilité et rapidité. Les constantes de temps et amortissements → forme de la réponse. L’étude de 𝐻 𝑝 permet la commande et le contrôle des systèmes. 44 Situation du problème III. DESCRIPTIONS MATHÉMATIQUES DES SYSTÈMES PHYSIQUES Définition de l’Automatique 4. Transformée de Laplace : 4.2. Propriétés et théorèmes 45 Situation du problème III. DESCRIPTIONS MATHÉMATIQUES DES SYSTÈMES PHYSIQUES Définition de l’Automatique Exercice 1: Fonctions de transferts Déterminer les fonctions de transfert des circuits ci-dessous ; on considère que les conditions initiales sont nulles. R L Ve(t) i(t) C Ve(t) i(t) R L C Exercices 2: Circuit RL Soit le circuit RL suivant : 1. Déterminer la fonction de transfert 𝐻 𝑝 = 2. Déterminer la réponse indicielle 3. Déduire la réponse impulsionnelle i(t) 𝑉𝑠 (𝑝) 𝑉𝑒 (𝑝) L Vs(t) Ve(t) R 46 Situation du problème III. DESCRIPTIONS MATHÉMATIQUES DES SYSTÈMES PHYSIQUES Définition de l’Automatique Exercices 3: Stabilité d’un système On considère un système défini par un paramètre d’état 𝑓, qui est une fonction solution de l’équation différentielle suivante : 𝒅𝒇 𝒕 𝑨 + 𝑩𝒇 𝒕 = 𝒆(𝒕) 𝒅𝒕 Avec 𝐴, 𝐵 des constantes et 𝑒(𝑡) une fonction représentant l’entrée de notre système. Pour simplifier on suppose des conditions initiales nulles pour la fonction 𝑓 𝑡 . 1. Donner l’expression de la fonction de transfert 𝐻 𝑝 = 𝐹(𝑝) 𝐸(𝑝) 2. Déterminer les racines du dénominateur de la fonction de transfert (aussi appelé pôles) 3. Pour une entrée de type échelon d’amplitude 𝐾, donner l’expression temporelle 𝑓(𝑡) 4. Quelle est la condition de stabilité du système ? 47 Situation du problème Définition de l’Automatique 48 Université Mohammed V École Nationale Supérieure d'Arts et Métiers Rabat (ENSAM) Cours: Automatique Années Préparatoires Intégrées: 2-ème API Année universitaire: 2025/2026 Pr. RAYYAM Marouane Cours d’Automatique 14/12/2025 Situation du problème IV. SCHÉMA BLOC (SCHÉMA FONCTIONNEL) Définition de l’Automatique 1. Introduction ❑ Un schéma fonctionnel est une représentation graphique simplifiée d’un système mettant en évidence : ✓ les fonctions réalisées par chaque partie, ✓ et les relations entre les signaux (entrées, sorties, perturbations, etc.). ❑ Formalisme de base Un système peut être représenté sous forme de blocs reliés par des signaux : ➢ Les branches représentent les signaux. ➢ Les blocs représentent les transmittances (ou fonctions de transfert). ➢ Les sommateurs effectuent des opérations algébriques entre signaux. 50 Situation du problème IV. SCHÉMA BLOC (SCHÉMA FONCTIONNEL) Définition de l’Automatique 1. Introduction ❑ Un schéma fonctionnel est une représentation graphique simplifiée d’un système mettant en évidence : ✓ les fonctions réalisées par chaque partie, ✓ et les relations entre les signaux (entrées, sorties, perturbations, etc.). ❑ Le schéma fonctionnel permet de : ✓ Simplifier la compréhension du système. ✓ Faire le lien entre le modèle mathématique et la structure physique. ✓ Permettre d’appliquer les règles de réduction et d’analyse. C’est le langage universel de l’automaticien. 