Outils mathématiques pour la physique : Fascicule de cours

Outils mathématiques pour la physique
Fascicule de cours — Chapitre 1 — CPTEI 2A
D'après le cours de J.-M. Masereel — Fiche réalisée pour préparer les révisions
1
Comment utiliser ce fascicule : chaque partie reprend les notions de ton cours avec une explication en
français simple, suivie d'exemples travaillés. À la fin du fascicule se trouvent 14 exercices progressifs, puis,
dans une dernière partie, leurs corrigés entièrement détaillés. Essaie de faire chaque exercice sans regarder
le corrigé avant, même si tu bloques — c'est en cherchant que tu identifies ce que tu n'as pas encore bien
compris.
1. Fonctions de plusieurs variables (champs scalaires)
1.1 Définition
Une fonction de n variables est une fonction qui part de ℝⁿ et arrive dans ℝ: elle prend n nombres réels en
entrée et renvoie un seul nombre réel. On l'appelle aussi un champ scalaire, car elle associe un scalaire (un
nombre) à chaque point de l'espace.
✏️ Exemple —
• f(x, y) = x + y est définie sur ℝ².
• f(x, y, z) = 2x + y + 3z est définie sur ℝ³.
• f(x, y) = 1/(x − y) est définie sur D = {(x ; y) ∈ ℝ² / x ≠ y}, c'est-à-dire le plan privé de la droite d'équation
y = x.
� Remarque —
Si f est une fonction de deux variables, l'ensemble des points (x ; y ; f(x,y)) décrit une surface dans
l'espace, d'équation z = f(x,y). C'est l'analogue en dimension 3 de la courbe représentative d'une
fonction d'une variable.
1.2 Fonctions partielles et dérivées partielles
Une fonction partielle s'obtient en figeant toutes les variables d'une fonction sauf une : on obtient alors
une fonction d'une seule variable, que l'on sait dériver avec les outils habituels.
✏️ Exemple —
Soit f(x, y) = 1/(x − y).
• En fixant y = y₀, on obtient la fonction partielle f_{y₀}(x) = 1/(x − y₀). Géométriquement, cela revient à
couper la surface z = f(x,y) par le plan y = y₀.
• En fixant x = x₀, on obtient f_{x₀}(y) = 1/(x₀ − y).
� Définition — Dérivées partielles d'ordre 1
La dérivée partielle de f par rapport à x, notée ∂f/∂x, est la dérivée (au sens usuel) de la fonction
partielle obtenue en figeant toutes les variables sauf x. Idem pour ∂f/∂y et ∂f/∂z.
Autrement dit : calculer ∂f/∂x, c'est dériver f par rapport à x en considérant toutes les autres variables
comme des constantes.
✏️ Exemple —
Soit f(x, y, z) = ln(x) + eʸ + cos(z) + xy + xz² + y²z³. Alors :
∂f/∂x (x,y,z) = 1/x + y + z²
(on dérive par rapport à x, y et z sont vus comme des constantes)
2
∂f/∂y (x,y,z) = eʸ + x + 2yz³
∂f/∂z (x,y,z) = −sin(z) + 2xz + 3y²z²
1.3 Différentielle
� Définition — Différentielle
Si f admet des dérivées partielles continues, la différentielle de f en (x₀ ; y₀ ; z₀) est l'application linéaire
définie par :
df(x₀,y₀,z₀)(h,k,l) = ∂f/∂x(x₀,y₀,z₀)·h + ∂f/∂y(x₀,y₀,z₀)·k + ∂f/∂z(x₀,y₀,z₀)·l
En notant dx, dy, dz les projections (dx(h,k,l) = h, etc.), on écrit simplement :
df = ∂f/∂x dx + ∂f/∂y dy + ∂f/∂z dz
� Remarque —
Il ne faut pas confondre dx, dy, dz (qui sont des fonctions — les projections sur les axes) avec de «
petites variations » informelles : dans l'écriture rigoureuse, ce sont bien des applications linéaires. Dans
la pratique des calculs, on les manipule néanmoins comme des accroissements infinitésimaux.
