Logiques Mathématiques - Cours et Exercices

Logiques Math´ematiques
Abdoul Salam DIALLO 1
Universit´e Alioune DIOP de Bambey
UFR SATIC, D´epartement de Math´ematiques
B.P. 30, Bambey, S´en´egal
Introduction
Au d´epart de toute th´eorie math´ematique se trouve un petit nombre d’´enonc´es
que l’on pose comme vrais `a priori (on les appelle des axiomes ou postulats)
`a partir desquels se d´eduisent d’autres r´esultats. Un r´esultat math´ematique
qui m´erite d’ˆetre retenu est en g´en´eral qualifi´e de proposition. Suivant son
importante dans le cadre d’une th´eorie donn´ee, un r´esultat math´ematique peut
ˆetre qualifi´e de:
Proposition ou assertion ou affirmation: est un r´esultat math´ematique
vrai ou faux.
Th´eor`eme: est un r´esultat math´ematique d’une importance majeure.
Corollaire: est une cons´equence importante d’un th´eor`eme.
Lemme: est un r´esultat math´ematique d’une importance mineure qui per-
met `a l’´etablissement d’un th´eor`eme de plus grande importance.
Conjecture: est un r´esultat math´ematique que l’on suppose vraie sans
parvenir `a la d´emontrer.
Un r´esultat math´ematique est un ´enonc´e vrai qui se d´emontre. C’est donc
un ´enonc´e que l’on peut d´eduire `a partir d’axiomes ou postulats ou d’autres
r´esultats math´ematiques ´etablis en s’appuyant sur des r`egles de logique.
Les math´ematiques modernes sont bˆaties de la fa¸con suivante:
on part d’un petit nombre d’affirmations, appel´ees axiomes ou postulats,
suppos´ees vraies `a priori et que l’on ne cherche donc pas `a d´emontrer;
on suppose que certaines affirmations sont vraies, comment montrer qu’une
affirmation donn´ee est vraie;
on d´efinit ensuite la notion de d´emonstration en d´ecidant par exemple de
ce qu’est une implication, une ´equivalence,...;
on d´ecide enfin de qualifier de vraie toute affirmation obtenue en fin de
d´emonstration.
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A partir des axiomes, on obtient donc des th´eor`emes qui viennent petit `a petit
enrichir la th´eorie math´ematique.
Par exemple, la g´eom´etrie euclidienne est bas´ee sur cinq axiomes. L’un de ces
axiomes est le postulat num´ero 5 qui stipule que par un point donn´e passe une
et une seule droite parall`ele `a une droite donn´ee.
Le but de chapitre est de pr´eciser certaines r`egles de logique sur lesquelles nous
nous appuierons pour justifier les raisonnements utilis´es dans les d´emonstrations
math´ematiques.
1 Propositions
Definition 1.1. On appelle proposition un ´enonc´e qui est vrai dans certaines
conditions, faux dans d’autres, mais dont on peut toujours dire s’il est vrai ou
s’il est faux.
La propri´et´e essentielle d’une proposition Pest donc d’ˆetre dot´ee de l’une des
valeurs de v´erit´e: V (vraie) ou F (fausse).
Example 1.1. P(n):nest un multiple de 5. Quand on donne une valeur `a n,
on a:
Pour n= 10,P(10) devient: 10 est un multiple de 5est une proposition
vraie.
Pour n= 13,P(13) devient: 13 est un multiple de 5est une proposition
fausse.
Example 1.2. Q(n):nest un nombre entier et nest multiple de 2est une
proposition vraie pour les nombres pairs mais fausse pour les nombres impairs.
Definition 1.2. On appelle assertion une proposition qui est toujours vraie ou
qui est toujours fausse.
Remarque 1.1. Une assertion est un ´enonc´e math´ematique auquel on peut
attribuer la valeur de v´erit´e vraie (V)ou fausse (F)mais jamais les deux `a la
fois.
Example 1.3. Les ´enonc´es suivants sont des assertions:
7>5;
√7est un nombre rationnel;
cos(nπ)=(−1)n;
5×6 = 60.
Remarque 1.2. Une assertion est une proposition (ou pr´edicta) sans variable.
Example 1.4. L’´enonc´e P(x, A)d´efini par x∈Aest un pr´edicat `a deux vari-
ables.
P(1,N)est une assertion vraie.
P(√2,Q)est une assertion fausse.
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2 Les connecteurs logiques
A partir d’une ou plusieurs assertions (ou propositions), on peut en construire
d’autres propositions. C’est l’objet de la section suivante.
2.1 N´egation
Definition 2.1. (N´egation) Soit Pune proposition. La n´egation de Pest la
proposition not´ee ePet on lit (non P) qui
est vraie si Pest fausse;
fausse si Pest vraie.
La valeur de v´erit´e de ePen fonction de celle de Pest donn´ee par un tableau
appel´e table de v´erit´e de eP
PeP
V F
F V
Example 2.1. Soit la proposition : 32 est un mulitple de 2. Il s’agit d’une
proposition vraie. Sa n´egation est : 32 n’est pas un mulitple de 2. Il s’agit
d’une proposition fausse.