51 Situation du problème IV. SCHÉMA BLOC (SCHÉMA FONCTIONNEL) Définition de l’Automatique 1. Introduction ❑ Un schéma fonctionnel est une représentation graphique simplifiée d’un système mettant en évidence : ✓ les fonctions réalisées par chaque partie, ✓ et les relations entre les signaux (entrées, sorties, perturbations, etc.). ❑ Le schéma fonctionnel permet de : ✓ Simplifier la compréhension du système. ✓ Faire le lien entre le modèle mathématique et la structure physique. ✓ Permettre d’appliquer les règles de réduction et d’analyse. règles de réduction 𝐺𝑒𝑞 (𝑝) 52 Situation du problème IV. SCHÉMA BLOC (SCHÉMA FONCTIONNEL) Définition de l’Automatique 2. Réduction des schémas blocs 2-1 Association en série 𝐻𝑒𝑞 𝑝 = 𝐻1 (𝑝) × 𝐻2 (𝑝) ❑ Lorsque deux blocs sont en série, leurs transmittances se multiplient. Et si les signaux arrivent en parallèle ?” 53 Situation du problème IV. SCHÉMA BLOC (SCHÉMA FONCTIONNEL) Définition de l’Automatique 2. Réduction des schémas blocs 2-2. Association en parallèle 𝐻𝑒𝑞 𝑝 = 𝐻1 𝑝 + 𝐻2 (𝑝) ❑ Lorsque deux blocs sont en parallèle, leurs transmittances se s’additionnent 54 Situation du problème IV. SCHÉMA BLOC (SCHÉMA FONCTIONNEL) Définition de l’Automatique 2. Réduction des schémas blocs 2-2. Boucle fermée Une boucle fermée compare la sortie à la consigne pour corriger automatiquement les écarts. 𝐻1 (𝑝) 𝐻𝑒𝑞 𝑝 = 1 + 𝐻1 (𝑝) × 𝐻2 (𝑝) ❑ Pour simplifier un schéma, on peut aussi déplacer certains éléments 55 Situation du problème IV. SCHÉMA BLOC (SCHÉMA FONCTIONNEL) Définition de l’Automatique 3. Transformations de schémas blocs On peut simplifier un schéma sans changer sa fonction globale à l’aide de transformations équivalentes a) Déplacement d’un point de prélèvement b) Déplacement d’un sommateur En amont En aval 56 Situation du problème IV. SCHÉMA BLOC (SCHÉMA FONCTIONNEL) Définition de l’Automatique a) Déplacement d’un point de prélèvement : i. En amont d’un bloc → diviser par sa transmittance. ii. En aval → multiplier par sa transmittance. 57 Situation du problème IV. SCHÉMA BLOC (SCHÉMA FONCTIONNEL) Définition de l’Automatique b) Déplacement d’un sommateur (en Amont/Aval): i. Lorsqu’un sommateur est déplacé en amont d’un bloc 𝐺 𝑝 ,il faut retirer le gain 𝐺 𝑝 des branches déplacées. ii. Lorsqu’un sommateur est déplacé en aval d’un bloc de transmittance 𝐺 𝑝 , il faut appliquer le même gain 𝐺 𝑝 à toutes les branches qui y entrent. 