� Théorème / Propriété — Opérations sur les différentielles
Pour f, g deux fonctions de n variables à dérivées partielles continues et λ, µ deux réels :
• d(λf + µg) = λdf + µdg
• d(fg) = f dg + g df
• si g ne s'annule pas : d(f/g) = (g df − f dg) / g²
✏️ Exemple —
Soit f(x,y) = x²y et g(x,y) = 3x − y.
df = 2xy dx + x² dy et dg = 3 dx − dy
d(fg) = f dg + g df = x²y(3dx − dy) + (3x−y)(2xy dx + x² dy)
d(fg) = [3x²y + 2xy(3x−y)] dx + [−x²y + x²(3x−y)] dy
d(fg) = (9x²y − 2xy²) dx + (3x³ − 2x²y) dy
1.4 Dérivées partielles d'ordre supérieur — Théorème de Schwarz
On peut dériver une deuxième fois par rapport à une variable (ou à une autre) : ∂²f/∂x² , ∂²f/∂x∂y (on
dérive d'abord par rapport à y, puis par rapport à x — attention à l'ordre de lecture), ∂²f/∂y∂x, etc.
� Théorème / Propriété — Théorème de Schwarz
Si ∂²f/∂x∂y et ∂²f/∂y∂x sont continues en (x₀ ; y₀), alors elles sont égales en ce point :
∂²f/∂x∂y (x₀,y₀) = ∂²f/∂y∂x (x₀,y₀)
En pratique (pour des fonctions « usuelles », de classe �²), on peut donc dériver dans l'ordre que l'on
veut.
✏️ Exemple —
f(x,y) = x²sin(y). On a ∂f/∂x = 2x sin(y), donc ∂²f/∂y∂x = 2x cos(y).
3
Et ∂f/∂y = x²cos(y), donc ∂²f/∂x∂y = 2x cos(y). On retrouve bien la même valeur, conformément au
théorème de Schwarz.
2. Champs de vecteurs
� Définition — Champ de vecteurs
Un champ de vecteurs est une application de ℝⁿ dans ℝⁿ : à chaque point de l'espace, on associe cette
fois un vecteur (et non plus un simple nombre). C'est ce qu'on utilise par exemple pour représenter un
champ de vitesses dans un fluide, ou un champ électrique.
✏️ Exemple —
Si P, Q, R sont trois fonctions de trois variables, alors V(x,y,z) = (P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)) est un champ
de vecteurs de ℝ³ dans ℝ³.
Par exemple V(x,y,z) = (−y, x, 0) est le champ de vitesses d'une rotation autour de l'axe (Oz).
3. Calcul différentiel
3.1 Dérivation d'une fonction composée
� Théorème / Propriété — Composée de plusieurs fonctions
Si u, v, w sont des fonctions de ℝ³ dans ℝet f une fonction de ℝ³ dans ℝ, et si ψ(x,y,z) = f(u(x,y,z), v(x,y,z),
w(x,y,z)), alors :
∂ψ/∂x = ∂f/∂u·∂u/∂x + ∂f/∂v·∂v/∂x + ∂f/∂w·∂w/∂x (et de même pour y, z)
� Théorème / Propriété — Cas d'une seule variable t
Si x, y, z sont des fonctions dérivables de t et φ(t) = f(x(t), y(t), z(t)) alors :
φ′(t) = ∂f/∂x·x′(t) + ∂f/∂y·y′(t) + ∂f/∂z·z′(t) = grad(f)(x(t),y(t),z(t)) · (x′(t), y′(t), z′(t))
✏️ Exemple —
Soit f(x,y) = x²+y² et x(t) = cos(t), y(t) = sin(t) (donc φ(t) = f(x(t),y(t)) = 1 pour tout t).
