Cours Pratique de Simulation sur Calculateur Analogique

A. C. yPMAEB
nPAKTHKYM
nO MOflEJIHPOBAHHK)
HA ABM
H3HATEJlbCTBO «HAYHA»
MOCKBA
A. O U R M A E V
COURS PRATIQUE
DE SIMULATION
SUR CALCULATEURS
ANALOGIQUES
EDITIONS MIR . MOSCOU
Traduit du russe
par DilLALI EMBAREK
na fipam+yacKOM aauKe
© HsaaTejibCTBo «Hayxa» Mocxsa 1976
© Traduction française Editions Mir 1979
TABLE DES MATIERES
P r é f a c e .................................................................................................................
7
Avant-propos
9
.....................................................................................................
Chapitre premier. OPÉRATEURS ETSCHEMAS
.......................................
Chapitre 2. EXERCICES DE PROGRAMMATION DES CALCULATEURS
ANALOGIQUES.............................................................................
§ 1. Résolution d'équations différentielles o r d in a ir e s ................
§ 2. Génération de fonctionsd o n n é e s ..............................................
§ 3. Simulation de courbes planes données sous forme paramétri­
que
..................................................................................................
§ 4. Simulation de courbes planes données implicitement . . .
§ 5. Représentation graphique decourbes g a u c h e s .......................
Chapitre 3. TRAVAUX PRATIQUES ..........................................................
§ 1. Généralités sur le calculateur analogique M H -7M ................
§ 2. Technique de composition des schémas de commutation sur
le calculateur M H - 7 M .................................................................
§ 3. Résolution de problèmesde C a u c h y ..........................................
§ 4. Réduction d'un problème aux limites à un problème de Cau­
chy
.................................................................................................
§ 5. Simulation de l'équation de lac h a l e u r ...................................
11
34
34
38
49
55
61
65
65
86
92
102
107
111
Chapitre 4. DIVERS PROBLEMES DESIMULATION ...........................
§ 1. Mouvement d'un point matériel sous l'action d'un centre
attractif
.........................................................................................
lit
§ 2. Pendule d o u b l e .............................................................................
112
§ 3. Pendules liés
.............................................................................
113
§ 4. Oscillateur spatial
.................................................................
116
§ 5. Charge dans des champscroisés
..............................................
120
§ 6. Système bielle-manivelle
.........................................................
124
§ 7. Hystérésis
......................................................................................... ^126
6
TABLE DES MATIERES
§ 8. Représentation d'une courbe g a u c h e ..............................
129
$ 9. CourbeJsur une quadrique
.....................................................
134
§ 10. Représentation graphique d’une surfacede révolution . .
139
§ 11. Graphe de la solution de l’équation de la chaleur. . . .
143
§ 12. Graphe de la solution de l’équation de P o is s o n ........
148
§ 13. Minimisation d’une fonctionnelle
.....................................
153
§ 14. Redressement avec filtrage
.................................................
157
$ 15. Modulation d’amplitude et détection
.......................
159
§ 16. Génération d’oscillations ........................................................
163
§ 17. Excitation paramétrique (paramétron)
................................
166
169
§ 18. Propagation d’une é p i d é m i e ....................................................
§ 19. Interaction de populations
....................................................
171
Annexe
...........................................................................................................
Représentation suggestive des résultats de la simulation mathé­
matique .....................................................................................................
175
175
PRÉFACE
Le rôle pédagogique des techniques du calcul est reconsidéré
dans les écoles techniques supérieures d’U.R.S.S. D’objet d’étude,
le calculateur se transforme en outil permettant une assimilation
efficace des processus et phénomènes de la simulation mathéma­
tique. La matérialisation de cette nouvelle fonction « pédagogique »
des calculateurs implique l’enseignement précoce de la programma­
tion dès le second ou le troisième semestre et ne se justifie que si l ’on
dispose d’une littérature didactique adaptée au niveau des étudiants
du second cycle. Mais la situation est loin d’être satisfaisante,
notamment en ce qui concerne la simulation mathématique sur
calculateurs analogiques.
Les manuels destinés à l ’initiation des élèves de première et
deuxième année aux calculateurs analogiques faisant défaut, le
Cours pratique en question tente de remédier à cette carence. Par
son contenu, sa méthode et le caractère de l ’exposé, ce cours poursuit
le même objectif que les « Eléments de simulation sur calculateurs
analogiques » du même auteur, savoir familiariser les élèves de
première et seconde année avec la programmation et la manipulation
des calculateurs analogiques dans une perspective d ’application
à l’étude de disciplines scientifiques générales.
Ce cours généralise les acquis de dix ans de travaux de l ’Institut
de l’Acier et des alliages sur la mise au point d’un système d ’utili­
sation permanente des calculateurs à tous les degrés de l ’enseigne­
ment. Nous exprimons l ’espoir que l ’édition de cet ouvrage fera
profiter les instituts similaires du fruit de notre travail.
S . EmélianoVj
membre correspondant de
l'Académie des sciences de l ’LI.R.S.S.
AVANT-PROPOS
Le cours pratique est articulé sur quatre chapitres.
Le premier est introductif. Il renferme un grand nombre d ’exer­
cices sur l’établissement d’une correspondance entre les schémas
fonctionnels, les circuits électriques et les expressions mathématiques
réalisées. Ces exercices ont pour but de faire assimiler à l’étudiant
les symboles et le langage de la programmation des calculateurs
analogiques (langage des organigrammes).
Le second chapitre est consacré aux problèmes de la programma­
tion des calculateurs analogiques, relatifs au câblage d ’équations
différentielles ordinaires données sous forme de problèmes de Cauchy.
Les problèmes abordés se rapprochent au maximum du niveau des
premiers semestres et portent sur l’étude, avec la machine, de fonc­
tions et de courbes connues des cours d’analyse mathématique, de
géométrie analytique et de géométrie descriptive.
Le troisième chapitre se fixe deux objectifs: d’abord rompre
l’étudiant au maniement d’un calculateur analogique, en l’occur­
rence le MH-7M, et ensuite développer les principales méthodes de
simulation mathématique de processus physiques décrits par des
problèmes de Cauchy, des problèmes aux limites et des équations
différentielles aux dérivées partielles.
Le quatrième chapitre est appliqué. Il contient une vingtaine
d’exercices de simulation mathématique empruntés à diverses dis­
ciplines.
Le diagramme suivant nous semble le plus favorable à l’assimi­
lation du « Cours pratique » :
-Ch. 2, §§3à 5.
Ch. 1 Ch. 2, § 1 Ch. 3,§§ 1, 2 -*Ch.2, § 2 (
^C h . 4
N Ch. 3 ,§ § 3 à 5 /
où Ch. désigne le chapitre.
L’auteur tient à exprimer sa profonde gratitude à S. E m é 1 i a n o v, membre correspondant de l’Académie des sciences de
10
AVANT-PROPOS
l’U.R.S.S., dont l’attention, l ’intérêt et l’aide ont contribué à la
formation et l ’orientation des principales conceptions pédagogiques.
L’auteur est également profondément reconnaissant aux profes­
seurs B. A n i s s i m o v et L. P r e s n o u k h i n e dont les
critiques bienveillantes et les conseils ont considérablement influencé
l’essence des « Eléments de simulation sur calculateurs analogiques »
et du <<Cours pratique de simulation ».
CHAPITRE PREMIER
OPÉRATEURS ET SCHÉMAS
Dans les exercices des planches PI à P29, on demande d'établir
une correspondance entre les circuits électriques, les schémas fonc­
tionnels et les expressions mathématiques.
Pour faciliter la résolution des exercices, on a donné sur la
figure 1.1 un tableau des principaux opérateurs avec les circuits
électriques et les schémas fonctionnels correspondants, ainsi que les
expressions mathématiques réalisées.
E xemple 1.1. Etablir une correspondance entre les circuits
électriques des opérateurs de la planche PI et les schémas fonction­
nels des opérateurs de la planche P2.
En utilisant le tableau de la figure 1.1 et en calculant les coef­
ficients de transfert des opérateurs, on trouve les équivalents fonc­
tionnels des circuits électriques donnés. La solution du problème
est représentée sous forme du diagramme de correspondance de la
figure 1.2. Les six numéros supérieurs figurent les circuits de P I,
les huit numéros inférieurs, les schémas de P2. L ’équivalence est
traduite par un segment reliant les numéros supérieurs aux infé­
rieurs. A l ’examen du diagramme on remarque qu’à deux reprises
deux circuits électriques distincts (2 ; 4 et 1 ; 3) ont le même équi­
valent fonctionnel (3 et 8). Cela veut dire que le passage d ’un schéma
fonctionnel à son équivalent électrique n ’est pas univoque.
1.1. Trouver sur P4 les équivalents électriques des schémas
fonctionnels représentés sur P3.
1.2. Trouver sur P6 les schémas fonctionnels et sur P7 les expres­
sions analytiques correspondant aux circuits électriques représentés
sur P5.
I n d i c a t i o n s . 1) On suppose que les potentiomètres des
circuits de P5 portent tous le même coefficient de transfert a.
2) Les tensions électriques ux et u2 (les variables machine) des
circuits électriques de P5 sont assimilées aux variables mathéma­
tiques x x et x 2 des schémas fonctionnels de P6.
3) La solution de l ’exercice 1.2 doit contenir un diagramme de
correspondance composé de trois groupes de numéros reliés par des
segments orientés de P5 vers P6, puis vers P7.
OPÉRATEURS ET SCHÉMAS
12
fCH. 1
Amplificateur opérationnel
y — Kx
*
- 0
- £
Amplificateur d’échelle
y = — ax
Sommateur
Tl
S '= K _
y = — 2 aJzJ
>■=i
* “»
ty{0)
Intégrateur (sommateur intégrateur)
t
n
y= — f
0
i-i
Potentiomètro
J
0 y
y —
1
Mulliplieur
z = xy
Diviseur
:-* IU
Fig. l.l
CH. 1]
OPÉRATEURS ET SCHÉMAS
K ^ 4 -tO 4 — gain
13
de l'amplificateur opé­
rationnel
— ( R
. . / R ) “*» a = /? c.r ./ /? — coeffi­
cient de transfert de l'amplificateur d'é­
chelle
uy =
c
t
71
v i /^c.r.
>J
/f.
“f "
a y = R c . t . I R j — coefficient de transfert du
sommateur pour la /-ème entrée
r*-t/c (0)+4
UXl
^■rn
f
u fi\
p
n
«»<*>=- J
S i § 7 r ‘,< + “' (0)i
0 J—1
a j = 1 / / ? —coefficient de transfert de
l'intégrateur pour la /-ème entrée
u u = (r lR ) u x ,
P = r//? —coefficient de transfert du po­
tentiomètre, o < p < 1
u2---Mxuy/100, 1/100 —échelle constructi­
ve du multiplicur
u 2 = \ 0 u x / u Jt.
V ----- - J
diviseur
Fig. 1.1
10 —échelle constructive du
14
OPÉRATEURS ET SCHÉMAS
Planche 2
[CH. 1
CH. 1]
OPÉRATEURS ET SCHÉMAS
15
4
r—
| /MS2 |-|
ri IMS h
rH^-,
0- IMS /v HtMQ h A. 0-\ IMS |- /v
0-|Æ
5/W
?|-- ( N i Hæw|-- ^ > i
*\0JMS H0.2MS3 H
<H0.5MS Hj t e^\0.2MQ Hi r
rU/A«2h
H/ ms h
«HfM S h /v H0**2h / \ 0-j ///.<?|-r "/V^
H//væh
H |-- 0 >L
«H0.1ms |eh\U5MS\-> jT
<H0.5MQ HJT 0-T7Â/5THJ T
IjÆ
Æ
aA
h
HfOMS h AV e-\ 2MS \- /V
<H0.01MQ |- ~ Ç y ~ ’ H//«2 h-/^>1 0-| IMS | - —(^>is^T mq\0-|&2ftf.QHJ T
a-\OAMS HJT
Planche 4
6
r/
X
vq y - Â X
/
«Z
*,
W
|- @ -------- ^ > ] ■
*s~® -------- ^
*>
x
:
xz
P® —
'
**-@ ------- ^
r@ —
10
•z>----------- -
%-------- £ > - , ■
V ® ------ £ 5
P© — ^
P la n c h e (»
-
&
ç >—
«
*/----------- *
*
P® —
*
—
CH. 1]
17
OPÉRATEURS ET SCHÉMAS
4) Dans certains schémas fonctionnels de P6, l'amplificateur
opérationnel (AO) est considéré comme un opérateur isolé. En écri­
vant les expressions mathématiques délivrées par ces circuits, on ne
PI
Fig. 1.2
perdra pas de vue l’importante propriété de l ’amplificateur opéra­
tionnel à contre-réaction, savoir la somme algébrique des variables
d'entrée est nulle.
7
7
4
/
- h ( x '+ 10x*>
- m <,0x'+x *)
2
5
- ( x I+î0aas2 )
8
-(x,+ 0,1ccx2)
B
3
9
-(0,1 x , +ccx2 )
- — ( x 1+10æ2)
Planche 7
Montrons sur un exemple simple comment on peut décrire le
fonctionnement d’un circuit en se servant de cette propriété.
E xemple 1.2. Trouver l ’expression de la variable za, délivrée
par le schéma de la figure 1.3, a.
2 -0 1 1 2
18
OPERATEURS ET SCHEMAS
[CH. 1
Ce schéma met en jeu un AO à contre-réaction par l ’intermé­
diaire d’un potentiomètre de coefficient de transfert {i. La propriété
formulée entraîne
+ « 2 * 2 + aaPa2a = 0.
En explicitant za, on obtient
- _
+ « 2*1
«sPs
5) Certains schémas fonctionnels de P6 renferment un sommateur
Fig. 1.3
à réaction. Montrons sur un exemple concret comment on trouve
l ’expression mathématique délivrée par un tel sommateur.
E xemple 1.3. Trouver l’expression de la variable zb (cf. fi g. 1.3, b).
Le schéma de la figure 1.3, b étant celui d ’un sommateur, on a
zb = —(«îPi^i + « 2 * 2 + « 3 pa2b)- En explicitant zb, on obtient
« _
aiPlXl
26---------- i + « . p, •
Le schéma envisagé câble, comme celui de l'exemple 1.2, le
produit d’une somme par un nombre. Dans ce dernier exemple, ce
nombre est une fraction propre. Dans l’exemple 1.2, le schéma
effectue un produit par le nombre positif l / a 3p3.
1.3. Trouver sur P9 les circuits électriques et sur P10 les expres­
sions analytiques correspondant aux schémas fonctionnels de PS
(cf. indications pour l ’exercice 1.2).
1.4. Etablir une correspondance entre les expressions analytiques
de P li, les schémas fonctionnels de P12 et les circuits électriques
de P13 (cf. indications pour l ’exercice 1.2).
1.5. Les expressions analytiques de P14 sont réalisées par trois
procédés différents (par des sommateurs sur P15, par des sommateurs
à réaction sur P16 et par des AO à réaction sur P17). On demande
de construire le diagramme de correspondance entre P14, P15, P16
et P17.
8
- - - 05X , ------------ ^
x ,------------ h
xz
f
P® —
:
4
>y £ = $ > -
X ,------------- *
iy
p ® --------
p ® ---------- 4
_
0.5
%
«
c ® —
X2 ~ ®
* i-@ —
X,
.
®
^
=
±
s
>
-
/
_
X2 ~ ® -------- ----
p ® --------
y
Planche 8
A asms
B-TÔ.2MQ h
U%B
-
^
- 1
—
IJ-H2^ J x
Uj0 —J_Æ5//f2
r x
/2e>-\â2M£2\-\
ü<o>—j G.fMQ
S rT
ojMæ,
uz a~ 1
u,e-\ QJM52 |—■
h
.------1H
h
— (< ? > -///.<?
Planche 9
[CH. 1
OPÉRATEURS ET SCHEMAS
20
|
10
1
U
-(x t +0,1ocx2)
7
5
2
- ^ x , ^ 5 x z)
3
-5(0,1
~S(xt +0,1ax2 )
+ <x.x2 )
~~2clXl Jr^X2 )
6 ,
------ (2x, +2,5x 9)
a
“
|
B
$
!
— ^
—(5x1+2xP)
~^hU 0,5XlM},ZXz) cc+1 1 * - b n iZx’ +x 2>
l
l
Planche 10
i
-(2,5xt +ouc2)
2
A
-(x }+10ccx2)
7
5
B
—2Ji(x1+kciæ2)
3
—— (2xj +x%)
- ô k lx ’ +Xl)
6
3
- h (x<+x*>
- ~ ( æ7+æ2)
Planche 11
I n d i c a t i o n s . 1) Monter trois schémas fonctionnels câblant
les expressions analytiques de P14 en utilisant un sommateur, un
sommateur à réaction et un AO à réaction.
2) Chercher les schémas analogues dans P15, P16 et P17 et cons­
truire le diagramme de correspondance.
3) Choisir entre les schémas fonctionnels réalisant une même
expression analytique celui qui semble le plus favorable.
1.6.
Trouver les équations différentielles des schémas fonction­
nels de P18. Construire le diagramme de correspondance entre P18,
12
x , ----------------
•*-©
^
—
/JL
X , ----------------
&
*,----- SL
p®---- 4> 7
*
=
t >
-
----------- |—
0----X ,
X2
X2~®---- J
*.----- s,
/
------d
X:~Q)----^P ~ p®----« y
X,
x ,
V ^ > -
Planche 12
13
-, » / H tu a h
-, u,a-{ojMS2 |-
uz»-\lM Q h
U2* -\ Q2MS2 J-
-----10,1MQ h
<•----1 iMQ h
r-|j/B 2 h
UZQ>-
6 > 0 -T 7 ^ T -
«*•
f MS2 h
u2t*-
105MS2 |—
-
—
[a/Ms
U, «H 0JMS31-
U, a>-^ÔJMQ \-
"
H iMQ k
rj iMQ h
^<5-| IMQ h
^ £ > ■*--- 10./MS2 H
Planche 13
>
J
rltf/tfi? h
uf 0—| f MQ (—
- ---- 1O.fMG H
ÿ
OPÉRATEURS ET SCHEMAS
22
[CH. t
14
/
- j ( x , + x 2)
- ( x ^ - x z)
- j (2 x ,+ x 2)
8
,1
1
\
\T X) + o x z)
-2( x r+x2)
- ( 5x j + 2 x 2 )
(2
5
i
7 X ;+ 7 X2'
Planche 14
Planche 15
/ 1
1
)
Planche 17
24
OPÉRATEURS ET SCHÉMAS
[CH. 1
19
7
4
/
y"+0,2y+0,06y-3c=0 y"-0£y-0,2y-2c=Q y"+0,1y'+3y-3c=0
8
5
2
y"+0,1y'-0.02y-c=Q y"+0,2y'+0,6y-2c=0 y"-0fy'-0,4y-2c= 0
9
6
3
y"+0,2y'-6y-2c=0
y'\0,1y'-0t8y-4c=0 y"+0,1y'-3y-c=0
Planche 19
P19 et P20. Les équations différentielles sont données dans P19,
la condition initiale y' (0) et les constantes a, b et c, dans P20.
I n d i c a t i o n s . Déduisons l’équation différentielle câblée
par le schéma fonctionnel donné.
CH. 1]
OPÉRATEURS ET SCHÉMAS
25
20
7
U
1
2
5
-0,3a.
3
8
- 3a.
+a
9
6
- 0,1a.
-a.
-0,ùa
-2a,
-Q£a
+2a
Planche 20
E x e m p l e 1.4. Trouver l ’équation différentielle câblée par le
schéma fonctionnel de la figure 1.4, a. Ce schéma comporte le sommateur intégrateur [1], sérié à l ’intégrateur [2]. Cette chaîne d ’inté­
grateurs est embrassée par une réaction par l’intermédiaire de l’in­
verseur [3] et d’un potentiomètre de coefficient de transfert p2
Fig. 1.4
De plus, dans le sommateur intégrateur [1] est réalisée une réaction
par l’intermédiaire d’un potentiomètre de coefficient de transfert
Pa.
[CH. 1
OPÉRATEURS ET SCHÉMAS
2G
Pour trouver l’équation différentielle cherchée on remontera la
chaîne d ’intégrateurs, i.e. on ira de la sortie de l ’intégrateur [2],
qui débite la variable y (/), aux entrées du sommateur intégrateur
[1] (fig. 1.4, b). L’opérateur [2) est un intégrateur qui ne délivrera
la variable y (t) que s’il reçoit la variable —y' (t)/a4, a 4 étant son
coefficient de transfert. Or la variable —y' (t)!a4 est élaborée à son
tour à la sortie du potentiomètre de coefficient de transfert p4,
donc à l ’entrée de ce dernier est appliquée la variable —
laquelle provient du sommateur intégrateur [11. On peut donc
affirmer (en décomposant mentalement les opérations de sommation
et d’intégration réalisées par le sommateur intégrateur) que dans la
section verticale des entrées du sommateur intégrateur 111, on aura
la variable
à droite, et la somme
«4P;
c a *~
y' w
— ®*p*y(t)
qui lui est égale à gauche, soit
n ’ U ) ____
«A
y' (<) —«aM (0« A ^ Ca‘ “A
Toutes réductions faites, on obtient l’équation différentielle
y' (0 + aaPsy' (0 + a a ^ P sP ^ (0 — «i«4P<c = 0.
La détermination de la valeur initiale de la variable y (t) est aisée,
car y (0) = b. Lorsqu’on cherchera la valeur initiale de y' (0t
on ne perdra pas de vue que le sommateur intégrateur [Il délivre
la variable —
(et non —y' (/)) qui pour t = 0 est égale à a,
d ’où y' (0) = —a 4p4a. Pour les schémas de la figure 1.4, on a en
définitive
y* (0 + « s M ' (0 + <*2a 4p2p4y (0 —
= 0*
y' (0) = —a 4p4fl, y (0) = b.
1.7. On demande les équations différentielles câblées par les
schémas fonctionnels de P21. Trouver la valeur initiale y' (0) de
la variable y’ (t). Construire le diagramme de correspondance à
l’aide des schémas de P21, P22, P23 (cf. indications pour l’exer­
cice 1.6).
1.8. On demande les systèmes d ’équations différentielles dont
les solutions x (J) et y (/) sont réalisées par les schémas fonctionnels
de P24. Construire le diagramme de correspondance entre P24 et
P25.
OPÉRATEURS ET SCHÉMAS
CH. 1]
27
Planche 21
22
4
7
]y " + 0 . 2 y '- ( y ') - 0 , 3 y - 0 y '+ 0 .2 y '- 9 y - 0 J y := 0 y ' - Q ! y ' - 0 . 2 y - 4 y := 0
ô
5
2
y +0, / y '+0.2y y-Q ,3 y* 0 y - Q 2 y * 9 y - û ,2 y i O y " 0 , l u '- l , 5 ( y % 9 y * 0
9
6
3
y '-ÿ ,ty '+ Q 3 y 'y -0 ,3 y = 0 y + 0 J y '+ 0 t 2 y ~ 4 y ^ 0 y ' l 0 J y ’+ 2 y 'y + 6 y - 0
Planche 22
1.9.
Trouver les équations différentielles câblées par les schémas
fonctionnels de P26. Construire le diagramme de correspondance
entre P26 et P27.
I n d i c a t i o n . Se servir de la propriété de l’amplificateur
opérationnel à contre-réaction pour composer l’équation différen­
tielle.
[CH. 1
OPÉRATEURS ET SCHÉMAS
28
23
1
4
7
+ 3a
2
5
+ 2a
8
_ CL
- 3a,
- a
3
3
B
a
9
-2 a
Z
Planche 23
Planche 24
1.10. On demande les équations différentielles câblées par les
schémas fonctionnels de P28. Construire le diagramme de corres­
pondance entre P28, P1(J et P18.
CEL 1]
OPÉRATEURS ET SCHEMAS
25
1
x'-9xy-0J?x*0
y'-x'+0,3x=0
7
4
x W6xy -y-0t2x -0 x'-0,2xy~0
y-âxy '-2y-0J2x-0 y'-10xr+xy+0,3y*0
5
Z
x'-9xy-0,2x= 0 x'-0f2xy*0
y '-S x y *0,1x =0 y'-xy+0,3y=0
e
x'*0,1x*2y-0
y'+2xy'-0,3y=0
3
6
3
x'+0,5yx'+4y=0
x'-xy'+0,1y**0 x'-y'+y=o
y'+0,6xy'-0f2y=0 y'+6xy'-2y-02x~Q y '-y x'+ 3 x~ 0
Planche 25
26
Planche 26
29
OPÉRATEURS ET SCHÉMAS
30
27
1
4
y 'W z*(yr+2y'=o y"y2+0Jy'+3y=0
7
(y")3+0Jy,+0)2y=0
z
5
8
-y',(y2+i)+ojy,=o 0j01y'-y"\(y'p+0j\=0 0,1y'-y2(y"+02)=0
B
3
y"y*+y"-0jy'=o yY -0,1y\(y2y2=0
Planche 27
Planche 28
8
Wy"(y')^3y"-03yk}
[CH. \
CH. 1]
OPÉRATEURS ET SCHÉMAS
3f
1.11. Composer les équations différentielles câblées par les
schémas fonctionnels de P29. Construire le diagramme de corres­
pondance entre P29, P22, P21.
1.12. La figure 1.5 représente trois couples de schémas fonction­
nels donnant respectivement les solutions d ’équations du second,
du troisième et du quatrième ordre. Montrer que chaque couple de
Planche 29
schémas fonctionnels résout la môme équation différentielle malgré
la différence de structure. Trouver les conditions remplies par
a, by Cy d et a*, &*, c*, d* pour que chaque couple de schémas
réalise les mêmes solutions particulières des équations différen­
tielles.
1.13.
La figure 1.6 représente quatre schémas fonctionnels.
Trouver les équations différentielles résolues; résoudre ces équations
analytiquement et étudier l’influence sur lim yj (t) (j = 1, . . ., 4)
t-~oo
des erreurs
e2, e3, s., commises pendant l’initialisation des
intégrateurs; montrer que lorsque ej = 0 (/ = l t . . ., 4), on a
yi (0 = exP (“ 0 0 = 1» . . ., 4); interpréter les résultats obtenus
32
OPÉRATEURS ET SCHÉMAS
Fig. 1.5
[CH. 1
CH. 1]
OPÉRATEURS ET SCHÉMAS
33
Fig. 1.6
en faisant intervenir la notion de « stabilité des solutions des équa­
tions différentielles ».
1.14.
Trouver l'équation différentielle réalisée par le schéma de
la figure 1.7.
Montrer en résolvant analytiquement l’équation obtenue que:
1) si z (0 > 0, lim y (f) = -^S—■- indépendamment de la con*-oo
dition initiale y0 et la vitesse de convergence croît avec p;
Fig. 1.7
2) si z (0 < 0, la quantité lim y (t) est infinie.
f—aO
Les multiplieurs de nombreux calculateurs analogiques sont
construits sur la base du schéma de la figure 1./.
3 -0 1 1 2
CHAPITRE 2
EXERCICES DE PROGRAMMATION
DES CALCULATEURS ANALOGIQUES
§ 1. Résolution d’équations différentielles ordinaires
E xemple 2.1. Monter un schéma fonctionnel donnant la solution
de l ’équation différentielle ordinaire linéaire à coefficients cons­
tants
y" (t) + aiÿ' (t) + a 0y (t) = / (t)
(2.1)
qui vérifie les conditions initiales
y' (0) = yj, y (0) = y0.
Suivant la méthode générale *), la mise au point d’un schéma fonc­
tionnel résolvant cette équation différentielle comporte six étapes.
Première étape. On résout l’équation (2.1) par rapport à la dérivée
supérieure
y" (t) = —axy' (t) — a0y (t) + / (t).
(2.2)
Deuxième étape. On représente une chaîne d ’intégrateurs montés
en série dont le nombre est égal à l’ordre de l’équation. Ici cette
chaîne comporte deux intégrateurs (fig. 2.1, a).
Troisième étape. On applique mentalement la dérivée supérieure
y” (t) à l’entrée de la chaîne et on note de gauche à droite les varia­
bles de sortie des intégrateurs (fig. 2.1, b). D’où que la variable
y” (/) provienne (nous laisserons ce problème de côté pour l’instant),
on aura la variable —y f (t) à la sortie de l’intégrateur [11 et la va­
riable y (0 à la sortie de l’intégrateur [21.
Quatrième étape. On construit le schéma fonctionnel qui réalise
le second membre de l’équation (2.2) sous réserve qu’il existe un
opérateur générant la fonction / (f), second membre de l’équation
(2.1). Ce schéma est représenté en traits pleins sur la figure 2.1, c.
Il comporte l’inverseur [11, le sommateur [2] et un générateur de la
fonction donnée —/ (/)• Le sommateur [2] délivre le second membre
de l’équation différentielle (2.2)
_________
— y' (0 — a0y (*) + / («)•
*) Voir A. O u r m a e v, E lé m e n ts d e s i m u l a t i o n s u r c a lc u la te u r s a n a lo g i q u e s , Mir, 1978, à partir du chapitre 5.
§ 1]
RÉSOLUTION D'ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES
35
Cinquième étape. La sortie du sommateur [2] est appliquée à
l’entrée de l’intégrateur [11 (fig. 2.1, d). Mathématiquement cela
veut dire que le second membre de l ’équation (2.2) est égal au premier.
Sixième étape. On donne les conditions initiales aux intégrateurs
en tenant compte des variables de sortie de ces derniers (fig. 2.1, e).
R e m a r q u e s . 1) Le schéma de la figure 2.1, e génère les
variables y ” (J), y' (/), y (t) que l’on peut étudier avec les techniques
du calcul analogique. Si la variable y ” (t) ne présente pas d ’intérêt
-{i>—
O)
Fig. 2.1
pour le problème posé, le schéma 2.1, e peut être grandement sim­
plifié par groupement des fonctions du sommateur [2] et de l’inté­
grateur [1] en un sommateur intégrateur comme le montre la figu­
re 2.1 ,/. Ceci permet de réaliser une économie d ’opérateurs mais
en revanche réduit l’information sur la solution, car la variable
y ” (t) est éliminée du schéma.
2)
Une fois que le schéma est construit, nous devons nous assurer
que la machine reproduira correctement y (t). Pour contrôler le
fonctionnement de la machine on fait appel à des relations de con­
trôle. Dans l’exemple envisagé, pour relation de contrôle on peut
3*
36
EXERCICES DE PROGRAMMATION DES CALCULATEURS ANALOGIQUES [CH. 2
prendre réquation différentielle initiale sous la forme suivante:
y” + aiy' + aoy — / (0 = 0. Le premier membre est une somme de
quatre variables. Sa réalisation implique un seul sommateur à quatre
entrées. Ces variables sont élaborées par le schéma de la figure 2.1, e
et leur sommation avec le schéma de la figure 2.2 ne présente aucune
difficulté. A la sortie du sommateur de contrôle est branché un
Fig. 2.2
voltmètre^qui devrait indiquer le zéro si la machine fonctionne
normalement, le schéma est correct et les coefficients de transfert
exacts.
2.1. Construire les schémas fonctionnels des équations diffé­
rentielles linéaires représentées sur P19. Construire le diagramme de
correspondance entre P19 et P28.
2.2. Construire les schémas fonctionnels des équations diffé­
rentielles non linéaires représentées sur P22. Construire le diagramme
de correspondance entre P22 et P29.
2.3. Construire les schémas fonctionnels des équations diffé­
rentielles linéaires et des systèmes d'équations différentielles linéaires
suivants :
14) y* + 4y = 0.