58 Situation du problème IV. SCHÉMA BLOC (SCHÉMA FONCTIONNEL) Définition de l’Automatique Exercice 1: Chercher les fonctions de transfert des schémas blocs suivants en utilisant les règles de réduction des boucles. A B 59 Situation du problème IV. SCHÉMA BLOC (SCHÉMA FONCTIONNEL) Définition de l’Automatique Exercice 2: Soit le schéma électrique d’un moteur à courant continu : u(t) Ω(t) Les équations simplifiées du fonctionnement du moteur sont les suivantes : 𝑑i 𝑡 𝑢(𝑡) = 𝑅𝑖(𝑡) + 𝐿 + 𝐸(𝑡) 𝑑𝑡 𝐸(𝑡) = 𝐾Ω(𝑡) 𝐶𝑚 (𝑡) = 𝐾𝑖(𝑡) 𝑒𝑡 𝑑Ω 𝑡 𝐶𝑚 𝑡 = 𝑗 + 𝑓Ω(𝑡) 𝑑𝑡 1. Montrer que: 𝐼 𝑝 = 𝑈 𝑝 − 𝐸(𝑝) 𝑅 + 𝐿𝑝 𝑒𝑡 Ω 𝑝 = 𝐶𝑚 (𝑝) 𝐽𝑝 + 𝑓 2. Donner le schéma fonctionnel du moteur. Déduire, par simplification du schéma fonctionnel, sa fonction 60 de transfert H(p). Situation du problème V. SYSTÈMES DE PREMIER ORDRE Définition de l’Automatique Objectifs de ce chapitre: ✓ Comprendre la dynamique d’un système de 1er ordre. ✓ Analyser sa réponse à différents signaux d’entrée. ✓ Identifier ses paramètres caractéristiques 61 Situation du problème V. SYSTÈMES DE PREMIER ORDRE Définition de l’Automatique 1. Définition ❑ Un système de 1er ordre est décrit par une équation différentielle : 𝑑𝑦(𝑡) 𝜏 + 𝑦(𝑡) = 𝑘𝑒(𝑡) 𝑑𝑡 « En transformée de Laplace » 𝑘 𝐻 𝑝 = (1 + 𝝉𝑝) 𝐸 𝑝 Paramètres caractéristiques : 𝑘 𝐻 𝑝 = 1 + 𝝉𝑝 𝑌 𝑝 ✓ 𝑘: gain statique ✓ 𝜏: constante de temps 62 Situation du problème V. SYSTÈMES DE PREMIER ORDRE Définition de l’Automatique 2. Réponse à un Échelon Unitaire (Réponse indicielle) ❑ Entrée = Un échelon unitaire 𝑒 𝑡 =𝑢 𝑡 « Transformée de Laplace inverse » 𝑘 𝑌 𝑝 = 𝑝(1 + 𝝉𝑝) 𝑦(𝑡) = 𝑘(1 − 𝑒 𝑡 −𝝉 ) ❑ Caractéristiques : • 𝑦 0 =0 • 𝑦 ∞ =𝐾 • À 𝑡 = 𝜏, 𝑦 𝑡 = 0.63𝐾 63 Situation du problème V. SYSTÈMES DE PREMIER ORDRE Définition de l’Automatique 2. Réponse à un Échelon Unitaire (Réponse indicielle) ❑ Entrée = Un échelon unitaire 𝑒 𝑡 =𝑢 𝑡 « Transformée de Laplace inverse » 𝑘 𝑌 𝑝 = 𝑝(1 + 𝝉𝑝) 𝑦(𝑡) = 𝑘(1 − 𝑒 𝑡 −𝝉 ) ❑ Caractéristiques : • 𝑦 0 =0 • 𝑦 ∞ =𝐾 • À 𝑡 = 𝜏, 𝑦 𝑡 = 0.63𝐾 64 Situation du problème Définition de l’Automatique 65 Situation du problème V. SYSTÈMES DE PREMIER ORDRE Définition de l’Automatique 2. Réponse à un Échelon Unitaire (Réponse indicielle) 𝑒 𝑡 =𝑢 𝑡 𝑦(𝑡) = 𝑘(1 − 𝑒 𝑡 −𝝉 ) ❑ Caractéristiques : • 𝑦 0 =0 • 𝑦 ∞ =𝐾 • À 𝑡 = 𝜏, 𝑦 𝑡 = 0.63𝐾 66 Situation du problème V. SYSTÈMES DE PREMIER ORDRE Définition de l’Automatique 2. Réponse à un Échelon de Valeur E (Réponse indicielle) ❑ Entrée = Un échelon d’amplitude E 𝑒 𝑡 = 𝐸𝑢 𝑡 ❑ La réponse à un échelon de valeur E 𝑦(𝑡) = 𝐸𝑘(1 − 𝑒 𝑡 −𝝉 ) ❑ Interprétation : • Réponse indicielle proportionnelle à E. • 𝑦 ∞ = 𝐾𝐸 67 Situation du problème V. SYSTÈMES DE PREMIER ORDRE Définition de l’Automatique 3. Réponse à une Impulsion (réponse impulsionnelle) ❑ Entrée = Une impulsion 𝑒 𝑡 =𝛿 𝑡 ❑ La réponse impulsionnelle 𝑦 𝑡 est donc: 𝑘 𝑌 𝑝 = 1 + 𝝉𝑝 𝑘 −𝑡 𝑦 𝑡 = 𝑒 𝝉 𝝉 ❑ Caractéristiques : 𝐾 • 𝑦 0 =𝜏 • 𝑦 ∞ =0 68 Situation du problème Définition de l’Automatique 69 Situation du problème VI. SYSTÈMES DE PREMIER ORDRE Définition de l’Automatique Exercice d’application : Circuit RC Soit le montage RC suivant : 1. Déterminer la fonction de transfert 𝐻 𝑝 𝐻(𝑝) = 2. 