Dériver matricielle: Matrice Dérivation Formules

D´erivation matricielle
May 19, 2010
1 D´efinition
1.1 D´eriv´ee d’une matrice par rapport `a une variable
t
Soit 𝐴(𝑛, 𝑝) une matrice d’´el´ements 𝑎𝑖𝑗 .
𝑑𝐴
𝑑𝑡 = matrice textit(n,p) d’´el´ements 𝑑𝑎𝑖𝑗 𝑑𝑡
RQ
𝐴peut ˆetre un vecteur (𝑛, 1)
1.2 D´eriv´ee d’un faonction par rapport `a une matrice
Soit 𝑢une fonction des variables 𝑎11, 𝑎12, . . . , 𝑎𝑖𝑗, . . . , 𝑎𝑛𝑝 et 𝐴(𝑛, 𝑝)
la matrice d’´el´ements 𝑎𝑖𝑗 .
𝑑𝑢
𝑑𝐴 = matrice (𝑛, 𝑝) d’´el´ements ∂𝑢 ∂𝑎𝑖𝑗
EX
Soient 𝐴un vecteur (𝑛, 1) d’´el´ements 𝑎𝑖et 𝑋un vecteur (𝑛, 1)
d’´el´ements 𝑥𝑖
𝑢=𝐴′𝑋=𝑋′𝐴=
𝑖=1
𝑎𝑖𝑥𝑖
1

𝑑𝑢
𝑑𝑋 = vecteur (𝑛, 1) d’´el´ements ∂𝑢 ∂𝑥𝑖
=∂𝑛
𝑗=1 𝑎𝑗𝑥𝑗
∂𝑥𝑖
=𝑎𝑖
donc 𝑑𝐴′𝑋
𝑑𝑋 =𝑑𝑋′𝐴 𝑑𝑋 =𝐴
RQ importante : la d´eriv´ee ∂𝑢
∂𝑥𝑖n’est ´egale `a 𝑎𝑖que si aucun
𝑋𝑗(𝑗∕= 1) n’est une fonction de 𝑋𝑖. De mˆeme, dans toute
la suite ou supposera g´en´eralement que les ´el´ements 𝑥𝑖sont
ind´ependants les uns des autres, i.e. qu’aucun 𝑥𝑖n’est fonction
des autres 𝑥𝑗.
2

2 Formulaire
𝑑𝑌 ′𝑋
𝑑𝑋 =𝑑𝑋′𝑌 𝑑𝑋 =𝑌 𝑋(𝑛, 1), 𝑌 (𝑛, 1)
𝑑𝑋′𝑀𝑌
𝑑𝑀 =𝑋′𝑌 𝑋(𝑛, 1), 𝑌 (𝑝, 1), 𝑀(𝑛, 𝑝)
𝑑𝑋′𝑀𝑌
𝑑𝑀′=𝑌′𝑋 𝑋(𝑛, 1), 𝑌 (𝑝, 1), 𝑀 (𝑛, 𝑝)
𝑑𝑋′𝑀𝑋
𝑑𝑋 =𝑀𝑋 +𝑀𝑋′𝑀(𝑛, 𝑛), 𝑋(𝑛, 1)
𝑑𝑋′𝑀𝑋
𝑑𝑋 = 2𝑀𝑋 si 𝑀est sym´etrique
𝑑𝑀𝑁
𝑑𝑡 =𝑀𝑑𝑁 𝑑𝑡 +𝑑𝑀 𝑑𝑡 𝑁 𝑀(𝑛, 𝑝), 𝑁(𝑝, 𝑞)
𝑑𝑀−1
𝑑𝑡 =−𝑀1𝑑𝑀 𝑑𝑡 𝑀−1𝑀(𝑛, 𝑛)
𝑑𝑋′𝑀−1𝑋
𝑑𝑀 =−(𝑀−1)′𝑋𝑋′(𝑀−1)′𝑀(𝑛, 𝑛), 𝑋(𝑛, 1)
𝑑𝑡𝑟 (𝑀𝑁 )
𝑑𝑀 =𝑀′𝑀(𝑛, 𝑝), 𝑁(𝑝, 𝑛)
𝑑𝑡𝑟 (𝑀1𝑁)
𝑑𝑀 =−(𝑀−1𝑁𝑀1)′𝑀(𝑛, 𝑛), 𝑁(𝑛, 𝑛)
𝑑𝑑𝑒𝑡(𝑀)
𝑑𝑀 =𝐵matrice des cofacteurs 𝑀(𝑛, 𝑛)
𝑑𝐿𝑜𝑔[𝑑𝑒𝑡(𝑀)]
𝑑𝑀 = (𝑀−1)′𝑀(𝑛, 𝑛)
RQ : Ces formules supposent l’ind´ependance entre les ´el´ements
de la matrice 𝑀, ou du vecteur 𝑋. Elles doivent ˆetre revues dans
le cas o`u, par exemple, ou d´erive par rapport `a une matrice 𝑀
sym´etrique.
3

3 Recherche d’extrˆemum
3.1 Extrˆemum sans contrainte
Soit une fonction 𝐹(𝑢) dans laquelle 𝑢est une variable, un vac-
teur ou une matrice.
On recherche la valeur de 𝑢qui rend 𝐹(𝑢) extrˆemale (mini-
male ou maximale). Cette valeur est donn´ee par l’´equation :
𝑑𝐹 (𝑢)
𝑑𝑢 = 0
3.2 Extrˆemum avec contrainte
On d´esire trouver la valeur de 𝑢qui rend 𝐹(𝑢) extrˆemale sous
la contrainte 𝐺(𝑢) = 0.
On d´efinit alors le ”Lagrangien” comme la fonction de 𝑢suiv-
ante :
𝐿(𝑢) = 𝐹(𝑢)−𝜆𝐺(𝑢)
o`u 𝜆∈ℝest appel´e multiplicateur de Lagrange.
La valeur de 𝑢est donn´ee par le syst`eme 𝑑𝐿(𝑢)
𝑑𝑢 = 0
𝐺(𝑢) = 0
RQ :La m´ethode du lagrangien s’´etend ais´ement `a plusieurs
contraintes. Ainsi si 𝑢doit v´erifier 𝐺(𝑢) = 0 et 𝐻(𝑢) = 0:
𝐿(𝑢) = 𝐹(𝑢)−𝜆𝐺(𝑢)−𝜇𝐻(𝑢)
et la solution est donn´ee par
𝑑𝐿(𝑢)𝑑𝑢 = 0
𝐺(𝑢) = 0
𝐻(𝑢)=0
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