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Automatique ISMIN 1A P2015 – Examen – 12 juin 2013
1h30
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Le sujet comporte 3 exercices indépendants (5 pages).
Note sur 20.
Exercice 1 : (6 pts)
On considère un système à retour unitaire dont la FTBO est tracée dans le lieu de Black de la
figure 1. La tracé est gradué en pulsation pour 6 points de la courbe (unité : rad/s).
Figure 1
1. Donner les marges de gain et de phase du système considéré. Conclure sur la stabilité
en boucle fermée.
2
2. Tracer le module exprimé en dB de sa FTBF. Quel est le facteur de résonance ?
3. On assimilera la FTBF à un système du 2
nd
ordre. Tracer la réponse temporelle à un
échelon du système asservi.
Exercice 2 : (7 pts)
On considère le système bouclé de la figure 2 :
Figure 2.
1. Etablir l’expression de la transmittance H(p) en boucle fermée de ce système asservi.
2. Calculer la valeur de K permettant d’obtenir un dépassement de 16% en réponse à un
échelon unitaire. Donner l’expression numérique de H(p).
3. Calculer l’erreur statique, ε(+∞), en réponse à un échelon unitaire, et en réponse à une
rampe de pente α = 2.
4. Quels sont le nom et le rôle du correcteur utilisé dans ce système asservi ?
Exercice 3 : (7 pts)
Les équations liant l'entrée e(t) et la sortie s(t) d'un système sont :
s(t) = 1,5x(t) + 1,5y(t) dx(t)/dt= - x(t) + e(t) dy(t)/dt = - 0,25y(t) + 0,25x(t)
x(t) et y(t) sont des variables internes au système.
1. Le système considéré est-il linéaire, non linéaire, dynamique ou statique ? Justifier
succinctement votre réponse.
2. Donner la fonction de transfert entre l'entrée et la sortie du système.
3. Quels sont l'ordre, les pôles, les zéros et le gain statique de cette fonction de transfert ?
4. Le système est-il stable ou instable ? Pourquoi ?
y
+_
x
c
ε
εε
ε
0,1
x
r
p
K
pC =)( p
pT .1,01 5,0
)( +
=
3
Réponse indicielle des systèmes linéaires du second ordre.
Pulsation de résonance
2
0
.21 m
r
−=
ωω
Pulsation de coupure
( )
2
22
0
.211.21 mm
c
−++−=
ωω
Facteur de résonance
2
12
1
mm
M−
=
Facteur de qualité
m
Q21
=
Temps de montée
( )
m
m
t
m
arccos.
1
1
2
0
−
−
=
π
ω
Temps de réponse à
n%
(
m<0,7
)
≅nm
t
r
100
ln.
.
1
0
ω
Temps de pic
2
0
1
m
t
pic
−
=
ωπ
Pseudo-période
2
0
1
2
m
T
p
−
=
ωπ
Dépassement
2
1
.
.100%
m
m
eD
−
−
=
π
Nombre d’oscillations complètes
m
Qn 21
=≅
2
0
2
0
2
1
)(
ω
ω
p
p
mK
pH ++
=
4
m 0
ω
m
t
0%5
ω
r
t
0
ω
pic
t
0
ω
p
T D %
0
ω
ω
r
0
ω
ω
c
r
c
ω
ω
M
dB
m
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
0,5
0,55
0,6
0,65
1,68
1,74
1,81
1,88
1,97
2,06
2,16
2,28
2,42
2,58
2,77
3
30
20
14
11
10,1
7,9
7,7
5,4
5,3
5,3
5,2
5
3,16
3,18
3,21
3,24
3,29
3,35
3,43
3,52
3,63
3,76
3,93
4,13
6,31
6,36
6,41
6,49
6,59
6,71
6,86
7,04
7,26
7,52
7,85
8,27
73
62
53
44
37
31
25
21
16
12,6
9,5
6,8
0,99
0,98
0,96
0,94
0,91
0,87
0,82
0,77
0,71
0,63
0,53
0,39
1,54
1,53
1,51
1,48
1,45
1,42
1,37
1,33
1,27
1,21
1,15
1,08
1,56
1,56
1,57
1,59
1,61
1,63
1,67
1,72
1,8
1,93
2,17
2,74
14
10,5
8,1
6,3
4,8
3,6
2,7
1,9
1,2
0,7
0,3
0,1
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
0,5
0,55
0,6
0,65
0,7 3,29 3 4,4 8,8 4,6 0,14 1,01 7,14 0 0,7
0,75
0,8
0,85
0,9
0,95
3,66
4,16
4,91
6,17
9,09
3,1
3,4
3,7
4
4,1
4,75
5,24
5,96
7,21
10,06
9,5
10,5
11,93
14,41
20,12
2,84
1,52
0,63
0,15
0,01
-
-
-
-
-
0,94
0,87
0,81
0,75
0,69
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
0,75
0,8
0,85
0,9
0,95
Transformées de Laplace usuelles.
Dirac :
1)( →
TL
t
δ
22
)(
ω
ω
ω
+
→ p
tsin
TL
Échelon :
p
t
TL
1
)( →Γ
22
)cos(
ω
ω
+
→ pp
t
TL
Rampe :
2
1
p
t
TL
→
( )
2
2
.)(.
ω
ω
++
+
→
−ap
ap
tcose TLta
ap
e
TLta
+
→
−
1
.
( ) ( )
2
2
sin.
ω
ω
ω
++
→
−
ap
te
TLat
( )
2
.
1
.ap
et
TLta
+
→
−
5
Transformées de Laplace inverses usuelles (f(t) causale) :
( )
1
!1
1
1
1
≥
−
→
−
−
n
n
t
p
n
TL
n
τ
ττ
t
TL
e
p
−
→
+
−
.
1
.1 1
1
−
+→
+
+−
−
τ
τ
τ
δ
ττ
t
TL e
aa
t
a
p
pa .)(.
.1 .1
1
( )
τ
τ
t
TL
e
pp
−
−→
+
−
1
.1. 1
1
( )
τ
τ
τ
τ
t
TL
e
a
pp pa
−
−
+→
+
+
−
.1
.1. .1
1
( )
τ
ττ
τ
t
TL et
pp
−
+−→
+
−.
.1. 11
2
( ) ( ) ( )
τ
ττ
τ
t
TL eaat
pp pa −
−−−+→
+
+
−.
.1. .1 1
2
( )( )
−
−
→
++
−−
−21
1
.
1
.1..1 1
2121
ττ
ττττ
tt
TL
ee
pp
6
7
8
9
10
1
/
10
100%