𝑉𝑠 (𝑝) 𝐸 (𝑝) Déduire la nature du système ainsi que ses paramètres caractéristiques en fonction de R et C. 3. Pour e(t) = 10u(t), R = 100Ω et C = 1μF ; calculer et tracer vs(t). 70 Situation du problème VI. SYSTÈMES DE SECOND ORDRE Définition de l’Automatique 1. Mise en situation ❑ Où trouve-t-on des systèmes du 2ᵉ ordre ? • Suspension d’une voiture (amortisseur + ressort + masse) • Circuit électrique RLC série • Bras mécanique avec moteur + inertie + frottements • Capteurs / actionneurs présentant des oscillations à la mise en marche Question : Quand on applique brutalement une consigne (échelon), que peut faire la réponse ? • Monter doucement ? • Osciller ? • Dépasser ? 71 Situation du problème VI. SYSTÈMES DE SECOND ORDRE Définition de l’Automatique 2. Objectifs ❑ À la fin de ce chapitre, vous devrez être capables de : ✓ Reconnaître un système de second ordre à partir de son équation ou sa fonction de transfert. ✓ Identifier les paramètres caractéristiques : 𝑘, 𝑚, 𝜔0. ✓ Relier la position des pôles au comportement temporel (oscillations, dépassement…). ✓ Calculer les indicateurs de performance : dépassement, temps de pic, temps de stabilisation. ✓ Conclure sur la stabilité d’un système du deuxième ordre. 72 Situation du problème VI. SYSTÈMES DE SECOND ORDRE Définition de l’Automatique 3. Rappel : système du 1ᵉʳ ordre ❑ Système du 1ᵉʳ ordre : 𝜏 𝑑𝑦(𝑡) + 𝑦 𝑡 = 𝑘𝑒 𝑡 𝑑𝑡 ✓ Réponse monotone, sans oscillation ✓ Paramètre principal : constante de temps 𝝉 ❑ Certains systèmes réels ont un comportement plus “riche” : oscillations, dépassement, etc. Systèmes du 2ᵉ ordre 73 Situation du problème VI. SYSTÈMES DE SECOND ORDRE Définition de l’Automatique 4. Définition d’un système de second ordre ❑ Équation différentielle type: 𝑑 2 𝑠(𝑡) 𝑑𝑠 𝑡 + 2𝒎𝝎 + 𝝎𝟎 𝟐 𝑠 𝑡 = 𝑘𝝎𝟎 𝟐 𝑒(𝑡) 𝟎 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡 • 𝐬 𝐭 : sortie • 𝐞(𝐭): entrée • 𝛚𝟎 : pulsation propre (rad/s) • 𝐦 : coefficient d’amortissement d2 s ❑ La présence de « » crée la possibilité d’oscillations. dt2 74 Situation du problème VI. SYSTÈMES DE SECOND ORDRE Définition de l’Automatique a) Paramètres caractéristiques ❑ Équation différentielle type: 𝑑 2 𝑠(𝑡) 𝑑𝑠 𝑡 2 𝑠 𝑡 = 𝑘𝜔 2 𝑒(𝑡) + 2𝑚𝜔 + 𝜔 0 0 0 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 i. Pulsation propre 𝜔0 ✓ Fréquence d’oscillation naturelle (en l’absence d’amortissement) ✓ Liée aux éléments physiques (R, L, C ou M, K, etc.) ii. Coefficient d’amortissement 𝑚 ✓ Mesure “l’importance” des pertes (frottements, résistances…) ✓ Contrôle si la réponse oscille ou non, et de combien. ii. Gain statique k 𝑠(∞) 𝑒(∞) ✓ Valeur de la sortie en régime permanent ( t → ∞) pour un échelon unité. 