Normes et conditionnement d'une matrice - Analyse numérique

1.4. NORMES ET CONDITIONNEMENT D’UNE MATRICE CHAPITRE 1. SYSTÈMES LINÉAIRES
1.4 Normes et conditionnement d’une matrice
Dans ce paragraphe, nous allons définir la notion de conditionnement d’une matrice, qui peut servir à établir une
majoration des erreurs d’arrondi dues aux erreurs sur les données. Malheureusement, nous verrons également que
cette majoration n’est pas forcément très utile dans des cas pratiques, et nous nous efforcerons d’y remédier. La
notion de conditionnement est également utilisée dans l’étude des méthodes itératives que nous verrons plus loin.
Pour l’étude du conditionnement comme pour l’étude des erreurs, nous avons tout d’abord besoin de la notion de
norme et de rayon spectral, que nous rappelons maintenant.
1.4.1 Normes, rayon spectral
Définition 1.27 (Norme matricielle, norme induite).On note Mn(IR) l’espace vectoriel (sur IR ) des matrices
carrées d’ordre n.
1. On appelle norme matricielle sur Mn(IR) une norme k·ksur Mn(IR) t.q.
kABkkAkkBk,8A, B 2Mn(IR) (1.56)
2. On considère IR nmuni d’une norme k·k. On appelle norme matricielle induite (ou norme induite) sur
Mn(IR) par la norme k·k, encore notée k·k, la norme sur Mn(IR) définie par :
kAk=sup{kAxk;x2IR n,kxk=1},8A2Mn(IR) (1.57)
Proposition 1.28 (Propriétés des normes induites).Soit Mn(IR) muni d’une norme induite k·k. Alors pour toute
matrice A2Mn(IR),ona:
1. kAxkkAkkxk,8x2IR n,
2. kAk= max {kAxk;kxk=1,x2IR n},
3. kAk= max ⇢kAxk
kxk;x2IR n\{0}.
4. k·kest une norme matricielle.
DÉMONSTRATION –
1. Soit x2IR n\{0}, posons y=x
kxk, alors kyk=1donc kAykkAk. On en déduit que kAxk kxkkAket
donc que kAxkkAkkxk. Si maintenant x=0, alors Ax=0, et donc kxk=0et kAxk=0; l’inégalité
kAxkkAkkxkest encore vérifiée.
2. L’application 'définie de IR ndans IR par : '(x)=kAxkest continue sur la sphère unité S1={x2IR n|kxk=
1}qui est un compact de IR n. Donc 'est bornée et atteint ses bornes : il existe x02IR ntel que kAk=kAx0k.
3. Cette égalité résulte du fait que
kAxk
kxk=kAx kxkket x kxk2S1et x6=0.
4. Soient Aet B2Mn(IR), on a kABk=max{kABxk;kxk=1,x2IR n}.Or
kABxkkAkkBxkkAkkBkkxkkAkkBk.
On en déduit que k·kest une norme matricielle.
Analyse numérique I, télé-enseignement, L3 61 Université d’Aix-Marseille, R. Herbin, 15 septembre 2015

1.4. NORMES ET CONDITIONNEMENT D’UNE MATRICE CHAPITRE 1. SYSTÈMES LINÉAIRES
Définition 1.29 (Rayon spectral).Soit A2Mn(IR) une matrice inversible. On appelle rayon spectral de Ala
quantité ⇢(A) = max{||;2Cl ,valeur propre de A}.
La proposition suivante caractérise les principales normes matricielles induites.
Proposition 1.30 (Caractérisation de normes induites).Soit A=(ai,j )i,j2{1,...,n}2Mn(IR).
1. On munit IR nde la norme k·k1et Mn(IR) de la norme induite correspondante, notée aussi k·k1. Alors
kAk1= max
i2{1,...,n}
n
X
j=1 |ai,j |.(1.58)
2. On munit IR nde la norme k·k
1et Mn(IR) de la norme induite correspondante, notée aussi k·k 1. Alors
kAk1= max
j2{1,...,n}
n
X
i=1 |ai,j |(1.59)
3. On munit IR nde la norme k·k
2et Mn(IR) de la norme induite correspondante, notée aussi k·k 2.
kAk2=(⇢(AtA))1
2.(1.60)
En particulier, si Aest symétrique, kAk2=⇢(A).
DÉMONSTRATION – La démonstration des points 1 et 2 fait l’objet de l’exercice 29 page 71. On démontre ici uniquement
le point 3.