1) y" + 4y' + 3y = 0,
15) y ' + 4y' + 5y = 0.
2) 2y" + 5y' + 2y = 0.
16) yIV - y = 0.
3) y ' + 2y ’ + 10ÿ = 0.
17) yVI + y = 0.
4) y ” - S y = 0.
5) y™ _ Sy = 0.
18) 4y ' + 4y' + y = 0.
19) yv - lOy" + 3y' = 0.
6) y " + 2y' + y = 0.
20) y " + 3y* + 3y' - y = 0.
7)
+ 6y” + 6y'" = 0.
21) yIV - 5y" + 4y = 0.
8) yIV + 8y" + y = 0.
22) y" - 3y' + 2y = 0.
9) y " + y" - y' + y = 0.
10) yiv + w + 3y = 0.
23) x" = + 3 y ' + 2y,
y" = —Sx' — 2x.
11) ÿIV + V + 3y f = 0,
24) x ’ + x — 8y = 0,
12) y” + y 1 - 2y = 0.
y' — x + y = 0.
13) y" + 2y' = .0.
Lü
RÉSOLUTION D’ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES
25) x' = —x + 3y,
y' = 3x — y.
26) x' = 2x + y,
y ’ — 4y — x.
27) x' = 2y — 3x,
y ’ = y — 2x.
28) x' = x + z — y,
y' = x + y — z,
a' = 2x + y.
29) x' = x - y,
y' - y — 4x.
30) x' = x + y,
y' = 3y — 2x.
31) x' + x + 5y = 0,
y' — x — y = 0.
32) x' = 3x — y,
y' = 4x — ÿ.
33) x' - 5x - 3y = 0,
y' + 3x + ÿ = 0.
34) x' = x — 2y — z,
y' = y —X + z,
z' = x —z.
35) x' = 3x — ÿ + z,
y' = x -f y + z,
z' = 4x — y + 4z.
36) x' = 2x - y + z,
y' = x + 2y — z,
z' = x — y + 2z.
37) x' = 4y - 2z - 3x,
y' = z + x,
z' = 6x — 6y + 5z.
38) x' = 2x + y,
y' = x + 3y — z,
z' = 2y + 3z — x.
39) x ’ = 4x — y — z,
y' = x + 2y — z,
z’ = x — y + 2z.
40) x' = y — 2x — 2z,
y' = x + 2y — z,
z' = 2y + 3z — x.
41) x' = x — y + z,
y' = x + y — z,
z’ = 2z — y.
42) x' = 2x + y,
y' = 2y + 4z,
z' = X — z.
43) x' = 4x — y,
y' = 3x + y — z,
z’ = X + z.
44) x' = x — y — z,
y' = x + y.
z' = 3x + z.
45) x' = 2x + 2x — y,
y' = x + 2z,
z' = y — 2x — z.
46) x' = 2x — y — z,
y' = 3x — 2y — 3z,
z' = 2z — x + y.
47) x' = 3x — 2y — z,
y' = 3x — 4y — 3z,
z' = 2x — 4y.
48) x' = y — 2z — x,
y' = 4x -f y,
z' = 2x + y — z.
49) x' = 2x — y — z,
y' = 2x — y — 2z,
37
38
EXERCICES DE PROGRAMMATION DES CALCULATEURS ANALOGIQUES [CH. 2
z' = 2z — x + y.
50) x" = 2x —■3yy
y” = x — 3y.
51) x ” = 2y,
y = —2x.
52) x* = —y — 2 ,
— «t
2' = “ X — y.
53) x' = y + Z,
y' = 3x + Z,
z' = 3x + y.
2.4. Construire les schémas fonctionnels des systèmes d'équa­
tions différentielles représentés sur P25. Construire le diagramme de
correspondance entre P25 et P24.
E x e m p l e 2.2. Mettre au point un schéma fonctionnel de l'équa­
tion non résolue par rapport à la dérivée supérieure:
y"(y')2+ a y' + by = o.
(2.3)
Moyennant une augmentation de l'ordre de l'équation (2.3),
on obtient l’expression explicite
i f = —P 1 / (y’)2+ &y' + by] sign [(y')2]*
où p est un grand nombre positif.
En définitive on obtient l’équation différentielle du troisième
ordre résolue par rapport à la dérivée supérieure
y " = — p[y"(y')z + a y ' + by].
(2.4)
L’application de la méthode générale ne présente aucune difficulté.
R e m a r q u e . D’une façon générale, les équations (2.3) et
(2.4) ne sont pas équivalentes. Au mieux on ne peut parler que de
l’équivalence asymptotique de leurs solutions. Se référer aux « Elé­
ments de simulation sur calculateurs analogiques » pour plus de
détails.
2.5. Construire les schémas fonctionnels des équations diffé­
rentielles représentées sur P27. Construire le diagramme de corres­
pondance entre P27 et P26. Indiquer la fonction de l’amplificateur
opérationnel dans les schémas de P26.
§ 2. Génération de fonctions données
On a à générer des fonctions données d’une variable indépendante
lorsqu’on résout des équations différentielles à seconds membres,
à coefficients variables et à non-linéarités spéciales. Par ailleurs la
génération d’une fonction peut présenter de l’intérêt en soi, lors­
qu’il est nécessaire d’étudier cette fonction avec les techniques du
calcul analogique: tracé du graphe, recherche des points d’extremum, d’inflexion, des zéros, etc.
La méthode de génération de cette fonction s’appelle méthode
des équations différentielles déterminantes. Une équation différentielle
§2]
GÉNÉRATION DE PONCTIONS DONNÉES
39
est déterminante pour une fonction donnée y (t) si y (t) en est solu­
tion. La recherche de l’équation déterminante pour une fonction
donnée se ramène à une dérivation successive de cette fonction et
à l’établissement d’une relation entre les diverses dérivées.
Exemple 2.3. Composer le programme complet *) de génération
de la fonction y = t exp (—/).
La programmation comporte plusieurs étapes distinctes.
1) D é d u c t i o n d e l’é q u a t i o n d i f f é r e n t i e l l e
d é t e r m i n a n t e . Une dérivation successive de la fonction
y = t exp (—0 donne
y' = —t exp (—0 + exp (—0
ou
y' = —y + exp (—0 ;
(2.5)
y" = t exp (—t) — 2 exp (—t )
ou
y" -- —y' — exp (—*)•
(2.6)
En ajoutant les équations (2.5) et (2.6) on obtient l’équation diffé­
rentielle déterminante cherchée :
y" = - 2 y' - y , y (0) = 0, y' (0) = 1.
(2.7)
Les valeurs numériques des conditions initialës s’obtiennent par
report de / = 0 dans l’expression de la fonction et de ses dérivées.
2) S c h é m a f o n c t i o n n e l . Le schéma fonctionnel est
composé pour les variables mathématiques. Il n’est orienté sur
aucune machine concrète. On dit que le schéma fonctionnel est
banalisé. Le schéma fonctionnel exprime le principe de commutation
des opérateurs en un système de calcul simulant le problème posé.
Ainsi l’équation (2.7) est câblée par le schéma fonctionnel de la
figure 2.3, a qui est composé d’après la méthode générale.
3) Adaptation des échelles. Les variables mathématiques sont
assimilées en calcul analogique à des tensions électriques par l’inter­
médiaire de coefficients dimensionnés appelés échelles. Il faut choisir
l ’échelle des seules variables mathématiques qui sont données expli­
citement sur le schéma fonctionnel, i.e. sont délivrées à la sortie
d’un amplificateur opérationnel quelconque, dans notre cas, les
variables y et y'. On ne touchera pas à la variable y ” puisque celle-ci
n ’est restituée par aucun amplificateur opérationnel du schéma.
Les variables mathématiques y ' et y sont représentées par les ten­
sions électriques uyl = myly' et uy0 = myoy, où myl et my0 sont
les échelles des variables y ' et y . Les échelles sont assujetties à la
condition
______________
-1 0 0 V < i / < 100
V
*) Un programme complet est un programme composé jusqu'au niveau du
schéma de commutation.
40
EXERCICES DE PROGRAMMATION DES CALCULATEURS ANALOGIQUES [CH. 2
qui traduit le fait qu’aucune variable machine ne doit quitter la
plage ±100 V en dehors de laquelle les opérateurs des calculateurs
à tubes fournissent des résultats entachés d’erreurs. Aussi l’échelle
est-elle choisie d’ordinaire d’après la formule m^0 = 100 V/| ymtkx |,
car la variable machine uy0 ne peut être supérieure à 100 V. En
effet,
uy0 = myQy = 100 ■ y
I y mox I
V < 100V\
L’adaptation des échelles implique la connaissance des valeurs
maximales des variables. Calculons-les pour y et y \
La variable y (t) prend sa valeur maximale dans l’intervalle
t £ [0, oo], puisque y (0) = lim y (t) = 0. Cherchons donc la valeur
t-~oo
t = t* qui annule y ’. On a
—t exp (—1) + exp (—0 = 0,
d’où t* = 1 et ymax = «-1Pour t = 0 on a y' (0) = 1 et lim y ' (t) = 0. Vérifions mainte<-*oo
nant la valeur de la fonction y' (/) à l’intérieur de l’intervalle [0, ooj.
La condition y” (J) = 0 donne l’équation t exp (—t) — 2 exp (—/) =
= 0, d’où t** = 2 et yf (t**) = e~2. Donc, y' prend son maximum 1
* 2]
GÉNÉRATION DE FONCTIONS DONNÉES
41
pour t = 0. Les échelles sont adaptées dans des tableaux dits ta­
bleaux d'échelle.
Expliquons le contenu de la troisième colonne du tableau 2.1.
Lorsqu’on adapte les échelles on arrondit toujours par excès (pour­
quoi ?) jusqu’au plus proche nombre de la forme 10±n, 2 X 10* ,
T a b le a u
Valeur maximale
Variable
2 .1
Echelle
Symbole de
réchelle
exacte
approchée
y
c-1=0,368
0,4
129-950
0,4
50
m yo
y'
1
1
i f =100
myi
4 X 10±n où n est un entier, ceci dans le but de passer sans peine des
variables mathématiques aux tensions électriques et inversement.
4)
Mi s e au
p o i n t du
s c h é m a de c o m m u ­
t a t i o n . Le schéma de commutation est composé pour les varia­
bles machine. Il est orienté vers une machine concrète, plus précisé­
ment vers celle retenue pour résoudre le problème. Ici c’est un cal­
culateur MH-7M dont le panneau de commutation est représenté
sur la figure 3.3. Le schéma de commutation traduit le principe de
connexion des opérateurs. Il porte les numéros des opérateurs et de
leurs entrées. Il sert à composer un problème sur le panneau de com­
mutation de la machine (cf. fig. 2.3, b). Il se distingue légèrement
des schémas fonctionnels par la composition et la représentation des
opérateurs. 11 comporte notamment des potentiomètres supplé­
mentaires destinés à adapter les échelles. Ainsi le potentiomètre
disposé à l’entrée (22) *) de l’intégrateur 161 possède un coefficient
de transfert égal à 0,25 ; le produit de ce coefficient par le coefficient
de transfert fixe de l’intégrateur [6] donne un coefficient résultant
égal à 2,5. Ce nombre n’est autre que le rapport des échelles my0,’myl =
= 250/100 = 2,5. Il faut adapter les échelles, car la variable —t/'
est délivrée à l’échelle myl par l’intégrateur [5] et la variable y
à l ’échelle my0 par l’intégrateur [61. Donc, en choisissant le coeffi­
cient de transfert résultant de l ’intégrateur [6] sous forme du quo­
tient my0/myl, nous appliquons la variable —y* à l ’entrée de l ’inté­
grateur [6] avec l ’échelle my0 qu’elle a à la sortie de l’intégrateur [61.
2.6.
Composer et câbler les schémas de commutation des fonc­
tions suivantes de la variable indépendante t. Utiliser le circuit de
*) Les parenthèses désigneront le numéro de l'entrée, les crochets, celui de
l'opérateur.
42
EXERCICES DE PROGRAMMATION DES CALCULATEURS ANALOGIQUES [CH. 2
commande preprogrammee pour déterminer les zéros, les extrema et
les points d’inflexion de ces fonctions.
1) y = 1 + t + t2 + t3.
2) y = a exp (—at).
3) y — a sin dit.
4) y = b cos a)/.
5) y = a*.
6) y = / exp (—07) y = t2 exp (—08) i/ = t2 exp (—/).
9) y = (at + b) exp (—a*).
10) y = a sin w/ + b cos cot.
11) y = a sin (at cos dit.
12) y = exp (—a/) sin a)L
13) y = exp (—a/) sin (w* + \f).
14) y = exp (—a/) cos ait.
15) y = sin2 to/.
16) y = cos2 coL
17) y = cos / + t sin t.
18) y = a sh oj/.
19) y = 6 ch a)/.
20) y = a sh o>/ + b ch oü.
21) y = (1 + cos iût) cos to/.
22) y = (1 + cos ut) sin dit.
23) y =
exp (—*)•
24) y = exp (—//2) (1 + /).
25) y = cos t + sin t — 2t sin t.
26) y = t2 — 2* + 1 + exp (—t).
27) y = cos2 w/ + a exp (—/).
28) y = cos2 dit + 2/ — 1.
29) y = 1 + t2 + exp (—/).
30) y = t3 exp (—/) + sin /.
31) y = exp (1 — t) 4- cos t.
32) y = t2 exp (1 — 0 +
+ sin (1 — /).
33) y = t2 + sin t.
34) y = t2 t2 exp (—/).
35) y = 1 — exp (—t) —
— / exp (—t).
36) y = sin t — t cos t.
37) y = sh o/ + exp (—dit).
38) y = sin2 co* + sin 2ait.
39) y — cos2 dit + sin 2mt.
40) y = 1 — 3sin2 t.
I n d i c a t i o n s et e x p l i c a t i o n s .
1) On mettra en jeu des opérateurs linéaires: des sommateurs
et des intégrateurs.
2) Les fonctions sont simulées pour t É [0, oo). Si la fonction
ou ses dérivées ne sont pas bornées sur l’intervalle [0, ool il faut
se limiter à l’intervalle [0, 3] pour l’adaptation des échelles et la
simulation. Dans ce cas il est nécessaire de prévoir l’arrêt de la
machine à la condition / = 3 à l’aide d’un circuit de commande
préprogrammée.
3) Le schéma doit élaborer les variables y, y' et y” pour la déter­
mination des zéros, des extrema et des points d ’inflexion de la fonc­
tion. Lorsque ces variables s'annulent le circuit de commande pré­
programmée doit automatiquement stopper la machine, fixant ainsi
S 2]
GÉNÉRATION DE FONCTIONS DONNÉES
43
les zéros, les extrema ou les points d'inflexion de la fonction. La
valeur numérique de la valeur indépendante correspondant à tel
ou tel point « singulier » de la courbe peut être figée à l’aide d ’un
intégrateur élaborant la variable t.
4)
Les schémas de commutation sont génériques. Ils sont réalisés
pour des valeurs numériques de tous les paramètres égales à l’unité.
La durée de résolution du problème peut être modifiée pour faciliter
l’observation sur l’indicateur électronique.
2.7.
Composer les schémas fonctionnels pour la simulation des
équations différentielles linéaires et non homogènes et des systèmes
d ’équations différentielles linéaires et non homogènes suivants.
i n d i c a t i o n . Se servir de la méthode des équations diffé­
rentielles déterminantes pour ramener les équations non homogènes
données a des équations homogènes linéaires d ’ordre plus élevé.
1) y” — 2y' — 3y = exp (—t).
2) y” — y = 2 exp (—0 — t2.
3) y” — 3y 9 + 2y = sin t.
4) y0 — 5y' + 4y = 412 exp (—2/).
5) y ” 4* 3y* — 4y = exp (—4/) + i exp ( — t).
6) y” 4- 2y' — 3y = t2 exp (—t).
7) y” — 4y ’ + 8y = exp (—2/) + sin 2t.
8) y” — 9y = exp (—3/) cos t.
9) y” + y = exp (—t) sin t.
10) y” “ 5y' = 312 + sin t.
11) y* + y = At exp (—*)•
12) y" + y' — 2t = 3t exp (—/).
13) y” + y = 4 sin t.
14) y* — 3y' + 2y = t cos t.
15) «T + 4y = cos t -f cos 3t.
16) y” + 2y' + y = 61 exp (—/).
17) y” + 4 / + 4y = t exp (—21).
18) y” + 2y9 4 -2 y = exp (—t) 4- t cos t.
19) y” 4- 6y* 4-10y = 31 exp (—3f) — 2 exp (—31) cos L
20) y” 4- 8y' 4-20y = 5/ exp (—4J) sin 2t.
21) y0 4- y = 4 exp (—0 sh t.
22) y 0 4- 4y = sh t sin 2t.
44
EXERCICES DE PROGRAMMATION DES CALCULATEURS ANALOGIQUES [CH. 2
23) y ' 4- 7y' + lOy = t exp (—20 cos 5*.
24) y" + 2y' + 5y = 2t exp (—0 + exp (—0 sin 2t.
25) y” + 2y' + y = 21 exp (—2/) -+- exp (—0 sin t.
26) y” + 8 y' + 17y = exp (—4 0 U2 — 3 1 sin 0 .
27) y " + 2y ' + 4y' — 8y = exp (—20 sin 21 + 21-,
28) y " + 2y' = sin t + t cos f.
29) y ' + 6y' + 8y = 2* exp (—20 + exp (—40 sin t.
3Q) y ’ + 2y' + y = t [exp (—0 — cos t].
31) y " + y" — y' + y = 3 exp (—0 + 5* sin t.
32) y ' + 6y' + 3y = t2 exp (—30 — 3 cos2 2t.
33) y* — 9y = exp (—30 U2 + sin 3i].
34) yIV + y " = 7* - 3 cos2 1.
35) y'" + 4y* + 3y* = J2 + f exp (—20*
36) y" — 4y' + 5y = exp (—20 sin2 t.
37) y ' + 3y' + 2y = exp (—0 cos2 t.
38) y ' + 2y' + 2y = [t + exp (—01 sin t.
39) yIV + 5y* + 4y = sin t cos 2t.
40) y ' + 3y' + 2y = 2t.
41) y" + 4y' + 3y = ch
42) y* + 2y' + y = ch t sin t.
43) x' = 3x — 4y + exp (—20,
y' = x — 2y — 3 exp (—2044) x ' = 2y — x + 1,
y' = 3y — 2x.
45) x' = y + 2 exp (—30,
y' = x + *2.
46) x' = 3x + 2y + 2 exp (—0,
y' = x + 2y.
47) x' = 4x -J- y — exp (—20,
y' = y — 2x.
48) x' = 5x — 3y + exp (—30,
y' = x + y + 5 exp (—0-
GÉNÉRATION DE FONCTIONS DONNEES
49) x' = x + 2y + exp (—0.
y' = x — 5 sin t.
50) x' = 2x — y + t exp (—t),
y ' — —x + y -f- 31.
51) x' = 2x 4- 4y — t2 exp (—t),
y' = 3x + 6y.
52) x' = 2x 4- 3y 4- 51,
y ’ = 3x + 2y + 8 exp (—t).
53) x' = x 4- y 4- 1 — exp (--*),
y' = 3x — y 4-1 — sin t.
54) x' = —y 4- sin t,
y' = x — cos t.
55) x' = 2x - 4y,
y' = x — Zy 4- 3 exp (—056) x' = 2x — Zy 4- * sin t,
y' = x — 2p 4* sin*
57) x' = 2x — y + i exp (—21),
y' = x 4 -2 exp (—t)*
58) x' = 2x 4- y 4- 2 exp (—0»
y' = x — 2y — cos* i.
59) x' = 2x — y 4- t exp (—t),
y' = 2y — x — 5 exp (—t) sin t.
60) x' = 4x — 3y 4- sin* t,
y' = 2x — y — 2 sin 2t.
61) x' = x — y 4- 4
y' = 5x — y 4- t exp (—21).
62) x' = —x 4- y 4- z 4- exp (—t),
y' = x — y + z + exp (—31),
z' = x + y + z + sia t.
63) x' — Zy — x — exp (—a t),
y' = y + x + exp (—PO64) x' 4- y' — y = exp (—0,
2x' 4- y' 4- 2y = cos* t.
45
46
EXERCICES DE PROGRAMMATION DES CALCULATEURS ANALOGIQUES [CH. l’
65) x " + 2x” + x' = 1 - sin2 t.
66) x ” + 3x' + 2x = t exp (—t).
67) x ” + x = t2 exp (—068) x ” -f x = sin2 t.
69) s" + x = / cos 2/.
E xemple 2.4. Composer le schéma de commutation de la fonc­
tion y = exp (—t2) sur l’intervalle [0, 4].
1)
D é d u c t i o n du s y s t è m e
férentielles déterminantes.
d ’é q u a t i o n s d i f ­
La fonction donnée
Fig. 2.4
est composée (est la superposition de deux fonctions). Soit z (t) = t2.
Une dérivation de la fonction y (t) donne y ' = —exp (—s) s'.
D’autre part z' = 21, z" = 2.
D’où l’on déduit le système d’équations déterminantes cherché
y' — —y*'»
y (0) = 1,
z" = 2, z' (0) = z (0) = 0.
(2.8)
GÉNÉRATION DE FONCTIONS DONNÉES
§ 2]
47
2) S c h é m a f o n c t i o n n e l . Le schéma est représenté
sur la figure 2.4, a, Il contient un circuit de commande préprogram­
mée pour stopper la machine à la condition t = 4. Il en résulte
que pour reproduire la variable y (0 il n’est pas nécessaire de repro­
duire z (t) = *2, mais seulement z' (/). Ce cas est très fréquent lors­
qu’on a affaire à une superposition de fonctions.
3) C h o i x d e s é c h e l l e s . Les variables —z' et y sont
à adapter. Leurs valeurs maximales se déterminent sans peine.
L’adaptation est conduite dans le tableau 2.2.
T a b le a u 2 ,2
V aleur m axim ale
V ariable
y
m!
exacte
arrondie
1
8
1
10
Echelle
Symbole de
l ’échelle
100
10
m zl
m y
4) S c h é m a d e c o m m u t a t i o n . Il est représenté sur
la figure 2.4, 6. Les coefficients de transfert a, P et y sont encore
inconnus. Leurs valeurs numériques se déterminent à partir des
conditions d’adaptation des échelles des variables. Le schéma de com­
mutation comprend un multiplieur B-1I monté sur la base des ampli­
ficateurs opérationnels [1] et [21. Le coefficient a est donné par la
formule suivante
a = 2m2l/100 = 20/100 = 0,2.
Le produit Py doit être tel qu’à la sortie de l’intégrateur [5] la va­
riable y (t) possède l’échelle mtJ compte tenu de l’échelle 0,01 du
multiplieur:
my-100 100
Pv=
1Ô = 10.
m V m z i
Prenons les valeurs y = 10 et P = 1 qui correspondent à l’entrée
(17) de l ’intégrateur 15] (cf. fig. 3.3. qui représente le panneau de
commutation de la machine MH-7M).
2.8. Composer et câbler les schémas de commutation des fonc­
tions suivantes:
6) y = cos exp (—/).
1) y = sin exp (—*)•
2) y = sin cos t.
7) y = cos cos t.
8) y = cos sin t.
3) y = sin sin t.
4) y = sin sh t
9) y = cos sh t.
10) y = cos ch t.
5) y = sin ch t.
48
EXERCICES UE PROGRAMMATION DES CALCULATEURS ANALOGIQUES [CH. 2
21) y = cos sin2 t.
22) y = cos cos2 t.
23) y = cos exp (—t2).
24) y = cos (t exp (—t)).
25) y = cos ch2 1.
26) y = sin ch2 t.
27) y = cos sh2 1.
28) y — sin t2.
29) y = cos t2.
30) y = sh t2.
11) y = exp (—exp (—<))•
12) y = exp (—sh *)•
13) y = exp (—ch t).
14) y = sh sh t.
15) y = sh ch t.
16) y = sin sina t.
17) y = sin cos2 t.
18) y = sin exp (—t2).
19) y = sin (t exp (—t)).
20) y = sin sh2 t.
I n d i c a t i o n s et e x p l i c a t i o n s .
1) Lorsqu’on cherche les équations différentielles déterminantes
d’une fonction du type sin / (t) ou cos / (t) on a intérêt à considérer
en même temps l ’autre fonction. Si, par exemple, l’on a à simuler
la fonction sin / (t) on peut envisager parallèlement la simulation
de la fonction cos / (t). La simulation simultanée de fonctions sim­
plifie l’adaptation des échelles et facilite la recherche de l’équation
différentielle déterminante. En effet, si
= sin / (t) et yt =
= cos / (0, le système d’équations différentielles déterminantes
s’écrit
y * = — y J'W Ceci vaut également pour les fonctions sh / (t) et ch / (t).' j
2) Si l ’une des fonctions ou ses dérivées ne sont pas bornées sur
l’intervalle [0, oo], pour la simuler il faut se limiter à l’intervalle
[0, 3], ce qui implique l’interruption de la résolution à l’aide du
circuit de commande préprogrammée.
3) Certaines équations différentielles déterminantes sont suscep­
tibles de posséder des solutions instables, c’est pourquoi on a inté­
rêt à les résoudre sur machine et à évaluer l’influence de petites
variations des conditions initiales sur le comportement de la solu­
tion.
2.9.
Composer les schémas fonctionnels des équations différen­
tielles suivantes.
1) y" = — tu2 sin y — a y'.
2) y" = —o2 sin2 y — by'.
3) y" = —to2 sin y + sin t.
4) y* = —exp (—t) sin y.
5) [(1 + sin2 t) y ')]' = exp (—t).
§ 3]
SIMULATION DE COURBES PLANES SOUS FORME PARAMÉTRIQUE
49
6) (l + exp ( - 0 1 y" + 2y' + y = 0.
7) [(1 + exp (—t)) y ’Y = a sin toi.
8) [ÿ 7 ( l + «)!' = exp ( - 0 9) [ÿ 7 ( l + 0)1' = 1/(1 + 0-
10) y ' = —ay3 + sin a>t.
11) y ’ = 1 + y2 + exp (—a 0 sin tôt.
12) y ’ = 1 — y2 + exp (—at) cos <of.
§ 3. Simulation de courbes planes
données sous forme paramétrique
2.10.
Etant données les courbes suivantes sous forme paramé­
trique, on demande les schémas de commutation
1) délivrant le graphe des courbes Ft (z, y) = 0, Ft (z, y) = 0
sur l ’écran de l’indicateur électronique ;
2) déterminant les points d’intersection de la courbe avec les
axes de coordonnées;
3) déterminant les points en lesquels la courbe admet des tan­
gentes parallèles aux axes de coordonnées. Construire les courbes si
la machine comporte un traceur de courbes planes.
1) x (t) = a cos t,
(ellipse).
y (t) = b sin t
2) z (t) = a ch t,
0 ^ t ^ 10 (hyperbole).
y (t) = b sh t
3) z (t) = at,
0 < * < 10 (parabole).
y (t) = bl2
4) z (t) = cos t + t sin t,
0 ^ t ^ 4jt (développante).
y (t) = sin t — t cos t
5) x (t) = 2 cost — cos 21,
.
.
(cardioïde).
y (t) = 2 sm t — sin 21
G) x (t) = t — sin t,
0 < t < 8n (cycloïde)
y (t) = 1 — cos t
w
'
7) z (t) = cos3 t,
(astroïde).
y (t) = sin3 t
8) z (t) = cos3 1 + 3 cos t,
(limaçon de Pascal).
y (t) = cos t sin t + 3 sin t
4 -0 1 1 2
5
EXERCICES DE PROGRAMMATION DES CALCULATEURS ANALOGIQUES [CH. 2
9) i (0 •= sin 3/ + sin tf
y (t) -= cos 31 — cos t ;
10) i (*) = sin 4t + sin 21,
y ( 0 := cos 4t — cos 21;
11) i (0 == sin 5* + sin 3*,
(roses).
y (0 == cos 5/ — cos 3t ;
12) x (0 == sin 6t + sin 41,
y (0 := cos 61 — cos 41;
13) x (t) -■= sin 7t + sin 5t,
y (t) -= cos 71 — cos 5*
14) x (0 = (cos t + sin t) exp (—i)*
, . , ,,
to ™ 1® logarithmique).
y (4 = (sin t - cos t) exp (-* )
15) x (0 =
’\
(spirale d’Archimède).
y (0 :
16) x (t) = : ( 1 + t ) " 1 COS ( t + 1 ) .
(spirale hyperbolique).
y (0 = (1 + 0 "1 sin (* + 1)
17) x (0 = t - 1,25 sin t,
^ ^
’
y (0 : 1 — 1,25 cos t,
„
18) x (0 = t — 1,5 sin t, n
^ ®n ’
y (0 : 1 — 1,5 cos t, ® ^
►
trochoïdes.
- 0
19) x (0 = t — 2 sin t. n
1
—
2
cos
t,
0
<
t
<
8n
;
y (t) 20) x (0 = t
0,75 sin tt ç\
^ j—
y (0 = 1 - 0 , 7 5 cos *f 0 < * < 7n
21) x (0 = 3 cos t — cos 3/,
y
) = 3 sin t — sin 31;
22) X (0 = 4 cos t — cos 4tf
v (t) = 4 sin t — sin 41;
(épicycloïdes).
23) x (0 = 5 cos / — cos 5/,
y (0 = 5 sin t — sin 51;
24) x (0 = 6 cos t — cos 6J,
y (0 = 6 sin t — sin 61
25) x (0 = 6 cos t — 1,25 cos 6*,
y ( 0 = 6 sin t — 1,25 sin 6/ ;
(épitrochoïdes).
26) x (0 = 6 cos t — 1,5 cos 6f,
y (0 = 6 sin t — 1,5 sin 6* ;
$ 31
SIMULATION DE COURBES PLANES SOUS FORME PARAMETRIQUE
27) x (0 = 6 cos t — 2 cos 61,
y(t) = 6 sin t — 2 sin 61;
28) x (0 = 8 cos t — 2 cos 81,
y (0 = 8 sin t — 2 sin 81
29) x (0 = 2 cos t + cos 21,
y (0 = 2 sin t — sin 21;
30) x (t) = 3 cos t -j- cos St,
y (0 = 3 sin t — sin 3t ;
31) x (t) = 4 cos t + cos At,
y (0 = 4 sin t — sin 41;
32) x (0 = 5 cos t + cos 5/,
y(t) = 5 sin t — sin 51;
33) x (t) = 6 cos t + cos 6f,
y (0 = ■6 sin t — sin 6/
34) x (t) = 2 cos t + 1,25 cos 21,
y (0 = 2 sin t — 1,25 sin 21\
35) x (t) = ■2 cos t + 1,5 cos 21,
y (t) = ■2 sin t — 1,5 sin 2t ;
36) x (t) = : 3 cos t + 1,25 cos 31,
y (0 = 3 sin t — 1,25 sin St;
37) x (0 = ■3 cos t + 1,5 cos 3/,
y (0 = = 3 sin t — 1,5 sin St ;
38) x (t) =• 4 cos t + 1,5 cos 41,
y (0 =■4 sin t — 1,5 sin 4t ;
39) x (t) =■5 cos t + 1,5 cos 51,
y (0 == 5 sin t — 1,5 sin 51
5
(hypocycloîdes).
(hypotrochoîdes).
I n d i c a t i o n . On recommande de programmer la machine
pour le cas générique comme dans l’exemple 2.5 suivant. Une foi»
le schéma générique obtenu, sa réalisation pourfdes valeurs numé­
riques données ne présente aucune difficulté.