𝑘= 75 Situation du problème VI. SYSTÈMES DE SECOND ORDRE Définition de l’Automatique b) Rappel: Passage dans le domaine de Laplace ❑ Avec conditions initiales nulles : Transformée de Laplace 𝑑2𝑠 𝑡 𝑎2 𝑑𝑡 2 𝑝2 𝑆 𝑝 𝑑𝑠 𝑡 𝑑𝑡 𝑝𝑆 𝑝 ❑ En appliquant la transformée de Laplace à l’équation différentielle, on obtient : S p kω0 2 H p = = 2 E p p + 2mω0 p + ω0 2 76 Situation du problème VI. SYSTÈMES DE SECOND ORDRE Définition de l’Automatique 5. Fonction de transfert et équation caractéristique ❑ Fonction de transfert canonique d’un système du 2ᵉ ordre : S p kω0 2 H p = = 2 E p p + 2mω0 p + ω0 2 ❑ Équation caractéristique : D p = p2 + 2mω0 p + ω0 2 = 0 ✓ Les pôles de H(p) sont les racines de D(p). ✓ Leur position dans le plan complexe donne la forme de la réponse temporelle. 77 Situation du problème VI. SYSTÈMES DE SECOND ORDRE Définition de l’Automatique 6. Réponse indicielle d’un système de second ordre ❑ La fonction de transfert: 𝑆 𝑝 𝑘𝜔0 2 𝑘𝜔0 2 𝐻 𝑝 = = 2 = 𝐸 𝑝 𝑝 + 2𝑚𝜔0 𝑝 + 𝜔0 2 (𝑝 − 𝑝1 )(𝑝 − 𝑝2 ) ❑ La réponse indicielle s(t) (suite à un échelon unitaire) : 𝑘𝜔0 2 𝑆 𝑝 = 𝐸 𝑝 𝑝 − 𝑝1 𝑝 − 𝑝2 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝐸 𝑝 = 1 𝑝 𝑎 𝑏 𝑐 + + 𝑝 𝑝 − 𝑝1 𝑝 − 𝑝2 1 1 1 − Les valeurs des paramètres sont ∶ 𝑎 = ;𝑏= ;𝑐= 𝑝1 𝑝2 𝑝1 𝑝1 − 𝑝2 𝑝2 𝑝2 − 𝑝1 𝑆 𝑝 = 𝑘𝜔0 2 𝑘𝜔0 2 𝑝2 𝑝1 𝑝 𝑡 1 𝑠 𝑡 = 1+ 𝑒 + 𝑒 𝑝2𝑡 𝑝1 𝑝2 𝑝1 − 𝑝2 𝑝2 − 𝑝1 ► Cherchons les pôles du système: 𝑝1 𝑒𝑡 𝑝2 78 Situation du problème Définition de l’Automatique 79 Situation du problème VI. SYSTÈMES DE SECOND ORDRE Définition de l’Automatique 6. Réponse indicielle d’un système de second ordre 6.1. Nature des pôles en fonction de m ❑ Cherchons les pôles du système: D p =0 p2 + 2mω0 p + ω0 2 = 0 ∆= (2𝑚𝜔0 )2 −4𝜔0 2 = 4𝜔0 2 (𝑚2 − 1) ❑ Selon la valeur de m : ✓ m = 0 : pôles imaginaires purs ✓ 0 < m < 1 : pôles complexes conjugués ✓ m = 1 : pôle réel double ✓ m > 1 : deux pôles réels distincts introduit les 4 comportements types 80 Situation du problème VI. SYSTÈMES DE SECOND ORDRE Définition de l’Automatique A. Systèmes juste oscillants ❖ Cas 1: système juste oscillant m = 0 (pôles imaginaires purs) 𝑚 = 0 ⇒ 𝐷 𝑝 = 𝑝 2 + 𝜔0 2 = 0 D’où: ⇒ 𝑝1 = 𝑗𝜔0 𝑒𝑡 𝑝2 = −𝑗𝜔0 𝑝1 𝑝2 = 𝜔0 2 𝑒𝑡 𝑝1 − 𝑝2 = 2𝑗𝜔0 𝐤𝛚𝟎 𝟐 𝑗𝜔0 𝑗𝜔 𝑡 𝑗𝜔0 −𝑗𝜔 𝑡 0 − 0 𝑠 𝑡 = 1 − 𝑒 𝑒 𝟐 𝛚𝟎 2𝑗𝜔0 2𝑗𝜔0 1 1 𝑠 𝑡 = 𝒌 1 − 𝑒 𝑗𝜔0 𝑡 − 𝑒 −𝑗𝜔0𝑡 2 2 ❑ La réponse indicielle: 81 Situation du problème VI. SYSTÈMES DE SECOND ORDRE Définition de l’Automatique A. Systèmes juste oscillants ❖ Cas 1: m = 0 : pôles imaginaires purs ❑ Pour un échelon unité 𝑒 𝑡 = 𝑢 𝑡 : 𝑠 𝑡 = 𝒌 1 − 𝑐𝑜𝑠𝜔0 𝑡 ✓ Système non amorti ✓ Oscillations permanentes ✓ Dépassement = 100 % ✓ Ne se stabilise pas réellement (infini d’oscillations) 82 Situation du problème VI. SYSTÈMES DE SECOND ORDRE Définition de l’Automatique ❖ B. systèmes oscillants amortis ❑ Cas 2: 0 < m < 1 : pôles complexes conjugués → ቐ 𝑝1 = −𝑚𝜔0 + 𝑗𝜔0 1 − 𝑚2 𝑝2 = −𝑚𝜔0 − 𝑗𝜔0 1 − 𝑚2 ❑ Forme générale : 𝑠 𝑡 = 𝑘𝐸0 1 − 𝑒 −𝑚𝜔0𝑡 1 − 𝑚2 sin( 1 − 𝑚2 𝑡 + 𝜑) ❑ Caractéristiques qualitatives : ✓ Présence d’oscillations mais décroissantes ✓ La première oscillation dépasse souvent la consigne (dépassement) ✓ Plus m augmente → moins de dépassement, réponse plus lente et moins oscillée ►C’est le cas le plus important en automatique. 