Fiche de travaux dirigés Analyse Licence 1 MPC

RÉPUBLIQUE DE CÔTE D'IVOIRE
UNION - DISCIPLINE – TRAVAIL
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MINISTÈRE DE L'ENSEIGNEMENT SUPÉRIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE
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UNIVERSITÉ PÉLÉFORO GON COULIBALY
U.F.R. SCIENCES BIOLOGIQUES
FICHE
DE TRAVAUX DIRIGÉS
ANALYSE
LICENCE 1 MPC
DURÉE : 2 heures 30 minutes
Exercice No1.
Étudier la nature des intégrales impropres suivantes
1.
Z+∞
−∞
e−x2
p|x|dx
2. Z+∞
0
1
(et+1)(e−t+1)dt
3. Z1
0
1
ln(x+1+√x2+ 2x)dx
4. Z+∞
1
e−√x2−xdx
Exercice No2.
Calculer
I=Zπ/2
0
ln(sin x)dx
Exercice No3.
On cherche à étudier la nature de R1
0ln 1 + sin x
xαsuivant les valeurs de αdans R.
On note fla fonction x7−→ ln 1 + sin x
xα.
1. Dans le cas où α≤1, montrer que R1
0fdx est convergente en étudiant la limite de
fen 0.
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2. Pour α > 1, montrer que f(x)∼(1 −α) ln(x)en 0.
3. En déduire la nature de R1
0fdx pour α > 1.
Exercice No4.
1. Soit Fla fonction définie par
F(x) = Zx
1
ln(1 + t2)
t2dt.
Calculer F(x)
2. En déduire que l’intégrale
I=Z+∞
1
ln(1 + t2)
t2dt.
est convergente et déterminer sa valeur.
Exercice No5.
Calculer une primitive des fonctions suivantes
1. Zx3
√1 + x4dx
2. Zarctan x
(x+ 1)2dx
3. Ze2x
√ex+1dx
Exercice No6.
Calculer les intégrales des fonctions rationnelles suivantes
D=Zt5
t3−t2−t+ 1dt
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Exercice No7.
Calculer les primitives des fonctions suivantes en utilisant un changement de variables
approprié .
1.
D=Zx√a+x2dx
2.
F=Z1
x(2 + (ln x)2)dx
Exercice No8.
Calcul de primitives des fractions rationnelles en sh xet ch x.
1.
A=Zdx
2 ch x+ sh x+ 1
2.
I=Zdx
ch x(1 + sh x)
3.
C=Zsin3x
cos8xdx
4.
H=Zsin5xdx
5.
I=Zcos4xsin2xdx
Exercice No9.
Calcul de primitives de fonctions rationnelles en sin xet cos x.
1.
C=Zsin3x
cos8xdx
2.
H=Zsin x
sin3x+ cos3xdx
3.
I=Ztan x
1 + sin 3xdx
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Exercice No10.
Déterminer les primitives suivantes :
1.
A=Zx2
√2x+ 1dx
2.
D=Z1
√x+2+ 3 √x+ 2dx
Exercice No11.
1. Soit fune fonction définie sur Rpar f(t) = 1
√t2+t. Calculer
F(x) = Zx
0
dt
√t2+t
2. On pose I=R2
√2
dx
√x2−1et J=R2
√2√x2−1dx
(a) Calculer I.
(b) Montrer que I+J= 2√3−√2−Jet en déduire la valeur de J.
Exercice No12.
Résoudre les équations différentielles suivantes :
1.
dy
dx = exey
2.
y0−2xy =xavec y(0) = 1
3.
y0= ex−y+x2e−y
Exercice No13.
Résoudre les équations différentielles suivantes :
1.
y0+y= e−x
2.
y0+ytan x= sin 2x
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Exercice No14.
Soit fune fonction définie par f(x) = 1
x(1 −x2),x∈R\ {0; 1; −1}.
1. Calculer Rf(x)dx
2. Résoudre l’équation différentielle
y0−y=−ex
x(x2−1)
Exercice No15.
Équations différentielles du second ordre
y00 −y= 1 + x+1
2x2−1 6x3
Exercice No16.
Dans un grand récipient contenant de l’eau à la température T1, on plonge à l’instant
t=0 un objet Ωà la température T0avec T0> T1. On suppose que le récipient est suffi-
samment grand pour que la température de l’eau reste constante lors du refroidissement
de Ω. On se propose d’étudier la température Tde Ωen fonction du temps t.
1. Soit dT la variation de la température de Ωdans un intervalle de temps dt. A quoi
dT sera-t-elle proportionnelle ? On exprimera le résultat en fonction de T,T1,dT
et une constante inconnue K > 0.
2. En déduire l’expression de Ten fonction de t,K,T0et T1.
3. On observe que la température de Ωvaut (T0+T1)/2au bout de τsecondes. Calculer
Ket donner l’expression de Ten fonction de tet des données du problème.
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