E x em ple
4*
2.5. Simuler 1’hypotrochoïde
x (t) = (o cos t + X cos (ùt,
y (t) = ta sin t — X sin o t, X > 1.
(2.9)
52
EXERCICES DE PROGRAMMATION DES CALCULATEURS ANALOGIQUES [CH. 2
Au promier examen il semble plus commode de simuler x (t) et y (J)
par sommation des fonctions cos *, sin *, cos co* et sin col. Mais
dans ce cas la machine ne délivrera pas les variables x (*) et y (*)
indispensables au tracé de l ’hodographe *) F2 (x, y) = 0. Nous
allons procéder autrement. Nous allons chercher les équations diffé­
rentielles déterminantes des fonctions x (*) et y (*).
1)
R e c h e r c h e des é q u a t i o n s d i f f é r e n t i e l ­
l e s d é t e r m i n a n t e s . Une dérivation de (2.9) donne
x = —co sin * — Xco sin co*,
( 2 . 10)
y = û) cos * — Xco cos co*.
En portant dans (2.10) les expressions de co cos * et co sin *, on
obtient
x = —y — X (1 + co) sin co*,
( 2 . 11)
y = x — X (1 + co) cos co*.
Une dérivation de (2.11) donne
x = —y — Xco (1 + co) cos co*,
. . .
(2.12)
y = x + Xco (1 + co) sin coJ.
En portant dans (2.12) les expressions Xco (1 + co) cos co* et
Xco (1 + co) sin (ùt tirées de (2.11), on obtient en définitive le sys­
tème d’équations différentielles déterminantes
x = (co — 1) y — (ùxy
(2.13)
y = —(a) — 1) x — coy
avec les conditions initiales
x (0) = co + X,
y (0) = 0,
x (0) = 0,
y (0) = © (1 - X).
2)
S c h é m a f o n c t i o n n e l . Il est composé pour (2.13)
d ’après la méthode générale (fig. 2.5). Les variables y (*) et x (*)
sont appliquées respectivement sur les plaques de déviation verticale
et horizontale de l ’indicateur électronique sur l’écran duquel est
représentée la courbe Fx (x, y) = 0 qui n’est autre que l’hypotrochoïde allongée donnée. Si l ’on applique la variable —y (*) sur les
*) En M é c a n iq u e on définit l’hodographe de la vitesse comme suit. A partir
d ’un, point arbitraire du plan (appelé pôle) on trace des vecteurs équipollents
à la vitesse du point en mouvement. Les extrémités de ces vecteurs décrivent une
courbe appelée h o d o g ra p h e d e la v i t e s s e . Ici, le pôle est l’origine des coordonnées.
§ 3]
SIMULATION DE COURBES PLANES SOUS FORME PARAMETRIQUE
53
plaques de déviation verticale et —x (*) sur les plaques de déviation
• •
horizontale, on obtiendra l’hodographe de F» (x, y) = 0. Pour
stopper automatiquement la machine aux points d'intersection de
l'hypotrochoïde avec l ’axe des x , on applique la variable x (J) à
l’entrée du circuit de commande préprogrammée. On peut stopper
automatiquement la machine en tous les points où x (t) = 0, en
x;y;x-,y ■
CCP
Fig. 2.5
modifiant la condition d’arrêt automatique (arrêt lorsque x (f)
passe par zéro en décroissant ou en croissant). De façon analogue,
pour déterminer les points d’intersection de l ’hypotrochoïde avec
l’axe des y, on applique la variable y (t) à l ’entrée du circuit de
commande préprogrammée ; pour déterminer les points en lesquels
l’hypotrochoïde admet une tangente horizontale ou verticale, on
applique respectivement les variables —y (t) et —x (t) à l ’entrée
du circuit de commande préprogrammée.
3)
C h o i x d e s é c h e l l e s d e s v a r i a b l e s . On
adapte l’échelle des variables qui sont « explicitement » représentées
T a b le a u 2 .3
V ariable
V aleur m axim ale
de la v ariable
y
û) + X
.
.
y
<0 ( 1 -j- X)
Echelle
100
Cl)-j- X
100
co (1 -J- A.)
Symbole de
ré c h c lle
mg
54
EXERCICES DE PROGRAMMATION DES CALCULATEURS ANALOGIQUES [CH. 2
sur le schéma fonctionnel. Dans le schéma de la figure 2.5, on adaptera l’échelle de x (/), y (t), x (t) et y (t). Cette procédure est con­
duite dans le tableau 2.3, où les échelles des variables x (t), y (t)
d ’une part et x (t), y (t) d’autre part sont égales. Les valeurs maxi­
males des variables x (0 et y (t) sont tirées de (2.9), celles de x (t)
et y (t) de (2.10). Le choix des échelles correspond au cas générique,
I.e. il est réalisé pour une hypotrochoïde quelconque.
4)
S c h é m a d e c o m m u t a t i o n . Il est représenté sur
la figure 2.6. Contrairement au schéma fonctionnel, il comporte des
•
•
Fig. 2.6
potentiomètres supplémentaires pour l ’adaptation des échelles.
Les coefficients de transfert de ces potentiomètres dépendent des
échelles des variables et des coefficients de transfert du schéma fonc­
tionnel :
H*0 __ CD(1 -f- X)
ml
(û-fX
’
a 2 = <D
(i)-f X
m0
T+T »
a 3= ((o— 1) —
JTli = ©—1.
Le schéma de commutation est générique, i.e. il simule une hypo­
trochoïde quelconque. Pour concrétiser le problème il suffit de pren­
dre des coefficients de transfert a lf ou et a 3 appropriés.
Trouvons les valeurs numériques des coefficients de transfert
a lf a 2, a 3 correspondant à co = 8 et X = 2, le temps de simulation
étant ralenti de 10 fois pour permettre le tracé de la courbe avec un
traceur. On obtient
“ ■= i & î i r - = 0’24'
a»= r n = 0 ’333’ « - = t
= 0' 7-
S 4]
SIMULATION DE COURBES DONNEES IMPLICITEMENT
55
mgx[6)
Fig. 2.7
Le schéma de commutation correspondant à ces coefficients est
représenté sur la figure 2.7.
§ 4. Simulation de courbes planes données implicitement
Pour simuler une courbe plane d ’équation F (x, y) = 0, il faut
passer de la forme implicite à la forme paramétrique x (£), y (i) où
t est un paramètre. Il existe un procédé qui permet de trouver immé­
diatement les équations différentielles déterminantes de x (t) et
y (t) sans en calculer les expressions analytiques. Etudions ce pro­
cédé.
Soit une courbe plane F (x, y) = 0. Si le point de coordonnées
x (0 et y (t) appartient à cette courbe, la dérivée totale de la fonc­
tion F (x, y) par rapport à t s’annule en ce point. Donc, quelle que
soit la représentation paramétrique de la courbe, on a
.
dF
dx
dF
dy
dx
d t ' d y
dt
_q
Cette égalité a visiblement lieu si la représentation paramétrique
est telle que
dx
dt
dF
®
dy
*
dy
dF
dt
W dx ’
(2.14)
où (o est un nombre arbitraire différent de zéro.
Les équations différentielles (2.14) sont équations différentielles
déterminantes pour les fonctions x (t) et y (0- Il faut se donner les
conditions initiales x (0) et y (0). L’une des conditions initiales est
choisie arbitrairement, par exemple x (0) = x0. L’autre condition
est la solution de l’équation F (x0, y0) = 0 par rapport à y0. Les
conditions initiales x0 et y0 signifient que la courbe est simulée à
partir du point (x0, y0). Le point initial (x0, y0) partage la courbe
en deux branches, l’une simulée pour <o > 0, l ’autre pour œ < 0.
56
EXERCICES DE PROGRAMMATION DES CALCULATEURS ANALOGIQUES [CH. 2
Ainsi, en principe, le problème posé se ramène à la résolution
sur la machine du système d'équations différentielles
•
Qp
X = ~ <ù~ d ï'
*
dF
a:(0) = aro,
/r\\
y = ( ù -gT’
(2.15)
y ( 0 ) = y 0.
OÙ F (x0, I/o) = 0Mais la simulation de la courbe plane par câblage de l'équation
(2.15) est susceptible de conduire à un résultat erroné en raison de
la grande influence des petites erreurs des conditions initiales sur
la solution. Cette influence est particulièrement sensible lorsque le
système (2.15) possède une solution instable. Aussi est-on tout natu­
rellement poussé à « corriger » le système (2.15) de telle sorte que la
courbe donnée soit simulée assez bien quelles que soient les con­
ditions initiales. Ceci est possible si l’on remplace le système (2.15)
par le système:
Fz---- «p
dF
x* = —,Ci)0 —
Ar —
—,
dy
dF
dx
1
m jp d F
(2.16)
y = io—
----- Ar —
,
9
dx
dy *
dF
dF
où X ^ 1, et les termes F -r—
et F-dry- décrivent le mouvement du
dx
point représentatif dans la direction du minimum de la fonctionnelle
k
y F* (x, y), un minimum nul réalisé sur la courbe F (x, y) = 0 *).
Donc, tant que le point se trouve sur la courbe F (x, y) = 0 les
termes X F -^-e tX F -^-so n t nuis et (2.16) s’identifie à (2.15).
E xemple. 2.6. Simuler la courbe plane
F (x, y) = ar — x2 — y2 = 0.
En vertu de (2.16) on a le système d’équations différentielles
x = <ay + XxF,
x (0) = x„,
y = —cùx + XyF, y (0) = y0.
Sautons les étapes intermédiaires de la programmation et indiquons
directement le schéma de commutation simulant le mouvement du
point sur un cercle. Le schéma de commutation de la figure 2.8
correspond au cas —1 < x < 1, —1 < y < 1, 0 < a < 1 ; les
échelles sont adaptées: a = 0,5, o> = 0,5. Les quantités X, co et a
peuvent être modifiées à l’aide des potentiomètres portant des in*) Le procédé exposé se base sur la méthode des fonctions de pénalisation,
cf. E lé m e n ts d e s i m u l a t i o n s u r c a lc u la te u r s a n a lo g iq u e s , chapitre 10, $ 4.
SIMULATION DE COURBES DONNÉES IMPLICITEMENT
Fig. 2.9
57
58
EXERCICES DE PROGRAMMATION DES CALCULATEURS ANALOGIQUES [CH. 2
scriptions appropriées. Les opérateurs [5], [6] et [13] possèdent des
sorties plus puissantes. Ce fait est signalé sur le schéma par un noir­
cissement du sommet désignant la sortie de l’opérateur. Toutes les
échelles ont été omises pour alléger le déchiffrage de la figure 2.8.
Sur la figure 2.9 sont représentés les résultats de la simulation
du système (2.17) à l ’aide du schéma de la figure 2.8 pour diverses
valeurs des conditions initiales x 0 et y0 et une valeur relativement
petite de X. On constate que la trajectoire x (/), y (t) dégénère en un
cercle lorsque t
oo. Ceci étant, si le point initial (x0, y0) de la
trajectoire se trouve à l ’intérieur du cercle, la trajectoire tendra
asymptotiquement vers le cerle en l’enroulant de l’intérieur. Si le
point initial se trouve à l ’extérieur du cercle, la trajectoire l ’enrou­
lera de l’extérieur. Plus X est grand, plus la trajectoire dégénère
rapidement en cercle. On peut modifier le rayon du cercle à l’aide
du potentiomètre en agissant sur l’entrée (40) du sommateur [13].
A noter que les trajectoires de cette nature s’appellent cycles limites.
La notion de cycle limite a été introduite par H. Poincaré. Les
cycles limites sont étudiés dans la théorie qualitative, ou géométri­
que, des équations différentielles. Les cycles limites et les applica­
tions techniques qui y sont rattachées sont très importantes en théo­
rie de la commande automatique, en radiotechnique et dans nombre
d’autres disciplines. Dans notre exemple, nous avons délibérément
choisi une trajectoire qui soit cercle limite, i.e. toute trajectoire
issue d’un point quelconque du plan xOy dégénérera en ce cerle.
Théoriquement, le point x 0 = yn = 0 est un point d ’équilibre pour
le système (2.17). Mais ce po nt est instable, donc en raison des
erreurs inévitables des opérateurs, la machine ne peut délivrer la
solution x (t) = y (t) = 0 vérifiant les conditions initiales x 0 =
= y0 = o.
2.11. Simuler les courbes données sous forme implicite
6) x* + y* — 2axy = 0.
1) (x - a,)2 + ( y - b,)2 = R 2.
m ( x — a x)2 , (y —fc»)2 _ A
7) (x2 + y2 — ax)2 — b (x2+ jr).
a2
62
8) (xs + y2)2 — 2c2 (x2 — y2) =
o\ (x -a xŸ-_ (ÿ-fci)2 _ .
= a4 — c*.
O2
b - *‘
9) (x2 + y2)2 - 2c2 (x2 + y2)=0.
4) (x — ax)2= k (y — 6,).
10)' y2 = x2 £a —
± x£ .
5) x3 + y3 = 3axy.
Indications.
1) Choisir les paramètres a, alf b, bly R , etc. tels que la courbe
soit simulée dans le carré —1 < x < 1, —1 < y < 1.
2) Composer le schéma de commutation à l’aide de l ’équation
(2.16). En cas de besoin utiliser deux machines ou plus du type
MH-7M.
SIMULATION DE COURBES DONNEES IMPLICITEMENT
§ 4]
M -
59
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to
(I/i
A
4 f\
-x\s\
M
-y\s\
m
Fig. 2.10
3) Simuler les courbes avec les équations (2.15) et (2.16). Rele­
ver et expliquer les causes des divergences; tracer les courbes avec
un traceur.
4) Déterminer les points d’équilibre instable de chaque trajec­
toire d’équation (2.16).
2.12. Réaliser les polygones réguliers suivants:
1) le carré | x | + | y | = 1 ;
2) le carré |x — y | + | z + y | = 2;
3) l ’héxagone | 2y — 1 | + | 2y + 1 + —j=. x \ = 4 ;
A
1 /3
4) l’octogone | x | + | y | + "ÿ—(I x ~ ÿ I + | x + y |) = V*2+l.
E xemple 2.7. Simuler la courbe plane
F (*, y) = I x | + | y | — a = 0.
En vertu de (2.16) on obtient le système d’équations différentielles
x = —b> sign y — \F sign x,
y = (ù sign x — "KF sign y,
x (0) = x0,
y (0) = y0.
(2.18)
Fig. 2.12
§ 5]
REPRÉSENTATION GRAPHIQUE DE COURBES GAUCHES
61
Comme dans l'exemple 2.6, omettons les étapes intermédiaires de
la programmation et donnons immédiatement le schéma de commu­
tation (fig. 2.10). Les opérateurs [14] et [13] sont des relais parfaits
(cf. « Eléments de simulation sur calculateurs analogiques », chap. 2,
§ 10). Les opérateurs [14] et [13] délivrent la fonction sign dont la
valeur correspond à la tension électrique ±100 V à l ’échelle adoptée.
Les sorties des opérateurs [9], [13] et [14] sont plus puissantes.
La figure 2.11 représente la solution machine du système (2.18)
d ’après le schéma de la figure 2.10. On remarque l’existence d ’un
cycle limite. La] figure 2.12 représente le graphe, en gros plan, de
la solution du système (2.18) privé des termes « pénalisants»:
x = —(o sign y,
y = (o sign x
au voisinage de x 0 = yQ= 0. La trajectoire est une spirale dérou­
lante formée de segments de ligne polygonale.
§ 5. Représentation graphique de courbes gauches
E xemple 2.8. Composer le schéma de commutation reproduisant
la courbe gauche
zx = exp (—PO cos (ùt, z2 = a t, z3 = exp ( - P 0 sin o>f.
(2.19)
La programmation s’amorce par la recherche des équations diffé­
rentielles déterminantes qui se trouvent sans peine pour les expres­
sions considérées:
—Pzj—(OZ3, zt (0) = 1,
zî = a,
MO) =*0,
z9= —P*3+
% (0) = 0.
Le schéma de commutation est celui de la figure 2.13. Les variables
Y x = zx — 0,5z3, Y o = z2 — 0,5z3 qui assurent la représentation
de la courbe (cf. Annexe) sont élaborées par les sommateurs [3]
et [4]. La figure 2.14 représente la courbe et sa projection délivrées
par le schéma de la figure 2.13. Pour obtenir le tracé des projections
on a commuté les entrées des sommateurs [3] et [4] en s’inspirant
du tableau de commutation de la figure A.3 (page 177). La figure 2.15
représente diverses courbes réalisées avec le schéma de commutation
de la figure 2.13. En haut sont représentées quatre spirales ayant
chacune son origine sur un axe de coordonnées. Au milieu — leurs
projections axonométriques sur le plan zlOz3 (pour un observateur
situé au sommet du cône qu’elles engendrent) ; en bas — les projec­
tions sur le plan zxOz3 (pour un observateur se trouvant à la base
du cône). Si l ’on rompt les liaisons entre les intégrateurs [5] et [6]
aux entrées (17) et (21), les équations initiales de la courbe (2.19)
deviennent
( 2 . 20)
z1 = exp ( - P 0 , « 2 =
z 3 = exp (—PO-
Fig. 2.14
S 5]
REPRÉSENTATION GRAPHIQUE DE COURBES GAUCHES
63
Les courbes correspondantes sont les génératrices du cône engendré
par la révolution d’une exponentielle autour de son asymptote Oz2
(cf. haut de la figure). Si l’on ouvre les liaisons des intégrateurs [5]
et [61 aux entrées (20) et (24), on obtient la ligne hélicoïdale
zt = sin (ùt9 z2 = at, z3 = cos cot.
(2.21)
La figure 2.16 reproduit les courbes (2.19) et (2.21). Le point repré­
sentatif décrit une trajectoire qui commence en A et se déplace dans
le sens de la flèche. Au début c’est une ligne hélicoïdale située sur
un cylindre ; elle se transforme ensuite en une spirale portée par
un cônç dont la génératrice a la forme d’une exponentielle; la spirale
64
EXERCICES DE PROGRAMMATION DES CALCULATEURS ANALOGIQUES [CH. 2
devient une ligne hélicoïdale qui, à son tour, se transforme en spirale
en même temps que a change de signe. Toutes ces transformations
ont été effectuées, machine en marche, par rupture et rétablissement
des liaisons mentionnées entre les intégrateurs [5] et [6].
Voir le chapitre 4 pour la simulation d’autres courbes gauches.
2.13. Tracer sur l’indicateur électronique les courbes gauches
suivantes.
I n d i c a t i o n s . Les courbes 1) à 10) sont simulées à l’aide
du schéma du chapitre 4, § 10. Les courbes 11) à 15) à l ’aide du sché­
ma du chapitre 4, § 8.
1) s1 = sin 0,3f,
z3 = (1 + 0,4 cos lOt) X
z2 = cos 0,3* cos lOt,
X sin 0,3*.
9) zx = sin 0,3t,
z3 = cos 0,3f sin 10t.
zs = (1 -f 0,3 cos 0,3t) X
2) zx = sin lOt,
X cos lOt,
z2 = cos lOt cos 0,3t,
z3
=
(1
+ 0,3 cos 0,3t) X
z3 =[cos 10* sin 0,3t.
X sin 10t.
3) _zXl= sin'O.Si,
10) zx — sin lOt,
z. = (1 + cos 0,3t) cos lOf,
z3 = (1 + 0,3 cos lOt) X
z3 =s (1 + cos 0,3t) sin 10t.
X cos 0,3t,
4) zx = sin lût,
z3
=
(1
+ 0,3 cos lOt) X
z« = (1 + cos lOt) cos 0,3t,
X sin 0,3t.
z3 = (1 + cos lOt) sin 0,3t.
11) zl — exp (—t) cos lOt,
5)
> x = 0,7 sin 0,3t,
zs = exp (—t),
z2 == cos 0,3t cos lOt,
z3 = exp (—t) sin 10t.
z3 =='cos 0,3t sin 10t.
12) zx = exp (—t) cos lOt
6) zx = 0,7 sin lOt,
z2 = exp (—2t),
z8 = cos^lOt cos 0,3t,
z3 = exp (—t) sin 10t.
z3 = cos lOt sin 0,3t.
13) zx = exp (—t) cos lOt,
7) zx = 0,4 sin 0,3t,
zs = exp (—0,3t) sin t,
z. = (1 + 0,4 cos 0,3t) X
z3 = exp (—t) sin 10t.
14) zx — exp (—f) cos lOt,
X cos lOt,
z2 = sin t,
z3 = (1 -f- 0,4 cos 0,3t) X
z3 = exp (—t) sin 10t.
X sin 10t.
15)
zx
= exp (—t) cos lOt,
8)
j i l = 0,4 sin lOt,
z3 = 1/(1 + t).
z. = (1 + 0,4 cos lOt) X
z3 = exp (—t) sin 10t.
X cos 0,3f,
CHAPITRE 3
TRAVAUX PRATIQUES
§ 1. Généralités sur le calculateur analogique MH-7M
Le calculateur analogique MH-7M est une machine modulaire de
table, composée de 18 amplificateurs opérationnels dont 16 servent
à former des opérateurs: sommateurs, intégrateurs, dériveurs, géné­
rateurs de fonctions, etc. Il permet de résoudre des systèmes d’équa­
tions différentielles non linéaires (jusqu’au sixième ordre) de la
forme
Zj = (xj, X2 , • • • 1
(0)=
7=
. . . , 6,
où xj (t) sont des fonctions inconnues de la variable indépendante t.
Si le problème posé nécessite plus d’opérateurs que n’en dispose
la machine, on peut adjoindre à cette dernière d ’autres machines
pour accroître ses performances.
Les éléments de base de la machine sont le bloc principal (résol­
vant), le bloc d’alimentation et l ’indicateur électronique. La figu­
re 3.1 représente le bloc principal et l’indicateur électronique; la
figure 3.2, le panneau avant du bloc principal sur lequel sont dispo­
sés les éléments destinés à la commande et au contrôle de la machine ;
la figure 3.3, le panneau de commutation de la machine MH-7M. La
description détaillée de la machine MH-7 est donnée dans les « Elé­
ments de simulation ». Les multiplieurs, diviseurs et générateurs
de fonctions du calculateur MH-7M sont plus perfectionnés que ceux
du MH-7. Ces opérateurs ne se connectant pas comme dans le cal­
culateur MH-7, des modifications appropriées ont été apportées
dans le panneau de commutation. Par ailleurs, le calculateur MH-7M
utilise le bloc d’alimentation B3C-1.
Nature et succession des opérations
1.
Mise sous tension. Avant de brancher la machine il est indis­
pensable de lire la notice d’emploi, les instructions d’exploitation
et les mesures de sécurité.
Mettre la source d’alimentation B3C-1 et l’indicateur électro­
nique sous une tension de 220 volts.
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3 11 19 27 35 43 51 59 3 11
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0 0 0 O 0 0 0 0 0 0
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0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
6 IA 22 30 38 46 5A 62 6 14
0 0 O 0 0 0 0 0 0 0
7 15 23 31 39 47 55 63 7 15
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
8 16 2A 32 A0 AS 56 6A 8 16
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Fig. 3.3.— Panneau de commutation
Bueiuimn annapaTypa
B uxoau
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B uxoau ycujuiTCJiefl MIi
BTaaoH. Hanp.
Ilporp. pemiiM
OcTaii.
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BcaoMan
Beayman
Hanajibiibic ycjioaun
Bux.
Bx.
B - I , B - I I ........... B - V III
Appareils extérieurs
Sorties
Entrées
Sorties des am plificateurs
Tension étalonnée
Mode programmé
Arrêt
Com mutation
Cal. piloté
Cal. pilote
Conditions initiales
Sor.
E nt.
B -I, B -II, •... B -V III (blocs)
39KÛM
0+4° 0 - 0 ---1
B1
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du calculateur MH-7M
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V (vertical)
H (horizontal)
MQ (mégohm)
pF (mlkrofarad)
kQ (kilohm)
Hz (hertz)
Indicateur électronique
Al, . .
A18 (amplificateurs)
D (diviseur)
Relais
Relais opérationnel
Bloc de com m utation
Grilles
70
TRAVAUX PRATIQUES
[CH. 3
Mettre en marche la source d'alimentation. Mettre pour cela en
position CETL (SECTEUR) le tumbler inférieur gauche, situé sur
le panneau avant de la source d’alimentation B3C-1 : les deux lam­
pes de signalisation des coins supérieurs gauche et droit s’allumeront
aussitôt. Au bout d’une ou de deux minutes, mettre le tumbler
droit dans la position AHO# (ANODE). S’assurer à l’aide du volt­
mètre à aiguille incorporé, en modifiant la position du commutateur
d’échelles, de l ’existence des tensions électriques suivantes:
+100 volts, +350 volts, —100 volts, —350 volts. Si les valeurs
indiquées par le voltmètre diffèrent des valeurs nominales il est
possible de les régler à l’aide des potentiomètres dont les fentes
aboutissent au panneau de la source d’alimentation.
Toutes les manipulations ultérieures s’effectuent à l’aide des
tumblers et des commutateurs disposés sur le panneau de commande
(fig. 3.2) du bloc principal et sur le panneau de commutation
(fig. 3.3). Fermer les tumblers~220 B (220 volts) et =26 B (26 volts)
situés en bas et à gauche du panneau du bloc principal: la lampe de
signalisation disposée au-dessus du tumbler ~220 B s’allumera.
Ceci achève la mise sous tension de la machine. Toutes les opéra­
tions nécessitées par la préparation de la machine à la résolution
d’un problème quelconque s’effectuent machine branchée.
Pour mettre la machine hors tension on refait le chemin inverse.
On ouvre d’abord les tumblers = 26 B e t ~ 220 B, ensuite le tum­
bler AHOÆ (ANODE) et enfin le tumbler CETb (SECTEUR).
2.
Réglage des zéros des amplificateurs opérationnels. Les ampli­
ficateurs opérationnels de la machine MH-7M possèdent une dérive
du zéro de la tension de sortie. La dérive qui est une source d’erreurs
est déterminée par une mesure de la tension de sortie, bornes d’entrée
court-circuitées. A défaut de l’éliminer on peut en atténuer les
effets pendant un certain temps. Pour ce faire on vérifie périodique­
ment la valeur de la tension de sortie de l’AO, puis on règle au besoin
l’amplificateur opérationnel. Cette opération constitue ce qu’on
appelle le réglage des zéros de l’AO.
Le réglage des zéros se fait dans les positions y C T A H O B K A
H y jI H (R É G L A G E ZÉR O ) et nOÆTC)TOBKA (P R É P A R A T IO N )
respectivement des tumblers T4 et T5 (cf. fig. 3.2). Il est réalisé
avec les 18 boutons P12 des résistances variables. Les boutons sont
disposés dans le coin bas gauche du panneau de commande du bloc
principal. Chaque bouton porte le numéro de l’amplificateur opé­
rationnel qu’il commande. Pour mesurer la tension de sortie des
amplificateurs on utilise le voltmètre VI (avec le zéro central).
Le tumbler T13 doit être en position H 3 M E P E H H E (M E SU R E ).
La sortie de l’amplificateur contrôlé doit être reliée à la douille +V1
(située en bas et à droite du panneau de commutation) du voltmètre
VI par un cordon de connexion. (Les sorties des amplificateurs
aboutissent au milieu de la partie inférieure du panneau de commuta-
§ 1]
GÉNÉRALITÉS SUR LE CALCULATEUR ANALOGIQUE MH-7M
71
tion.) En tournant le bouton approprié P12 on effectue le réglage du
zéro d'abord sur l’échelle 2,5 V (1114 est en position basse), ensuite
sur l’échelle 0,1 V (1114 en position haute). Le réglage est terminé
lorsque l’aiguille du voltmètre VI indique le zéro de l’échelle 0,1 V.
3.
Etude de la précision de réglage des tensions constantes à laide
du diviseur de tension. Le réglage et la mesure des valeurs constantes
arbitraires des tensions électriques constituent une importante phase
dans la manipulation de la machine. En calcul analogique, les ten­
sions électriques jouent le rôle de variables mathématiques. Aux
tensions constantes correspondent des variables mathématiques
constantes.
1)
Câbler sur le panneau de commutation le schéma représenté
sur la figure 3.4. Le rond contenant la lettre fl désigne un potentio­
mètre à trois décades dont la borne d’entrée (la douille BX) est
raccordée, avec un cordon de connexion, à une douille quelconque
du panneau de commutation, portant l’inscription + 100 volts, et la
borne de sortie (douille BblX) est reliée par le répétiteur des sorties
à la douille + VI du voltmètre VI et à la douille + V2 du volt­
mètre V2 (zéro à gauche). Les douilles BX (ENT), BblX (SOR),
VI et V2 sont toutes situées à côté du rond symbolisant le diviseur
de tension. Le commutateur flEJIHTEJIb HAFIPHÎKEHHfl (DIVI­
SEUR DE TENSION) est placé sur le panneau avant du bloc prin­
cipal, sous le voltmètre VI. Le commutateur en question est consti­
tué de trois commutateurs à lamelles: celui de gauche possède une
graduation égale au dixième (la tension appliquée étant de 100 volts,
la valeur d’une graduation est de 10 volts); celui du milieu, une
graduation égale au centième, celui de droite, une graduation égale
au millième. Le coefficient de transfert du diviseur de tension est
égal à la somme des valeurs indiquées par les trois commutateurs
à lamelles. Cette somme est inférieure à l’unité.
2)
Afficher les valeurs numériques des tensions uDj indiquées
dans la deuxième colonne du tableau 3.1 à l’aide du DIVISEUR
DE TENSION ; inscrire au tableau les indications des voltmètres
VI et V2, i.e. les valeurs vxj, v«j. Calculer les erreurs quadratiques
TRAVAUX PRATIQUES
72
[CH. 3
T a b le a u 3 .1
/
1
2
9
10
UDj
6,3
12,5 30,1 40,5 44,2 61,0 73,2 82,4 98,0
100
3
4
5
6
7
8
cu
Somme
l 2j
(un j — v ?j )2
moyennes
lu
/
-5- S (“ d; - ^ ) 2,
/
a 2
lu
= ' | //
3)
Enumérer et expliquer les causes éventuelles des écarts entre
les indications du diviseur de tension et celles des voltmètres VI
et V2.
4.
Etude de la précision d'affichage des tensions constantes avec la
source 3TAJIOIIHOE HAÜPHHŒHME (TENSION ÉTALONNÉE).
La source TENSION ÉTALONNÉE de la machine MH-7M est
construite sur la base dè l’amplificateur opérationnel 1171 suivant
le schéma de la figure 3.5, a, où la fonction de réaction est assumée
par un potentiomètre à trois décades. La tension d ’entrée est ordi­
nairement égale à +100 volts ou —100 volts selon le signe de la
tension étalonnée. La tension étalonnée de sortie est réglée par modi­
fication du coefficient de transfert du potentiomètre à l’aide du
commutateur TENSION ÉTALONNÉE situé sur le panneau avant
du bloc principal sous le voltmètre V2.