83 Situation du problème VI. SYSTÈMES DE SECOND ORDRE Définition de l’Automatique C. systèmes hyperamortis ❑ cas m > 1 : deux pôles réels distincts ❑ Forme générale : ቐ 𝑝1 = −𝑚𝜔0 + 𝜔0 𝑚2 − 1 = 𝜔0 (−𝑚 + 𝑚2 − 1) < 1 𝑝2 = −𝑚𝜔0 − 𝜔0 𝑚2 − 1 < 1 𝑝2 𝑝1 𝑝 𝑡 1 𝑠 𝑡 = 𝑘𝐸0 1 − 𝑒 + 𝑒 𝑝2𝑡 𝑝2 − 𝑝1 𝑝2 − 𝑝1 ❑ Caractéristiques qualitatives : ✓ Deux modes exponentiels. ✓ Réponse très monotone, aucun dépassement. ✓ Mais retour à la consigne plus lent que pour m = 1. 84 Situation du problème VI. SYSTÈMES DE SECOND ORDRE Définition de l’Automatique Réponse d’un système du second ordre avec ξ ≥1 (ξ :Facteur d’amortissement) Réponse d’un système du second ordre avec ξ ≤ 1 (ξ :Facteur d’amortissement) 85 Situation du problème VI. SYSTÈMES DE SECOND ORDRE Définition de l’Automatique d) Synthèse des 4 types de réponses ❑ Tableau de synthèse des 4 types de réponses m Type de réponse Oscillation ? Dépassement ? Rapidité 0 Juste oscillant Oui (∞) 100 % Rapide 0 < m<1 Oscillatoire amortie Oui Oui Rapide 1 Critique Non Non Moyen >1 Hyperamortie Non Non Lente 86 Situation du problème VI. SYSTÈMES DE SECOND ORDRE Définition de l’Automatique i. Dépassement D% (0 < m < 1) ❑ Formule : 𝐷% = 𝑒 − 𝑚𝜋 1−𝑚2 × 100 ❑ Interprétation : ✓ Plus m augmente → D% diminue ✓ m → 0 → D% → 100 % m m ✓ m → 1 → D% → 0 % m m 87 Situation du problème VI. SYSTÈMES DE SECOND ORDRE Définition de l’Automatique ii. Temps de pic 𝑇𝑝 et temps de stabilisation 𝑡𝑠 ❑ Pour 0 < m < 1 : ➢ Temps de pic : 𝑇𝑝 = 𝜋 𝜔0 1 − 𝑚 2 ➢ Temps de stabilisation à ±5% : 3 𝑡𝑠 ≈ 𝑚𝜔0 ➢ Temps de stabilisation à ±2% : 𝑡𝑠 ≈ ► 4 𝑚𝜔0 L’amortissement joue à la fois sur la rapidité et le dépassement : il faut un compromis. 88 Situation du problème VI. SYSTÈMES DE SECOND ORDRE Définition de l’Automatique Exemple d’application 1: On considère : 𝐻 𝑝 = 1. 3 𝑝2 + 2 Mettre H(p) sous la forme canonique 𝑘𝜔02 𝑝2 + 2𝑚𝜔0 𝑝 + 𝜔02 2. Identifier k, m, 𝜔0. 3. Déterminer s(t) et la représenter pour e(t)=2u(t) 4. Déduire la stabilité. 89 Situation du problème VI. SYSTÈMES DE SECOND ORDRE Définition de l’Automatique Exemple d’application 2: On considère : 𝐻 𝑝 = 1. 3 3𝑝2 + 3p + 1 Mettre H(p) sous la forme canonique 𝑘𝜔02 𝑝2 + 2𝑚𝜔0 𝑝 + 𝜔02 2. Identifier k, m, 𝜔0. 3. Déterminer s(t) et la représenter pour e(t)=2u(t) 4. Déduire la stabilité. 90 VII. ANALYSE GRAPHIQUE DE STABILITÉ Rappel 1 – Modélisation fréquentielle des systèmes linéaires 1. Définitions fondamentales Lorsqu’un système linéaire est soumis à un signal sinusoïdal, sa réponse est également sinusoïdale, à la même fréquence, mais généralement : • atténuée ou amplifiée c-à-d gain fréquentiel, 𝐺(𝑝) • retardée en phase c-à-d déphasage. En passant à la représentation fréquentielle, on remplace "p" par "𝒋𝝎" dans la fonction de transfert : 𝐺 𝑗𝜔 = Ainsi : ∣ 𝐺 𝑗𝜔 ∣ 𝑆 𝑗𝜔 𝐸 𝑗𝜔 arg 𝐺 𝑗𝜔 ∣ 𝐺 𝑗𝜔 ∣ : indique comment le système modifie l’amplitude des composantes sinusoïdales, arg 𝐺 𝑗𝜔 : indique comment le système retarde ou avance la phase. 