Par définition de la norme 2, on a :
kAk2
2=sup
x2IR n
kxk2=1
Ax·Ax=sup
x2IR n
kxk2=1
AtAx·x.
Comme AtAest une matrice symétrique positive (car AtAx·x=Ax·Ax0), il existe une base orthonormée
(fi)i=1,...,n et des valeurs propres (µi)i=1,...,n, avec 0µ1µ2... µntels que Afi=µifipour tout
i2{1,...,n}. Soit x=Pi=1,...,n ↵ifi2IR n. On a donc :
AtAx·x=X
i=1,...,n
µi↵ifi·X
i=1,...,n
↵ifi=X
i=1,...,n
↵2
iµiµnkxk2 2.
On en déduit que kAk2
2⇢(AtA).
Pour montrer qu’on a égalité, il suffit de considérer le vecteur x=fn; on a en effet kfnk2=1, et kAfnk2
2=
AtAfn·fn=µn=⇢(AtA).
Nous allons maintenant comparer le rayon spectral d’une matrice avec des normes. Rappelons d’abord le théorème
de triangularisation (ou trigonalisation) des matrices complexes. On rappelle d’abord qu’une matrice unitaire Q2
Mn(Cl ) est une matrice inversible telle que Q⇤=Q1; ceci est équivalent à dire que les colonnes de Qforment
une base orthonormale de Cl n. Une matrice carrée orthogonale est une matrice unitaire à coefficients réels ; on a
dans ce cas Q⇤=Qt, et les colonnes de Qforment une base orthonormale de IR n.
Théorème 1.31 (Décomposition de Schur, triangularisation d’une matrice).Soit A2Mn(IR) ou Mn(Cl ) une
matrice carrée quelconque, réelle ou complexe ; alors il existe une matrice complexe Qunitaire (c.à.d. une matrice
telle que Qt=Q1et une matrice complexe triangulaire supérieure Ttelles que A=QT Q1.
Analyse numérique I, télé-enseignement, L3 62 Université d’Aix-Marseille, R. Herbin, 15 septembre 2015

1.4. NORMES ET CONDITIONNEMENT D’UNE MATRICE CHAPITRE 1. SYSTÈMES LINÉAIRES
Ce résultat s’énonce de manière équivalente de la manière suivante : Soit une application linéaire de Edans E,
où Eest un espace vectoriel normé de dimension finie nsur Cl . Alors il existe une base (f1,...,fn)de Cl et une
famille de complexes (ti,j )i=1,...,n,j=1,...,n,jitelles que (fi)=ti,ifi+Pk<i tk,ifk.De plus ti,i est valeur
propre de et de Apour tout i2{1,...,n}.
Les deux énoncés sont équivalents au sens où la matrice Ade l’application linéaire s’écrit A=QT Q1, où T
est la matrice triangulaire supérieure de coefficients (ti,j )i,j=1,...,n,jiet Qla matrice inversible dont la colonne
jest le vecteur fj).
DÉMONSTRATION – On démontre cette propriété par récurrence sur n. Elle est évidemment vraie pour n=1. Soit
n1, on suppose la propriété vraie pour net on la démontre pour n+1. Soint donc Eun espace vectoriel sur Cl
de dimension n+1et une application linéaire de Edans Cl . On sait qu’il existe 2Cl (qui résulte du caractère
algébriquement clos de Cl ) et f12Etels que (f1)=f1et kf1k=1; on pose t1,1=et on note Fle sous
espace vectoriel de Esupplémentaire orthogonal de Cl f1. Soit u2F, il existe un unique couple (µ, v)2Cl ⇥Ftel que
(u)=µf1+v. On note ˜ l’application qui à uassocie v. On peut appliquer l’hypothèse de récurrence à ˜ (car ˜ est
une application linéaire de Fdans F, et Fest de dimension n). Il existe donc une base orthonormée f2,...,fn+1 de F
et (ti,j )ji2tels que
˜
(fi)= X
2ji
tj,ifj,i=2,...,n+1.
On en déduit que
(fi)= X
1jin
tj,ifj,i=1,...,n+1.
Dans la proposition suivante, nous montrons qu’on peut toujours trouver une norme (qui dépend de la matrice)
pour approcher son rayon spectral d’aussi près que l’on veut par valeurs supérieures.
Théorème 1.32 (Approximation du rayon spectral par une norme induite).
1. Soit k·kune norme induite. Alors
⇢(A)kAk,pour tout A2Mn(IR).