1) Monter le schéma de la figure 3.5, b. L’entrée BX (ENT)
de TENSION ÉTALONNÉE est disposée à droite des douilles
+V1 et V2 à côté du tumbler 3TAJIOHHOE HAFIPflTKEHHE,
n p o rP A M M H b in petkmm (t e n s i o n é t a l o n n é e - m o d e
PROGRAMMÉ) qui doit être mis en position TENSION ÉTALON­
NÉE. L’entrée BX est raccordée à la plus proche douille +100 volts,
entre les douilles +V1 et V2. La sortie BblX (SOR) de TENSION
ÉTALONNÉE est reliée par le répétiteur de sorties aux entrées
GÉNÉRALITÉS SUR LE CALCULATEUR ANALOGIQUE MH-7M
« ']
73
des voltmètres VI et V2. Le tumbler T4 doit être mis en position
PABOTA (CALCUL). La position du tumbler T5 importe peu.
2) Régler à l’aide du commutateur TENSION ÉTALONNÉE
T a b le a u 3 . 2
i
1
2
mj
8,5
19,6 30,8 41.2 49,8 52,5 72,1 72,8 91,0 100
3
4
5
6
7
8
9
10
vu
Somme
,?2j
( u ttj- ’ij)'(utlj —Vjj)*
les valeurs des tensions wctt figurant dans la deuxième ligne du ta­
bleau 3.2, inscrire au tableau les valeurs
et v2j indiquées par les
100Va
Tension
éta lonnée^
programme
Commutateur Tension
étalonnée ¥
b)
a)
Fig. 3.5
voltmètres VI et V2.
Calculer les erreurs quadratiques moyennes
r
i«
.
/
!»
° l==~y lu S (uw —vij)2' °2= m
j / l ô S (uéij~~u2j)3)
Enumérer et expliquer les causes éventuelles des écarts entre
les indications du commutateur TENSION ÉTALONNÉE et les
voltmètres VI et V2.
[CH. 3
TRAVAUX PRATIQUES
74
5.
Détermination de la valeur et de la plage de variation des coef­
ficients de transfert du sommateur [1 ] et de Vintégrateur [5], On déter­
mine le coefficient de transfert d’un opérateur à une entrée quelcon­
que en appliquant à ladite entrée une tension constante connue
(par exemple, la tension u&t de la source TENSION ÉTALONNÉE)
et en mesurant la tension de sortie usor de l’opérateur. Le quotient
lusor est numériquement égal au coefficient de transfert cherché.
I^sorl
La détermination des coefficients de transfert des opérateurs s’effectue
dans la position CALCUL du tumbler T4 et PRÉPARATION du
tumbler T5. Dans cette position des tumblers T4 et T5, les conden­
sateurs (1 pF) sont automatiquement déconnectés dans les circuits
de réaction de tous les intégrateurs et à leur place sont branchées
des résistances équivalentes (sur le plan du coefficient de transfert)
de 1 MQ.
1) Déterminer le coefficient de transfert à l’entrée (l)d u somma­
teur [1]. A cet effet on organise d’abord l’entrée (1) du sommateur
[1], i.e. l’entrée de l’AOl est reliée par un cavalier ou un cordon
de commutation à la douille de la résistance d’entrée de 0,1 MQ
portant le numéro 1. Ensuite à l’entrée (1) qui est située au centre
du champ de composition (les 64 entrées sont comprises dans le rec­
tangle portant l’inscription BXOflbl) on applique la tension éta­
lonnée Uét = 10 volts. Avec le voltmètre V2 on mesure la tension
T a b le a u 3 .3
In tég ra te u r som m ateur [5]
Som m ateur [1]
C ontre-réaction
C ontre-réaction
Entrée
1 MÛ
0.1 MÛ
Entrée
(i)
(17)
(2)
(18)
(3)
(19)
(4)
(20)
1 jiF
1 Mû
à la sortie du sommateur [1] pour diverses valeurs des résistances
de contre-réaction (1 MQ, 0,1 MQ). Calculer les valeurs des coeffi­
cients de transfert correspondant aux résultats des mesures et les
porter dans le tableau 3.3.
2) Répéter 1) pour les entrées (2), (3), (4), (17), (18), (19), (20)
indiquées dans le tableau 3.3.
GÉNÉRALITÉS SUR LE CALCULATEUR ANALOGIQUE MH-7M
§ i]
75
Modifier si nécessaire la tension
appliquée aux entrées des
opérateurs. Indiquer les valeurs maximale et minimale des coeffi­
cients de transfert aux entrées paires.
6.
Mise au point des coefficients de transfert des opérateurs. On
demande de monter le schéma de commutation de la figure 3.6, a
et d’afficher les coefficients de transfert indiqués dans le tableau 3.4.
T a b le a u 3 .4
V ariante
0
2
3
4
5
6
7
8
9
a
0,12 0,18 0,33 0,51
0,72
0,27
0,17
0,63
0,23
0,24
p
0,6 0,55
0,13
0-33
0,41
0,08
0,39
0,36
Y
0,72 0,99 0,66 0,612 0,936 0,891 0,697 0,504 0,897 0,844
C oef-^v
ficient
1
0,2 0,12
La composition du schéma commence par l’organisation des
opérateurs. S’agissant des sommateurs et intégrateurs, le terme
« organisation » signifie : le branchement des entrées indiquées dans
-1 0 0 V
P—
Vf
(♦)
-m v ^-Q y A
a)
Tension #
mesurée
um e s ~
ué t
Source de tension
étalonnée
b)
F ig . 3.6
le schéma à l ’entrée de l ’AO (organisation des entrées), la connexion
des éléments constituant les circuits de réaction (organisation des
réactions). Toutes les connexions électriques sont effectuées sur le
76
TRAVAUX PRATIQUES
[CH. 3
panneau de commutation à l'aide de cavaliers ou de cordons de com­
mutation.
Le câblage ultérieur du schéma de commutation comporte le
branchement des entrées de certains opérateurs aux sorties d'autres
(organisation des connexions des opérateurs). Cette opération est
effectuée sur le champ de composition qui occupe la partie gauche
du panneau de commutation. Le champ de composition est l'abou­
tissement des entrées et sorties des opérateurs. 11 est compris dans le
rectangle portant l ’inscription B blX O ^bl (SORTIES). A l’inté­
rieur se trouve un autre rectangle portant l’inscription BXOflbl
(ENTRÉES), qui contient toutes les 64 douilles d'entrée des opé­
rateurs. Entre le rectangle intérieur et le rectangle extérieur se
trouvent les sorties des 16 opérateurs. Celles-ci sont reproduites en
quatre exemplaires pour faciliter la commutation. Les entrées et
sorties sont reliées par des cordons de commutation.
Les coefficients de transfert des sommateurs et intégrateurs sont
mis au point dans la position CALCUL du tumbler T4 et PRÉ­
PARATION du tumbler T5. Les coefficients de transfert des som­
mateurs 0,1 ; 0,2 ; 0,5 ; 1 ; 2 ; 5 ; 10 ; 50 et les coefficients de transfert
des intégrateurs 1, 2, 5, 10, 50 sont établis par une organisation
appropriée des entrées et des circuits de réaction des opérateurs. Si
l’on a besoin d’autres coefficients de transfert, on les établit à l’aide
des potentiomètres. Pour faciliter la mise au point des coefficients,
toutes les entrées des potentiomètres ont été disposées dans la partie
gauche inférieure du panneau de commutation; ceci permet d ’établir
les coefficients sans rompre les liaisons organisées sur le champ de
composition. Les douilles numérotées 2, 6, 10, . . ., 46 permettent
d’afficher un coefficient de transfert quelconque compris entre 0
et 10, les douilles 4, 8, 12, . . ., 48, un coefficient de transfert
compris entre 0 et 1.
Supposons que l’on veuille attribuer le coefficient 6 à l’intégra­
teur [51. Il faut pour cela utiliser l’entrée (18) et appliquer à la douille
correspondante une tension étalonnée de 10 volts. On mesure la ten­
sion de sortie de l’intégrateur [51 avec un voltmètre et on déplace
le curseur du potentiomètre à l’aide d’un tournevis placé dans la
fente jusqu’à ce que la tension régulée soit égale à —60 volts. Si
l’on veut obtenir un coefficient de transfert égal à 0,6 il est alors
plus rationnel de se servir de l’entrée (20) et d’appliquer à la douille
correspondante non plus 10 mais 100 volts pour obtenir les mômes
—60 volts à la sortie de l’intégrateur [51.
Organiser les entrées, les circuits de réaction et les connexions
entre les opérateurs d’après le schéma de commutation de la figu­
re 3.6, a, afficher les coefficients de transfert a, 0, y correspondant
à la variante choisie dans le tableau 3.4. Si le schéma est correctement
monté et les coefficients de transfert correctement mis au point, le
voltmètre indique une tension nulle même sur l’échelle 2:5 V.
§ 1]
GÉNÉRALITÉS SUR LE CALCULATEUR ANALOGIQUE MH-7M
77
La précision de la mise au point des coefficients de transfert
dépend de celle de la mesure des tensions électriques. Cette précision
peut être accrue par l'application de la méthode de compensation.
Soit umCS la tension électrique à mesurer (cf. fig. 3.6, b). Cette tension
est appliquée à l'entrée +V1 du voltmètre VI. Le voltmètre VI
est mis au mode KO.MI1EHCAIJHH (COMPENSATION) par action
sur le tumbler T13, puis son entrée —VI est raccordée à la sortie de
TENSION ÉTALONNÉE. La source de tension étalonnée doit
délivrer une tension électrique w<jtclemême signe que umofi. En action­
nant les commutateurs à décades on amène l’aiguille du voltmètre
VI au zéro d'abord sur l’échelle 100 volts, puis sur l'échelle 2,5 volts
et enfin sur l’échelle 0,1 volt. Ce qui traduit l’égalité z/mes = u6tLa valeur numérique deu^est déterminée par la position du commu­
tateur TENSION ÉTALONNÉE.
7.
Comportement de Vopérateur [5] en dehors de la plage ±100 volts.
La tension de sortie des AO équipant le calculateur MH-7M varie
entre — 100 volts et +100 volts. En dehors de cet intervalle, les
Fig. 3.7
calculs sont entachés d’erreurs supplémentaires dues à des pertur­
bations non linéaires se manifestant dans le circuit électronique.
La sortie de la variable machine de la plage ±100 volts est la con­
séquence d’une erreur dans le choix des échelles. L’opérateur humain
contrôle la plage de fonctionnement de chaque AO à l ’aide des lampes
à néon branchées à la sortie de ce dernier. Les lampes s’allument
dès que la tension de sortie des AO est de ±105 volts. Les 18 lampes
au néon L15 sont disposées dans le coin supérieur gauche du panneau
avant du bloc principal (cf. fig. 3.2). Elles portent l’inscription
C H rH A JIH 3A L [H fl
I lE P E r P y 3 0 K
(SIGNALISATION SUR­
C H A R G E ).
On se propose de déterminer la valeur de la tension de sortie de
l’intégrateur [51 à l’instant précis où la lampe s’allume. On se servira
du schéma de la figure 3.7, a. Appliquons une tension de +100 V
à l’entrée (20) de l’intégrateur [51 par un potentiomètre de coefficient
de transfert 0,1.
78
TRAVAUX PRATIQUES
[CH. 3
L’intégrateur délivre la variable machine u (*) = u0 — 101,
où u0 est la condition initiale.
Quelle que soit la condition initiale u0, il arrive un instant
t = t* tel que | u (t) | > 100 volts (cf. fig. 3.7, b). Si u0 = 0 cette
inégalité est réalisée au bout de 10 secondes.
A l ’instant où la lampe de signalisation s’allume on ne peut
mesurer la tension de sortie de l ’intégrateur [51 avec VI ou V2 puis­
qu’elle est supérieure à 100 volts. La variable u (t) est appliquée à
l ’entrée (4) de l ’amplificateur d’échelle [1] par un potentiomètre de
coefficient de transfert 0,5, de sorte qu’à la sortie de [1] on mesure la
variable —u (t)/2 avec VI.
La donnée des conditions initiales de tous les intégrateurs et,
en particulier, de la condition initiale u0 de 151 s ’effectue dans la
position PAEOTA (CALCUL) des tumblers T4 et T5. Les douilles
Y5, Y6, y ?, y8, y i5 , y i6 des conditions initiales des intégrateurs
[5], [61, [7], [8], [15], [16] disposées dans la partie inférieure droite
du panneau de commutation sont reliées par des cavaliers ou des
cordons aux douilles de sortie I, II, III, IV, V, VI des potentio­
mètres d’affichage des conditions initiales. Les sorties des inté­
grateurs sont connectées à tour de rôle par des cordons extérieurs à
l’un des voltmètres. En déplaçant les curseurs des potentiomètres
à l ’aide des boutons P16 HAHAJlbHEIE yCJIOBHH (CONDI­
TIONS INITIALES), on obtient la valeur désirée de la tension initiale
à la sortie des intégrateurs. Les six boutons P16 sont disposés dans
le coin supérieur droit du bloc principal. Les manettes des poten­
tiomètres portent les mêmes chiffres romains I, II, III, IV, V, VI
que les sorties des potentiomètres. Sous chaque bouton P I6 se trouve
un tumbler T17 pour la donnée du signe de la condition initiale.
Dans le schéma de la figure 3.7, a les sorties de l’intégrateur [5]
et de l’amplificateur d’échelle [1] sont reliées aux douilles B1 et B2
des entrées de déviation verticale de l ’indicateur électronique
qui sont situées dans la partie inférieure du panneau de commutation
à côté et légèrement à droite des douilles BX (ENT) et BblX (SOR)
du diviseur de tension fl.
Les variables u (t) et —u (t)/2 sont observées sur l ’écran de l’in­
dicateur. Celui-ci est branché lorsque le tumbler supérieur droit se
trouve dans la position SECTEUR. La lampe de signalisation placée
au centre du panneau, au-dessus de l ’écran, s’allume; au bout d’une
ou de deux minutes on amène le tumbler supérieur gauche dans la
position Jiy^I (FAISCEAU). Pour résoudre un problème en une
seule fois, il faut mettre le tumbler T ll dans la position OflHOKPATH. (MONOCOURSE). Il faut veiller à ce que le commutateur
PEJKHM (MODE) occupe la position MONOCOURSE. Pour observer
simultanément sur l ’écran de l ’indicateur deux variables machine
appliquées aux entrées B1 et B2, on utilise le tumbler KOMMyTATOP (COMMUTATEUR) qui se trouve en bas du panneau de l ’indi-
§ 1]
GÉNÉRALITÉS SUR LE CALCULATEUR ANALOGIQUE MH-7M
79
cateur. Si le tumbler occupe l ’autre position, seule la variable appli­
quée sur B1 est visualisée sur l’écran.
Lorsqu’on observe une variable machine, la durée de balayage
horizontal doit être légèrement supérieure à la durée de résolution
du problème. Pour modifier la durée de balayage on dispose de deux
interrupteurs BPEMfl PA3BEPTKH (DURÉE DE BALAYAGE):
celui de gauche opérant par bonds, celui de droite, de façon continue.
Composer le schéma de commutation (fig. 3.7, a) et établir les
coefficients de transfert requis (T4 — CALCUL, T5 — PRÉPARA­
TION). Brancher l ’indicateur, le mettre au mode du bloc principal,
brancher le commutateur. Faire varier les conditions initiales de
l ’intégrateur [51 (T4 — CALCUL, T5 — CALCUL), observer les
variations sur l ’écran et sur le voltmètre VI. Régler la durée de
balayage en procédant à quelques essais de mise en marche de la
machine par action sur le bouton K6 — riY C K (MARCHE). Faire
u0 = 0, Uq = +50 volts, u0 = —50 volts, déterminer la tension
d ’allumage de la lampe au néon. Visualiser les courbes u (t) et
—u (t)/2 sur l ’écran.
8.
Etude du circuit de commande préprogrammée (CCP) en mode
d'arrêt. Le circuit de commande préprogrammée est organisé sur
la base du 17-ème amplificateur opérationnel. Pour mettre cet ampli­
ficateur en circuit on amène le tumbler 3TAJIOHHOE HAIIPflJKEHHE - nPOrPAMMHBIÎÏ PEÎKHM (TENSION ÉTALONNÉE MODE PROGRAMMÉ) dans la position MODE PROGRAMMÉ.
Le tumbler OCTAHOB - ÜEPEKJIIOMEHHE (ARRÊT - COM­
MUTATION) qui se trouve à côté et à droite est mis dans la position
ARRÊT. Le CCP stoppe alors automatiquement la machine à l ’aide
[CH. 3
TRAVAUX PRATIQUES
80
des relais à contacts (qui en sont une partie intégrante) à l’instant
où la variable appliquée aux entrées BX1 et BX2 du CCP change
de signe. Avec le tumbler «H-----» qui se trouve au-dessus du tumbler
T ll sur le panneau avant du bloc principal on peut changer la pola­
rité de la diode dans le circuit de réaction de l’AO [17] (cf. fig. 3.8).
On distingue deux cas de changement de signe de la variable d’entrée
du CCP : la variable s’annule et devient négative, la variable s’annule
et devient positive.
Le schéma de la figure 3.8 stoppe automatiquement la machine
à un instant t* numériquement égal à la condition initiale A de
l’intégrateur [5). En effet (cf. graphe), la variable u5 (f) = A — t
devient négative à partir de t* = A.
Composer le schéma de commutation de la figure 3.8, relier la
sortie de [51 à l’entrée BX1 du CCP. Observer sur l’indicateur la
variable u5 (t) pour différentes valeurs numériques de la condition
T a b le a u 3 .5
/
1
o
3
4
5
6
Aj
5
10
15
20
25
30
Somme
•i
(A j - t j )-
initiale uh (0) = A j (elles sont indiquées dans la deuxième ligne
du tableau 3.5). Mesurer avec un chronomètre le temps tj écoulé
entre la mise en marche et l’arrêt automatique de la machine. Com­
pléter le tableau 3.5.
Calculer les erreurs quadratiques moyennes avec la formule
°=l /
h)2
Enumérer et expliquer les causes éventuelles de l’écart entre les
valeurs A j et tj.
9.
Etude de la précision de la solution machine d'une équation
différentielle. La figure 3.9, a représente un schéma de commutation
comprenant un intégrateur [7] soumis à une réaction à l’entrée (28)
par l ’intermédiaire d’un potentiomètre de coefficient de transfert 0,3.
On s’assure sans peine que la variable machine u7 (*) vérifie l ’équa-
GÉNÉRALITÉS SUR LE CALCULATEUR ANALOGIQUE MH-7M
« ']
81
tion différentielle
-^ - = -0 ,3 ^ ,
u,(0) = 100V,
dont la solution analytique est
u7 (t) = 100 exp (—0,3f).
La courbe intégrale est représentée sur la figure 3.9, b. On se propose
de comparer la solution exacte u7 (t) avec la solution machine. Les
b)
’ a)
Fig. 3.9
valeurs exactes de la solution u7; correspondant aux valeurs discrètes
suivantes 0, 1, 2, . . ., 9 de la variable indépendante t } sont repro­
duites dans la deuxième ligne du tableau 3.6.
T a b l e a u 3 .6
2
4
6
7
OM
0
"a
100 74» 1 54,9 40,7 30,1 22,3 16,5 12,3
1
3
5
8
9
9,1
6,7
Somme
Monter le schéma de commutation de la figure 3.9, a. Mesurer
avec le voltmètre V2 les valeurs v7j correspondant aux valeurs de tj
indiquées dans la première ligne du tableau. Calculer l ’erreur qua­
dratique moyenne avec la formule
°
6-0112
1 0 2 (toi - vu)2-
82
TRAVAUX PRATIQUES
[CH. 3
Enumérer et expliquer les causes éventuelles des écarts entre u7i
et v7j.
Il est recommandé d’utiliser le procédé suivant pour stopper la
machine MH-7M au bout d’une seconde pour mesurer les variables
machine. Presser le bouton K6 — riYCK (MARCHE).. Presser le
bouton K7 — OCTAHOB (ARRET) dès que la lampe de signalisa­
tion L9 s’allume. Le schéma de commande du calculateur MH-7M
est conçu de telle sorte que la machine s’arrête au bout d’une seconde.
Les valeurs numériques prises par les variables au bout d’une seconde
sont mésurées avec un ,-voltmètre. On remet la machine en marche,
on l’arrête en pressant sur le bouton K7 dès que la lampe L9 s’allume
puis on mesure les valeurs des variables machine pour t = 2 8, et
ainsi de suite.
^
^ . r
10.
Intégration d'une équation finie avec un circûii de commande
préprogrammée. Ce schéma de commutation de la figure 3.10, a
permet'dé trouver la racine.de l’équation
100 exp (—0,10 = t.
En effet, l’intégrateur [8] résout l ’équation différentielle
- ^ L = —0 ,lu8,
u8(0) = 100 V.
La solution analytique est u8 (t) = 100 exp (—0,1*). . L’intégrateur
15] délivre la variable u5 (t) = —t. L’addition des variables i/5 (0
et u8 (t) provoque la réponse du CCP et l’arrêt de la machine à l’in­
stant où u8 (0 + u8 (t) = 0, i.e. lorsque —t + 100 exp (—0,10 = 0.
La valeur de la racine de l’équation est mesurée avec le voltmètre V2.
Les variables u2 (t) et u8 (0 sont représentées sur l’écran comme l ’in­
dique la figure 3.10, b.
§ 1]
GÉNÉRALITÉS SUR LE CALCULATEUR ANALOGIQUE MH-7M
83
“ Monter le schéma de commutation de la figure 3.10, a et déter­
miner la valeur numérique de la racine. Vérifier si la solution est
exacte en utilisant la table de la fonction exp (—t).
11.
Etude de la précision de la multiplication. Composer à cet
effet le schéma de commutation de la figure 3.11, a. L’AO [2] du
multiplieur B-II délivre la variable
(J) = 10“*uJ (f)vTAO [4J du
multiplieur B-IV la variable u4 (t) = lO^uf (t). Les variables
Uq (/), u2 (0, u4 (0 sont reproduites sur l ’écran (cf. fig. 3.11, b) pour
faciliter le contrôle visuel du fonctionnement du schéma. Le CCP
permet de limiter à 20 secondes la durée de reproduction des variables.
Stopper et remettre la machine en marche toutes les secondes, mesu­
rer et porter dans le tableau 3.7 les valeurs des variables v4h v2jn v4j
correspondant aux valeurs tj indiquées dans la première ligne. Les
lignes 2, 5, 8 reproduisent les valeurs exactes (théoriques) des
variables ucj, u2j, u4j. Calculer les erreurs quadratiques moyennes
avec les formules
10
<T2 =
(U2J — V2j)2>
i= 1
cr3=
(u4/ —y4y)2.
Enumérer et expliquer les causes éventuelles des erreurs.
Le multiplieur-diviseur (MD) du calculateur MH-7M est commuté
sur le panneau de commutation. Il utilise deux amplificateurs opée*
T a b l e a u 3 .7
§ 1]
GÉNÉRALITÉS SUR LE CALCULATEUR ANALOGIQUE MH-7M
85
rationnels supplémentaires. Ainsi pour organiser le multiplieur
B-1V (fig. 3.11, a et 3.12) il faut effectuer les connexions indiquées
sur la figure 3.13, a. Le multiplieur B-IV est construit sur la base
des AO [3] et [4]. Le panneau de commutation (cf. fig. 3.3) comporte
B-IV
Fig. 3.12
un rectangle CETKH, BbIXOflbl, E-IU, ErIV .(GRILLES, SOR­
TIES, B-III, B-IV) avec 4 paires de douilles. Les MD sont disposés
en bas du bloc principal sous le panneau de commande. Ils font
bloc avec les générateurs de fonctions non linéaires; Ils portent des
numéros pairs et les générateurs de fonctions, des numéros impairs.
Le MD peut multiplier ou diviser. Pour choisir entre ces deux opé­
rations, on dispose d’un commutateur ou de deux tumblers placés
à l’arrière du MD à côté des prises. Pour commuter les tumblers il
faudra donc retirer le MD de la machine. Les entrées 1 et 2 du MD
et ses sorties dédoublées (fig. 3.13, 6) sont placées sous le champ de
Fig. 3.13
composition dans un rectangle portant l ’inscription B-IV. Par ailleurs
toute sortie de l ’AO [4] est sortie du B-IV. Le MD est tel que l’on
peut attribuer n’importe quel signe au produit effectué. Le signe
est affecté par commutation des douilles sur la face du MD.
Pour diviser, on envoie le dividende à l ’entrée (1) du MD et le
diviseur à l ’entrée (2).
12.
Etude de la division. Commuter le bloc B-IV sur la division
(cf. fig. 3.11, a). L’échelle du diviseur étant égale à 10, l’AO [41
86
TRAVAUX PRATIQUES
[CH. 3
doit théoriquement délivrer la variable
Visualiser les variations de ufl, u2t u4 en changeant alternative­
ment (par commutation des opérateurs) les signes du dividende et
du diviseur. Interpréter les résultats obtenus et les comparer avec
les théoriques. Formuler la règle du signe du quotient en fonction
des signes du dividende et du diviseur. Interpréter le résultat de la
division dans le cas où le diviseur est une variable machine com­
prise entre —10 et +10 volts.
13.
Remise à zéro des amplificateurs. Mettre à zéro les amplifica­
teurs opérationnels et expliquer la « dérive » des zéros.
§ 2. Technique de composition des schémas de commutation
sur le calculateur MH-7M
Les schémas de commutation sont câblés sur le panneau de com­
mutation, machine branchée (T4 — RÉGLAGE ZÉROS, T5 —
PRÉPARATION). On recommande la succession suivante.
1) Organiser les entrées et les circuits de réaction des opérateurs
sur le panneau de commutation comme l'indique le schéma de com­
mutation. Il est conseillé de signaler sur le schéma l’organisation de
chaque entrée pour éviter toute confusion.
2) Organiser les connexions entre les opérateurs sur le champ de
composition. Prendre les mêmes précautions que précédemment.
3) Régler les zéros des 18 amplificateurs opérationnels.
4) Etablir les coefficients de transfert exigés des opérateurs
(T4 - CALCUL, T5 - PRÉPARATION).
5) Organiser les connexions omises dans 2) et assurant l ’alimen­
tation en tensions constantes.
6) Donner les conditions initiales des intégrateurs (T4 — CAL­
CUL, T5-C A L C U L ).
7) Régler l’indicateur électronique: mode de travail, durée du
balayage et amplification des entrées verticale et horizontale.
Nature et succession des opérations. Composer trois schémas
de commutation: le premier étant un des schémas des figures 3.14
à 3.17 pour une variante quelconque du tableau des variantes; le
second, une variante du schéma de la figure 3.18 pour, toutes les
valeurs des paramètres des courbes; le troisième, une variante du
schéma de la figure 3.19.
Chaque schéma reproduit une courbe plane. La visualiser sur
l ’écran, puis la tracer à l’aide d’un traceur à deux coordonnées.
Les schémas des figures 3.14 à 3.17 ne contiennent que des opé­
rateurs linéaires, des sommateurs et des intégrateurs, et reproduisent
des courbes appelées cycloïdes.
TECHNIQUE DE COMPOSITION DES SCHEMAS
-cost (5] ■
(75)
cosmt[7] ■
*(f) [ S ] ■
- s i n t [/]
Tableau des variantes
(55)
n*var. 1 2 3 4 5 6 7 S 9 10
(42)
m
j«)
s in m t[8 [ ■
ÿ (m
87
2 3 9 5 6 7 6 9 3,5 V
(ü-0,fm
(ÿ )
Fig. 3.14
-cost [5] •
cosmt [7]
x{t) [?]•
Tableau des variantes
ffvar. 1 2 3 9 5 6 7 8 3 10
m 2 3 9 5 6 7 s 9 10 2J5
-s in t (/]sinmt[2] -
C ù ° O J f7 )
y itM Fig. 3,15
On appelle hypocycloïde la courbe décrite par un point d'un cercle
roulant intérieurement, sans glisser, sur un autre cercle.
On appelle épicycloïde la courbe décrite par un point d'un cercle
roulant extérieurement, sans glisser, sur un autre cercle.
[CH. 3
TRAVAUX PRATIQUES
88
Tableau des variantes
rfvar. l 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6
K
1,75
<0 - 0,1m ; â=QJ/L
Fig. 3.1 G
j fri
-cast [ J ] - # - ------c o sm t[7 ]~ + Q \
,,„
Tableau des variantes
n'var. / 2 3 4 5 6 7 8 9 fO
(38) ^
x(t) [9}—+------
m
K
sinmt [2\ —
2
«
5 6 7 2 4 5 6 7
t,5
20
(ù-OJm; â=OLfjL
y W M - * ----Fig. 3.17
On appelle hypotrochoïde allongée la courbe décrite par un point
situé en dehors d’un cercle roulant intérieurement, sans glisser, sur
un autre cercle.
10
100V
Paramètres des courbes
1 2 3 9 5 6 7 Ô 9 10
(t >/* 0 </o I/o 0 >/s 0 t/5 1/3 0
c >u ’/* 0 I/o 0 1/3 >/3 0 1/3 0
b I/o '/* I/o 0 I/o '/3 >/3 >/s 0 ’/ s
a I/o <k I/o I/o I/o ‘/s % ¥3 Vs
1100 V
\Û
ilT^cast
/ Î ^ sl/7t
/ ô~Vm
Tableau des variantes
n°Yar / 2 J 9 5 6 7 Ô 9 10
a 0, / 0,2 0,3 OA 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 f,0
Fig. 3.18
DO
TRAVAUX PRATIQUES
[CH. 3
On appelle épitrochoïde allongée la courbe décrite par un point
situé en dehors d’un cercle roulant extérieurement, sans glisser,
sur un autre cercle.
Dans chacune de ces variantes, les cycloïdes possèdent un nombre
fini de branches. Donc, si le schéma est correct et les coefficients de
transfert assez exacts, le point décrivant la courbe revient à l ’endroit
«d’où il est parti après avoir effectué un ou plusieurs tours du cercle
(fixe. Si les coefficients de transfert ne sont pas exacts, les cycloïdes
aie reviennent pas à leur point de départ mais à un point situé légè­
rement à côté, de sorte qu’après chaque tour de cercle elles sont
«décalées en avant ou en arrière. De tels cas sont représentés sur la
figure 3.20.
Le schéma de la figure 3.18 simule des courbes planes appelées
courbes de Habenicht, du nom du mathématicien naturaliste alle­
mand qui a cherché des expressions analytiques pour décrire de
nombreux modèles géométriques du monde végétal. Le schéma com­
prend un grand nombre de multiplieurs pour la réalisation du rayon
vecteur r et de ses projections sur les axes de coordonnées x et y.
Les « fleurs » de Habenicht citées dans le tableau des variantes
possèdent un nombre entier de pétales. Donc, le point décrivant la
fleur doit revenir à son point de départ si les coefficients de transfert
sont correctement mis au point. Certaines courbes de Habenicht sont
représentées sur la figure 3.21. Les valeurs numériques des coefficients
TECHNIQUE DE COMPOSITION DES SCHÉMAS
91
Fig. 3.21
de transfert du sommateur [2] doivent être empruntées au tableau
des paramètres des courbes, variantes 1 et 6. Toutes les autres varian­
tes s'obtiennent par élimination et rétablissement de certaines liai­
sons à l ’entrée du sommateur [2] sans remise au point des coefficients
de transfert.
TRAVAUX PRATIQUES
92
[CH. 3
Le schéma de la figure 3.19 renferme des opérateurs dont une
partie sert au contrôle par la méthode de la variable redondante.
Donc, si le schéma est juste et les coefficients de transfert correcte­
ment mis au point, le sommateur [10] délivre une variable nulle.
§ 3. Résolution de problèmes de Cauchy
Nous allons étudier la résolution d'un problème de Cauchy *)
en simulant le mouvement d'un point matériel lancé obliquement
dans un milieu résistant. Dans le chapitre « Divers problèmes de
simulation » on trouvera la position et les méthodes de simulation
d'autres phénomènes physiques se ramenant à des problèmes de
Cauchy.
