Outils mathématiques pour la physique : Fascicule de cours

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Outils mathématiques pour la physique
Fascicule de cours — Chapitre 1 — CPTEI 2A
D'après le cours de J.-M. Masereel — Fiche réalisée pour préparer les révisions

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Comment utiliser ce fascicule : chaque partie reprend les notions de ton cours avec une explication en
français simple, suivie d'exemples travaillés. À la fin du fascicule se trouvent 14 exercices progressifs, puis,
dans une dernière partie, leurs corrigés entièrement détaillés. Essaie de faire chaque exercice sans regarder
le corrigé avant, même si tu bloques — c'est en cherchant que tu identifies ce que tu n'as pas encore bien
compris.
1. Fonctions de plusieurs variables (champs scalaires)
1.1 Définition
Une fonction de n variables est une fonction qui part de ℝⁿ et arrive dans ℝ : elle prend n nombres réels en
entrée et renvoie un seul nombre réel. On l'appelle aussi un champ scalaire, car elle associe un scalaire (un
nombre) à chaque point de l'espace.
 Exemple —
• f(x, y) = x + y est définie sur ℝ².
• f(x, y, z) = 2x + y + 3z est définie sur ℝ³.
• f(x, y) = 1/(x − y) est définie sur D = {(x ; y) ∈ ℝ² / x ≠ y}, c'est-à-dire le plan privé de la droite d'équation
y = x.
� Remarque —
Si f est une fonction de deux variables, l'ensemble des points (x ; y ; f(x,y)) décrit une surface dans
l'espace, d'équation z = f(x,y). C'est l'analogue en dimension 3 de la courbe représentative d'une
fonction d'une variable.
1.2 Fonctions partielles et dérivées partielles
Une fonction partielle s'obtient en figeant toutes les variables d'une fonction sauf une : on obtient alors
une fonction d'une seule variable, que l'on sait dériver avec les outils habituels.
 Exemple —
Soit f(x, y) = 1/(x − y).
• En fixant y = y₀, on obtient la fonction partielle f_{y₀}(x) = 1/(x − y₀). Géométriquement, cela revient à
couper la surface z = f(x,y) par le plan y = y₀.
• En fixant x = x₀, on obtient f_{x₀}(y) = 1/(x₀ − y).
� Définition — Dérivées partielles d'ordre 1
La dérivée partielle de f par rapport à x, notée ∂f/∂x, est la dérivée (au sens usuel) de la fonction
partielle obtenue en figeant toutes les variables sauf x. Idem pour ∂f/∂y et ∂f/∂z.
Autrement dit : calculer ∂f/∂x, c'est dériver f par rapport à x en considérant toutes les autres variables
comme des constantes.
 Exemple —
Soit f(x, y, z) = ln(x) + eʸ + cos(z) + xy + xz² + y²z³. Alors :
∂f/∂x (x,y,z) = 1/x + y + z² (on dérive par rapport à x, y et z sont vus comme des constantes)

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∂f/∂y (x,y,z) = eʸ + x + 2yz³
∂f/∂z (x,y,z) = −sin(z) + 2xz + 3y²z²
1.3 Différentielle
� Définition — Différentielle
Si f admet des dérivées partielles continues, la différentielle de f en (x₀ ; y₀ ; z₀) est l'application linéaire
définie par :
df(x₀,y₀,z₀)(h,k,l) = ∂f/∂x(x₀,y₀,z₀)·h + ∂f/∂y(x₀,y₀,z₀)·k + ∂f/∂z(x₀,y₀,z₀)·l
En notant dx, dy, dz les projections (dx(h,k,l) = h, etc.), on écrit simplement :
df = ∂f/∂x dx + ∂f/∂y dy + ∂f/∂z dz
� Remarque —
Il ne faut pas confondre dx, dy, dz (qui sont des fonctions — les projections sur les axes) avec de «
petites variations » informelles : dans l'écriture rigoureuse, ce sont bien des applications linéaires. Dans
la pratique des calculs, on les manipule néanmoins comme des accroissements infinitésimaux.
� Théorème / Propriété — Opérations sur les différentielles
Pour f, g deux fonctions de n variables à dérivées partielles continues et λ, µ deux réels :
• d(λf + µg) = λdf + µdg
• d(fg) = f dg + g df
• si g ne s'annule pas : d(f/g) = (g df − f dg) / g²
 Exemple —
Soit f(x,y) = x²y et g(x,y) = 3x − y.
df = 2xy dx + x² dy et dg = 3 dx − dy
d(fg) = f dg + g df = x²y(3dx − dy) + (3x−y)(2xy dx + x² dy)
d(fg) = [3x²y + 2xy(3x−y)] dx + [−x²y + x²(3x−y)] dy
d(fg) = (9x²y − 2xy²) dx + (3x³ − 2x²y) dy
1.4 Dérivées partielles d'ordre supérieur — Théorème de Schwarz
On peut dériver une deuxième fois par rapport à une variable (ou à une autre) : ∂²f/∂x² , ∂²f/∂x∂y (on
dérive d'abord par rapport à y, puis par rapport à x — attention à l'ordre de lecture), ∂²f/∂y∂x, etc.
� Théorème / Propriété — Théorème de Schwarz
Si ∂²f/∂x∂y et ∂²f/∂y∂x sont continues en (x₀ ; y₀), alors elles sont égales en ce point :
∂²f/∂x∂y (x₀,y₀) = ∂²f/∂y∂x (x₀,y₀)
En pratique (pour des fonctions « usuelles », de classe �²), on peut donc dériver dans l'ordre que l'on
veut.
 Exemple —
f(x,y) = x²sin(y). On a ∂f/∂x = 2x sin(y), donc ∂²f/∂y∂x = 2x cos(y).

