Fiche de révision : Sommes, produits et coefficients binomiaux

PCSI1 — Chapitre I : Complément de calcul algébrique et trigonométrie
FICHE 1 — Sommes, produits et coefficients binomiaux
1. Notation somme et règles d'écriture
Définition — Somme
∑(k=n₀ à n) aₖ = a(n₀) + a(n₀+1) + ... + a(n)
La variable k est muette : elle peut être renommée (i, ℓ, ♥...) sans changer le résultat.
⚠ Règles d'écriture à respecter absolument
● Un terme dépendant de k ne peut jamais sortir de la somme indexée par k.
● Ne pas oublier les parenthèses : ∑(2k−1) ≠ ∑2k − 1.
2. Sommes classiques à connaître par cœur
Somme
Résultat
∑(k=n₀ à n) c
(n−n₀+1)·c
∑(k=1 à n) k
n(n+1)/2
∑(k=1 à n) k²
n(n+1)(2n+1)/6
∑(k=0 à n) xᵏ (x ≠ 1)
(1−xⁿ⁺¹)/(1−x)
Formule de Bernoulli
aⁿ − bⁿ = (a−b)(aⁿ⁻¹+aⁿ⁻²b+...+bⁿ⁻¹) = (a−b)∑(k=0 à n−1) aⁿ⁻¹⁻ᵏbᵏ
Si n est impair : aⁿ + bⁿ = (a+b)(aⁿ⁻¹ − aⁿ⁻²b + ... + (−b)ⁿ⁻¹).
→ Corollaire : si P(x₀)=0 alors P(x) se factorise par (x−x₀).
3. Propriétés des sommes
Linéarité, inégalité triangulaire, Chasles
● Linéarité : ∑(λaₖ+μbₖ) = λ∑aₖ + μ∑bₖ
● Inégalité triangulaire : |∑aₖ| ⩽ ∑|aₖ|
● Chasles : ∑(k=n₀ à n) aₖ = ∑(k=n₀ à N) aₖ + ∑(k=N+1 à n) aₖ
● Changement d'indice : ∑(k=n₀ à n) aₖ = ∑(ℓ=0 à n−n₀) a(n₀+ℓ)
RÈGLE D'OR
Tous les termes doivent être comptabilisés UNE et UNE SEULE FOIS (sommation par paquets, partition
B∪ C=A).
Somme télescopique — grand classique
∑(k=n₀ à n) (u(k+1) − uₖ) = u(n+1) − u(n₀)
Exemple : ∑ 1/(k(k+1)) = ∑(1/k − 1/(k+1)) → converge vers 1 quand n→+∞ (série télescopique).
4. Sommes doubles
Sommes rectangulaires et triangulaires
Rectangle I=[[n₀,n]]×[[m₀,m]] : on peut sommer ligne par ligne OU colonne par colonne (Fubini discret) :
∑ sur (k,ℓ)∈ I de a(k,ℓ) = ∑ₖ(∑ℓ a(k,ℓ)) = ∑ℓ(∑ₖ a(k,ℓ))
Cas produit : si a(k,ℓ)=bₖ·cℓ alors ∑ a(k,ℓ) = (∑bₖ)×(∑cℓ).
Triangle I={n₀⩽k⩽ℓ⩽n} : sommer par lignes (ℓ de k à n) ou par colonnes (k de n₀ à ℓ) — bien vérifier que
chaque couple (k,ℓ) est compté une seule fois.
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5. Produits
Définition — Produit
∏(k=n₀ à n) uₖ = u(n₀) × u(n₀+1) × ... × u(n)
Produit d'une suite constante : ∏ a = a^(n−n₀+1).
Produit télescopique : ∏(k=n₀ à N) u(k+1)/uₖ = u(N+1)/u(n₀).
Lien avec les sommes : ∏ a^(uk) = a^{∑uk} et ∑ ln(rₖ) = ln(∏rₖ).
6. Coefficients binomiaux et formule du binôme
Factorielle et coefficient binomial
n! = n×(n−1)×...×1, avec 0!=1.
(n p) = n! / (p!(n−p)!) = n(n−1)...(n−p+1) / p!
Interprétation : nombre de parties à p éléments d'un ensemble à n éléments.
Convention : (n p) = 0 si p<0 ou p>n. Symétrie : (n p) = (n, n−p).