1. Position du problème. Un point matériel de masse m est lancé
d'un point O dans une direction faisant un angle a avec l'horizontale,
avec une vitesse initiale u0 (fig. 3.22, a). Le point se déplace dans un
milieu plan opposant une résistance Q proportionnelle à la vitesse
du mouvement. On demande de simuler le mouvement du point
matériel en supposant que le point O et le point de chute A sont situés
à une même hauteur.
2. Mise en équations du problème. Soit un système de coordonnées
rectangulaires xOy dont l'axe des x passe par O et A. La loi de New­
ton donne
X = mx, Y = my,
(3.1)
où X, Y sont les projections sur les axes de coordonnées de toutes
les forces appliquées sur le point matériel, x et y les accélérations du
point matériel le long des axes de coordonnées.
Le point matériel est soumis à l'action de deux forces: son poids
P = —mg et la résistance du milieu Q = —kmv, où k est un coef­
ficient de proportionnalité. En portant les expressions des projec­
tions des forces P et Q sur les axes de coordonnées
X = X P + X Q, Y = Y P + y Q,
où
X P = 0, X Q = —kmxy Y P = —mg, Y 0 = —kmy
•
•
dans (3.1), on obtient le système d’équations différentielles du mou­
vement
x = —kx,
x (0) = v0cos a,
x (0) = 0 ,
y = —ky —g, y (0) = u0sin a,
g(0) = 0#
*) Le chapitre 11 d 'E l é m e n t s d e s i m u l a t i o n s u r c a lc u la te u r s a n a lo g iq u e s
contient un grand nombre de problèmes de Cauchy rattachés à la simulation de
la cinétique de réactions chimiques.
§ 3]
RÉSOLUTION DE PROBLÈMES DE CAUCHY
93
Pour contrôler la machine, on appliquera la méthode de la variable
redondante. Introduisons à cet effet la variable redondante z {t)
à)
Fig. 3.22
et exigeons qu’elle vérifie la relation de contrôle
' *-
k t + x + ky + y — 2 = 0.
(3.3)
t"
,
;'
Pour réaliser (3.3) il est nécessaire de chercher d ’abord une méthode
de.r reproduction •dalaiyaçiable.redondante z (t). En dérivant (3.3)
[CH. 3
TRAVAUX PRATIQUES
94
par rapport à t on trouve aisément l’équation différentielle.déter­
minante
2
= kx + x + ky + y.
compte tenu de (3.2) on obtient finalement les expressions mathé­
matiques indispensablesà la simulation du problème:
!
z = — g,
z (0) = v0 (çostf-psfn a);
x
x (0) = i;0cos a , v x(0) = 0; .. ; (3.4)
—l:xy
y — — ky — g,
y (0) = UosirTa,' ÿ (0 )'^0 ;
i
k j + x + ky + y — 2 = 0.
3. Schéma fonctionnel. Les schémas fonctionnels sont élaborés
pour les variables mathématiques et indiquent le principe de con­
nexion des opérateurs pour câbler les expressions 'mathématiques
données. LO'Schéma fonctionnel réalisant (3.4) est celui de la figu­
re 3.22, b.
;
Le schéma prévoit un arrêt de la machine à la condition y = 0,
ce qi.I traduit le fait que le point de torticement 0 et le point de
chute A sont situés à la même hautéïïr?>Les sorties des intégrateurs
délivrant les variables y (t) et x (<) sont reliées aux entrées de dévia­
tion verticale et horizontale de l’indicateur électronique. La tra­
jectoire y = <p (x) du mouvement est reproduite sur l’écran de l’in­
dicateur. A la sortie du sommateur de contrôle gui élabore l ’« erreur »
de la relation de contrôle
e = —(kx + x + Icy + j r — z)
est branché un voltmètre pour l ’ol)Servàtion visuelle de cette
«erreur».
4. Choix des échelles. Les échelles'sont des coefficients de propor­
tionnalité dimensionnels entre les variables mathématiques et les
variables machine. Il y a lieu de faire une distinction entre le choix
des échelles des variables dépendantes et de la variable indépendante.
On ne modifie l’échelle que des variables mathématiques dépendan­
tes qui figurent « explicitement » dans le schéma fonctionnel. Autre­
ment dit, les variables dont on modifie l ’échelle sont élaborées par
les opérateurs comprenant un amplificateur opérationnel. Ici il
•
•
s’agira des variables x (t), x (t), y (t), y (t), z (t). Il n’est pas néces••
••
sa ire de choisir les échelles des variables x (t) et y (t) puisqu’elles
ne sont délivrées par aucun opérateur contenant un amplificateur
opérationnel. On a le tableau de correspondance suivant entre les
§3].
RÉSOLUTION DrE PROBLÈMES DE CAUCHY
95.
variables mathématiques et les tensions électriques < .
Tension
V ariable
i(< )
•
-
" * „ = '” o * (0
x (t)
u x , = m , i (t)
y ( 0
u tf0 = m 0y (O
,v (0
- (0
u ;/, = m ,ÿ (< )
r
•
« i= " » i* (0
z/x0,
sont des tensions électriques, .m0, mu
les échelles. Pour faciliter la comparaison, les échelles des variables
de même dimension ont été prises deux à deux égales.
Les échelles doivent être telles que les variables machine restent
dans la plage ±100 V (pour les calculateurs à lampes). Cette con­
dition sera respectée si l ’on calcule l’échelle d*;une variable mathé­
matique, par exemple, z (t), avec la formule
u
x n
u
y o y
u
y n
u z
100V
m
z
(3-5)
I sm ax |
En effet, il vient alors | u2 | = mz \ z (t) | ^ 100 V.
Dhns notre cas, pour calculer les échelles £1 faut connaître
^m axi
^m ax»
i/m a x »
ÿ m ax >
^ m ax *
Où les prendre puisque la solution analytique de (3.2) est inconnue?
Il nous faut donc chercher les valeurs maximales des variables sans
tecoùrïr à la solution analytique de (3.2). On fart aiôrâ appel au
principe physique du processus. Au lieu du processus donné, décrit
par.des équations différentielles « compliquées», on choisit un pro­
cessus similaire, régi par des équations simples dont la solution
analytique permet d’évaluer la plage de variation des variables
dans le processus simulé. Ce processus auxiliaire s’appelle problème
d'échelle. Dans notre cas, comme problème d’échelle on peut considé­
rer le mouvement d’un point matériel lancé obliquemént dans le
vide. Le vide n’offrant pas de résistance, le point matériel se dépla­
cera plus vite et tombera plus loin. Donc les valeurs maximales des
vitesses x, y et des déplacements x, y du point dans le vide convien­
dront pour le choix des échelles des variables décrivant le mouve­
ment d’un point dans un milieu résistant. Au mouvement dans le
vide correspond la valeur k = 0, donc le système d’équations diffé­
rentielles (3.2) devient
••
•
x(0) = i;0cosa,
x(0) = 0;
y = — g,
y (0) = v0sin a,
y(0) = 0.
x = 0,
(3.6)
96
TRAVAUX PRATIQUES
[GH. 3
Les équations (3.6) admettent la solution analytique simple
X(f) = (i>0COSo) t , y (t) = (v0sin a ) t - ^ - t
d'où il suit que:
1) quel que soit l'angle de lancement a, les projections x y y
de la vitesse v sur les axes de coordonnées x et y ne sont pas supé­
rieures à la vitesse u0;
2) le point de chute le plus éloigné xmaz correspond à un angle
de lancement a = ji/4 et se trouve à une distance de yj/g;
3) la hauteur maximale gmaz atteinte par le point matériel cor­
respond à un angle de lancement a =
et vaut yj/2g;
4) la valeur maximale de zmaz < 2y0Le calcul des échelles est conduit dans le tableau 3.8.
T a b le a u 3 .8
V ariable
•
X y
Z
y
CIO
X y
V aleur m axim ale
de la v ariab le
y
v0
g
2v0
Echelle
100ff
»?
100
»o
100
2»0
Sym bole de
l ’échelle
m0
mi
m z
5.
Schéma de commutation. Le schéma de commutation est
composé pour les variables machine et orienté vers le calculateur
retenu: ici le calculateur MH-7M. La figure 3.23 représente des sché­
mas de commutation. A la différence du schéma fonctionnel de la
figure 3.22, ils contiennent des potentiomètres supplémentaires aux
entrées des opérateurs [6], [7], [81, [9], [15], qui servent à l ’adapta­
tion des échelles.
Le circuit de commande préprogrammée du schéma de commuta­
tion de la figure 3.23, b interrompt la résolution aussi bien à la con­
dition y = 0 qu’à la condition y = 0, ce qui correspond à l’instant
où le point matériel atteint la hauteur maximale ymaz. L’intégrateur
116) est réservé à la mesure du temps de vol du point matériel.
Signalons encore que dans les schémas de commutation de la
figure 3.23, a et 6, les coefficients de transfert des opérateurs et les
conditions initiales des intégrateurs sont représentés génériquement
sous forme d’expressions mathématiques renfermant les paramètres
a, k y v0 du processus simulé. C’est uùe circonstance extrêmement
importante, car le schéma permet à l ’aide d ’une commutation de
déterminer l ’influence exercée sur le» processus par; les divers para-
RÉSOLUTION DE PROBLÈMES DE CAUCHY
§ 3]
97
mètres soit séparément, soit ensemble par variation des coefficients
de transfert des opérateurs et des conditions initiales des intégrateurs.
•-fOOcoscc
-m,i[5] — (A)— >>-------O - 7
afin
m
-lOOsincc
10
Arrêt programmé à
La condition
-10QV
-n,i/[7]— © —W s
y=o
9Î^0
a)
-/où
~mA
s
)
— t ~ 0 ~ L - }00V*%?
b)
Fig. 3.23
Le schéma de commutation générique s'obtient par le calcul des
échelles à l’aide de la méthode des problèmes d ’échelle.
Si la plage de variation des paramètres du processus simulé
est fixée, il faut concrétiser le schéma de commutation, c’est-à-dire
déterminer les numéros des entrées utilisées des opérateurs. La
7-0112
98
TRAVAUX PRATIQUES
[CH. 3
figure 3.23, b représente un tel schéma de commutation. On suppose
que 0
k < 1 s”1, 0 < 2giv0
1 s"1.
Attardons-nous sur le choix de l’échelle de la variable indépen­
dante qui représente le temps dans les calculateurs analogiques. Ce
choix est lié à la durée de la résolution du problème par la machine.
L’échelle temporelle est automatiquement adaptée à celle des varia­
bles mathématiques dépendantes, de sorte que l’unité de temps est
la seconde machine. Un cas important sur le plan terminologique
est celui où la variable indépendante du processus simulé est le
temps. Ceci étant, si à une seconde de marche du processus réel cor­
respond une seconde machine, on dit que le processus est simulé
en temps réel. On dit par ailleurs qu’il est simulé en temps accéléré ou
ralenti selon qu’il est réalisé plus ou moins vite qu’en temps réel
par la machine. La notion de temps accéléré, ralenti ou réel n’a bien
sûr pas de sens pour les phénomènes dans lesquels la variable indé­
pendante n’est pas le temps, mais par exemple la longueur, comme
dans les problèmes de flexion d’une poutre. Donc, dans le cas général,
ce n’est pas l’échelle du temps qui est essentielle, mais la durée de
résolution du problème sur la machine. La durée maximale de réso­
lution d’un problème par la machine MH-7M est limitée par les
erreurs d’intégration et est comprise entre 150 et 200 secondes. Il
faut compter 1 0 à 2 0 secondes pour une observation visuelle conve­
nable. A signaler que la variation de la durée de réalisation du
processus simulé ne touche pas les étapes précédentes et obéit à la
règle suivante :
pour modifier de m fois la durée de résolution d'un problème il faut
modifier de m~l fois les coefficients de transfert de tous les intégrateurs
et d'eux seuls *).
Cette règle est une conséquence directe du fait que les variables
de sortie et d’entrée de l’intégrateur sont entre elles comme une varia­
ble et sa vitesse de variation. Une modification identique et simul­
tanée des coefficients de tous les intégrateurs entraîne une variation
de la vitesse de reproduction de toutes les variables machine, et
partant de la durée de résolution du problème.
6 .
Marche à suivre. 1) Dans le tableau 3.9 repérer les valeurs
numériques des paramètres du processus simulé de la variante donnée.
2) Simuler le mouvement du point matériel pour les paramètres
donnés et a = ■£-d’après le schéma de commutation de la figu­
re 3.23, b. Si le schéma de commutation est correctement monté
et les coefficients de transfert des opérateurs exactement mis au
point, l’erreur de la relation de contrôle n’est pas supérieure à
± 0,5 V. Si l’erreur excède cette quantité, il faut la localiser et en
éliminer la cause.
) On suppose que le schéma n’utilise pas de dérivateurs.
RÉSOLUTION DE PROBLÈMES DE CAUCHY
§ 3]
99
Déterminer le temps tn pendant lequel le point est en l’air et les
composantes x (fn) et y (/„) de la vitesse de chute. Si tn < 10 s,
Tableau 3.9
P aram ètre
i
o
3
4
r>
6
7
8
«i
10
— Is-1]
0,3
0,3
0,3
0,2
0,2
0,2
0,4
0,4
0,4
0,1
0,05
0,10
0,15
0,03
0,06
0,09
0,20
0,10
0,06
0,05
modifier la durée de résolution du problème en la portant à 1 0 s.
Relever les valeurs de x (t) et y (t) toutes les secondes et les porter
dans le tableau 3.10.
Tableau 3.10
<(s]
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
* (/)
ÿ (0
Construire le graphe y = <p (x).
3) Poser a = — , réaliser les trajectoires du point matériel pour
k compris entre 0 et 0,4 avec un pas de 0,05. Figer pour chaque tra­
jectoire les valeurs des variables: xmax — l’abscisse de la chute,
y max — la hauteur maximale, x m — l’abscisse correspondant à la
hauteur maximale, tm — le temps mis par le point pour atteindre
la hauteur maximale, tn — durée totale du vol. Porter les résultats
des mesures dans le tableau 3.11.
Interpréter les résultats obtenus et construire les graphes
1/max “
fi ( ^ m a x ) i
^n = / 2 ( ^ ) #
4) Poser k = 0, réaliser les trajectoires du point matériel pour
divers angles de lancement compris entre ji/ 1 2 et ji/ 2 avec un pas
de ji/12. Porter ces résultats dans le tableau 3.12. Interpréter les
résultats obtenus. Construire le graphe de ymax = / 3 (xmax).
7*
[CH. 3
TRAVAUX PRATIQUES
100
T a b l e a u 3.11
h rs-i]
0
0 .0 5
0 .1 0
0 .1 5
0 .2 0
0 .2 5
0 .3 0
0 .3 5
0 .4 0
y max
x max
tyn
xm
ln
Tableau 3.12
a
Jl/12
Jï/6
Ji/4
n /3
5JI/12
n/2
cos a
0.966
0.866
0.707
0,500
0.259
0 .0 0 0
sin a
0.259
0.500
0.707
0.866
0.966
1 .0 0 0
Ifmax
xm
Ijn
xmax
ln
i(<n)
y(tn)
§ 3]
RÉSOLUTION DE PROBLÈMES DE CAUCHY
jQl
7.
Généralisation. Chute d’un point matériel sur une surface
élastique. Supposons que le point matériel tombe sur une surface
élastique schématiquement représentée par des plates-formes impon­
dérables non reliées entre elles, reposant sur des ressorts (fig. 3.24, a).
En tombant sur une telle plate-forme, le point est soumis à l ’action
répulsive de la force élastique F = —mcy. Le point rebondit et
Fig. 3.24
poursuit son mouvement. On demande de simuler ce phénomène.
Précisons tout d’abord le système d’équations différentielles (3.2).
La force F agit vers le haut et uniquement lorsque le point se trouve
au-dessous de l’horizon, i.e. lorsque y < 0 , de sorte que
F=
0
{ —mcy
pour y ^
pour y <
,
0 ,
0
TRAVAUX PRATIQUES
102
[CH. 3
où m est la masse du point, c la rigidité du ressort. Le système d’équa­
tions différentielles (3.2) s’écrit alors
••
•
•
x = —kx,
x ( 0 ) = 0 , x (0 ) = v0cos a,
y = — ky — g + F/m, y ( 0) = 0,
y(0) = i;0 sin a.
(3.7)
Le terme Flm est facilement câblé sur la machine avec une opéra­
tion de choix. En effet, Flm = —c min {0 , y}; les deux variantes
de schémas fonctionnels sont représentées sur la figure 3.24, 6 .
Le schéma de commutation est représenté sur la figure 3.24, c.
La rigidité de la surface élastique vaut c — 500 c \ où c est le coef­
ficient de transfert à la (26)-ième entrée de l'intégrateur 17].
Simuler le mouvement du point pour a = n!3, k = 0 , 1 et 0,10.
Interpréter les résultats obtenus et tracer les graphes y = <p (x),
y = i'i (*)* F =
(*)•
§ 4. Réduction d’un problème aux limites
à un problème de Cauchy
Les problèmes aux limites sont envisagés pour des équations
différentielles d’ordre supérieur au premier. Comme exemple de
problème aux limites citons le problème
y" (t) = <p ( 0 ,
y (0) = i/o»
y (i) = yi
dont la solution est cherchée sur l'intervalle t £ 1 0 , 1 ], où <p (t)
est une fonction donnée. Il est impossible d’obtenir immédiatement
la solution de ce problème. Force est donc de lui trouver un problème
de Cauchy équivalent, soit
y " (0 = <p (0 .
y (0) = yo,
y ’ (0) = y ’t
et de le simuler.
D’une façon générale, un problème de Cauchy et un problème
aux limites sont équivalents si leurs solutions sont confondues sur
l’intervalle d’intégration. La recherche d’un problème de Cauchy
équivalent à un problème aux limites donné s’appelle réduction du
problème aux limites au problème de Cauchy. Nous allons considérer
une méthode simple de réduction, appelée méthode des essais et
corrections, sur l’exemple de la simulation du tir à l’obus sur une
cible immobile. Dans le chapitre 6 des « Eléments de simulation sur
calculateurs analogiques » on trouvera des problèmes aux limites
rattachés à la simulation d’une flexion élastique et les méthodes
de leur réduction à un problème de Cauchy.
§ «]
RÉDUCTION D’UN PROBLÈME AUX LIMITES
103
Tir sur une cible à terre.
1.
Position du problème. Un canon placé en un point O d’une
région défendue (RD) tire à l’instant t = 0 sur les positions enne­
mies PE (fig. 3.25) se trouvant a une distance Z de O. A sa sortie
du fût, l’obus est animé d’une vitesse u0. On admet que l ’air oppose
une résistance proportionnelle à la vitesse de l ’obus *). Simuler la
trajectoire d’un obus qui atteint la cible.
2. Equations différentielles du mouvement. Le mouvement de
l’obus est régi par le système d’équations différentielles déjà connu
(3.4), à la seule différence qu’au lieu du problème de Cauchy on
a affaire au problème aux limites
x = — kx,
. . .
y = ky —g,
x (0 ) = 0 , x (t*) = /,
(3.8)
y (0 ) = 0 , y(t*) = 0,
où t* est le temps de vol de l’obus, i.e. le temps compris entre la
mise à feu et la destruction de la cible.
Réduire le problème à un problème de Cauchy consiste dans
le cas de l’équation (3.8) à résoudre le problème de rencontre de
l’obus avec la cible. En d’autres termes il faut trouver un angle
d’élévation a* du canon tel qu’au bout d’un temps /* après la mise
à feu l’on ait
x (/*) = Z, y (Z*) = 0.
3. Schéma fonctionnel et schéma de commutation.
Ces schémas sont à peu de chose près ceux des figures 3.22 et 3.23.
Nous les omettrons.
*) Nous avons adopté une dépendance linéaire de la résistance par rappor
à la vitesse du mouvement exceptionnellement pour simplifier le problème.
En réalité cette dépendance est plus complexe.
TRAVAUX PRATIQUES
104
[CH. 3
4. Marche à suivre.
1)
Dans le tableau 3.13 repérer la variante donnée, calculer les
coefficients de transfert du schéma de commutation et simuler la
Tableau 3.13
P a ra ­
m ètre
0
1
O
4
3
5
b
7
8
9
— ls"M 0,014 0,014 0,020 0,020 0,015 0,015 0,021 0,016 0,018 0,016
k ls-‘l
0,004 0,006 0,007 0,010 0,005 0,007 0,007 0,004 0,008 0,007
rencontre de l'obus avec la cible en admettant que celle-ci se trouve
à une distance l = 0,4 trjg de la pièce d’artillerie.
2) Simuler la trajectoire de l ’obus pour un angle d'élévation de
a = -2 .; évaluer le temps de vol de l'obus; porter la durée de simu­
lation des trajectoires jusqu’à 2 0 secondes machine.
3) Réduire le problème aux limites (3.8) au problème de Cau­
chy (3.4). A signaler que dans la plupart des cas il existe deux angles
d’élévation, a* et a* qui permettent à l’obus de faire mouche.
m0l[i)
-Vf
+K/
-[6]mgX
Vf
Fig. 3.26
La non-unicité du problème de Cauchy équivalent est une particu­
larité importante du phénomène étudié. A chaque angle d’élévation
correspond une trajectoire de l’obus. La trajectoire du premier type
est représentée sur la figure 3.25 par le chiffre romain I. Cette tra­
jectoire est dite courbe. Le chiffre romain II représente la trajec­
toire du second type, dite trajectoire rasante. A remarquer que
lorsqu’on tire dans le vide les angles oc* et a* vérifient la relation
a* + a* = n/ 2 .
S 4]
RÉDUCTION D’UN PROBLÈME AUX LIMITES
105
La réduction s’opère par la méthode des essais et corrections.
On se donne plusieurs valeurs arbitraires de l’angle a, soit
• • •»
• • •»
(3.9)
et l ’on simule la trajectoire correspondant à chacune d ’elles avec
le schéma de la figure 3.23. Ce schéma comporte en plus l ’inver­
seur [1] (pour la donnée de la coordonnée x = Z au point de con­
centration des forces ennemies) et le voltmètre VI est branché
autrement. La figure 3.26 représente la partie du schéma de commu­
tation notifiant ces modifications. Au cours des essais de simulation
des trajectoires, le voltmètre VI mis au mode COMPENSATION
est utilisé pour mesurer l ’erreur 6 = m0 (x — Z) entre Z et l’abscisse
du point de chute de l ’obus. Le signe de l ’erreur indique si le tir
est court ou long. Aux valeurs aj correspondent les erreurs
ôlt ô2, . . ., 6 y, . . .
(3.10)
On construit le graphe de ô = (a) (fig. 3.27, a) en se servant
de (3.9) et (3.10). Le zéro de la fonction \|> (a) correspond à la valeur
cherchée a*. Pour réduire le nombre d’essais on peut utiliser la
[CH. 3
TRAVAUX PRATIQUES
106
méthode suivante. Les deux premières valeurs, a x et a 2, sont arbi­
traires, quant à a .,, elle est choisie en fonction des deux précédentes
(fig. 3.27, b). Les points 1 et 2 sont reliés par une droite jusqu’à son
intersection avec l’axe des a. Déterminer de cette façon la valeur
Table trigonométrique
Dcyrés
sin
cos
Degrés
Degrés
sin
cos
Degrés
0
1
•>
3
4
5
0,0000
0,0175
0,0349
0,0523
0,0698
0,0872
1,0000
0,9998
0,9994
0,9986
0,9976
0,9962
90
89
88
87
86
85
23
24
25
0,3907
0,4067
0,4226
0,9205
0,9135
0,9063
67
66
65
6
7
8
9
10
0,1045
0,1219
0,1392
0,1564
0,1736
0,9945
0,9925
0,9903
0,9877
0,9848
84
83
82
81
80
26
27
28
29
30
0,4384
0,4540
0,4695
0,4848
0,5000
0,8988
0,8910
0,8829
0,8746
0,8660
64
63
62
61
60
11
12
13
14
15
0,1908
0,2079
0,2250
0,2419
0,2588
0.9816
0,9781
0,9744
0,9703
0,9659
79
78
77
76
75
31
32
33
34
35
0,5150
0,5299
0,5446
0,5592
0,5736
0,8572
0,8480
0,8387
0,8290
0,8192
59
58
57
56
55
16
17
18
19
20
0,2756
0.2924
0,3090
0,3256
0,3420
0,9613
0,9563
0,9511
0,9455
0,9397
74
73
72
71
70
36
37
38
39
40
0,5878
0,6018
0,6157
0,6293
0,6428
0,8090
0,7986
0,7880
0,7771
0,766)
54
53
52
51
50
21
22
0,3584
0,3746
0,9336
0,9272
69
68
41
42
43
44
45
0,6561
0,6691
0,6820
0,6947
0,7071
0,7547
0,7431
0,7314
0,7193
0,7071
49
48
47
46
45
suivante a3 de l’angle d’élévation puis simuler la trajectoire cor­
respondante; calculer l’erreur 6 3 à l’aide de VI et représenter le
point 3' correspondant. Mener par les points 2 et 3' une droite
jusqu’à son intersection avec l’axe des a et trouver la valeur suivan­
te CZ4 , et ainsi de suite.
Pour réduire le problème on se servira de la table des fonctions
trigonométriques sinus et cosinus donnée plus haut. Faire la réduc­
tion pour un tir courbe et un tir tendu.
SIMULATION DE L’ÊQUATION DE LA CHALEUR
107
4)
S'assurer que l’obus a atteint la cible et vérifier le fonctionne­
ment de la machine à l’aide d’un schéma de contrôle. Pour les deux
types de trajectoires, définir le temps t* et Z* de vol de l ’obus ;
la vitesse v* et v* de l’obus au moment où il atteint la cible; l ’alti­
tude maximale yt max et y« max de l’obus. Interpréter les résultats
obtenus.
§ 5. Simulation de l'équation de la chaleur
1.
Position du problème. Une paroi homogène, épaisse, de
grande surface sépare deux milieux de température différente
(fig. 3.28), la température du milieu de gauche varie comme q>j (0,
celle du milieu de droite comme <p2(Z). L’épais­
seur de la paroi est Z. On demande de simu­
ler la distribution de la température pour les
points intérieurs de la paroi en considérant pjt)
les fonctions cpx (Z) et <p2 (Z) données.
Introduisons tout d’abord des variables
^
mathématiques qui décrivent la distribution
de la température en profondeur de la pa­
roi. Traçons un axe Oy perpendiculaire à la pa­
roi. La température des points intérieurs est
une fonction de deux variables: le temps Z et
Fig. 3.28
la coordonnée y , i.e. v (Z, y). Les points de la
paroi situés sur une même verticale possèdent une même tempéra­
ture (isothermes) par suite de la grande surface de la paroi et de
son homogénéité.
La fonction v (Z, y) est solution de l’équation
dv
IX d2i?
dt
c
dyz *
(3.11)
où k est le coefficient de conductibilité thermique, c la chaleur spé­
cifique volumique de la paroi. La solution de l’équation (3.11)
doit vérifier les conditions aux limites v (Z, 0) =
(Z), v (Z, Z) =
= cp2 (Z) et la condition initiale v (0, y) = T (y).
2.
Approximation de l'équation de la chaleur. Pour chercher
un système d’équations différentielles ordinaires approchant l ’équa­
tion (3.11), partageons la paroi par des lignes verticales en une
série de couches de même épaisseur. A l ’intersection des verticales
avec l’axe des y, on obtient une série de points en lesquels la tempé­
rature sera uniquement fonction du temps. On supposera que les
points de l’axe Oy sont situés à la même petite distance h l ’un de
l’autre (fig. 3.29). Portons la coordonnée uj du point / dans l’équa­
tion (3.11):
â v ( t 9 yj)
dt
__ X
c
d 2v ( t , y j )
dyz
(3.12)
108
TRAVAUX PRATIQUES
[CH. 3
Si l’on désigne v (/, y}) par vj (t), on obtient
= îüÆl
ut
dt
La dérivée partielle peut approximativement être expri­
mée en fonction des valeurs de v (t, y) au point y} et aux points
voisins y]+1 et
Ô
Sÿ'p ‘ll;y+1 (0 _ 2 ^ (0 + ^-! (01*
OÙ
vJ+i(t) = v(t, yJ+i), Vj-l (t) = v(t, y j.t).
Compte tenu de ces expressions, l ’équation
(3 . 1 2 ) se transforme en l’équation différentielle
ordinaire du premier ordre:
= P (^+i ( 0 Fig. 3.29
2
vj (t) + vj-i (0 1 ,
V}(0) = T(y}) = Ti , p = - ^ .
On obtiendra autant de telles équations qu’il n’existe de points
sur l ’axe. Si les points sont au nombre de n, les équations formeront
un système de n équations différentielles ordinaires qui approchera
l’équation (3.12) :
= p [vJ+l (0 - 2v, ( 0 + v „ (0 1 ,
7 = 1 , 2 , . . . . n,
Vj(0) = Tj,
l>o(0 = <Pl (0*
yn+l (0 ==<P2 (0*
(3.13)
o,(t>
Le système (3.13) est un fproblèmej'de <. . jsi
°i»(0
Cauchy.
'
L2 2 — 1
3. Schéma fonctionnel. Le schéma fonc­
tionnel résolvant le système (3.13) est reFig- 3.30
présenté sur la figure 3.30. Ce schéma est écono­
mique. Il nécessite un intégrateur en tout pour la résolution de
chaque équation. Les rectangles indiquent les schémas générant
les fonctions données <px (t) et q>2 (*)•
4. Adaptation des échelles des variables. En adaptant les échelles
des variables on tiendra compte de ce que la température des points
intérieurs ne peut dépasser les quantités cpj (*) et q>2 (t).
5. Marche à suivie*). Repérer la variante donnée sur le tableau
3.14 et composer les schémas fonctionnel et de commutation pour
*) Au chapitre 4 on trouvera divers cas de simulation de l'équation diffé­
rentielle de la chaleur.
SIMULATION DE L'ÉQUATION DE LA CHALEUR
109
la machine MH-7M (Z = 1 ; toutes les données sont adaptées dans
le tableau).
Taideau 3.14
Variante
T (y)
<Tl (ô)
<T2<0
X/c
1
sin n y
1
exp ( — 0
0,1
2
1 —sin n y
0
1—exp( —/)
0,1
3
\ - y
—1
+1
0,1
4
y
cxp( —0
0
0,1
5
1
1—exp (—/)
1
0,1
6
0
1
exp ( — t)
0,2
7
y2
0
1 —exp ( — 0
0,2
8
1- y 2
—1
0
0,2
9
cos n y
exp( — t)
1
0,2
10
1 —cos n y
1—exp (—0
1
0,2
Organiser le contrôle de la machine par la méthode de la variable
redondante en utilisant la relation
* ( 0 + 2 M 0 = 0,
(3.14)
j=l
où z (t) est la variable redondante dont l'équation différentielle
déterminante simple
71
z ' ( t ) = — I M O — M O + «>„+, ( 0 — M O I . 2 ( 0 ) = — 2 M O) ,
j=l
se déduit de la relation de contrôle (3.14) par une dérivation et une
substitution des dérivées v) (/) (/ = 1, 2, . . ., n) du système (3.13).
CHAPITRE 4
DIVERS PROBLÈMES DE SIMULATION
§ 1 . Mouvement d'un point matériel
sous l'action d'un centre attractif
1.
