Mécanique Relativiste : Conservation de l'Énergie & Quantité de Mouvement

Université Catholique du Graben
Faculté des Sciences Appliquées
Département de Génie Civil
Exposé de Mécanique Rationnelle 2
Conservation de la Quantité de Mouvement et de l’Énergie des Particules en
Dynamique Relativiste
Présenté par:
KAKULE TSONGO Exaucé
Promotion:
L2 Génie Civil
Titulaire du cours:
C.T. MAAGANO
Année Académique: 2025 - 2026

Introduction
En mécanique rationnelle et plus particulièrement dans le cadre de la dynamique relativiste, l'étude des interactions et
des collisions entre particules repose sur des invariants fondamentaux. Contrairement à la mécanique newtonienne où
la masse est une grandeur intrinsèquement conservative et indépendante du mouvement, la relativité restreinte fusionne
les concepts d'énergie et de masse, modifiant ainsi les équations de bilan lors des chocs élastiques et inélastiques.
I. Énergie et Quantité de Mouvement d'un Photon
Pour une particule de masse au repos nulle telle que le photon, la relation fondamentale d'Einstein reliant l'énergie E, la
quantité de mouvement p et la masse m se simplifie de manière rigoureuse. La relation de dispersion générale s'écrit :
E2 = p2c2 + m2c4
Puisque la masse au repos du photon est nulle (m = 0), nous obtenons directement la formulation linéaire :
E = p · c = h · ν
En isolant le vecteur impulsionnel ou la norme de la quantité de mouvement du photon, l'écriture formelle en mécanique
rationnelle devient : p = (h · ν) / c
Où h représente la constante de Planck, ν la fréquence de l'onde électromagnétique associée, et c la vitesse de la lumière
dans le vide.
II. Invariance et Conservation pour un Système de Particules
1. Conservation de la quantité de mouvement totale
Pour un système isolé de N particules subissant des collisions, la somme vectorielle des quantités de mouvement
individuelles avant le choc est rigoureusement égale à la somme vectorielle après le choc. Cette loi macroscopique
s'énonce ainsi :
Au cours d'une collision entre particules, la quantité de mouvement totale du système se conserve.
2. Conservation de l'énergie totale
Parallèlement, l'énergie totale du système, incluant à la fois l'énergie au repos (liée à la masse) et l'énergie cinétique des
particules, demeure invariante :
L'énergie totale d'un système isolé se conserve au cours d'une collision.
On distingue alors mathématiquement deux types de collisions :
● Collisions élastiques : Le nombre et la nature des particules restent inchangés, et l'énergies propres (masses au
repos) se conservent individuellement.

● Collisions inélastiques : Le nombre ou la nature des particules varient, induisant un transfert entre l'énergie
cinétique et l'énergie de masse.
III. Définition Analytique du Défaut de Masse
]En mécanique rationnelle relativiste, la pseudo-norme du quadrivecteur énergie-impulsion est un invariant de Lorentz.
Pour un système de particules, la masse totale M (qui n'est plus additive) se définit en fonction de l'énergie totale E et
de l'impulsion globale p selon l'expression :
M = (1 / c2) · √(E2 - p2c2)
Cette formule démontre de façon sous-jacente que la masse d'un système lié ou en interaction est différente de la somme
des masses de ses constituants pris isolément.
IV. Développement Mathématique d'une Collision Inélastique
Considérons la formation d'une particule unique A3 à partir de la collision inélastique d'une particule A1 en mouvement
sur une particule A2 initialement fixe au repos dans le référentiel du laboratoire :
A1 + A2 → A3
1. Équations de base et invariants
La particule A2 étant immobile, sa quantité de mouvement est nulle (p→2 = 0→) et son énergie se réduit à son énergie
au repos. Les lois de conservation imposent :
p→1 = p→3
E1 + m2c2 = E3
2. Démonstration de l'inégalité des masses
En appliquant la relation de dispersion relativiste à la particule finale A3 de masse M :
M2c4 = E32 - p32c2
En substituant les termes conservés de l'état initial, nous obtenons :
M2c4 = (E1 + m2c2)2 - p12c2
Développons le carré de l'expression :
M2c4 = E12 + m22c4 + 2E1m2c2 - p12c2
Sachant que pour la particule A1 isolée, nous avons l'identité fondamentale E12 - p12c2 = m12c4, l'équation se simplifie
ainsi :

M2c4 = m12c4 + m22c4 + 2E1m2c2
En divisant chaque membre par c4 :
M2 = m12 + m22 + (2E1m2) / c2
Afin de faire apparaître l'identité remarquable du carré de la somme des masses (m1 + m2)2 = m12 + m22 + 2m1m2, nous
pouvons réagencer le dernier terme :
M2 = (m1 + m2)2 + (2m2 / c2) · (E1 - m1c2)
Puisque la particule A1 possède une énergie cinétique non nulle, son énergie totale est strictement supérieure à son
énergie au repos (E1 > m1c2). Par conséquent, le second terme de l'égalité est strictement positif, ce qui valide
formellement la conclusion fondamentale de la mécanique rationnelle moderne :
M > m1 + m2
V. Énergie de Liaison Atomique et Applications Nucléaires
Le défaut de masse trouve une application cruciale dans l'analyse de la stabilité des noyaux atomiques. Pour un noyau
de symbole ZAX composé de Z protons et de A-Z neutrons, l'énergie de liaison El correspond à l'équivalent énergétique
de la différence de masse entre les nucléons séparés et le noyau lié :
El = [ Z·mp + (A - Z)·mn - m ] · c2
1. Bilan énergétique d'une réaction de fission
Pour la réaction de fission de l'Uranium 235 induite par un neutron :
92235U + n → 3995Y + 53138I + 3n
Le développement rigoureux du bilan énergétique (Er,l) montre que les termes de masse des protons libres (92 d'un côté
et 39 + 53 de l'autre) ainsi que des neutrons libres (144 de chaque côté) s'annulent de façon exacte. Le calcul se simplifie
uniquement en fonction des énergies de liaison :
Er,l = -El(Y) - El(I) + El(U)
2. Relation avec la courbe d'Aston
En introduisant la grandeur B = -El / A représentant l'énergie de liaison par nucléon issue de la courbe d'Aston, l'équation
prend sa forme finale calculable :
Er,l = -95·B(Y) - 138·B(I) + 235·B(U)
L'analyse expérimentale montre que les produits de fission (Yttrium et Iode) possèdent une énergie de liaison par
nucléon plus stable (située plus bas sur la courbe d'Aston) que le noyau lourd d'Uranium. Ainsi, la valeur numérique de
Er,l est strictement négative, traduisant une libération massive d'énergie sous forme cinétique récupérable.