φ′(t) = 2x(t)·x′(t) + 2y(t)·y′(t) = 2cos(t)(−sin(t)) + 2sin(t)cos(t) = 0. On retrouve bien que φ est constante.
3.2 Gradient
� Définition — Gradient
Le gradient de f en (x₀,y₀,z₀) est le vecteur des dérivées partielles :
grad(f)(x₀,y₀,z₀) = ( ∂f/∂x(x₀,y₀,z₀) ; ∂f/∂y(x₀,y₀,z₀) ; ∂f/∂z(x₀,y₀,z₀) )
Le gradient transforme une fonction (champ scalaire) en un champ de vecteurs. Il indique la direction de
plus forte pente de f au point considéré, et df(u) = grad(f) · u pour tout vecteur u.
✏️ Exemple —
4
f(x,y,z) = x²y + z. grad(f)(x,y,z) = (2xy ; x² ; 1). Au point (1,2,0) : grad(f)(1,2,0) = (4 ; 1 ; 1).
� Théorème / Propriété — Propriétés (linéarité, produit)
grad(f+g) = grad(f) + grad(g)
grad(αf) = α·grad(f)
grad(fg) = f·grad(g) + g·grad(f)
3.3 Rotationnel
� Définition — Rotationnel
Pour un champ de vecteurs V(x,y,z) = (P,Q,R), le rotationnel de V est le champ de vecteurs :
rot(V) = ( ∂R/∂y − ∂Q/∂z ; ∂P/∂z − ∂R/∂x ; ∂Q/∂x − ∂P/∂y )
Astuce mnémotechnique : c'est formellement le « produit vectoriel » de l'opérateur (∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z)
avec (P,Q,R).
✏️ Exemple —
V(x,y,z) = (−y, x, 0). P=−y, Q=x, R=0.
rot(V) = (∂R/∂y − ∂Q/∂z ; ∂P/∂z − ∂R/∂x ; ∂Q/∂x − ∂P/∂y) = (0−0 ; 0−0 ; 1−(−1)) = (0 ; 0 ; 2).
Le rotationnel est non nul et constant : ce champ correspond bien à une rotation « rigide ».
� Théorème / Propriété — Propriétés importantes
rot(V₁+V₂) = rot(V₁) + rot(V₂)
rot(αV₁) = α·rot(V₁)
rot(fV₁) = f·rot(V₁) + grad(f)∧V₁
rot(grad(f)) = vecteur nul pour toute fonction f (un gradient est toujours « irrotationnel »).
3.4 Divergence
� Définition — Divergence
Pour V(x,y,z) = (P,Q,R), la divergence de V est la fonction (scalaire) :
div(V) = ∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z
La divergence mesure si le champ de vecteurs « diverge » (source) ou « converge » (puits) en un point.
✏️ Exemple —
V(x,y,z) = (x², yz, −2xz). div(V) = 2x + z − 2x = z.
� Théorème / Propriété — Propriétés importantes
div(V₁+V₂) = div(V₁)+div(V₂)
div(αV₁) = α·div(V₁)
div(fV₁) = f·div(V₁) + grad(f)·V₁
div(V₁∧V₂) = V₂·rot(V₁) − V₁·rot(V₂)
div(rot(V)) = 0 pour tout champ de vecteurs V.
3.5 Laplacien
� Définition — Laplacien
Pour f admettant des dérivées partielles secondes, le laplacien de f est :
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Δf = ∂²f/∂x² + ∂²f/∂y² + ∂²f/∂z²
On a la relation clé : div(grad(f)) = Δf.
✏️ Exemple —
f(x,y,z) = x²+y²+z². ∂²f/∂x² = 2, ∂²f/∂y² = 2, ∂²f/∂z² = 2, donc Δf = 6.