Description du phénomène. Un point matériel de masse m se
déplace dans un milieu résistant sous l’action d’un centre attractif
fixe O. Le point finira par tomber sur le point attractif, puisque son
énergie diminue en raison de la résistance du milieu. La figure 4.1, a
représente le point matériel et les forces agissantsur lui : P = —
force d’attraction du point vers le centre O, et Q = —kmv, résistan­
ce du milieu. Outre ce cas, le schéma que nous donnons plus bas
permet d’étudier le mouvement lorsque le point est soumis à Faction
des forces P et Q et d’une force F
(fig. 4.1, 6 ) et lorsque le point est
équipé en plus d’un moteur dont la
traction S = kxmv agit dans le sens
de la vitesse et lui est proportion­
nelle (fig. 4.1, c).
2.
Equations différentielles du mou­
vement. En projetant toutes les forces
agissant sur le point matériel sur les
axes de coordonnées on obtient les
systèmes d’équations différentielles
suivants:
pour la figure 4.1, a : x = —io2x — kx,
(4.1)
y = — r fy — ky,
pour la figure 4.1, b : x = —vrx —
- k x + F„
••
•
y = — ory — ky + F„,
(4.2)
pour la figure 4.1, c : x = —<asx +
(ki — k) x + Fx,
y = —r fy + (A-, — k) y + Fy
MOUVEMENT D'UN POINT MATÉRIEL
§ 1]
111
avec les conditions initiales communes
x (0 ) = 0 ,
x (0 ) = x 0J
y (0 ) = i/0,
y (0 ) = 0 ,
conditions qui supposent que le point matériel se trouve en x 0 de
l’axe Ox à l’instant initial, ne possède pas de composante de la
vitesse le long de l’axe Ox et que sa vitesse initiale le long de l’axe
Oy est égale à y0.
3. Schéma de commutation. Le schéma est représenté sur la
figure 4.2. Il est composé pour les valeurs numériques suivantes
des paramètres: k = 0,1 ; kx = 2k; co = 1. Les projections Fx = F,f
de la force F qui agit le long de la bissectrice du premier quadrant
Kig. 4.2
sont assimilées à une tension électrique de 10 volts. Si la variable
de sortie F du diviseur D est appliquée aux entrées (35) et (43)
des intégrateurs [5] et [71 et si les contacts 2PO et 4PO occupent
la position indiquée par le schéma, on obtient la solution du systè­
me (4.2). Si l’on change le signe de la tension appliquée à l’entrée
du circuit de commande préprogrammée, les contacts 2PO et 4PO
occupent la position inverse et la machine simulera le système
d’équations (4.3). Les coefficients de transfert aux entrées (20) et (28)
peuvent varier entre 0 et 1,1. La force constante F peut être modi­
fiée à l’aide du diviseur de tension D.
4. Résultats de la simulation. Supposons qu’on ait opéré une
déconnexion aux entrées (35), (20), (28), (43); la machine résoudra
112
DIVERS PROBLÈMES DE SIMULATION
[G H . 4
alors le système (4.1) pour k = 0. La trajectoire du point matériel
est une ellipse.
Si l’on rétablit les connexions aux entrées (20) et (28) et que
l’on fasse varier progressivement la quantité k , on obtient sur l ’écran
une série de spirales à point asymptotique en l’origine des coordon­
nées, où se trouve le centre attractif. A partir d’une certaine valeur
de k dépendant de G ), le point, sans avoir effectué un tour autour
du centre attractif, commence à tendre asymptotiquement vers lui.
Fig. 4.3
Un tel mouvement est dit apériodique. Les trajectoires sont repré­
sentées sur la figure 4.3. Si, ayant retenu une valeur de k (par exem­
ple 0 , 1 ), on met la machine en marche et l’on attend que la trajectoire
se rapproche du centre attractif, et qu’on modifie ensuite le signe
à l’entrée du circuit de commande préprogrammée, on constate que
la trajectoire, de spirale enroulante se transforme en spirale dérou­
lante. ce qui traduit l’intervention de la force de traction S.
L’établissement des connexions aux entrées (35) et (43) ne modi­
fie en principe pas la nature du mouvement du point, mais déplace
simplement la trajectoire en direction de la bissectrice du premier
quadrant d’une distance qui dépend de la grandeur de la force F.
§ 2 . Pendule double
1.
Description des oscillations. Imaginons deux pendules appro­
ximativement de même période d’oscillations, l’un lourd, par exem­
ple un lustre, l’autre léger. Le pendule léger est suspendu au lourd
§3]
PENDULES LIES
113
comme l'indique la figure 4.4. Si l'on écarte légè­
rement le pendule lourd et qu'on le relâche, il ar­
rête brusquement d’osciller. Le pendule léger com­
mence alors un mouvement rapide qui cesse au bout
d'un certain temps; à ce moment le pendule lourd
commence à osciller. De telles oscillations alterna­
tives de deux systèmes, accompagnées d'un échange
d’énergie s’appellent battements.
Simulons ces battements.
2. Equations différentielles du mouvement. Les
Fig. 4.4
oscillations du pendule double sont étudiées en
physique et en mécanique. Nous ne nous arrêterons
pas sur la description mathématique du phénomène et nous donne­
rons les équations différentielles dans le cas de faibles oscillations.
Ce processus est régi par le système d’équations différentielles
X = - û ) M l + 2(i)X + pû)2Xf
x (0) = 0,
X(0) = X0,
,/ / x
(4.4)
x = — (ù2x + <d2 X,
x (0) = x (0) = 0,
où X et x sont les écarts des pendules lourd et léger par rapport à la
position d'équilibre, p = ^ un petit nombre, m et M les masses
des pendules léger et lourd, <o2 = g/l, g l’accélération de la pesan­
teur, l la longueur du pendule léger. On suppose que L — L
3. Schéma simulant le système (4.4). Il est représenté sur la
figure 4.5. Il correspond au cas <o = 1, p = 0,01. Le processus est
simulé en temps accéléré. A l’écart initial X (0) = X 0 du pendule
lourd correspond une tension électrique de 1 0 volts (cf. conditions
initiales de l’intégrateur [6 ]). Pour faciliter l’observation visuelle
des oscillations, au lieu de la variable x (t) on applique la variable
X (0 = -“25 + 0,lx (t) à l’entrée d.v.l de l ’indicateur. Ceci
permet de décaler verticalement les oscillogrammes X (t) et x (f).
4.
Résultats de la simulation du système (4.4). Ils sont repré­
sentés sur la figure 4.6. En haut on a les oscillogrammes des varia­
bles X (/) et x (Oqui montrentquela valeur maximale de l ’amplitu­
de d’oscillations d’un pendule correspond à la valeur zéro de l ’am­
plitude de l’autre pendule. En bas on a le graphe de la solution x =
= \|) (X) du système (4.4). Il est aisé de voir que c’est une courbe
de Lissajous qui couvre un domaine contenu dans un parallélo­
gramme.
§ 3. Pendules liés
1.
Descriptions des oscillations. La figure 4.7 représente un système
oscillant composé de deux pendules, dits liés ou sympathiques, reliés
entre eux par une liaison mécanique élastique figurée par le ressort.
Sans cette liaison les pendules oscilleraient indépendamment l’un
8-0112
10
Fig. 4.6
w
§3]
PENDULES LIES
115
de l’autre. La liaison entraîne généralement un « transfert » d’énergie
d’un pendule à l ’autre, donc une modification de la forme des oscil­
lations de chacun d’eux. On se propose de simuler ces oscillations.
2. Equations différentielles. Les équations
différentielles des faibles oscillations *) de
pendules liés s’écrivent
où Xj et x 2 sont les écarts des pendules par
rapport à la position d’équilibre, (ù1 et (o2
FiS- 4.7
les fréquences déterminées par les paramètres
des pendules, kx et k 2 des coefficients dépendant de la rigidité de la
liaison entre les pendules; on suppose que kx Zr2, a un coefficient
qui tient compte du frottement visqueux opposé aux oscillations
du premier pendule.
3. Schéma de commutation. Le schéma simulant le système
(4.5) est représenté sur la figure 4.8. Les valeurs numériques des
Fig. 4.8
coefficients de transfert des opérateurs correspondent au cas de
résonance où_ (Oj = <o2 = 10, A:, = k2 = 1, a = 0,1. On visualise
la variable X 2 = 25 + x 2 au lieu de la variable x 2 (t), ceci dans
le but de décaler verticalement les oscillogrammes des oscillations
xx ( 0 et x 2 (t).
4. Résultats de la simulation. Dans le cas de la figure 4.8, où
+) Pour la déduction de ces équations, on pourra consulter un ouvrage de
mécanique théorique.
116
DIVERS PROBLEMES DE SIMULATION
[CH. *
xi (0) = x t (0) = Xj (0) = 0, x 2 (0) = 10 V les oscillations à a = 0
(il faut rompre la liaison à l ’entrée (20) de l’intégrateur [5]) sont
des battements, les mêmes que pour le pendule double (cf. fig. 4.6).
Si l’on rétablit la connexion à l ’entrée (20) les oscillations seront
amorties.
Le comportement des pendules liés dépend essentiellement
de leurs positions initiales. Si x1 (0) = x 2 (0) = 0 et x1 (0 ) =
= x 2 (0 )
0
ou xx (0 ) = —x 2 (0 )
0 , chaque pendule oscillera
indépendamment de l ’autre, i.e. il n’y aura pas d’échange d’énergie
entre eux. Ces oscillations sont dites normales.
Le schéma de la figure 4.8 permet d’étudier le comportement
des pendules dans le cas d’un « désaccord » où a)t et kx sont légère­
ment différents de (o2 et k 2. Ces dernières quantités peuvent être
modifiées à l’aide des potentiomètres placés aux entrées (26) et (28)
de l’intégrateur [7].
•
•
§ 4. Oscillateur spatial
1 . Position du probième.
Un oscillateur spatial anisotrope
chargé est placé dans un champ magnétique homogène i f ; on deman­
de de simuler sa trajectoire.
2. Equations différentielles du mouvement. On supposera que
l’oscillateur possède une énergie potentielle u (x, y, z) = y [û)£r2 +
+ cOyij2 + (DjZ2)] et que le champ magnétique homogène est parallèle
à l ’axe des z. Si le potentiel vectoriel du champ est de la forme
•Y (y, —x, 0 ), le lagrangien s’écrira
L = - y (i* +
+
(<û|x*+ (O*P* + <ù\z*) +
(yx - xi).
où <i)H = — , et e est la charge de l’oscillateur. Si l’on connaît
le lagrangien on trouve sans peine le système d ’équations différen­
tielles cherché
(4.6)
Z =
— iù \z .
3. Schéma de commutation. Le schéma résolvant le système
(4.6) est donné sur la figure 4.9. Les coefficients de transfert du sché­
ma correspondent au cas isotrope où <ox = o>y = o), = 1. Les
valeurs cox et wy peuvent varier dans des limites assez larges aux
§ 4]
OSCILLATEUR SPATIAL
Fig. 4.10
117
118
DIVERS PROBLEMES DE SIMULATION
[CH. 4
entrées (20) et (28) des intégrateurs [5] et [7]. La quantité o)H =
eH
= — = 2 , cependant sa valeur numérique peut être modifiée
à Laide des potentiomètres placés aux entrées (18) et (26) des intégra­
teurs [5] et 17].
4.
Résultats de la simulation. Les plus intéressantes sont les
trajectoires ♦) situées dans le plan xOy. Elles dépendent essentielle­
ment des conditions initiales, lesquelles définissent l'énergie initiale
de l’oscillateur qui est la somme de l’énergie cinétique et de l ’éner­
gie potentielle. Quatre trajectoires de l ’oscillateur isotrope sont
représentées sur la figure 4.10. La trajectoire d’en haut à gauche
correspond aux valeurs initiales x (0 ) = y (0 ) = 0 , x (0 ) = y (0 )
=5^ 0 (l’oscillateur ne possède à l’instant initial qu’une énergie
potentielle). La trajectoire est une hypocycloïde. La trajectoire d’en
haut à droite qui est une rose correspond aux conditions initiales
x (0 ) = y (0 ) =7>é=0 , x (0 ) = y (0 ) = 0 (à l’instant initial l’oscillateur
ne dispose que de l’énergie cinétique). Les deux trajectoires du bas
qui ont la forme d’hypotrochoïdes allongées correspondent à des
conditions initiales non nulles. La figure 4.11 représente également
pour ce dernier cas l’hodographe de la vitesse y = (x) ; pour
l’obtenir sur l’écran il faut appliquer à l’entrée d.v. 1 (dév. verticale)
de l’indicateur la sortie de l’intégrateur [7] et à l’entrée d.h. (dév.
horizontale) la sortie de l’intégrateur [5].
La figure 4.12 représente le comportement d’un oscillateur
spatial isotrope lorsque l’énergie se dissipe suivant la loi de Rayleigh
ot *
*
R = y (x 2 + y*)- La perte d’énergie modifie les deux premières
équations du système (4.6):
••
s
.
eH
•
eH
•
x = — (ùlx + — y — ax,
a
•
y = -<ùly-~ — x — ay,
(4 -7)
où a est le coefficient de proportionnalité entre la vitesse et les
projections Qx = — ^ , Qy = — ^ de la résistance généralisée
Q. Les derniers termes des équations (4.7) ne sont pas câblés sur
la figure 4.9. Ils le sont par l’organisation des circuits de réaction
dans les intégrateurs [5] et [7] par l ’intermédiaire de potentiomètres
de coefficients de transfert a. La trajectoire de droite correspond
à de petites valeurs de a, celle de gauche aux valeurs doubles.
La figure 4.13 représente la trajectoire d’un oscillateur dissipant
son énergie en présence d’une faible anisotropie (<ox ^ (ùy) entraî­
nant une certaine précession.
*) L’origine des trajectoires de l'oscillateur est marquée d'un point gras
sur tous les dessins.
§ 4]
OSCILLATEUR SPATIAL
Fig. 4.11
Fig. 4.12
119
120
[CH. 4
DIVERS PROBLEMES DE SIMULATION
§ 5. Charge dans des champs croisés
1. Position du problème. Le mouvement d'une charge dans
divers champs est étudié en physique. Nous allons examiner le
mouvement d’une charge sous l’action de deux champs constants
et homogènes: un champ électrique et un magnétique. On se limitera
Fig. 4.13
au cas non relativiste où la vitesse de la charge est de beaucoup
inférieure à celle de la lumière. Du cours de la physique on sait
qu’il est nécessaire pour cela que le champ électrique soit petit
devant le champ magnétique. Nous allons simuler les trajectoires
du mouvement qui sont des courbes gauches.
2. Equations différentielles du mouvement. Prenons pour axe
z la direction du champ magnétique H et pour plan yOz le plan tendu
sur les vecteurs H et E (fig. 4.14). Les équations différentielles
du mouvement s’écrivent
ell
eEz
(4.8)
x
Z
m
9
où e est la charge, m sa masse, c la vitesse de la lumière.
5 5]
CHARGE DANS DES CHAMPS CROISES
121
3. Schéma de commutation
Le schéma simulant le système
eH
Ey
(4.8) pour
= ^ = 2’ r f =
= 1 0 est représenté sur la figure
4.15. A la quantité cH
— corres­
pond une tension électrique de
20 volts. Tous les paramètres
peuvent varier dans des limites
déterminées : la tension du champ
électrique E à l'aide du diviseur
D ; les projections E u et E z
à l'aide du potentiomètre placé
à la (28)-ième entrée de l ’intégrateur [151; la quantité o>h à l’aide
des potentiomètres disposés aux (18)-ième et (26)-ième entrées des in­
tégrateurs [5] et [71.
4.
Résultats de la simulation. La simulation de la trajectoire
de la charge permet de mettre en évidence l’influence des paramètres
O
z[/â\
- tm
f
z
CCP
Fig. 4.15
E, H, e et des conditions initiales sur cette trajectoire. La projection
de la trajectoire sur le plan de coordonnées yOx conduit aux trois
122
[GEL 4
DIVERS PROBLÈMES DE SIMULATION
types de courbes de la figure 4.16 en fonction de la condition initiale
x 0 (intégrateur (5]) : la première trajectoire à partir du haut est une
cycloïde ordinaire (x0 = 0 ) ; la deuxième, une cycloïde allongée
•
•
(x0 ~ —5 volts) ; la troisième, une cycloïde tronquée (x0 = 5 volts).
Si pendant la simulation de la trajectoire on élimine le champ
électrique E (par exemple en coupant la tension 100 volts du divi­
seur D) la trajectoire de la charge se transforme en Tellipse repré­
sentée tout en bas de la figure 4.16.
§ 5]
CHARGE DANS DES CHAMPS CROISÉS
123
La figure 4.17 montre la trajectoire *) de la charge (pour x 0 = 0)
d ’origine au point A (AXJ O, A z) et ses projections sur les plans de
coordonnées xOz et yOz. Au voisinage des points où la trajectoire
kff
Fig. 4.18
est tangente au plan xOz, les projections sur xOz sont difficilement
discernables, c’est pourquoi elles ont été effectuées sur un plan
x'Oz' parallèle à xOy et situé légèrement plus bas.
La figure 4.18 représente un faisceau de trajectoires correspondant
à diverses valeurs du champ électrique E. On voit que lorsque E
croît, la période (ou base) de la cycloïde décroît.
On n’a pas représenté sur le schéma de la figure 4.15 les deux
sommateurs nécessaires au tracé des trajectoires en fonction des
variables x (t), y (t), z (t).
*) Pour la représentation des trajectoires voir Annexe.
DIVERS PROBLÈMES DE SIMULATION
124
[CH. 4
§ 6. Système bielle-manivelle
1. Position du problème. La figure 4.19 représente un schéma
cinématique d’un système bielle-manivelle à coulisseau. La mani­
velle OA effectue une rotation dans le sens rétrograde. Le coulis­
seau B est animé d’un mouvement de va-et-vient le long de l’axe Ox.
La bielle AB effectue un mouvement plus compliqué. Chacun de ses
points décrit une trajectoire différente de celle des autres. L’ensemble
de toutes ces trajectoires s’appelle famille des courbes de la bielle.
2. Déduction d’expressions mathématiques favorables à la simula­
tion. Supposons que la longueur de la manivelle OA soit égale
à l’unité. La manivelle tourne à une vitesse angulaire constante œ.
L’angle <p qu’elle fait avec l ’axe Ox sera alors égal à <oZ (i.e. <p = cùt)
et les coordonnées du point A de la manivelle seront
xa (0 = cos <•>*» y a (0 = sin (ùt.
(4.9)
La longueur des éléments du système étant constante, à tout
instant on aura l’égalité
(z b — xa )2 + I/a — Zr = 0,
(4.10)
où i B est l ’abscisse du point B , L la longueur de la bielle AB.
Considérons sur la bielle A B un point mobile M et déplaçons-le
de A vers B. Si la vitesse de M est suffisamment petite, sa trajectoire
nous donnera une idée de la famille de courbes de la bielle. Soit Z(Z)
la distance de B à M. Les valeurs positives de Z(Z) sont dirigées
de B vers A. Introduisons la fonction non dimensionnelle \i (Z) =
= Z(t)/L qui permet d’exprimer aisément les coordonnées carté­
siennes x (Z) et y (Z) du point M :
y(t) = yAMO.
,
x ( 0 = x B — (x B — x A) fl (0 ' ’
Les expressions (4.11) donnent la solution du problème si de (4.10)
on tire x B et on le porte avec (4.9) dans (4.11). Or l ’expression de (4.10)
est implicite en x B. Pour expliciter x B utilisons la méthode des
fonctions implicites en vertu de laquelle x B se détermine comme la
solution de l ’équation différentielle
x'B= — P [(Xfl —x A)2+ y \ — L2] sign (xB— xA), x B (0) = 0,
où p est un nombre positif grand. Pour les systèmes bielle-manivelle
existants, x B — x A > 0 , donc la trajectoire du point est donnée
en définitive par les expressions
(0 = cos (oZ, yA (Z) = sin coZ,
XB = —p [(xB — XX ) 2 + ÿ*A — L2], x B (0) = 0,
P (0 = l W L,
x = x B — {xB — x A) p (0, y = y a p Mx
a
S 6]
SYSTÈME BIELLE-MANIVELLE
125
3.
Schéma de commutation. Il est représenté sur la figure 4.20.
11 correspond au cas <o = 10, L = 2. Il est construit pour une fonc­
tion linéaire p (f) définie sur l’intervalle p 6 [—1, 11. Les opéra­
teurs [151, [51, [61 élaborent les variables x A (t), y A (t). L’intégra­
teur [9] délivre la fonction p (t). L’intégrateur monté sur la base
de Y AO [101 reproduit x n (t) en résolvant l’équation implicite (4.10).
Fig. 4.21
126
DIVERS PROBLÈMES DE SIMULATION
[GEL 4
4.
Résultats. La trajectoire du point M est représentée sur la
figure 4.21. Elle est simulée pendant 20 secondes. La durée de
simulation de la trajectoire ne dépend que de la vitesse du point M
sur la bielle AB. Cette vitesse peut être modifiée à l’aide du poten­
tiomètre placé à l ’entrée (32) de l’intégrateur [81. Le point M peut
être fixé en tout lieu de la bielle, i.e. on peut prendre \i (/) = const.
Pour cela, après avoir mis la machine en marche, il faut rompre la
liaison à l’entrée (32) de l’intégrateur [81.
§ 7. Hystérésis
1. Position du problème. Pour fixer les idées nous allons exami­
ner l ’hystérésis magnétique qui est le type le plus connu. L’hystérésis magnétique se manifeste dans les modifications irréversibles
de l ’aimantation de ferromagnétiques dans un cycle d ’aimantation.
L’aimantation des ferromagnétiques est en rétard sur le champ
magnétique extérieur qui est une fonction du temps. On rencontre
des phénomènes analogues en étudiant des ferro-électriques, des
systèmes mécaniques (lien entre les tensions et la déformation du
matériel), etc. Tous ces phénomènes sont simulés d’une façon ana­
logue. On se propose de simuler une boucle d’hystérésis de ferro­
magnétiques et d’étudier ces derniers en fonction du champ exté­
rieur et de leurs propriétés internes.
2. Modèle mathématique de T inversion de Taimantation. Notre
modèle mathématique est basé sur la théorie de l’anisotropie d ’Akoulov en vertu de laquelle un monocristal de ferromagnétique se com­
porte dans un champ extérieur de sorte à minimiser son énergie
libre totale w qui est la somme de l’énergie magnétique d’anisotropie
o?an et de l’énergie w' par rapport au champ magnétique extérieur *),
soit
a h ) = wan u ) + w9 ch m ,
oxxj est le vecteur d’aimantation, H l’intensité du champ magnétique
extérieur. Pour tout vecteur H fixe, on détermine le vecteur,/ à par­
tir de la condition d’équilibre thermodynamique
grad w ( jy H ) = 0.
(4.12)
Pour tracer la courbe statique d’aimantation j = ÿ (H ), on se
donne une collection de valeurs de H et l’on calcule les j correspon­
dants à l’aide de la condition (4.12).
Pour simuler le mouvement d’un processus thermodynamique
déséquilibré j (/) vers son état d’équilibre il importe de tenir compte
de la nature de ce mouvement.
*) On suppose que l'aimantation du ferromagnétique est définie exclusive­
ment par la rotation du vecteur d'aimantation.
§7]
HYSTÉRÉSIS
127
Nous adoptons l’hypothèse linéaire qui est valable dans un
certain voisinage de l’état d’équilibre et qui suppose que j (t) tend
vers l ’état d’équilibre à une vitesse proportionnelle à grad ir, i.e.
- | f = —vgrad u > ( j . H ),
(4.13;
où v est une constante positive déterminée par le type de ferroma­
gnétique.
A titre d’exemple concret considérons l’inversion d ’aimantation
d ’un ferromagnétique pour lequel Akoulov a trouvé analytiquement
et étudié la courbe statique d’aimantation. Ce ferromagnétique est
un monocristal à symétrie cubique ayant la forme d ’un fil fin. Sui­
vant Akoulov, l ’expression de l’énergie libre aux termes multipli­
catifs et additifs constants près est
«*(/,
=
(4.14)
où a est une constante déterminée par le ferromagnétique.
En vertu de (4.13) on a pour (4.14)
\
= 'Ç\H (t)— j 3+ aj].
En vertu de (4.12) l’équilibre est réalisé pour des valeurs de / et des
valeurs de H égales à 5, telles que
S - /3 + ai = 0.
(4.15)
3. Schéma de commutation simulant une boucle d’hystérésis.
La figure 4.22 représente un schéma de commutation permettant
H[5) - 0 —
{52) [ ^ ( 5 )
^
Fig. 4.22
Fig. 4.23
Fig. 4.24
§ 8]
REPRÉSENTATION D’UNE COURBE GAUCHE
129
d’étudier l ’hystérésis d’un ferromagnétique pour diverses valeurs
des paramètres lorsque l ’inversion d ’aimantation s’effectue sous
l ’action d’un champ de la forme
H (*) = exp (—p/) sin (ùt + y,
où p, eu, y sont des constantes arbitraires. Le schéma fonctionne
en deux régimes selon le signe de la tension qui est appliquée à l’en­
trée du circuit de commande préprogrammée. Le premier régime
auquel correspond la position des contacts du relais indiquée sur
la figure simule la boucle sous forme d’une fonction explicite j (H).
Le deuxième régime simule une courbe en forme de S correspondant
à l ’état d’équilibre, d’après l’équation (4.15). Les opérateurs [14],
[61, [5] délivrent la fonction H (t) = exp (—PO sin œ/ pour c> = 10
et un P £ [0, 1). L’aimantation constante y est donnée à l’aide du
potentiomètre du sommateur [12] à l’entrée (48). Les paramètres a
et v du ferromagnétique sont donnés respectivement aux entrées (18)
et (38) des opérateurs [91 et [101.
4.
Résultats de la simulation. Sur la figure 4.23 sont représen­
tées , à droite, la boucle d’aimantation et la S-courbe du minimum
de l’énergie libre du ferromagnétique pour a = 0 , sous l’action d ’un
champ extérieur sinusoïdal d’amplitude constante (P = 0); à gauche
est représentée l ’inversion d’ aimantation du même ferromagnétique
sous l’action d’un champ magnétique sinusoïdal dont l’amplitude
décroît exponentiellement (P ^ 0).
La figure 4.24 représente à gauche et à droite l ’inversion d’ai­
mantation d’un ferromagnétique dont a
0 sous l’action des champs
sinusoïdaux extérieurs, d’amplitude constante et décroissante.
Comme a =5^= 0 la S-courbe possède une forme plus convexe qui cor­
respond aux ferromagnétiques dont la boucle d’hystérésis est rectan­
gulaire. La rectangularité de l’hystérésis est nettement marquée
lorsque l’inversion d’aimantation est effectuée dans un champ d’am­
plitude décroissante. Dans ce cas l ’aimantation du ferromagnétique
est caractérisée par l’existence de deux états stables dont l’un marque
la fin de l’inversion d’aimantation.
La boucle conserve sa forme pour diverses valeurs de v et w
pourvu que le rapport — = const. Si ce rapport diminue la courbe
prend la forme d’une ellipse caractéristique de l’hystérésis linéaire.
§ 8 . Représentation d’une courbe gauche
1.
Position du problème. Etant donnée une courbe gauche sous
la forme paramétrique
% = Oj exp (—a j ) cos a>
z2 = a2 exp (—a 2t) cos o>2^
zz = ax exp (—ajf) sin (1)^,
9-0112
(4.16)
DIVERS PROBLEMES DE SIMULATION
130
[CH. 4
on demande de la visualiser pour diverses valeurs des paramètres
ou»
(i)««
.
Déduction des équations différentielles. Les équations différen­
tielles déterminantes pour (4.16) se trouvent sans peine par une
dérivation successive de (4.16) si l’on introduit la fonction auxiliaire
zA = a2 exp (—ou/) sin g>2L
2
En dérivant successivement et en comparant les expressions des
dérivées on obtient
2 'i= — a tzt — ( û ,z 3,
z ,( 0 ) = a,,
z '= —otaZj — ù)2 zt , ^ (0 ) = a2,
(4.17)
z ;= —a ^ + c o jz ,, z3 (0 ) = 0 ,
z« = — z* + “ î 22. 24 (0) = 0.
Pour représenter la courbe gauche (4.16) à l’aide des équations
déterminantes (4.17) il est nécessaire (cf. Annexe) de câbler les
y-M
m «/
/
(5) */
50
m ®/
(Si a,
/
ïP O f
(27) <*>2
y>[3]j r Q )
zzW-<
CCP
Fig. -'i.25
variables Y u Y . qui projettent le système de coordonnées 0 z1ztz3
sur le plan Y-fîY* confondu avec zfiz^ :
Y\ = zx — 0 ,5z3, Y 2= z2 — 0 , 5z3.
(4.18)
3.
Schéma de commutation. Il est représenté sur la figure 4.25.
Il simule les équations différentielles (4.17) et les expressions (4.18).
Il comporte un arrêt conditionnel au changement de signe de la
§ 8]
REPRÉSENTATION D’UNE COURBE GAUCHE
131
variable d’entrée du circuit de commande préprogrammée. Dans
la position des contacts du relais représentée sur le schéma, le cir­
cuit délivre la variable z2 pour (o2 =jÉ 0 et a 2 quelconque. Lorsque
la variable d’entrée change de signe, le circuit de commande prépro­
grammée reproduit le cas où w2 = 0. Sur le plan « électronique »,
les sorties des opérateurs [51 et [61 sont inhabituelles en ce sens
qu’elles ont été faites plus puissantes par adjonction de résistances
anodiques.
4.
Résultats. On rencontre les courbes gauches du type (4.16)
lorsqu’on étudie les faibles oscillations de systèmes oscillants à plu­
sieurs degrés de liberté.
Trois cas facilement simulables à l’aide du schéma de commuta­
tion de la figure 4.25 présentent un intérêt mathématique selon les
valeurs numériques des paramètres co2 et a 2.
P r e m i e r c a s . On suppose que co2 = 0. L’équation (4.16)
s’écrit
z1 = ûj exp (—OLxt) cos <ùxt, z2 = a2 exp (“ 0 C2 J),
z3 = ûj exp (—0 4 O sinjcoj/.
(4.19)
On détermine sans peine la nature de la surface (4.19), en élevant
la première et la troisième expression au carré, en les ajoutant et en
effectuant quelques transformations:
.2
-1
(4.20)
On reconnaît dans (4.20) l ’expression canonique d ’un cône circulaire
droit
La surface (4.20) sera donc appelée cône circulaire généralisé.
L’équation (4.20) se transforme en (4.21) pour 0 4 = a 2. Fait curieux,
lorsque aja* = 0,5, l’équation décrit un paraboloïde de révolution.
La surface (4.20) possède de nombreuses propriétés d ’une conique:
— c’est une surface de révolution autour de l ’axe Oz;
— elle possède deux nappes correspondant aux valeurs positives
et négatives de z2;
— ces deux nappes se touchent à l ’origine des coordonnées qui
est un point asymptotique de la courbe (4.16).