Triangle de Pascal
(n p) = (n−1, p) + (n−1, p−1)
Théorème — Formule du binôme de Newton
(a+b)ⁿ = ∑(p=0 à n) (n p) aⁿ⁻ᵖbᵖ
Corollaires (a=b=1 puis a=1,b=−1) :
∑(p=0 à n) (n p) = 2ⁿ
∑(p=0 à n) (n p)(−1)ᵖ = 0
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FICHE 2 — Systèmes linéaires à n équations, p inconnues (n,p ∈
[[1,3]])
1. Définitions et interprétation géométrique
Système linéaire
Forme générale à 3 inconnues x,y,z : trois équations aᵢ₁x+aᵢ₂y+aᵢ₃z=bᵢ.
aᵢⱼ = coefficients, bᵢ = seconds membres. Toujours aligner en colonnes les coefficients d'une même inconnue.
Interprétation géométrique
● 1 équation à 2 inconnues (x,y) : une droite du plan ℝ².
● 1 équation à 3 inconnues (x,y,z) : un plan de l'espace ℝ³.
● 2 équations à 3 inconnues : intersection de 2 plans P₁∩P₂ → soit ∅ (plans parallèles distincts, système
incompatible), soit une droite D (cas générique), soit un plan (équations proportionnelles).
2. Opérations élémentaires
Les 3 opérations élémentaires sur les lignes
● Lᵢ ↔ Lⱼ : échange de deux lignes
● Lᵢ ← Lᵢ + λLⱼ (i≠j) : ajout d'un multiple d'une autre ligne
● Lᵢ ← λLᵢ, λ≠0 : multiplication par un facteur non nul
⚠ Attention
Lᵢ ← λLⱼ (i≠j) et Lᵢ ← 0×Lᵢ NE SONT PAS des opérations élémentaires : elles peuvent changer l'ensemble des
solutions !
Proposition
Deux systèmes qui diffèrent d'un nombre fini d'opérations élémentaires ont le même ensemble de solutions.
3. Échelonnement et pivot de Gauss
Système échelonné / échelonné réduit
Échelonné : à partir de la 2e ligne, le 1er coefficient non nul est strictement à droite de celui de la ligne
précédente ; les lignes nulles sont regroupées en bas.
Le premier coefficient non nul d'une ligne s'appelle le pivot.
Échelonné réduit : de plus, chaque pivot vaut 1 et est le seul coefficient non nul de sa colonne.
Méthode — Algorithme du pivot de Gauss
● 1) Repérer la première colonne non nulle Cⱼ, un coefficient non nul dedans → l'amener en L₁
(échange).
● 2) Normaliser : L₁ ← (1/a₁ⱼ)L₁ pour avoir un pivot = 1.
● 3) Annuler les autres coefficients de Cⱼ : Lᵢ ← Lᵢ − aᵢⱼL₁.
● 4) Recommencer sur le sous-système (on retire la 1ère ligne et les j premières colonnes).
● 5) Pour la forme réduite : remonter et annuler au-dessus de chaque pivot.
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FICHE 3 — Inégalités
1. La relation d'ordre ⩽ sur ℝ
Propriétés de ⩽
⩽ est réflexive, antisymétrique, transitive : c'est une relation d'ordre TOTALE sur ℝ (deux réels sont toujours
comparables).
RÈGLES D'OR — opérations sur les inégalités
● Avant de multiplier une inégalité par λ : vérifier que λ > 0 (sinon, on inverse le sens).
● Pour multiplier membre à membre : vérifier que TOUS les membres sont positifs.
● NE JAMAIS soustraire ni diviser deux inégalités directement — plantage assuré.
● Pour encadrer x−y à partir d'encadrements de x et y : encadrer d'abord −y, puis additionner.
● (x⩽y) ⇒ (−y⩽−x) ; si 0<x⩽y alors 0<1/y⩽1/x (x↦−x et x↦1/x sont décroissantes).
2. Valeur absolue
Définition
|x| = x si x⩾0 , |x| = −x si x⩽0 (distance de x à 0)
Propriétés de la valeur absolue
● |x| ⩾ 0, et |x|=0 ⇔x=0
● |xy| = |x|·|y| (donc |−x|=|x|)
● Inégalité triangulaire : |x+y| ⩽ |x|+|y|
● 2e inégalité triangulaire : ||x|−|y|| ⩽ |x+y|
Intervalle centré
L'ensemble des solutions de |x−c| ⩽ r est l'intervalle [c−r, c+r] (centré en c, de rayon r).
3. Intervalles, parties majorées/minorées/bornées
Intervalles
]a,b[ = {x∈ ℝ : a<x<b} ; on définit de même [a,b], [a,b[, ]a,b].
Une partie I est un intervalle ⟺pour tous x,y∈ I avec x⩽y, [x,y]⊂I (on dit alors que I est convexe).