3.6 Tableau récapitulatif à retenir
fonction --grad--> champ de vecteurs --rot--> champ de vecteurs --div--> fonction
●
●
●
●
grad : transforme une fonction (champ scalaire) en champ de vecteurs.
rot : transforme un champ de vecteurs en un autre champ de vecteurs.
div : transforme un champ de vecteurs en fonction (champ scalaire).
Relations à mémoriser absolument : rot(grad f) = vecteur nul, et div(rot V) = 0.
4. Intégrales multiples
4.1 Intégrales doubles
� Définition — Intégrale double
Pour f fonction de deux variables et D un domaine de ℝ², l'intégrale double de f sur D, notée ∬_D f(x,y)
dxdy, représente le volume compris entre la surface z = f(x,y) et le plan (Oxy) au-dessus de D (les
volumes « sous z = 0 » comptant négativement).
� Théorème / Propriété — Théorème de Fubini
Si D = {(x;y) ∈ ℝ² / a ≤ x ≤ b ; φ₁(x) ≤ y ≤ φ₂(x)}, alors :
∬_D f(x,y) dxdy = ∫ₐᵇ ( ∫_{φ₁(x)}^{φ₂(x)} f(x,y) dy ) dx
et de même en intervertissant les rôles de x et de y si D est décrit par c ≤ y ≤ d ; ψ₁(y) ≤ x ≤ ψ₂(y). On
calcule donc une intégrale double comme deux intégrales simples emboîtées.
✏️ Exemple —
D = {(x;y) / −2 ≤ x ≤ 1 ; 2x−3 ≤ y ≤ 3x+1} et f(x,y) = cos(x+y).
I = ∫_{2x−3}^{3x+1} cos(x+y) dy = [sin(x+y)] entre 2x−3 et 3x+1 = sin(4x+1) − sin(3x−3)
V = ∫₋₂¹ [sin(4x+1) − sin(3x−3)] dx = [−cos(4x+1)/4 + cos(3x−3)/3]₋₂¹
� Théorème / Propriété — Cas des variables séparées
Si f(x,y) = g(x)h(y) et D = [a;b]×[c;d] (un rectangle), alors l'intégrale double se factorise :
∬_D f(x,y) dxdy = (∫ₐᵇ g(x) dx) × (∫_c^d h(y) dy)
� Théorème / Propriété — Calcul d'aires
L'aire d'un domaine borné D est Aire(D) = ∬_D dxdy (on intègre la fonction constante égale à 1).
4.2 Intégrales triples
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Le principe est le même que pour les intégrales doubles : on intègre une fonction de trois variables sur un
domaine de ℝ³, en emboîtant trois intégrations simples successives (théorème de Fubini généralisé). Le
résultat, pour f = 1, donne le volume du domaine.
4.3 Changements de coordonnées
Passer en coordonnées polaires, cylindriques ou sphériques est souvent la clé pour intégrer sur des
domaines circulaires, cylindriques ou sphériques.
Coordonnées polaires (dans le plan)
� Théorème / Propriété —
x = ρcos(θ), y = ρsin(θ). Si Δ est le domaine en (ρ,θ) correspondant à D :
∬_D f(x,y) dxdy = ∬_Δ f(ρcos(θ), ρsin(θ)) · ρ dρdθ
On n'oublie jamais le facteur ρ !
Coordonnées cylindriques (dans l'espace)
� Théorème / Propriété —
x = ρcos(θ), y = ρsin(θ), z = z (le même z qu'en cartésien). Alors :
∭
_D f(x,y,z) dxdydz = ∭
_Δ f(ρcos(θ), ρsin(θ), z) · ρ dρdθdz
Coordonnées sphériques (dans l'espace)
� Théorème / Propriété —
x = ρcos(θ)sin(φ), y = ρsin(θ)sin(φ), z = ρcos(φ), où ρ ≥ 0 est la distance à l'origine, θ ∈ [0;2π[ la longitude
et φ ∈ [0;π] l'angle polaire (colatitude). Alors :
∭
_D f(x,y,z) dxdydz = ∭
_Δ f(ψ(ρ,θ,φ)) · ρ² sin(φ) dρdθdφ
On n'oublie jamais le facteur ρ² sin(φ) !