En modifiant la valeur du rapport aj/a* on simule les courbes (4.16)
appartenant à diverses surfaces de révolution, et partant on obtient
la représentation graphique de la surface. La figure 4.26 représente
trois trajectoires pour les rapports a j a 2< 1 , (xja2 > 1 et,axla2 = 1
(de haut en bas). On change les coefficients 0 4 et a 2 en éliminant
et en rétablissant les liaisons des intégrateurs [51, [61 et [71 respecti­
vement aux entrées (19), (23) et (27), (28). Pour tracer une courbe
9*
132
DIVERS PROBLEMES DE SIMULATION
[CH. 4
Fig. 4.26
de la deuxième nappe il faut changer le signe de la condition initiale
de l'intégrateur [71. Les courbes de la figure 4.26 donnent une image
assez expressive de la surface et notamment de sa courbure. D'une
façon générale, les lignes de courbure d’une surface de révolution
sont des méridiens et des parallèles. Un centre de courbure est situé
sur l’axe de révolution, l’autre sur la développée du méridien.
La normale au méridien est dirigée vers l’intérieur de la surface si
oco < 1 et vers l ’extérieur si aja* > 1 . Le rayon de courbure
du méridien devient infini dans le cas d ’un cône droit.
D e u x i è m e c a s. On suppose a 2 = 0, ce qui se traduit,
comme le montre la figure 4.25, par une élimination de l’entrée (28)
de l ’intégrateur [7] et la mise en position basse (représentée sur le
§ 8]
REPRESENTATION D'UNE COURBE GAUCHE
133
Z-
dessin) du contact 4PO du relais opérationnel. La machine réalise
alors la courbe
z1 = ûj exp (—axt) cos coj/, z2 = a* cos co2^
z3 = ax exp (—a a/) sin
qui admet l ’interprétation physique suivante. On possède un oscil­
lateur spatial effectuant dans le plan zxOz3 des oscillations harmoni­
ques amorties et simultanément des oscillations harmoniques non
amorties le long de l ’axe Oz2. La courbe gauche correspondante est
tracée sur la figure 4.27. Elle est simulée par la machine à partir
du point A (alt —a 2» 0) dans le sens de la flèche. La projection
de cette courbe sur le plan zxOz3 est la spirale logarithmique repré­
sentée dans la partie inférieure de la figure. La courbe dégénère
134
DIVERS PROBLÈMES DE SIMULATION
[CH. 4
en une droite confondue avec l’axe Oz2 lorsque les oscillations s’amor­
tissent dans le plan zlOz3 pour de grandes valeurs de t.
T r o i s i è m e c a s . La figure 4.28 représente la courbe qui
correspond aux équations (4.17). On remarque que la trajectoire
est issue du point A (—au —a 2, 0) et tend asymptotiquement vers
l’origine des coordonnées. Pour le reste le processus se poursuit
comme dans le cas précédent. Le coefficient de transfert a 2 est
donné par une réaction branchée à l’entrée (28) de l ’intégrateur [7).
Cette réaction est représentée en pointillé sur la figure 4.25.
§ 9. Courbe sur une quadrique
1. Position du problème. On demande de tracer une courbe
gauche située sur une quadrique: ellipsoïde, hyperboloïde (à une
et deux nappes), cône, paraboloïde elliptique.
2. Déduction d’expressions mathématiques favorables à lasimulation.
A signaler au départ que ce problème est indéterminé, car par un
point d’une quadrique il passe une infinité de courbes gauches.
Nous essayerons de lever cette indétermination de manière à ce que,
premièrement, la courbe tracée puisse donner une idée suggestive
de la quadrique qui la contient, et, deuxièmement, pour que le
schéma de commutation soit facilement réalisable. Les formes cano­
niques des quadriques citées précédemment possèdent de nombreux
points communs ce qui permet d’étudier tous les cas avec un seul
schéma de commutation. Une courbe gauche est représentée paramétriquement par trois fonctions: zY (t), z2 (/), z3 (t), dont deux
sont arbitraires et la troisième déterminée à l’aide de l’équation
de la quadrique.
Les formes canoniques des quadriques mentionnées s’écrivent:
l'ellipsoïde:
1
,
l ’hyperboloïde à une nappe:
(4.22)
l ’hyperboloïde à deux nappes:
le cône:
le paraboloïde elliptique:
—
z2
+ "jjr = 0 -
Les quadriques (4.22) sont toutes des surfaces de révolution autour
de l ’axe Oz2. On se donnera tout naturellement la projection de la
courbe gauche à simuler sur le plan z1Oz3 sous forme d’une spirale
enroulante dont la représentation paramétrique est
(4.23)
zl = a exp (—a t) cos ce/, z3 = a exp (—a t) sin coL
§9]
COURBE SUR UNE QUADRIQUE
135
En d’autres termes, la courbe gauche à simuler est considérée comme
l’intersection de deux surfaces: la surface (4.22) et une surface
cylindrique dont la directrice (4.23) est une spirale logarithmique
et la génératrice parallèle à Oz2. Dans la suite, pour simplifier les
schémas on se limitera au cas ax = a2 = a. Plus to est prépondé­
rant devant a, plus la spirale logarithmique remplira le disque
z\ + z] = a2. On obtient le tracé de la courbe à l’aide des formules
Y x — zx — 0,5 z3, Y 2 = z2 — 0,5 z3 (cf. Annexe), où zl9 z2 et z3
proviennent de (4.23) et (4.22).
3. Schéma de commutation. Il est représenté sur la figure 4.29.
Les opérateurs 15], [6 ], [1], [2] délivrent les fonctions z1 (/) et z3 (/)
d’après leurs équations différentielles déterminantes. Les sommateurs [3] et [4] élaborent les variables Y x et Y 2. Les autres opérateurs
| -50V
Fig. 4.29
sont utilisés à la résolution des équations (4.22) par rapport a z2 (/).
A cet effet il faut câbler les deux fonctions supplémentaires: u —
= exp (—2 a/), u = (± ) a 2 (T ) exp (—2 a/).
4. Tracé de la courbe gauche. Passons à l’étude des diverses
surfaces.
1)
E 1 1 i p s o ï d e. La courbe est tracée à l’aide du schéma
de la figure 4.29. La variable z2 (/) est élaborée à l’aide de l’expres­
sion
*2
« ± -~ - V a 2~ exp ( — 2at).
Le coefficient de transfert à l’entrée (40) du sommateur 1141 doit
être légèrement supérieur à l’unité (de l’ordre de 1,1). La courbe
située sur l’ellipsoïde est tracée sur la figure 4.30 pour les valeurs
positives et négatives de zs. Dans les deux cas elle est issue de A.
136
DIVERS PROBLÈMES DE SIMULATION
2)
H y p e r b o l o ï d e à une
est réalisée à l'aide de la formule
[CH. 4
n a p p e . La variable z2 (t)
«2 = ± ^ Y — a 2 + exp( —2 a t).
La courbe est tracée jusqu’à l ’instant où l’inégalité exp (—2at) > à2
cesse d’être valable. Ceci étant, il faudra réduire jusqu’à 0,1 le
coefficient de transfert du sommateur [14] à l’entrée (40); changer
le signe de la tension à cette entrée; changer le signe de la condition
initiale de l ’intégrateur [15].
La courbe est tracée deux fois (cf. fig. 4.31) : à partir du point A x
pour les z2 positifs et à partir de A 2 pour les z2 négatifs.
Au-dessus et au-dessous de l ’hyperboloïde on constate la présence
d’anneaux plans entièrement remplis par une spirale logarithmique
enroulante. Ces anneaux se forment lorsque exp (—2at ) < a 2: le
radicande de l’expression de z2 devient négatif et z2 ne possède plus
de valeurs réelles correspondant à zx et z3. Pour éviter l’apparition de
ces anneaux il aurait fallu prévoir une interruption du tracé de la
courbe par un circuit de commande préprogrammée à la condition
COURBE SUR UNE QUADRIQUE
Fig. 4.31
137
Fig. 4.32
—a2+exp (—2a*)= 0. On adopte cette solution en pareils cas.
Si nous avons refusé de le faire, c’est pour montrer comment se
comporte la machine devant des racines imaginaires. La machine
a donc « rejeté » la valeur imaginaire de la plage ± 1 0 0 volts et
a continué à délivrer les variables Zj et z3 comme d ’habitude. En
réalité le changement de signe de la variable u (t) à l ’entrée (37)
de l ’amplificateur [10J chargé de l ’extraction de racine transforme
la réaction négative en positive.
3)
H y p e r b o l o ï d e à d e u x n a p p e s . Le tracé delà
courbe sur un hyperboloïde à deux nappes s’obtient par le câblage de
H = ± --- V aZ + exP ( ~ 2a*)
138
DIVERS PROBLÈMES DE SIMULATION
[CH. 4
Fig. 4.33
qui nécessite le changement du signe de la constante ( — 1 0 0 volts)
à rentrée (40) du sommateur [141. La figure 4.32 représente une
courbe d’un hyperboloïde à deux nappes.
11 est intéressant de tracer simultanément des courbes situées
sur un hyperboloïde à une nappe et un hyperboloïde à deux nappes.
Ce cas est représenté sur la figure 4.33. Le circuit de commande pré­
programmée évite l’apparition de valeurs imaginaires de z2 à la
condition exp (—2 a/) = a2.
4) C ô n e . On obtient un cône en câblant la variable
z2 = ± (aJa) exp (—a/).
A cet effet il faut annuler le coefficient de transfert à l ’entrée (40)
du sommateur [14] (en opérant une déconnexion à cette entrée par
exemple). La courbe est représentée sur la figure 4.34. Les sommets
des cônes auraient dû coïncider à l’origine des coordonnées, mais
nous avons évité cela en utilisant un traceur à deux coordonnées.
Pour tracer la courbe il faut augmenter sensiblement le temps de
§ 10]
REPRÉSENTATION GRAPHIQUE D’UNE SURFACE DE RÉVOLUTION
139
résolution du problème, afin que le traceur ait le temps de « suivre »
la courbe. Les fonctions z1 (J) et z3 (t) varient très lentement au
voisinage de l’origine des coordonnées. Le temps de reproduction
de la courbe par la machine risquait d’être supérieur au temps ad­
missible d’intégration.
5)
P a r a b o l o ï d e e l l i p t i q u e . La variable z2 (*) est
délivrée par l’intégrateur [151 sous la forme z2 (t) = a “ 2 exp (—2at).
La courbe correspondante est représentée sur la figure 4.35.
§ 10. Représentation graphique d ’une surface de révolution
1.
Position du problème. Une surface de révolution est donnée
par les équations
x = (a + b cos i;) sin u,
y = (a + b cos y) cos u,
(4.24)
z = c sin v,
où u et v sont les coordonnées géographiques : u la longitude, v la
latitude. Les équations (4.24) définissent une surface de révolution
(un tore) engendrée par la rotation de l’ellipse x — a + b cos v,
z = c sin v autour de l’axe Oz. Lorsque a = U, le tore se transforme
en un ellipsoïde qui à son tour se transforme en une sphère pour
b — c.
140
DIVERS PROBLÈMES DE SIMULATION
[CH. 4
On se propose de représenter graphiquement la surface (4.24).
2. Déduction d’expressions mathématiques favorables à la simula­
tion. Les lignes a=const et u== const du tore sont respectivement
appelées méridiens et parallèles. La représentation graphique des
méridiens et des parallèles donne une vue d’ensemble de la surface
qui les porte. Mais le câblage de (4.24) conduit â des schémas volumi­
neux et difficilement réalisables, c’est pourquoi il faut adjoindre
aux équations (4.24) une relation reliant u et v. On obtient cette
relation par les raisonnements suivants. A tout couple de nombres
(w, v) mod 2 ji correspond un point et un seul sur la surface du tore.
Soit une carte plane du tore rapportée à un réseau rectangulaire
u = const, u = const. A tout point du tore est associé un point
et un seul de la carte. A la droite
U
=
( 0 xf ,
V
=
ü )«/,
où (■>!, o) 2 sont des constantes et i un paramètre, est associée sur la
surface une courbe coupant les méridiens (respectivement les parallè­
les) sous un certain angle constant. Les courbes qui coupent sous
un angle constant les méridiens (les parallèles) de la surface qui les
porte sont appelées loxodromies. Soient deux loxodromies orthogona­
les, la deuxième ayant pour équation
u = —(o2 l,
v = iùxL
Si coj/coj
1 la première loxodromie donne une idée suggestive
de la disposition des méridiens, la seconde, de la disposition des
parallèles. Le câblage de la relation linéaire entre a et u conjointe­
ment avec (4.24) simplifie beaucoup le tracé des surfaces de révo­
lution.
3. Schéma de commutation. Il est représenté sur la figure 4.36.
Les opérateurs [7], [8 ], [21 élaborent les fonctions sin a)^, cos co^;
les opérateurs [16], [15], [13], les fonctions sin <o2 J, cos o>2/ d’après
leurs équations différentielles déterminantes pour les valeurs numé­
riques des paramètres (ox = 10, co2 = 0,3. Les opérateurs [1], [3],
[4], [11], [12], [14] réalisent l’expression (4.24). Les paramètres
a, 6 , c du tore peuvent varier dans des limites déterminées: a et &
respectivement aux entrées (4) et (8 ) du sommateur [1], c à l’entrée
(44) du sommateur [14]. Les sommatcurs [9] et [10] projettent le
système de coordonnées x, y, z sur le plan Y xOY2 de l’écran de l’in­
dicateur qui coïncide avec le plan zOx. La projection s’obtient par
génération des expressions Y x = z — 0,5 y y Y 2 = x — 0,5i/ (cf.
Annexe).
Le schéma comporte une commutation préprogrammée qui
permet de tracer la première ou la deuxième loxodromie en fonction
du signe de la variable d’entrée du circuit de commande préprogram­
mée.
sin fû t\2 \
Fig. 4.37
Fig. 4.38
Fig. 4.39
§ 11]
GRAPHE DE LA SOLUTION DE L'ÊQUATION DE LA CHALEUR
143
kZ
Fig. 4.40
4.
Tracé de la surface. La figure 4.37 représente le tracé du tore
pour a = 1,0, b = c = 0,25 à l’aide de deux loxodromies perpendi­
culaires. La figure 4.38 montre une sphère, la figure 4.39, les pro­
jections des loxodromies de la sphère sur le plan xOy, la figure 4.40,
le tore pour b = c = 1 , a = 1 + e, où e est un petit nombre.
Lorsque e = 0 le tore est engendré par la révolution d’un cercle
autour d’une tangente figurée par l’axe Oz. La figure 4.41 représente
séparément un tore tracé à l’aide d’une loxodromie méridien et d’une
loxodromie parallèle.
§ 1 1 . Graphe de la solution
de l’équation de la chaleur
1.
Position du problème. Nous allons étudier la distribution non
stationnaire de la température dans une paroi épaisse. Ce problème
a été décrit au chapitre 3, § 5. On se propose de tracer parla méthode
des sections la surface qui traduit la distribution de la température
a l’intérieur do la paroi dans le temps et dans l’espace. Nous admet-
144
DIVERS PROBLÈMES DE SIMULATION
Fig. 4.41
[CH. 4
Fig. 4.42
A001-
10-011
146
DIVERS PROBLEMES DE SIMULATION
[CH. 4
trons que la fonction u {t, y) est solution de l'équation de la cha­
leur (3.11) qui est approchée par un système d'équations différen­
tielles ordinaires (3.13).
2.
Schéma de commutation. Le schéma de la figure 4.42 donne
le tracé de la solution v (f, y). La surface supérieure de la paroi
(y = 0 ) a une température v (t, 0 ) = <p2 (t), la surface inférieure
(y = l) une température v (J, l) = <px (t). La paroi est partagée en
six couches par cinq lignes horizontales continues de coordonnées
ylt y 2 » #3 »
y b* Les variations de la température en fonction du
temps, aux points d’intersection de ces droites avec l ’axe des y,
sont reproduites par les intégrateurs [15], [5], [6 ], [7], [8 ] et les
inverseurs [1] et 12]. L’intégrateur [16] est utilisé pour élaborer la
variable indépendante t et pour interrompre la résolution à l ’aide
d ’un circuit de commande préprogrammée. Les sommateurs [9]
et [1 0 ] élaborent les variables Ÿ xj et Y 2j qui donnent la solution
v (t, yj) en projection axonométrique par les sections yj (/ = 1 , 2 , . . .
. . ., 5). En modifiant le coefficient de transfert du potentiomètre
à l ’entrée (42) du sommateur [11] on donne la valeur de la coordonnée
spatiale de la section, soit yj. Les valeurs numériques de ces coor­
données représentées en variables machine sont inscrites à gauche
de la paroi, de sorte qu’à yb correspond une tension de 15 volts,
à y 4 une tension de 30 volts, etc. Les six intégrateurs de la machine
MH-7M ne permettent pas de résoudre l ’équation de la chaleur dans
plus de cinq sections de la paroi. Donc le schéma est complété d’un
interpolateur linéaire qui réalise l ’interpolation au milieu de l ’inter­
valle des sections. L’interpolateur est constitué des sommateurs
[3] et [4]. Les sections médianes de la paroi sont indiquées par des
lignes horizontales en pointillé. La température est désignée
par vj+1,j dans la section qui se trouve à mi-distance des sections
/ + 1 et /.
3. Résultats de| la simulation.
1)
R e f r o i d i s s e m e n t « l i b r e » . Une paroi chauffée
uniformément jusqu’à une température constante (u10 = u20 =
= v40 = ub0 = 1 0 0 volts), commence à se refroidir à partir de
l’instant t = 0 , puisque ©j (t) = q>2 (t) = 0 (les liaisons sont rom­
pues aux entrées (32) de [8 ] et (48) de [15]). La figure 4.43 repré­
sente la surface v (t, y) construite par le traceur de courbes section
par section (yj = const). Si l ’on dispose d’une vue d’ensemble de la
surface u (t, y), il est aisé de compléter à la main le tracé des sections
de la surface v (t, y) pour t = const. Une de ces sections est repré­
sentée sur la figure. Les familles de sections de la surface y = const
et t — const donnent une image assez expressive du refroidissement
de la paroi.
Fig. 4.44
10 *
148
DIVERS PROBLEMES DE SIMULATION
Fig. 4.46
[CH. 4
§ 12]
GRAPHE DE LA SOLUTION DE L'EQUATION DE POISSON
149
2) R e f r o i d i s s e m e n t « f o r c é » . La paroi chauffée
préalablement jusqu’à une température constante (v10 = v20 =
= v30 = u40 = y60 = 1 0 0 volts) commence à refroidir à partir de
l ’instant t = 0. La température de la surface supérieure est mainte­
nue nulle: <p2 (0 = 0 (rupture de la liaison à l ’entrée (32) de l ’inté­
grateur [8 ]), la surface inférieure est maintenue à une température
négative constante: <pt (t) = const < 0 (application d’une tension
électrique de — 100 volts à l ’entrée (48) de l ’intégrateur [15].
La figure 4.44 représente la surface correspondante. Sur le plan yOt
on a joint par une ligne les points v (f, yj) = 0 qui correspondent aux
instants où la température de la /-ième couche s’annule et devient
négative.
3) R é c h a u f f e m e n t u n i l a t é r a l . La paroi dont la
température est nulle à l ’instant initial (i; 10 = v30 = u30 = i; 40 =
= i>60 = 0 ) commence à se réchauffer à partir de l ’instant t = 0 .
En outre la température de la surface y = 0 (la supérieure) est
constante, i.e. <p2 (t) = const > 0 (une tension de 1 0 0 volts est
appliquée à l ’entrée (32) de l ’intégrateur [8 ]). La surface inférieure
y = l de la paroi est maintenue à une température constante <pj (J) =
= 0 (par déconnexion à l ’entrée (48) de l ’intégrateur [15]). Ce cas
est illustré sur la figure 4.45. On a construit dix sections de la surfa­
ce v (*, y) à l ’aide du traceur de courbes: cinq d ’entre elles ont été
obtenues par câblage de l ’équation de la chaleur, les cinq autres
(yj+uj) Par une interpolation linéaire afin d ’accentuer l ’effet visuel.
L’interpolation n’accroît pas de beaucoup le nombre d ’opérateurs.
Ici elle a demandé deux sommateurs en plus ([3] et [4]).
4) R é c h a u f f e m e n t a c c o m p a g n é
d’u n r e ­
f r o i d i s s e m e n t . La figure 4.46 représente la simulation de la
distribution de la température dans l ’épaisseur de la paroi lorsque
la température <p2 (t) de la surface y = 0 est une constante positive,
i.e. <p2 (*) = const > 0 (une tension de 1 0 0 volts est appliquée
à l ’entrée (32) et la température de la surface y = l est une constante
négative : (p^ = const < 0 (une tension de — 1 0 0 volts est appliquée
à l ’entrée (48). La surface v (J, y) présente une symétrie axiale.
L’axe de symétrie est la droite v (t, y3). Cette dernière est contenue
dans le plan yOt et représente la température de la section médiane
de la paroi (sortie de l ’intégrateur [6 ]).
§ 12. Graphe de la solution de Téquation de Poisson
1.
Position du problème. On donne une équation différentielle
de Poisson
d 2u . d 2y
(4.25)
dya
d x*
dont la solution u (y, x) doit être simulée sur le carré — 1 < x < 1 ,
—1 < y < 1 avec les conditions aux limites suivantes u ( —1), x) =
DIVERS PROBLEMES DE SIMULATION
150
[CH. 4
= u (1, x) = 0, u (y, —1) = u (y, 1) = 0. Les équations de Pois­
son décrivent des processus stationnaires tels que la flexion d ’une
lame, d’une membrane, la torsion d’une tige, la distribution de la
chaleur dans une lame, etc. On peut donner à notre problème, par
exemple, l’interprétation physique suivante: soit un tube de sec­
tion carrée à l ’extrémité libre duquel est tendue une membrane
élastique. A l ’intérieur du tube on maintient une pression constante
légèrement supérieure à la pression atmosphérique qui bombe la
membrane. Si l ’on fait un léger vide dans le tube la membrane
s’incurvera.
2.
Déduction d’expressions mathématiques favorables à la simula­
tion. Pour déduire des expressions mathématiques commodes à la
représentation graphique de la solution de l’équation de Pois­
son (4.25), il nous faut: effectuer une approximation aux différences
finies de (4.25) par la méthode des droites, ce qui ramène la résolu­
tion de l’équation différentielle aux dérivées partielles à celle d ’un
k9
u
U,(x)
—
ô
Ifi m
x
UZ [ X )
a)
Fig. 4.47
système d’équations différentielles ordinaires; trouver le polynôme
d’interpolation qui permet de simuler la solution pour des valeurs
arbitraires x = const, y = const ; tracer la surface u (y, x) par la
méthode des sections.
1)
A p p r o x i m a t i o n d e l’é q u a t i o n (4.25) p a r
l a m é t h o d e d e s d r o i t e s . La méthode des droites appli­
quée à l’équation générale de Poisson
l F + I S - = / ( x ’ ÿ)
<4-26>
a été améliorée par M. S l o b o d i a n s k i moyennant une prise
en considération des dérivées d’un ordre supérieur que de coutume
pendant l’approximation aux différences finies. Si la solution
u (y, x) de l ’équation (4.26) est cherchée sur les droites yj = const
(/ = 1, 2, . . ., n — 1 ), l ’approximation suivant Slobodianski con-
§ 13]
151
GRAPHE DE LA SOLUTION DE L’ÊQUATION DE POISSON
duit aux systèmes d'équations différentielles
uî+i (x ) + 1 0 u} (x) + Uj. , (z) + 4 r Iu ,+1 (x) — 2 uJ (x) + Uj.i (a:)] =
= f m (x) + 10fj(x) + f M (x) (7 = 1, 2...........n - i ) ,
(4.27)
dont l ’erreur d’approximation est de l ’ordre de A4, où h est la distan­
ce entre les droites yy+ 1 et yj. S’agissant de l’équation (4.25), si dans
le domaine donné des valeurs de x et y (cf. fig. 4.47, a) on prend
deux droites y1 = 1/3 et y2 = —1/3, on obtient en vertu de (4.27)
le système d’équations différentielles ordinaires approximant (4.25)
sous la forme du problème aux limites
u: + « K + — (u2- 2Ul) + 1 2 = o.
M—
i)=«i (i)=o,
10
Uj + u\ H—jrjj- ( —2 u, + Wj] + 1 2 = 0 ,
(4.28)
u2 ( - l ) = u2 (l) = 0 .
2). I n t e r p o l a t i o n . La symétrie du problème (4.25)
(fig. 4.47, b) nous permet de conclure que ut (x) = u . (x) et au lieu
du système (4.28) on a une seule équation
{f .
u ( - l ) = u (l) = 0,
(4.29)
où u = Uj (x) = u2 (x). Désormais il est aisé de composer la fonc­
tion d’interpolation P (y, x). A cet effet exigeons que la fonction
cherchée P (y, x) prenne les valeurs
0 , u (x), u (x), 0
sur les droites
y = -1 ,
-1 /3 , 1/3, 1.
La fonction d’interpolation se détermine sans peine. Elle vaut
P (y, x) = - 9 /8 (y2 - 1) u (x).
(4.20)
3)
R e p r é s e n t a t i o n g r a p h i q u e d e u (y, x) p a r
l a m é t h o d e d e s s e c t i o n s . Au lieu de la fonction u (y, x),
on trace le graphe de son approximation (4.30) en tenant compte
du problème aux limites (4.29). La figure 4.47, c représente le
plan Y^OY» rapporté aux axes de coordonnées 0y, Ox, Op sur lequel
sera projetée la surface P (y, x) à l ’aide des expressions
= P —
— 0,5 y, Y 2 = x — 0,5 y (cf. Annexe) pour les sections y = const
et à l ’aide des expressions Y x = P — 0,5 x, Y 2 = y — 0,5 x pour les
sections x = const.
152
DIVERS PROBLEMES DE SIMULATION
[CH. 4
3.
Schéma de commutation. Le schéma de commutation est
représenté sur la figure 4.48. Le problème aux limites (4.29) est
résolu à l'aide des intégrateurs [5], [6 ]. Le problème a été réduit
à un problème équivalent de Cauchy par la méthode des essais.
Fig. 4.48
La chaîne d'opérateurs [D], [9], [1], [2], [10], [3], [4] câble (4.30).
L’intégrateur [7] et l ’inverseur [13] élaborent la variable x, les
sommateurs [1 1 ] et [1 2 ] réalisent le tracé de certaines sections de la
surface P (y, x).
4.
Résultats de la simulation. La figure 4.49 représente la surface
P (y , x) construite par ses sections y = const d’abord et x = const
ensuite, à l ’aide du schéma de la figure 4.48. La section y = const
est donnée à l ’aide du diviseur D. Aux valeurs positives de y est
associée une tension négative à l ’entrée du diviseur et inversement.
Le problème étant symétrique, pour passer du tracé des sections
y = const à celui des sections x = const, il suffit de modifier la
commutation des liaisons aux entrées des sommateurs [1 1 ] et [1 2 ].
Sur la figure 4.49, on a découpé le quart de la surface afin de donner
une idée de l ’incurvation de la membrane élastique. La coupure
a été réalisée à l ’aide du circuit de commande préprogrammée qui
a interrompu la résolution à la condition x = 0. La figure 4.50
représente la surface qui correspond à l ’incurvation d ’une membrane
élastique tendue sur un tube de section carrée dans lequel on a fait
un léger vide.
§ 13]
MINIMISATION D’UNE FONCTIONNELLE
153
P(y,x)
Fig. 4.49
§ 13. Minimisation d’une fonctionnelle
1. Position du problème. Etant donnée la fonctionnelle qua­
dratique
J (*i, *2 ) = y (a i*î + *2 * 2) + ao»
(4-31)
où a0, ax, a 2 sont des constantes positives, on demande d’illustrer
la minimisation de cette fonctionnelle.
2. Déduction d’expressions mathématiques favorables à la simula­
tion. Par illustration de la minimisation de la fonctionnelle, on
154
DIVERS PROBLEMES DE SIMULATION
[CH. 4
entend la simulation de la fonctionnelle / (xlt x 2), de ses
lignes de niveau J (xly x 2) = const et de ses trajectoires de plus
rapide pente, qui sont décrites par les équations différentielles
- ^ r = — P«i*i.
-^p -= — P®i*2 »
(4.32)
où p est une constante positive paramétrisant le processus.
Une ligne de niveau est l ’intersection de la surface J fo , x 2) avec
le plan J = const, i.e. son équation est
J (.Tj, Xj) ■— const.
(4.33)
En dérivant (4.33) par rapport à t on obtient
dJ
dxl
dxx
dt
.
'
dJ
d x 2 _p
dx2
dt
D’où l’on déduit le système d’équations différentielles déterminantes
pour la réalisation des lignes de niveau
^
= — coa2x 2,
- ^ 2 - = © a tx 1,
(4 .3 4 )
où © est une constante non nulle définissant la vitesse de simula­
tion des lignes de niveau. Il est aisé de'remarquer que les systèmes
d ’équations différentielles (4.32) et <4.34) peuvent être représen­
tés par un même système
dx, _ ( — pajXt (minimisation),
dt
\ — <ùazx2 (lignes de niveau),
^ ^
dxt _f — p^Zj (minimisation),
dt
\
©Ojx! [(lignes de niveau).
La réalisation simultanée de (4.35) et (4.31) en tenant compte des
formules de projection
Y 1 = J — 0,5 xlt Y t = x j — 0,5 Xj
(cf. Annexe) résout le problème posé.
3.
Schéma de commutation. Il est représenté sur la figure 4.51.
Il est composé des opérateurs [5], (6 ], [1] qui câblent le système (4.35).
Les lignes de niveau sont réalisées dans la position des contacts du
relais indiquée sur le schéma. La position inverse donne les trajec­
toires de plus rapide pente. On peut modifier la position des contacts
du relais opérationnel soit manuellement, en inversant le signe
de la variable d’entrée du circuit de commande préprogrammée,
soit automatiquement, en appliquant la sortie de l ’intégrateur [8 ]
à l’entrée du circuit de commande préprogrammée. La chaîne d ’opé­
rateurs (14], [7], [8 ] délivre la fonction 30 sin 101. La fonctionnelle
J (xlt x.) est minimisée par simulation de la trajectoire de descente
S 13]
MINIMISATION D’UNE FONCTIONNELLE
155
au cours d’une demi-période de la fonction 30 sin 10* ; les lignes de
niveau sont réalisées pendant l ’autre demi-période. Les lignes de
niveau et les trajectoires situées sur la surface décrite par (4.31)
sont représentées pour donner une idée suggestive de la minimisation
de la fonctionnelle J (xlt x 2). Les opérateurs [31, [4], [11], [12], [2]
délivrent / (xlf x2), les sommateurs [9] et [10] les variables Y x
et y 2. Si l ’on rompt la liaison du sommateur [9] à l ’entrée (35),
Fig. 4.51
le processus de minimisation sera représenté en projection sur le
plan xxOx2. Les paramètres numériques a 0, alf a 2, p, co du schéma
•de la figure 4.51 sont choisis tels que pax = pa2 = 0,3, (oa1 = (oa2 =
= 50, a 0 = 50. La quantité a0 peut être modifiée à l ’aide du poten­
tiomètre placé à l ’entrée (8 ) du sommateur [2 ].
4.
Résultats. La solution exacte du problème (4.31) est évi­
dente : le minimum de J (x1? x2) est réalisé pour x x = x 2 = 0 et
vaut a0. Mais c’est bien moins le résultat numérique qui nous inté­
resse que l ’illustration du processus de minimisation.
La figure 4.52 représente la fonctionnelle (4.31) à l’aide de la
■courbe
xx = 50 exp (—a*) cos 50*, x 2 = 50 exp (—a*) sin 50*,
qui est située sur la surface J (xlf x 2). Les variables xx et x 2 sont
élaborées par les opérateurs [5], [1], ~[6 ]. Le coefficient a est défini
156
DIVERS PROBLÈMES DE SIMULATION
Kg. 4.53
[CH. 4
* 14]
REDRESSEMENT AVEC FILTRAGE
157
à l'aide des potentiomètres placés aux entrées (18) et (2 2 ) des intégra­
teurs [5] et [6 ] indiqués en pointillé sur la figure 4.51.