Majorant / minorant / borné
● A majorée : ∃ M∈ ℝ, ∀ x∈ A, x⩽M
● A minorée : ∃ m∈ ℝ, ∀ x∈ A, x⩾m
● A bornée ⟺A majorée ET minorée ⟺∃ M⩾0, ∀ x∈ A, |x|⩽M
● Maximum = majorant qui appartient à A (unique s'il existe). Idem minimum.
À retenir
Une partie peut être majorée sans avoir de maximum (ex : ]−∞,1[).
Toute partie non vide de ℕ admet un minimum ⟹toute partie non vide majorée de ℤ admet un maximum.
4. Partie entière
ℝ est archimédien / partie entière
Pour tout x∈ ℝ, il existe un unique n∈ ℤ (noté ⌊ x⌋ ou E(x)) tel que :
⌊ x⌋ ⩽ x < ⌊ x⌋ + 1
⌊ x⌋ est le plus grand entier inférieur ou égal à x.
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5. Méthode générale pour une inéquation
Méthode
● 1) Déterminer le domaine de définition D des deux membres.
● 2) Si D est une réunion d'intervalles disjoints, résoudre sur chacun séparément.
● 3) Si on utilise une implication (⇒) et non une équivalence, vérifier ensuite quelles solutions obtenues
sont bien solutions du problème initial.
● Valeur absolue dans une inéquation → élever au carré (en justifiant la positivité) ou distinguer les
signes.
● Racine carrée → isoler la racine avant d'élever au carré (sous hypothèse de signe).
● Outils : factorisation, étude de fonction (signe / dérivée), changement de variable, formule du conjugué
√a−√b = (a−b)/(√a+√b).
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FICHE 4 — Trigonométrie
1. Cercle trigonométrique
cos et sin
Sur le cercle unité, pour A d'angle θ (arc orienté depuis I) : A a pour coordonnées (cos θ, sin θ).
2π-périodicité : sin(θ+2π)=sin(θ), cos(θ+2π)=cos(θ).
Formule fondamentale
sin²(θ) + cos²(θ) = 1
(Pythagore)
Congruence modulo 2π
a ≡ b [2π] ⟺ ∃ k∈ ℤ, a = b+2kπ
cos(θ)=cos(φ) et sin(θ)=sin(φ) ⟺ θ ≡ φ [2π].
2. Parité et transformations remarquables
Parité
sin(−θ) = −sin(θ) (impaire)
Décalages classiques
● sin(θ+π) = −sin(θ)
● sin(θ+π/2) = cos(θ)
● sin(π−θ) = sin(θ)
● sin(π/2−θ) = cos(θ)
cos(−θ) = cos(θ) (paire)
cos(θ+π) = −cos(θ)
cos(θ+π/2) = −sin(θ)
cos(π−θ) = −cos(θ)
cos(π/2−θ) = sin(θ)
3. Valeurs remarquables
θ
0
π/6
π/4
π/3
π/2
sin θ
0
1/2
√2/2
√3/2
1
cos θ
1
√3/2
√2/2
1/2
0
tan θ
0
√3/3
1
√3
N.D.
4. Formules d'addition et de multiplication
Formules d'addition (à connaître par cœur)
cos(a+b)=cos a cos b − sin a sin b
sin(a+b)=sin a cos b + cos a sin b
cos(a−b)=cos a cos b + sin a sin b
sin(a−b)=sin a cos b − cos a sin b
Duplication
sin(2a) = 2 sin a cos a
cos(2a) = cos²a − sin²a = 2cos²a − 1 = 1 − 2sin²a
Produit ↔ somme (à savoir retrouver, pas par cœur)
cos a cos b, sin a sin b, sin a cos b s'expriment via des sommes/différences de cos(a±b) et sin(a±b).
Réciproquement : sin p ± sin q et cos p ± cos q se factorisent en produits, en posant a=(p+q)/2, b=(p−q)/2.
5. Fonction tangente
Définition et domaine
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tan(θ) = sin(θ)/cos(θ)
Domaine maximal : D_tan = ℝ \ {π/2 + nπ, n∈ ℤ}. tan est π-périodique.
Relations utiles
1 + tan²(θ) = 1/cos²(θ)
tan(a+b) = (tan a + tan b)/(1 − tan a·tan b)
tan(2a) = 2tan a /(1−tan²a)
6. Dérivabilité
Dérivées à connaître
sin′ = cos
cos′ = −sin
tan′ = 1+tan² = 1/cos²
Point de départ : encadrement |sin t| ⩽ |t| ⩽ |tan t| sur ]−π/2, π/2[, d'où lim sin(t)/t = 1 en 0.
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