Example 2.2. La n´egation de la proposition x≥0est x < 0et non pas x≤0.
Example 2.3. La n´egation de la proposition x∈Aest x /∈A.
Proposition 2.1. Soit Pune proposition. Alors on a: e(eP) = P
Proof. On montre facilement que e(eP) et Pont les mˆemes valeurs de v´erit´e.
En effet, on a:
PePe(eP)
V F V
F V F
Remarque 2.1. (Principe du tiers-exclu) Une proposition est vraie ou alors sa
n´egation est vraie, et inversement. Autrement dit, la n´egation de la n´egation
d’une proposition est ´equivalante `a la proposition initiale.
Remarque 2.2. On utilise aussi la notation Ppour d´esigner la n´egation de la
proposition P.
2.2 Conjonction
Definition 2.2. (Conjonction) Soient Pet Qdeux propositions. On appelle
conjonction de Pet Q, la proposition not´ee P∧Qet on lit (Pet Q) qui
est vraie si Pet Qsont vraies simultan´ement ;
est fausse dans les autres cas.
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La valeur de v´erit´e de P∧Qen fonction de celle de Pet Qest donn´ee par un
tableau appel´e table de v´erit´e de P∧Q. On a la table de v´erit´e de la proposition
P∧Q:
P Q P ∧Q
V V V
V F F
F V F
F F F
Example 2.4. Soit la proposition P(x)d´efinie par: x≤1pour tout x∈R, et
la proposition Q(x)d´efinie par: x≥2pour tout x∈R. Alors la proposition
P(x)∧Q(x)est d´efinie par:
x≤1et x≥2pour tout x∈R.(1)
Remarque 2.3. On a toujours: P∧P=P.
Proposition 2.2. Soiet P, Q et Rtrois propositions. Alors on a:
P∧Q=Q∧P
(P∧Q)∧R=P∧(Q∧R).
Proof. On montre que les propositions ont les mˆemes valeurs de v´erit´e.
2.3 Disjonction
En fran¸cais, il existe deux significations du mot ou. Il y’a le ou inclusif qui
signifie soit l’un, soit l’autre, soit les deux et le ou exclusif qui signifie soit l’un,
soit l’autre, mais pas les deux. On notera le ou inclusif par ∨et le ou exclusif
par W.
2.3.1 Disjonction inclusive
Definition 2.3. (Disjonction inclusive) Soient Pet Qdeux propositions. On
appelle disjonction inclusive de Pet Q, la proposition not´ee P∨Qet on lit (P
ou Q) qui
est fausse si Pet Qsont fausses;
est vraie dans les autres cas.
La valeur de v´erit´e de P∨Qen fonction de celle de Pet Qest donn´ee par un
tableau appel´e table de v´erit´e de P∨Q. On a la table de v´erit´e de P∨Q
P Q P ∨Q
V V V
V F V
F V V
F F F
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Example 2.5. Soit le pr´edicat P(x)d´efini par: x≤1pour tout x∈R, et le
pr´edicat Q(x)d´efini par: x≥2pour tout x∈R. Alors le pr´edicat P(x)∨Q(x)
est d´efini par
x≤1ou x≥2pour tout x∈R.
Il est vrai si x∈]− ∞; 1] ∪[2; +∞[et faux si x∈]1; 2[.
Remarque 2.4. On a toujours : P∨P=P.
Proposition 2.3. Soiet P, Q et Rtrois propositions. Alors on a:
P∨Q=Q∨P
(P∨Q)∨R=P∨(Q∨R).
Proof. On montre que les propositions ont les mˆemes valeurs de v´erit´e.
2.3.2 Disjonction exclusive
Definition 2.4. (Disjonction exclusive) Soient Pet Qdeux propositions. On
appelle disjonction exclusive de Pet Q, la proposition not´ee P∨ ∨Qet on lit
(ou Pou Q) qui
est vraie si une et une seule des propositions Pou Qest vraie;
et fausse dans les autres cas.
La valeur de v´erit´e de P∨∨Qen fonction de celle de Pet Qest donn´ee par un
tableau appel´e table de v´erit´e de P∨ ∨Q. On a la table de v´erit´e de P∨ ∨Q
P Q P ∨ ∨Q
V V F
V F V
F V V
F F F
Proposition 2.4. (Lois de Morgan) Soient Pet Qdeux propositions. On a:
1. e(P∧Q)=(eP)∨(eQ).
2. e(P∨Q)=(eP)∧(eQ).
Proof. On a:
1. On d´emontre la premi`ere `a l’aide d’une table de v´erit´e.
2. On a la deuxi`eme d’apr`es la table de v´erit´e suivante:
P Q P ∨Qe(P∨QePeQ(eP)∧(eQ)
V V V F F F F
V F V F F V F
F V V F V F F
F F F V V V V
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