91 VII. ANALYSE GRAPHIQUE DE STABILITÉ Rappel 2 – Modélisation fréquentielle des systèmes linéaires 2. Définition des diagrammes de Bode Les diagrammes de Bode sont une représentation graphique du comportement fréquentiel d’un système: a) Diagramme de gain • On trace 20 log ∣ 𝐺 𝑗𝜔 ∣)en dB. • L’axe des fréquences est logarithmique : on voit clairement les zones basses, moyennes et hautes fréquences. b) Diagramme de phase On trace 𝜑 𝜔 = arg 𝐺 𝑗𝜔 en degrés : Indique comment le système « retarde » la réponse. Pourquoi Bode est-il indispensable ? • Permet une lecture simple du comportement fréquentiel. • Sert d’outil majeur pour la stabilité en boucle ouverte : marge de gain, marge de phase,fréquence critique. 92 VII. ANALYSE GRAPHIQUE DE STABILITÉ Système du 1ere ordre Système du 2éme ordre VII. ANALYSE GRAPHIQUE DE STABILITÉ Critère graphique de stabilité: Critère du revers Enoncé du critère du Revers dans le plan complexe « Le système est stable en boucle fermée si en parcourant le lieu de transfert de sa FTBO dans le sens des pulsations 𝝎 croissantes, on laisse le point critique (-1 , 0) à gauche. C’est à dire qu’il suffit que l’une des deux conditions suivantes soit vérifiée: • Pour la pulsation 𝛚𝐜 tel que 𝐇𝐛𝐨 (𝐣𝛚𝐜 ) = 𝟏 on doit avoir 𝐚𝐫𝐠(𝑯𝒃𝒐 (𝒋𝝎𝒄 )) ≻ −𝟏𝟖𝟎° • Pour la pulsation 𝛚𝟎 tel que 𝐚𝐫𝐠(𝐇𝐛𝐨 (𝐣𝛚𝐜 )) = −𝟏𝟖𝟎° on doit avoir 𝐇𝐛𝐨 (𝐣𝛚𝐜 ) < 𝟏 VII. ANALYSE GRAPHIQUE DE STABILITÉ Critère de revers: « Un système asservi linéaire est stable si, en décrivant le lieu de transfert de dans le plan complexe en BO dans le sens des fréquences croissantes, nous laissons le point dit « critique » (-1,0) à gauche » STABLE INSTABLE VII. ANALYSE GRAPHIQUE DE STABILITÉ Enoncé du critère du Revers dans le plan de bode « Le système est stable en boucle fermée si l’une des deux conditions suivantes soit vérifiée » • Pour la pulsation 𝛚𝐜 tel que 𝐇𝐛𝐨 (𝐣𝛚𝐜 ) = 𝟏 on doit avoir: 𝐚𝐫𝐠(𝑯𝒃𝒐 (𝒋𝝎𝒄 )) ≻ −𝟏𝟖𝟎° • Pour la pulsation 𝛚𝟎 tel que 𝐚𝐫𝐠(𝐇𝐛𝐨 (𝐣𝛚𝟎 )) = −𝟏𝟖𝟎° on doit avoir: 𝐇𝐛𝐨 (𝐣𝛚𝟎 ) < 𝟏 VII. ANALYSE GRAPHIQUE DE STABILITÉ ❖ Remarque: Ce critère ne s’applique qu’à des systèmes à retour unitaire. Nous pouvons toujours ramener un système en boucle fermée à un système asservi à retour unitaire : E(p) + - G(p) S(p) H(p) E(p) + - G(p) H(p) 1 H(p) S(p) VII. ANALYSE GRAPHIQUE DE STABILITÉ ❑Application au diagramme de Bode : un système sera stable si, pour la pulsation w0 qui correspond à un gain 0 dB, la courbe de phase passe au dessus de –180°. Le système sera stable si l’une des conditions est: ▪ Pour la pulsation 𝛚𝐜 tel que 𝐇𝐛𝐨 (𝐣𝛚𝐜 ) = 𝟏 on doit avoir: 𝐚𝐫𝐠(𝑯𝒃𝒐 (𝒋𝝎𝒄 )) ≻ −𝟏𝟖𝟎° ▪ Pour la pulsation 𝛚𝟎 tel que 𝐚𝐫𝐠(𝐇𝐛𝐨 (𝐣𝛚𝟎 )) = −𝟏𝟖𝟎° on doit avoir: 𝐇𝐛𝐨 (𝐣𝛚𝐜 ) < 𝟏 INSTABLE/Stable? VII. ANALYSE GRAPHIQUE DE STABILITÉ ❑Application au diagramme de Bode : un système