✏️ Exemple — Calcul du volume d'un disque (aire) en polaires
Disque D de centre O, rayon r : en polaires, D correspond à 0 ≤ ρ ≤ r, 0 ≤ θ ≤ 2π.
Aire(D) = ∬_D ρ dρdθ = ∫₀^{2π} (∫₀^r ρ dρ) dθ = ∫₀^{2π} [ρ²/2]₀^r dθ = ∫₀^{2π} r²/2 dθ = 2π × r²/2 = πr².
5. Éléments différentiels (surfaces et volumes élémentaires)
Ces formules sont exactement ce qui apparaît dans les changements de variables ci-dessus (le facteur ρ, ou
ρ²sin(φ)) : elles représentent la surface ou le volume « balayé » par un petit déplacement selon les
coordonnées choisies.
Dans le plan
●
●
Coordonnées cartésiennes : d²S = dx dy
Coordonnées polaires : d²S = ρ dρ dθ
Dans l'espace
●
●
Coordonnées cartésiennes : d³V = dx dy dz
Coordonnées cylindriques : d³V = ρ dρ dθ dz
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●
Coordonnées sphériques : d³V = ρ² sin(φ) dρ dθ dφ
� Remarque —
Retiens bien ces trois derniers facteurs (ρ, puis ρ, puis ρ²sin(φ)) : ce sont eux qu'on rajoute
systématiquement dans une intégrale multiple lors d'un changement de coordonnées.
✏️ Exemple — Aire d'une sphère de rayon r
d²S = r² sin(φ) dθdφ (rayon constant = r).
S = ∫₀^π ∫₀^{2π} r² sin(φ) dθ dφ = r² × 2π × [−cos(φ)]₀^π = r² × 2π × 2 = 4πr².
8
6. Exercices
Les corrigés détaillés se trouvent dans la partie 7, à la toute fin du fascicule. Essaie de résoudre chaque
exercice en entier avant d'aller vérifier.
Exercice 1 — Dérivées partielles simples
Soit f(x,y,z) = x²yz + sin(xy) + eᶻ. Calculer ∂f/∂x, ∂f/∂y et ∂f/∂z.
Exercice 2 — Différentielle
Soit f(x,y) = x²/y (avec y ≠ 0). Calculer la différentielle df. En déduire une valeur approchée de f(2.01 ;
3.02) sachant que f(2;3) = 4/3.
Exercice 3 — Théorème de Schwarz
Soit f(x,y) = x³y² − 2xy. Calculer ∂²f/∂x∂y et ∂²f/∂y∂x et vérifier qu'elles sont égales.
Exercice 4 — Dérivation de fonction composée
Soit f(x,y) = x² + 3y et x(t) = t², y(t) = eᵗ. Calculer φ′(t) où φ(t) = f(x(t), y(t)), de deux façons : en calculant
d'abord φ(t) explicitement puis en dérivant, puis en utilisant la formule de composition.
Exercice 5 — Gradient
Soit f(x,y,z) = x²y + yz² − 3x. Calculer grad(f) puis grad(f)(1,−1,2). Dans quelle direction (unitaire) f croîtelle le plus vite en ce point ?
Exercice 6 — Rotationnel
Soit V(x,y,z) = (yz, xz, xy). Calculer rot(V). Que peut-on en déduire sur l'existence d'une fonction f telle
que V = grad(f) ?
Exercice 7 — Divergence et Laplacien
Soit f(x,y,z) = x² + y² + z² et V = grad(f). Calculer V, puis div(V), puis vérifier que div(V) = Δf.