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Et ∂f/∂y = x²cos(y), donc ∂²f/∂x∂y = 2x cos(y). On retrouve bien la même valeur, conformément au
théorème de Schwarz.
2. Champs de vecteurs
� Définition — Champ de vecteurs
Un champ de vecteurs est une application de ℝⁿ dans ℝⁿ : à chaque point de l'espace, on associe cette
fois un vecteur (et non plus un simple nombre). C'est ce qu'on utilise par exemple pour représenter un
champ de vitesses dans un fluide, ou un champ électrique.
 Exemple —
Si P, Q, R sont trois fonctions de trois variables, alors V(x,y,z) = (P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)) est un champ
de vecteurs de ℝ³ dans ℝ³.
Par exemple V(x,y,z) = (−y, x, 0) est le champ de vitesses d'une rotation autour de l'axe (Oz).
3. Calcul différentiel
3.1 Dérivation d'une fonction composée
� Théorème / Propriété — Composée de plusieurs fonctions
Si u, v, w sont des fonctions de ℝ³ dans ℝ et f une fonction de ℝ³ dans ℝ, et si ψ(x,y,z) = f(u(x,y,z), v(x,y,z),
w(x,y,z)), alors :
∂ψ/∂x = ∂f/∂u·∂u/∂x + ∂f/∂v·∂v/∂x + ∂f/∂w·∂w/∂x (et de même pour y, z)
� Théorème / Propriété — Cas d'une seule variable t
Si x, y, z sont des fonctions dérivables de t et φ(t) = f(x(t), y(t), z(t)) alors :
φ′(t) = ∂f/∂x·x′(t) + ∂f/∂y·y′(t) + ∂f/∂z·z′(t) = grad(f)(x(t),y(t),z(t)) · (x′(t), y′(t), z′(t))
 Exemple —
Soit f(x,y) = x²+y² et x(t) = cos(t), y(t) = sin(t) (donc φ(t) = f(x(t),y(t)) = 1 pour tout t).
φ′(t) = 2x(t)·x′(t) + 2y(t)·y′(t) = 2cos(t)(−sin(t)) + 2sin(t)cos(t) = 0. On retrouve bien que φ est constante.
3.2 Gradient
� Définition — Gradient
Le gradient de f en (x₀,y₀,z₀) est le vecteur des dérivées partielles :
grad(f)(x₀,y₀,z₀) = ( ∂f/∂x(x₀,y₀,z₀) ; ∂f/∂y(x₀,y₀,z₀) ; ∂f/∂z(x₀,y₀,z₀) )
Le gradient transforme une fonction (champ scalaire) en un champ de vecteurs. Il indique la direction de
plus forte pente de f au point considéré, et df(u) = grad(f) · u pour tout vecteur u.
 Exemple —

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f(x,y,z) = x²y + z. grad(f)(x,y,z) = (2xy ; x² ; 1). Au point (1,2,0) : grad(f)(1,2,0) = (4 ; 1 ; 1).
� Théorème / Propriété — Propriétés (linéarité, produit)
grad(f+g) = grad(f) + grad(g) grad(αf) = α·grad(f) grad(fg) = f·grad(g) + g·grad(f)
3.3 Rotationnel
� Définition — Rotationnel
Pour un champ de vecteurs V(x,y,z) = (P,Q,R), le rotationnel de V est le champ de vecteurs :
rot(V) = ( ∂R/∂y − ∂Q/∂z ; ∂P/∂z − ∂R/∂x ; ∂Q/∂x − ∂P/∂y )
Astuce mnémotechnique : c'est formellement le « produit vectoriel » de l'opérateur (∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z)
avec (P,Q,R).
 Exemple —
V(x,y,z) = (−y, x, 0). P=−y, Q=x, R=0.
rot(V) = (∂R/∂y − ∂Q/∂z ; ∂P/∂z − ∂R/∂x ; ∂Q/∂x − ∂P/∂y) = (0−0 ; 0−0 ; 1−(−1)) = (0 ; 0 ; 2).
Le rotationnel est non nul et constant : ce champ correspond bien à une rotation « rigide ».
� Théorème / Propriété — Propriétés importantes
rot(V₁+V₂) = rot(V₁) + rot(V₂) rot(αV₁) = α·rot(V₁) rot(fV₁) = f·rot(V₁) + grad(f)∧V₁
rot(grad(f)) = vecteur nul pour toute fonction f (un gradient est toujours « irrotationnel »).
3.4 Divergence
� Définition — Divergence
Pour V(x,y,z) = (P,Q,R), la divergence de V est la fonction (scalaire) :
div(V) = ∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z
La divergence mesure si le champ de vecteurs « diverge » (source) ou « converge » (puits) en un point.
 Exemple —
V(x,y,z) = (x², yz, −2xz). div(V) = 2x + z − 2x = z.
� Théorème / Propriété — Propriétés importantes
div(V₁+V₂) = div(V₁)+div(V₂) div(αV₁) = α·div(V₁) div(fV₁) = f·div(V₁) + grad(f)·V₁
div(V₁∧V₂) = V₂·rot(V₁) − V₁·rot(V₂)
div(rot(V)) = 0 pour tout champ de vecteurs V.
3.5 Laplacien
� Définition — Laplacien
Pour f admettant des dérivées partielles secondes, le laplacien de f est :