2. Soient maintenant A2Mn(IR) et ">0, alors il existe une norme sur IR n(qui dépend de Aet ") telle que la
norme induite sur Mn(IR), notée k·k
A,", vérifie kAkA,"⇢(A)+".
DÉMONSTRATION – 1. Soit 2Cl valeur propre de Aet xun vecteur propre associé, alors Ax=x, et comme k·k
est une norme induite, on a :
kxk=||kxk=kAxkkAkkxk.
On en déduit que toute valeur propre vérifie kAket donc ⇢(A)kAk.
2. Soit A2Mn(IR), alors par le théorème de triangularisation de Schur (théorème 1.31 ppécédent), il existe une base
(f1,...,fn)de Cl net une famille de complexes (ti,j )i,j=1,...,n,jitelles que Afi=Pjitj,ifj. Soit ⌘2]0,1[, qu’on
choisira plus précisément plus tard. Pour i=1,...,n, on définit ei=⌘i1fi. La famille (ei)i=1,...,n forme une base
de Cl n. On définit alors une norme sur IR npar kxk=(
Pn
i=1 ↵i↵i)1/2, où les ↵isont les composantes de xdans la
base (ei)i=1,...,n.Notons que cette norme dépend de Aet de ⌘. Soit ">0; montrons que pour ⌘bien choisi, on a
kAk⇢(A)+". Remarquons d’abord que
Aei=A(⌘i1fi)=⌘i1Afi⌘i1X
ji
tk,ifj=⌘i1X
ji
tj,i⌘1jej=X
1ji
⌘ijtj,iej,
Analyse numérique I, télé-enseignement, L3 63 Université d’Aix-Marseille, R. Herbin, 15 septembre 2015

1.4. NORMES ET CONDITIONNEMENT D’UNE MATRICE CHAPITRE 1. SYSTÈMES LINÉAIRES
Soit maintenant x=Pi=1,...,n ↵iei.On a
Ax=
n
X
i=1
↵iAei=
n
X
i=1 X
1ji
⌘ijtj,i↵iej=
n
X
j=1n
X
i=j
⌘iji,j ↵iej.
On en déduit que
kAxk2=
n
X
j=1n
X
i=j
⌘ijtj,i↵i n
X
i=j
⌘ijtj,i↵i,
=
n
X
j=1
tj,j tj,j ↵j↵j+
n
X
j=1 X
k,`j
(k,`)6=(j,j)
⌘k+`2jtj,ktj,`↵k↵`
⇢(A)2kxk2+max
k=1,...,n |↵k|2
n
X
j=1 X
k,`j
(k,`)6=(j,j)
⌘k+`2jtj,ktj,`.
Comme ⌘2[0,1] et k+`2j1dans la dernière sommation, on a
n
X
j=1 X
k,`j
(k,`)6=(j,j)
⌘k+`2jtj,ktj,`⌘CTn3,
où CT=max
j,k,`=1,...,n |tj,k||tj,k |ne dépend que de la matrice T, qui elle même ne dépend que de A. Comme
max
k=1,...,n |↵k|2X
k=1,...,n |↵k|2=kxk2,
on a donc
kAxk2
kxk2⇢(A)2+⌘CTn3.
On en conclut que :
kAk⇢(A)✓1+ ⌘CTn3
⇢(A)2◆⇢(A)+ ⌘CTn3 2⇢(A),
D’où le résultat, en prenant k·k
A,"=k·ket ⌘tel que ⌘=min✓1,2⇢(A)"
CTn3◆..
Corollaire 1.33 (Convergence et rayon spectral).Soit A2Mn(IR). Alors :
⇢(A)<1si et seulement si Ak!0quand k!1.
DÉMONSTRATION – Si ⇢(A)<1, grâce au résultat d’approximation du rayon spectral de la proposition précédente, il
existe ">0tel que ⇢(A)<12"et une norme induite k.kA,"tels que kAkA,"=µ⇢(A)+"=1"<1.Comme
k.kA,"est une norme matricielle, on a kAkkA,"µk!0lorsque k!1. Comme l’espace Mn(IR) est de dimension
finie, toutes les normes sont équivalentes, et on a donc kAkk!0lorsque k!1.
Montrons maintenant la réciproque : supposons que Ak!0lorsque k!1, et montrons que ⇢(A)<1. Soient une
valeur propre de Aet xun vecteur propre associé. Alors Akx=kx, et si Ak!0, alors Akx!0, et donc kx!0,
ce qui n’est possible que si ||<1.