Exercice 8 — Propriétés combinées
Soit f(x,y,z) = xyz et V(x,y,z) = (x,y,z). Calculer div(fV) de deux façons : directement, puis en utilisant la
formule div(fV) = f·div(V) + grad(f)·V.
Exercice 9 — Intégrale double sur un rectangle
Calculer I = ∬_D xy² dxdy où D = [0;2] × [1;3].
Exercice 10 — Intégrale double, domaine non rectangulaire
Calculer I = ∬_D (x + y) dxdy où D = {(x;y) / 0 ≤ x ≤ 1 ; x² ≤ y ≤ x}.
Exercice 11 — Passage en coordonnées polaires
Calculer I = ∬_D (x²+y²) dxdy où D est le disque de centre O et de rayon 2.
Exercice 12 — Aire d'un domaine en polaires
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Calculer l'aire du domaine D délimité par un pétale de la courbe polaire ρ(θ) = cos(2θ), pour θ ∈ [−π/4 ;
π/4] (on rappelle que l'aire délimitée par une courbe polaire s'obtient avec Aire = ∬_D ρ dρdθ, ρ variant
de 0 à ρ(θ)).
Exercice 13 — Coordonnées cylindriques
Calculer le volume V du cylindre plein D = {(x,y,z) / x²+y² ≤ 4 ; 0 ≤ z ≤ 3} à l'aide d'une intégrale triple en
coordonnées cylindriques.
Exercice 14 — Coordonnées sphériques — volume de la boule
En utilisant les coordonnées sphériques et l'élément de volume d³V = ρ²sin(φ) dρdθdφ, retrouver la
formule du volume d'une boule de rayon r : V = (4/3)πr³.
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7. Corrigés détaillés
Prends le temps de comparer chaque étape à ta propre rédaction, pas seulement le résultat final : c'est la
méthode qui compte.
Corrigé — Exercice 1
f(x,y,z) = x²yz + sin(xy) + eᶻ.
∂f/∂x = 2xyz + y·cos(xy) (on dérive x²yz par rapport à x → 2xyz ; on dérive sin(xy) par rapport à x, avec
la règle de dérivation des fonctions composées : dérivée de xy par rapport à x est y, donc y·cos(xy) ; eᶻ
ne dépend pas de x → 0)
∂f/∂y = x²z + x·cos(xy) (de même : x²yz dérivé en y donne x²z ; sin(xy) dérivé en y donne x·cos(xy) ; eᶻ →
0)
∂f/∂z = x²y + eᶻ (x²yz dérivé en z donne x²y ; sin(xy) ne dépend pas de z → 0 ; eᶻ dérivé en z donne eᶻ)
Corrigé — Exercice 2
f(x,y) = x²/y = x² · y⁻¹.
∂f/∂x = 2x/y
∂f/∂y = x² × (−1)y⁻² = −x²/y²
df = (2x/y) dx + (−x²/y²) dy
Au point (2;3) : ∂f/∂x(2,3) = 4/3, ∂f/∂y(2,3) = −4/9.
On veut approcher f(2.01 ; 3.02) = f(2+0.01 ; 3+0.02). On utilise f(2+h, 3+k) ≈ f(2,3) + df(2,3)(h,k) avec
h=0.01, k=0.02 :
f(2.01;3.02) ≈ 4/3 + (4/3)(0.01) + (−4/9)(0.02) = 4/3 + 0.01333 − 0.00889 ≈ 1.3378
(la valeur exacte est f(2.01;3.02) = 2.01²/3.02 = 4.0401/3.02 ≈ 1.3378, l'approximation est donc
excellente).
Corrigé — Exercice 3
f(x,y) = x³y² − 2xy.
∂f/∂x = 3x²y² − 2y
∂²f/∂y∂x = ∂/∂y (3x²y² − 2y) = 6x²y − 2
∂f/∂y = 2x³y − 2x
∂²f/∂x∂y = ∂/∂x (2x³y − 2x) = 6x²y − 2
On obtient bien ∂²f/∂x∂y = ∂²f/∂y∂x = 6x²y − 2, conformément au théorème de Schwarz (f est ici de
classe �² sur ℝ², les hypothèses sont donc vérifiées partout).