sera stable si, pour la pulsation w0 qui correspond à un gain 0 dB, la courbe de phase passe au dessus de –180°. Le système sera stable si l’une des conditions est: ▪ Pour la pulsation 𝛚𝐜 tel que 𝐇𝐛𝐨 (𝐣𝛚𝐜 ) = 𝟏 on doit avoir: 𝐚𝐫𝐠(𝑯𝒃𝒐 (𝒋𝝎𝒄 )) ≻ −𝟏𝟖𝟎° ▪ Pour la pulsation 𝛚𝟎 tel que 𝐚𝐫𝐠(𝐇𝐛𝐨 (𝐣𝛚𝟎 )) = −𝟏𝟖𝟎° on doit avoir: 𝐇𝐛𝐨 (𝐣𝛚𝐜 ) < 𝟏 ✓ On peut voir que pour la pulsation w0 qui correspond à un gain 0 dB, la courbe de phase passe au dessus de –180°. INSTABLE VII. ANALYSE GRAPHIQUE DE STABILITÉ STABILITE PRATIQUE : Marge de phase et Marge de gain ❑ L’expression des fonctions de transfert n’est généralement pas exacte (hypothèses simplificatrices, identification après essais …), les caractéristiques des composants d’une chaîne d’asservissement ne sont pas rigoureusement constantes (effet de la variation de température , vieillissement…). ❑ Devant ces incertitudes, il est nécessaire de prévoir des marges de sécurité pour garantir la stabilité du système. Marge de phase (MP) et Marge de gain (MG) VII. ANALYSE GRAPHIQUE DE STABILITÉ Stabilité des SA Nous définissons alors : ❑ LA MARGE DE GAIN : C’est le gain minimum pour rendre le système instable. ❑ LA MARGE DE PHASE : C’est la phase minimale pour passer au point critique. VII. ANALYSE GRAPHIQUE DE STABILITÉ Stabilité des SA • LIEU DE BODE : MG MP VII. ANALYSE GRAPHIQUE DE STABILITÉ Stabilité des SA Exercice 1: Considérons un système de fonction de transfert G p placé dans une boucle de régulation à retour unitaire. Donner la marge de gain et de phase pour le système suivant, s’il est stable. G p = E(p) + - 5 (1 + 𝑝 3 ) 100 5 2 𝑝 33 (1 (1++100 p )) S(p) VII. ANALYSE GRAPHIQUE DE STABILITÉ Stabilité des SA Exercice 2: On considère un système de fonction de transfert en boucle ouverte G( p) définie par : G p = K , (1 + 𝑝)3 𝐾>0 Déterminer à l’aide du critère de Routh les conditions de stabilité de ce système en boucle fermée lorsqu’il est placé dans une boucle d’asservissement à retour unitaire. Calculer la valeur de K qui assure au système une marge de phase égale à 45◦. VII. ANALYSE GRAPHIQUE DE STABILITÉ Stabilité des SA Exercice 3: On considère un système de fonction de transfert en boucle ouverte G( p) définie par : G p = K , 𝑝(3 + 𝑝)2 𝐾>0 Déterminer à l’aide du critère de Routh les conditions de stabilité de ce système en boucle fermée lorsqu’il est placé dans une boucle d’asservissement à retour unitaire. Calculer la valeur de K qui assure au système une marge de phase égale à 45◦ VII. ANALYSE GRAPHIQUE DE STABILITÉ Stabilité des SA Exercice 4: On considère un système de fonction de transfert en boucle ouverte G( p) définie par : G p = K , 𝑝(100 + 𝑝)2 𝐾>0 Déterminer les conditions sur la valeur de K de manière à ce que le système soit caractérisé, en boucle fermée à retour unitaire, par une marge de phase supérieure à 45◦ et par une marge de gain supérieure à 6 dB.