Remarque 1.34 (Convergence des suites).Une conséquence immédiate du corollaire précédent est que la suite
(x(k))k2IN définie par x(k+1) =Ax(k)converge vers 0(le vecteur nul) pour tout x(0) donné si et seulement si
⇢(A)<1.
Analyse numérique I, télé-enseignement, L3 64 Université d’Aix-Marseille, R. Herbin, 15 septembre 2015

1.4. NORMES ET CONDITIONNEMENT D’UNE MATRICE CHAPITRE 1. SYSTÈMES LINÉAIRES
Proposition 1.35 (Convergence et rayon spectral).On munit Mn(IR) d’une norme, notée k·k. Soit A2Mn(IR).
Alors
⇢(A)= lim
k!1 kAkk1
k.(1.61)
DÉMONSTRATION – La démonstration se fait par des arguments d’homogénéité, en trois étapes. Rappelons tout d’abord
que
lim sup
k!+1
uk=lim
k!+1sup
nk
un,
lim inf
k!+1uk=lim k!+1inf
nkun,
et que si lim supk!+1uklim infk!+1uk, alors la suite (uk)k2IN converge vers limk!+1uk=liminf
k!+1uk=
lim supk!+1uk.
Etape 1. On montre que
⇢(A)<1)lim sup
k!1 kAkk1
k1.(1.62)
En effet, si i ⇢(A)<1, d’après le corollaire 1.33 on a : kAkk!0donc il existe K2IN tel que pour kK,kAkk<1.
On en déduit que pour kK,kAkk1/k <1, et donc en passant à la limite sup sur k, on obtient bien que
lim sup
k!+1kAkk1
k1.
Etape 2. On montre maintenant que
lim inf
k!1 kAkk1
k<1)⇢(A)<1.. (1.63)
Pour démontrer cette assertion, rappelons que pour toute suite (uk)k2IN d’éléments de IR ou IR n, la limite inférieure
lim infk!+1ukest une valeur d’adhérence de la suite (uk)k2IN , donc qu’il existe une suite extraite (ukn)n2IN telle que
ukn!lim infk!+1uklorsque k!+1. Or lim infk!+1kAkk1/k <1; donc il existe une sous-suite (kn)n2IN ⇢IN
telle que kAknk1/kn!`<1lorsque n!+1, et donc il existe ntel que pour nn,kAknk1/kn⌘, avec ⌘2]0,1[.
On en déduit que pour nn,kAknk⌘kn, et donc que Akn!0lorsque n!+1.Soient une valeur propre de A
et xun vecteur propre associé, on a : Aknx=knx; on en déduit que ||<1,et donc que ⇢(A)<1.
Etape 3. On montre que ⇢(A)=lim
k!1 kAkk1
k.
Soit ↵2IR +tel que ⇢(A)<↵. Alors ⇢(1
↵A)<1, et donc grâce à (1.62),
lim sup
k!+1kAkk1
k<↵,8↵>⇢(A).
En faisant tendre ↵vers ⇢(A), on obtient donc :
lim sup
k!+1kAkk1
k⇢(A).(1.64)
Soit maintenant 2IR +tel que lim infk!+1kAkk1
k<. On a alors lim infk!+1k(1
A)kk1
k<1et donc en vertu
de (1.63), ⇢(1
A)<1, donc ⇢(A)<pour tout 2IR +tel que lim infk!+1kAkk1
k<. En faisant tendre vers
lim infk!+1kAkk1
k, on obtient donc
⇢(A)lim inf
k!+1kAkk1
k.(1.65)
De (1.64) et (1.65), on déduit que
lim sup
k!+1kAkk1
k=liminf
k!+1kAkk1
k=lim
k!+1kAkk1
k=⇢(A).(1.66)
Un corollaire important de la proposition 1.35 est le suivant.
Corollaire 1.36 (Comparaison rayon spectral et norme).On munit Mn(IR) d’une norme matricielle, notée k·k.
Soit A2Mn(IR). Alors :
⇢(A)kAk.
Par conséquent, si M2Mn(IR) et x(0) 2IR n, pour montrer que la suite x(k)définie par x(k)=Mkx(0)
converge vers 0dans IR n, il suffit de trouver une norme matricielle k·ktelle que kMk<1.
Analyse numérique I, télé-enseignement, L3 65 Université d’Aix-Marseille, R. Herbin, 15 septembre 2015