Corrigé — Exercice 4
Méthode directe : φ(t) = f(x(t),y(t)) = x(t)² + 3y(t) = (t²)² + 3eᵗ = t⁴ + 3eᵗ.
φ′(t) = 4t³ + 3eᵗ.
Méthode par composition : φ′(t) = ∂f/∂x · x′(t) + ∂f/∂y · y′(t).
∂f/∂x = 2x, ∂f/∂y = 3. x′(t) = 2t, y′(t) = eᵗ.
φ′(t) = 2x(t)·2t + 3·eᵗ = 2(t²)(2t) + 3eᵗ = 4t³ + 3eᵗ.
Les deux méthodes donnent bien le même résultat.
Corrigé — Exercice 5
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f(x,y,z) = x²y + yz² − 3x.
grad(f) = (∂f/∂x ; ∂f/∂y ; ∂f/∂z) = (2xy − 3 ; x² + z² ; 2yz)
grad(f)(1,−1,2) = (2×1×(−1) − 3 ; 1² + 2² ; 2×(−1)×2) = (−5 ; 5 ; −4)
La direction dans laquelle f croît le plus vite au point (1,−1,2) est celle du vecteur gradient lui-même
(c'est sa propriété fondamentale), qu'il faut normer :
‖grad(f)‖ = √(25+25+16) = √66
Direction unitaire : (1/√66)·(−5 ; 5 ; −4).
Corrigé — Exercice 6
V(x,y,z) = (yz, xz, xy), donc P=yz, Q=xz, R=xy.
rot(V) = (∂R/∂y − ∂Q/∂z ; ∂P/∂z − ∂R/∂x ; ∂Q/∂x − ∂P/∂y)
∂R/∂y = x, ∂Q/∂z = x → première composante : x − x = 0
∂P/∂z = y, ∂R/∂x = y → deuxième composante : y − y = 0
∂Q/∂x = z, ∂P/∂y = z → troisième composante : z − z = 0
Donc rot(V) = (0;0;0) = vecteur nul.
Puisque rot(grad f) = vecteur nul pour tout f, et que l'on constate ici que rot(V) = vecteur nul, cela
suggère (et le théorème de Poincaré permet de le confirmer sur un ouvert étoilé comme ℝ³) qu'il existe
bien une fonction f telle que V = grad(f). En cherchant, on trouve f(x,y,z) = xyz + constante, car grad(xyz)
= (yz, xz, xy) = V.
Corrigé — Exercice 7
f(x,y,z) = x²+y²+z². grad(f) = V = (2x, 2y, 2z).
div(V) = ∂(2x)/∂x + ∂(2y)/∂y + ∂(2z)/∂z = 2+2+2 = 6.
Calcul direct de Δf : ∂²f/∂x² = 2, ∂²f/∂y² = 2, ∂²f/∂z² = 2, donc Δf = 6.
On retrouve bien div(V) = div(grad f) = Δf = 6, conformément à la propriété du cours.
Corrigé — Exercice 8
f(x,y,z) = xyz et V(x,y,z) = (x,y,z).
Méthode directe : fV = (x²yz, xy²z, xyz²).
div(fV) = ∂(x²yz)/∂x + ∂(xy²z)/∂y + ∂(xyz²)/∂z = 2xyz + 2xyz + 2xyz = 6xyz.
Méthode par la formule : div(fV) = f·div(V) + grad(f)·V.
div(V) = ∂x/∂x + ∂y/∂y + ∂z/∂z = 1+1+1 = 3, donc f·div(V) = 3xyz.
grad(f) = (yz, xz, xy). grad(f)·V = yz·x + xz·y + xy·z = 3xyz.
Total : 3xyz + 3xyz = 6xyz. On retrouve bien le même résultat par les deux méthodes.
Corrigé — Exercice 9
I = ∬_D xy² dxdy, D = [0;2]×[1;3]. Le domaine est un rectangle et f(x,y) = x × y² est à variables séparées :
g(x)=x, h(y)=y².
I = (∫₀² x dx) × (∫₁³ y² dy) = [x²/2]₀² × [y³/3]₁³ = (4/2) × (27/3 − 1/3) = 2 × (26/3) = 52/3.
Corrigé — Exercice 10
I = ∬_D (x+y) dxdy, D = {0≤x≤1 ; x² ≤ y ≤ x} (on vérifie que x² ≤ x sur [0;1], le domaine est donc non vide).
I = ∫₀¹ ( ∫_{x²}^{x} (x+y) dy ) dx
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∫_{x²}^{x} (x+y) dy = [xy + y²/2] entre x² et x = (x² + x²/2) − (x³ + x⁴/2) = (3x²/2) − x³ − x⁴/2
I = ∫₀¹ (3x²/2 − x³ − x⁴/2) dx = [x³/2 − x⁴/4 − x⁵/10]₀¹ = 1/2 − 1/4 − 1/10
I = 10/20 − 5/20 − 2/20 = 3/20.
Corrigé — Exercice 11
D est le disque de rayon 2 : en polaires, D correspond à 0 ≤ ρ ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ 2π. On a x²+y² = ρ².
I = ∬_Δ ρ² · ρ dρdθ = ∫₀^{2π} ∫₀² ρ³ dρ dθ = ∫₀^{2π} [ρ⁴/4]₀² dθ = ∫₀^{2π} 4 dθ = 8π.
Corrigé — Exercice 12
Aire = ∬_D ρ dρdθ avec, pour θ ∈ [−π/4;π/4], ρ variant de 0 à cos(2θ).
Aire = ∫_{−π/4}^{π/4} ( ∫₀^{cos(2θ)} ρ dρ ) dθ = ∫_{−π/4}^{π/4} [ρ²/2]₀^{cos(2θ)} dθ = ∫_{−π/4}^{π/4}
cos²(2θ)/2 dθ
On linéarise : cos²(2θ) = (1+cos(4θ))/2, donc l'intégrande vaut (1+cos(4θ))/4.
Aire = ∫_{−π/4}^{π/4} (1+cos(4θ))/4 dθ = (1/4)[θ + sin(4θ)/4]_{−π/4}^{π/4}
= (1/4)[ (π/4 + sin(π)/4) − (−π/4 + sin(−π)/4) ] = (1/4)[π/4 + π/4] = (1/4)(π/2) = π/8.
Corrigé — Exercice 13
Le cylindre plein D correspond, en coordonnées cylindriques, à 0 ≤ ρ ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ z ≤ 3.
V=∭
_Δ ρ dρdθdz = ( ∫₀² ρ dρ ) × ( ∫₀^{2π} dθ ) × ( ∫₀³ dz ) (les bornes ne dépendent pas les unes des
autres, on peut séparer)
= [ρ²/2]₀² × 2π × 3 = 2 × 2π × 3 = 12π.
On retrouve bien la formule usuelle V = πr²h = π×4×3 = 12π.
Corrigé — Exercice 14
La boule de rayon r correspond, en sphériques, à 0 ≤ ρ ≤ r, 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ φ ≤ π.
V=∭
_Δ ρ² sin(φ) dρdθdφ = ( ∫₀^r ρ² dρ ) × ( ∫₀^{2π} dθ ) × ( ∫₀^π sin(φ) dφ )
∫₀^r ρ² dρ = r³/3
∫₀^{2π} dθ = 2π
∫₀^π sin(φ) dφ = [−cos(φ)]₀^π = 2
V = (r³/3) × 2π × 2 = (4/3)πr³. On retrouve bien la formule connue du volume de la boule.
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