La figure 4.53 représente les lignes de niveau et les trajectoires
•de plus rapide pente et leurs projections sur le plan x1Ox2- A signaler
que si le schéma est correctement monté, le voltmètre branché
à la sortie du sommateur [2 ] doit indiquer une tension électrique
•constante lors de la simulation des lignes de niveau.
§ 14. Redressement avec filtrage
1.
Position du problème. Le redressement sert à obtenir du
•courant continu pour alimenter par exemple des appareils radio­
électriques. On redresse la tension du courant alternatif. Le filtrage
r
Fig. 4.54
a pour but d'affaiblir la composante alternative de la tension re­
dressée.
On demande de construire le schéma simulant le fonctionnement
du filtre d’un redresseur (fig. 4.54). A l’entrée du filtre est appliquée
Fig. 4.55
la tension redressée E (t) à une ou deux alternances obtenue à partir
d ’une tension sinusoïdale. Il existe dans le schéma du filtre un élé­
ment réactif pour affaiblir la composante alternative : c’est un con-
158
DIVERS PROBLÈMES DE SIMULATION
[CH. 4
Fig. 4.56
densateur de capacité C. Le filtre fonctionne avec une résistance de
charge Rch.
2 . Equation
différentielle. L’équation différentielle décrivant
le fonctionnement du filtre se détermine à l’aide des lois de Kirchhoff. Elle s’écrit
«' <*>!- T e [ E W '“ ( 1 + -WZ ) u <*>] •
u (°) = °-
(4-36>
3. Schéma de commutation. Le schéma de commutation est
représenté sur la figure 4.55. La chaîne des opérateurs [1], [5] et [6 ]
élabore les variables sin ty —sin t nécessaires à la formation de la
variable E (t). Si la tension redressée est à deux alternances,
la variable E (f)1] est formée à l ’aide de l’opération de choix
max {—sin f, sin /} câblée par l’inverseur [131 avec deux diodes
Dx et
branchées à son entrée. Si la tension est à une alternance.
S 15]
MODULATION D’AMPLITUDE ET DETECTION
159
la variable E {t) est formée à l ’aide de l'opération de choix
max {— sin t, 0 } ou max {0 , sin t } ; dans ce cas il faut débrancher
l’une des deux diodes. La chaîne d’opérateurs [7] et [2] intègre
l ’équation (4.36). Les coefficients de transfert des potentiomètres
placés aux entrées (28) et (32) correspondent à la plus grande valeur
de la résistance de charge i?Ch- Le coefficient de transfert du poten­
tiomètre placé à l’entrée (32) de l ’intégrateur [71 vaut (1 + rIRch)/rC.
4.
Résultats. La figure 4.56 représente les tensions d’entrée
E {t) et de sortie u (t) du filtre pour divers E (t). Le choix d’une
ff(t)\f+mx(t)\sin€ùt
z ( t ) r Emetteur
Source
d'information Infor- (modulation) Canal de liaison AM
motion
Récepteur
(détection)
Fig. 4.57
tension E (t) déterminée s’effectue par une commutation adéquate
des diodes Dx et D 2 à l ’entrée de l ’inverseur [13]. Le schéma de la
figure 4.55 permet d’estimer la qualité du filtrage et l ’influence
exercée sur elle par les paramètres du filtre r, C et de la charge R ch§ 15. Modulation d ’amplitude et détection
1.
Position du problème. La figure 4.57 représente schémati­
quement un système de communication. Il est composé de quatre
parties.
1) S o u r c e
d’i n f o r m a t i o n . La source choisit une in­
formation à transmettre dans un ensemble d’informations possibles.
En radiodiffusion les informations sont des fonctions continues de
basse fréquence. Désignons par x (t) l ’information qui sera diffusée.
2) E m e 1 1 e u r. Il transforme l’information z (t) en un signal
radio y (t) qui est transmis par un canal. Pour transmettre une
information par émission d’ondes électromagnétiques, il faut, au
cours de la transformation de l ’information en signal, déplacer
le spectre de fréquence de l ’information dans le domaine des hantes
fréquences radio. Cette transformation d’un signal basse fréquence
en un signal haute fréquence constitue une modulation. Dans la
modulation d’amplitude le signal y (J) est formé à partir de l ’infor­
mation x (t) conformément à l ’expression
y (t) = [1 + mx (*)] sin cof,
(4.37)
où cd est une fréquence fixe, appelée fréquence porteuse, m un nombre
positif appelé taux de modulation. Le nombre m est choisi inférieur
à l’unité et tel que l ’expression se trouvant entre crochets soit
160
DIVERS PROBLEMES DE SIMULATION
[CH. 4
positive. La modulation d'amplitude traduit le fait que l'informa­
tion x (;t) agit uniquement sur l'amplitude du signal radio y (t)
dans l'expression (4.37).
3) C a n a l d e l i a i s o n . Le canal de liaison est le milieu
utilisé pour] la transmission du signal de l'émetteur au récepteur.
En radiodiffusion, le canal de liaison est une bande déterminée de
fréquences radio. Au cours de la transmission le signal peut se
distordre ou être perturbé. Par souci de simplicité on supposera
que le canal utilisé est parfait, c’est-à-dire que le signal n’est ni
distordu ni perturbé.
4) R é c e p t e u r. Il transforme le signal reçu y (f) en l ’in­
formation de départ. Le rétablissement de l'information n'est pas
idéal, aussi désignera-t-on par x (t) l'information délivrée par le
récepteur pour la distinguer de l ’information initiale x (t). Sur le
plan mathématique, le récepteur réalise la fonction inverse de l'émet­
teur. En radiotechnique l ’opération inverse de la modulation s’ap­
pelle démodulation ou détection. Donc la démodulation a pour objet
un signal modulé en amplitude y ( 0 et pour but la transformation
de y (0 en information x (t). La démodulation présente de nombreux
points communs avec le redressement (cf. § 14). Mais on relève des
distinctions fondamentales. En effet, si le schéma du redressement
avec filtrage est destiné à éliminer toute composante alternative
et à obtenir un courant continu, le schéma de démodulation doit
dégager de l ’amplitude variable du signal la basse fréquence qui
correspond à l’information.
La figure 4.58 représente le schéma d’un récepteur élémentaire
comprenant un détecteur (redresseur) et un filtre. Le récepteur
délivre la variable x (t). On se propose de construire un schéma qui
permette de dégager à l ’aide de la machine l’influence des paramètres
du récepteur et de la fréquence porteuse œ sur la perturbation de
l’information x (t).
2.
Relations mathématiques favorables à la simulation. Suppo­
sons que x (i) = 1 — cos t. La source d’informations est alors simu­
lée par le schéma qui câble la fonction x (t) d’après son équation
différentielle déterminante x ” = 1 — x, x' (0) = x (0) = 0. Suppo­
sons par ailleurs que la fréquence porteuse o> du signal radio est
8
[ )
Fig. 4.59
Fig. 4.60
»/2 1 1 - 0 1 1 2
162
DIVERS PROBLÈMES DE SIMULATION
[CH. 4
égale à 20 fois la fréquence de l'information, i.e. z (/) = sin 20 /,
où z (t) désigne les oscillations de la fréquence porteuse, et que le
générateur de la fréquence porteuse est simulé par le schéma câblant
l’équation différentielle
z” = -4 0 0 z,
z (0) = 0,
z' (0) = 20.
En vertu de (4.37), la simulation se réduit à une multiplication.
L’équation différentielle décrivant le travail du récepteur est
connue du § 14. Dans nos notations, elle s’écrit
ï ' ( 0 = ^ [ l y ( 0 1 - ( i + ^ r) * ( ') ] .
(4.38)
3. Schéma de commutation. 11 est représenté sur la figure 4.59.
La partie gauche correspond a la modulation d’amplitude, celle
de droite à la démodulation. Les opérateurs [21, [71, [8] élaborent
l’information x (t). Les opérateurs
[11, [51, [61 simulent le générateur
de la fréquence porteuse. Les
opérateurs [91, [31, [41 réalisent
la modulation d’amplitude. Le
taux de modulation m est donné
à l’aide du potentiomètre disposé
a l’entrée (40) du sommateur
[91. Les inverseurs [121, [131 et
les diodes DY et Dz délivrent la
variable | y (t) | par câblage de
Fig. 4.61
la relation évidente | y (t) | =
= max {y (J), —y (J)} à l ’aide d’une opération de choix. Dans les
termes du phénomène simulé, cette opération traduit le redresse­
ment du signal radio et la multiplication par deux de sa fréquence.
Les opérateurs [151 et [141 simulent l’équation différentielle (4.38).
Les potentiomètres placés à l’entrée de l’intégrateur [151 permet­
tent d’attribuer aux paramètres r, C et R , qui caractérisent le fonc­
tionnement du récepteur, une valeur quelconque prise dans leurs
intervalles respectifs de variation.
4. Résultats de la simulation. La figure 4.60 représente quatre
oscillogrammes tracés avec un traceur de courbes d’après le schéma
de la figure 4.59. De haut en bas on a l’oscillogramme de l’informa­
tion x (t), l’oscillogramme du signal radio y (/) modulé en amplitude,
l’oscillogramme du signal radio redressé et de fréquence double,
l’oscillogramme de l’information x (t) élaborée par le récepteur.
L’information représente la composante variable exigée et la com­
posante continue. L’oscillogramme montre que la composante
variable de l’information x (t) répète avec un certain retard l’infor­
mation initiale x (0-
163
GÉNÉRATION D’OSCILLATIONS
§ 16]
§ 16. Génération «Toscillations
1. Position du problème. La figure 4.61 représente le schéma
électrique d’un générateur à tubes. On demande de simuler l ’établis­
sement des oscillations dans le générateur. Le générateur de la
figure 4.61 a ceci de particulier que le circuit oscillant est intercale
dans le circuit de grille. Dans la figure 4.61 i désigne le courant
du circuit, ia la composante variable du courant anodique, u la
tension du circuit (aux bornes du condensateur), uR = u — Ee la
tension de la grille, ER la polarisation de grille.
2. Déduction des équations différentielles décrivant le fonction­
nement du générateur. Si l ’on admet l ’inexistence des courants
de grille en raison de la polarisation suffisante ER, la loi de Kirchhoff
donne
i-§ '+ ri+ - r î
<4-39>
Au second membre, on a une f.é.m. induite dans le circuit oscillant
par l ’inductance de couplage. Si l ’on tient compte du fait que la
caractéristique tension-courant grille-plaque peut être représentée
au voisinage du point de fonctionnement par une fonction de la ten­
sion de grille, soit ia = O (u), et que u =
on déduit que
où o)0 =
1
| i dt, alors de (4.39)
MS (u) T du
LC J] 4dlr +
t <
"'oo«u —
= 0''.’
d«-u
dt1 ' [\.L
x
(4.40)
désigne la fréquence de résonance du circuit. Pour
passer de (4.39) à (4.40), on s’est servi de la relation
dQ> du
c / v du
dla
* r i r = s W HT »
dt
où S (u) = ^ est la pente de la caractéristique grille-plaque.
Lorsque l ’oscillateur fonctionne en régime doux, la caractéristique
grille-plaque est bien approchée par la fonction fl) (u) = Su — au3.
Compte tenu de cette fonction, (4.40) s’écrit
dru . T 3aM
«
/ MS
r \ ~| du ,
«
a
+ L — u - ( T e ~ T ) J 1T + < u = l0 •
Pour simplifier l ’écriture, posons
L’équation s’écrit alors
d*u
dt2
li*
^ ( “2- Y ) 4 r + w«u = 0 -
164
DIVERS PROBLÈMES DE SIMULATION
[CH. 4
La substitution
du ,
/ u3
\
«*>=-& + }>• ( — - v “ )
nous conduit au système d'équations différentielles du premier ordre
équivalent
=
yu) ,
(4.41)
v' = — 0 )0u.
Si p = 0, le système (4.41) se transforme en un système d’équations
différentielles linéaires décrivant les oscillations d’un circuit sans
pertes.
L’étude analytique du système (4.41) sur le plan de phase u, v
ne permet d’établir que l ’existence d’un cycle limite et d’un point
singulier en l’origine des coordonnées. Si y > 0 ce point est toujours
instable. En effet, le système linéaire de première approximation
peut être mis sous la forme
u! = (o0u + pyw, v‘ = —<*>ou
pour u et v petits. Les racines caractéristiques sont toutes deux
réelles et positives pour py ^ 2(o0 et complexes à parties réelles
positives pour py < 2o)0. Donc l’origine est un nœud instable pour
B~IY
*[/]■
*v\
e-n
Fig. 4.62
py ^ 2o)0 et un foyer instable pour py < 2co0. Il est impossible
d’étudier analytiquement l’établissement de l ’amplitude de l ’oscil­
lateur pour diverses valeurs des paramètres p, y, <o0 en raison des
difficultés entraînées par la résolution du système (4.41).
3. Schéma de commutation. Le schéma de commutation qui est
représenté sur la figure 4.62 simule le système (4.41). Le sommateur
» 16]
GÉNÉRATION D’OSCILLATIONS
16
[9] délivre la somme —( ^ + yuj . Le coefficient de transfert du
potentiomètre placé à l ’entrée (34) ne vaut pas 1/3 mais 1,5 puisque
on a tenu compte de l’échelle des multiplieurs élaborant u3. On fait
varier le paramètre v de l ’oscillateur à l’aide du potentiomètre
placé à l’entrée (36) du sommateur [9]. La quantité p appliquée
à l’entrée (18) de l’intégrateur [51 peut prendre des valeurs quelcon­
ques comprises entre 0 et 11. Le schéma de commutation de la figure
4.62 correspond à <o0 = 1.
4.
Résultats de la simulation. La forme des oscillations engen­
drées varie en fonction de p. Ces variations sont traduites aussi bien
par les oscillogrammes u (/) que par la trajectoire de phase. La figu­
re 4.63 représente l ’allure des oscillations pour trois valeurs distinc­
tes de p. En bas on a la courbe de phase et l’oscillogramme des
oscillations pour p relativement petit. Le cycle limite est une ellipse.
Les oscillations générées sont presque sinusoïdales. Le point initial
u (0) = v (0) = 0 est un foyer instable. Au milieu on a la courbe
DIVERS PROBLÈMES DE SIMULATION
166
[CH. 4
de phase et l’oscillogramme des oscillations générées u (t) pour de
plus grandes valeurs de p. Les oscillations se distinguent nettement
d ’oscillations sinusoïdales même si la forme du cycle limite ressem­
ble encore à une ellipse. La fréquence des oscillations a diminué,
l’amplitude prend plus rapidement ses valeurs permanentes. En haut
on a la courbe de phase et l’oscillogramme des oscillations pour p
relativement grand. Le cycle limite rappelle un parallélogramme;
les oscillations sont essentiellement non linéaires et rappellent celles
d’un multivibrateur. Le point initial u (0) = u (0) = 0 est un
nœud instable; l ’amplitude prend plus rapidement ses valeurs
permanentes. La fréquence des oscillations a pratiquement diminué
de moitié par rapport au premier cas.
§ 17. Excitation paramétrique (paramétron)
1. Position du problème. On demande de construire un schéma
simulant le fonctionnement du paramétron. Dans le paramétron
les oscillations sont excitées paramétriquement. Sur le plan électri­
que, le paramétron est un circuit résonnant à élément réactif non
linéaire. Le circuit oscille à la demi-fré­
quence des oscillations génératrices. Le
paramétron est caractérisé par l ’existence
d’états stables. Cette particularité a sug­
/
C ■
géré
à son inventeur, le savant japonais
Ü
Hoto,
de l’utiliser comme élément de cal­
r
culatrices numériques pour représenter
l ’unité binaire de l’information en choi­
sissant l’un des deux états stables dis­
Fig. 4.G4
tants l’un de l’autre de ji radians. La fi­
gure 4.64 représente le circuit résonnant
à excitation paramétrique comprenant une inductance variable L ( l),
un condensateur C et une résistance R ; u désigne la tension aux bor­
nes du circuit, i le courant traversant l’inductance.
2. Equations différentielles décrivant le fonctionnement du paramé­
tron. La loi de Kirchhoff donne
1
<+ - - + C-— = °.
(4.42)
Si l ’on tient compte de ce que la tension du circuit u = ~ (Li)
et l ’inductance varie suivant la loi L (t) = L 0 (1 + 2y sin 2co/),
où 2 (o est la fréquence d’excitation du paramétron, y le coefficient
de modulation, L 0 la composante constante de l ’inductance, et si
l’on introduit la notation
y = 7^^^ = (1 + 2vsin2<,,*)^’ ô = 1^7? ’ -c k " =û)2(1 + a )’
* 171
EXCITATION PARAMÉTRIQUE ( PARAMÊTRON)
167
alors on déduit de (4.42) l’équation différentielle
--—^ + 6 (0 --^ + o)2(l + a —2y sin 2œ/) J = 0.
(4.43)
On admet que a
1 et Y <C 1 donc (1 + a)/(l + 2y sin 2(0*)
a été remplacé par 1 + a — 2y sin 2co*.
Dans l ’équation (4.43) 6 représente l’amortissement, a le désac­
cord du circuit.
Si a et ô sont constants, l’équation (4.43) est une équation dif­
férentielle linéaire appelée équation de M a t h i e u . Elle décrit
les processus paramétriques d’excitation d ’oscillations dans les
systèmes linéaires. Les processus se déroulant dans le paramétron
Fig. 4.65
sont essentiellement non linéaires. Dans le circuit de la figure 4.64,
la non-linéarité provient de l’utilisation d ’un noyau ferromagnétique
dans la bobine d’inductance. Avec l ’accroissement de l ’amplitude
du courant la dépendance non linéaire de l’induction B par rapport
à l’intensité H du champ magnétique entraîne un désaccord supplé­
mentaire du circuit résonnant et un accroissement simultané des
pertes par hystérésis. Donc, l’amortissement 6 et le désaccord a
seront en général fonction de l ’amplitude J 2. Si la non-linéarité
est prise en considération sous forme d’un désaccord supplémentaire
DIVERS PROBLÈMES DE SIMULATION
168
[CH. 4
p/ 2 du circuit, l ’équation s’écrit en définitive
■^7 - + 6 ( 0
+ (o2 ( 1 + a + p/ 2 —2y sin 2 (ùt) J = 0.
(4.44)
J = J s sin (o* + / c cos col,
(4.45)
La décomposition
où J 8 est l ’amplitude de la composante sinusoïdale et J c l ’amplitude
de la composante cosinusoîdale, et la substitution de (4.45) dans
(4.44) donnent le système
-jj"
=
6 /s + yJ c — I gl+ y- P («^i + ^c)l J C»
9
r
3
-1
^ / ; = - ô / c- Y/ 8+ [ a + | . p ( / l + y 2) ] / s.
(*•«)
On admet que a, y, 6
1 et que w > 1.
3.
Schéma de commutation. Le schéma de commutation qui
est représenté sur la figure 4.65 correspond à p < 0 , Y > 6 , x =
= m(ût/2, x étant le temps sans dimension et m un nombre positif
jouant le rôle d’échelle. On peut attribuer
à a, p, Y, 6 une valeur quelconque prise
dans leurs intervalles de variation à l ’aide
des potentiomètres.
4.
Résultats. Les processus se déroulant
dans le paramétron se représentent aisément
sur le plan de phase J cOJs (fig. 4.66). A
tout point de ce plan est associé dans un
système de coordonnées polaires un rayon
vecteur R dont le module est égal à l’am­
plitude des oscillations (R =
et
l’angle polaire à la phase des oscillations.
Le cas le plus compliqué du comportement
du paramétron est représenté sur la figure 4.67. La courbe de phase pré­
sente cinq points singuliers : deux points selle et S 2et trois foyers sta­
bles alignés. Le foyer du centre correspond à l ’origine des coordonnées.
Aux deux autres foyers sont associées deux oscillations fixes du
paramétron déphasées de n radians. Le paramétron arrive 5 l’un
des trois états stables quelle que soit la position initiale. De tels
paramétrons sont dits à trois états stables. Les valeurs numériques
des coefficients de transfert des opérateurs de la figure 4.65 corres­
pondent à un paramétron à trois états stables. Si l ’on annule a
(par rupture de la liaison à l’entrée (44) du sommateur [14]) le para­
métron devient bistable. Le point singulier J c = J 8 = 0 qui repré­
sente l ’origine du plan de phase devient un nœud instable.
§ 18)
PROPAGATION D’UNE EPIDEM IE
169
Fig. 4.67
§ 18. Propagation d’une épidémie
1. Position du problème. Construire un schéma simulant la
propagation d’une maladie contagieuse qui s’est déclarée dans une
localité retirée de H habitants. Au moment où l ’épidémie a été
découverte, y0 étaient malades, donc agents infectieux, x 0 étaient
encore sains mais potentiellement malades, les autres, soit z0 —
= H — x 0 — y0, relevaient de l ’infection et étaient immunisés.
Le caractère de l ’épidémie et les conditions de vie de cette localité
sont tels que chaque malade contamine quotidiennement en moyen­
ne fi personnes sur mille, chaque malade est immunisé au bout de y
jours de convalescence.
2. Equations différentielles. Soient x les personnes saines mais
malades potentiels, z les personnes saines et immunisées, y les
malades (agents infectieux). La propagation de l ’épidémie est
décrite par le système d’équations différentielles
x = — 10‘8Pxy,
x (0) = Xq,
^ = 1 0 - ^ — y ' y , y(0) = y0,
(4.47)
z = T ly,
2 (0) = Zq.
12-0112
170
DIVERS PROBLÈMES DE SIMULATION
[CH. 4
On admet que l ’infection se propage par contact, c’est-à-dire que
la vitesse de contamination des personnes saines x est proportion­
nelle à la fréquence de leurs rencontres avec les malades y.
3. Schéma de commutation. La figure 4.68 représente le schéma
de commutation simulant le système (4.47). Les valeurs numériques
Fig. 4.68
des coefficients de transfert des opérateurs correspondent aux cas H =
= 1000 personnes, P = 1 personne sur mille, y = 10 jours. Une
seconde machine représente une journée. On peut faire varier H
dans un intervalle assez large à l’aide des potentiomètres placés
aux entrées (28), (8), (24) et (20) des intégrateurs [71, [6], [51.
§ 19]
INTERACTION DE POPULATIONS
171
4. Résultats de la simulation. La figure 4.69 représente les
oscillogrammes x (t), y (t), z (t) obtenus à l'aide du montage de la
figure 4.68 sous l’hypothèse que x0 = 900 personnes, y0 = 90 per­
sonnes, z0 = 10 personnes. La variable x (J) est monotone décrois­
sante et tend asymptotiquement vers zéro ; la variable y (/) présen­
te un extremum à partir duquel elle tend asymptotiquement vers
zéro ; la variable z (t) est monotone croissante et tend asymptotique­
ment vers H.
§ 19. Interaction de populations
1. Position du problème. Construire un schéma simulant révo­
lution quantitative de deux populations animales coexistantes.
A l ’instant / = 0 pris pour initial, le nombre de sujets de la pre­
mière population est de x10, celui de la deuxième de x20.
2. Equations différentielles. Pour fixer les idées étudions le
modèle correspondant au cas où les rapports entre les populations
animales sont du type prédateur — proie, i.e. les animaux d ’une
espèce, par exemple des lièvres, constituent la pitance des animaux
de l ’autre espèce, par exemple des lynx. Pour simplifier, tous les
facteurs supplémentaires influant sur la modification du nombre
des animaux seront supposés constants. Ceci posé, l’évolution du
nombre de sujets est décrite par le système d ’équations différentielles
xi—
x2=
— 0'i2x \x2 ûlli
1^1 x 2 “ “ ^ 22 ^ 2 ’
^
(4.48)
21 » ^22
qui suppose qu’en l ’absence de lynx (x2 = 0) l ’accroissement des
lièvres est proportionnel à leur nombre x x. La présence de lynx réduit
la prolifération des lièvres. Cette réduction est proportionnelle
au nombre de rencontres des lièvres et des lynx. Au contraire, le
nombre de lynx croît avec celui des rencontres; la disparition des
lièvres entraîne celle des lynx et ce d’autant plus vite que ces derniers
sont nombreux.
Sur le plan de phase xxOx2 le système (4.48) présente un point
singulier de coordonnées x,éq = a22/a21, x 2éq = fln /fl2 2 - Si le nombre
initial d’animaux est tel que x10 = x,^q, x20 = x2<îq , il restera
constant. Analysons l’évolution quantitative des animaux en fonc­
tion du temps tout d’abord dans un petit voisinage du point d’équi­
libre. A cet effet, linéarisons le système (4.48). L’introduction des
variables ux = xx — a22/a21 et u2 = x2 — an /a12 nous donne le
système linéarisé
llx= _ al9att a2, U2 _ «?1g11
g 21
12*
«12
172
DIVERS PROBLEMES DE SIMULATION
[CH. 4
ou encore
u\ — —aiia\2UU
d'où il suit que
ux = A cos (ùt,
uz = B sin cof,
où A et B sont des constantes et <o = V an a22. Maintenant il est
aisé d'établir qu'au voisinage du point singulier la trajectoire
x (f), y (0 est une ellipse, puisque
üA*
LT
+ JfL
= i
Bz
Les possibilités de l'étude analytique du comportement de x (t)
et y (0 s’arrêtent là. Nous allons utiliser la machine pour repré­
senter les courbes de phase du système (4.48) sur le plan de phase.
3. Schéma de commutation. Le schéma de commutation est
représenté sur la figure 4.70. Dans la position des contacts du relais
indiquée sur la figure, le schéma simule le système (4.48) pour les
valeurs numériques suivantes des paramètres: an = a22 = 1, a12 =
= a2l = 2. On peut attribuer aux paramètres an , a12, a 21, a22 une
valeur quelconque prise dans leurs intervalles de variation à l'aide
des potentiomètres disposés aux entrées (20), (18), (22) et (24) des
intégrateurs [5] et [61. Les variables xx (t) et x 2 (t) sont appliquées
aux entrées de l'indicateur électronique pour une visualisation de
la courbe de phase et des oscillogrammes.
4. Résultats. La figure 4.71 représente les oscillogrammes
xi (0» * 2 (0 et la courbe de phase x 2 = \|> fo) dessinée par un traceur
de courbes à l'aide du schéma de la figure 4.70. La courbe de phase
est fermée. Les oscillogrammes xl (0 et x 2 (t) sont des fonctions
périodiques du temps. Leur examen permet de tirer des conclusions
importantes: les lynx ne peuvent pas dévorer tous les lièvres;
l'équilibre œcologique entre lynx et lièvres revêt un caractère
dynamique; le nombre moyen de lynx et de lièvres est invariable
pour an , a12, a 21, a22 constants; les nombres initiaux x 20 de lynx et
x10 de lièvres influent sur l’amplitude des oscillations xx (i) et x 2 (t)
autour des valeurs moyennes.
5. Généralisation. Le modèle de coexistence de populations du
type prédateur — proie est l’un des modèles œcologiques élémen­
taires appelés modèles de Voltaire-Lotka. Le schéma de la figu­
ré 4.70 permet d’étudier un autre modèle de Voltaire-Lotka:
Xf = auX 1 —&l2x ix2i
* 2 = — 0 2 1 2 1 * 2 + 022*2»
^22^^!
021» û 22
(4.49)
0«
Il suffit de changer dans le schéma de la figure 4.70 le signe de la
variable appliquée à l'entrée du circuit de commande préprogram-
INTERACTION DE POPULATIONS
§ 10]
173
x2i\
0
X*
Fig. 4.71
DIVERS PROBLÈMES DE SIMULATION
174
[CH. 4
mée. Le système (4.49) décrit la coexistence de deux populations
concurrentes du type prédateur — prédateur. La disparition de Tune
des populations se traduit par un accroissement proportionnel du
nombre de sujets de l'autre population. Les sujets meurent à une
vitesse proportionnelle à la fréquence des rencontres des animaux
des diverses populations. Le système (4.49) possède le même point
singulier que le système (4.48) à la seule différence que ce point
correspond désormais à un équilibre instable. En effet, en linéari­
sant (4.49) au voisinage du point singulier, on obtient l'équation
U \ — & 11^ 22 ^ i f
d’où il vient
ux = A ch o)f,
u2 = B sh <o/,
et la trajectoire est une hyperbole
Cela veut dire que le point singulier est une selle. Le câblage de (4.48)
montre que quels que soient an , a12, a21 et a 22 et quelles que soient
les conditions initiales, une population de prédateurs extermine
l’autre.
Le système (4.49) peut à son tour être généralisé par l'adjonction
du terme —a13x* à la première équation et du terme —a23xî à la
deuxième, termes qui traduisent l'effet de facteurs conditionnés
par le surpeuplement de l’espèce. Le système (4.49) devient alors
X 1 = a u X i — ü i o X i X 2 — û 13X j ,
=
— 021*^ 1*^2 -J” 022*^2 — 023^*2»
flji,
012»
f l 13 > 0 ,
^21 » 022» 023
(4.50)
0.
Le câblage de (4.50) sous la condition que 0i2021 > 0 i 30 2 3
conduit au même résultat que le système (4.49). Pourtant, si 012021 <
< 0 i 3 0 23, le système (4.50) est stable. Cette stabilité traduit la
coexistence de deux populations du type prédateur — prédateur
dans un même milieu.
ANNEXE
Représentation suggestive
des résultats de la simulation mathématique
1. Projection d’un système de coordonnées spatiales sur un plan.
La figure A.l donne une représentation suggestive d’un système de
coordonnées cartésiennes spatiales et d’un point P défini par ses
coordonnées. D’une façon générale, la représentation d’un objet
sur le plan sera dite suggestive si l ’observateur s’imagine facilement
cet objet dans l’espace. La représentation suggestive s’obtient par
projection. Celle-ci consiste à mener mentalement des droites appe­
lées projetantes par les points de cet objet jusqu’à leur intersection
Fig. A .l
avec un plan dit de projection. Dans notre cas le plan de projection
est le plan rapporté au système de coordonnées cartésiennes Y xOY«.
On projettera une figure géométrique avec le système de coordonnées
par rapport auquel elle est définie. Les projetantes seront parallèles.
Elles percent le plan de projection sous un angle tel que Ozly
Ozz et Oz3 se projettent respectivement sur OYly OYs et sur une
droite faisant un angle a avec OY2. Cette projection ne conserve
pas tous les angles et toutes les distances. Ainsi sur la figure A.l
ANNEXE
176
Tangle z20z3 n’est pas droit, il vaut n — a ; les projetantes de
P sur les plans de coordonnées du système zx, z2, z3 sont les arêtes
d’un parallélépipède rectangle. La projection de ces dernières sur
YiOY* modifie la longueur des arêtes parallèles à Oz3 et les angles
de toutes les faces à l ’exception de celles qui sont parallèles au
plan de projection. Ces modifications sont indispensables. Elles
donnent du relief à la projection du parallélépipède sur le plan.
En effet, c’est l ’image que perçoit un observateur regardant un petit
parallélépipède placé assez loin devant lui, au-dessous du niveau
des yeux.
Les appareils d’enregistrement modernes: traceurs de courbes,
autoscripteurs, potentiomètres enregistreurs etc., traduisent l ’infor­
mation reçue de la machine par un dessin, schéma ou graphe dans
un plan. Les instruments d’observation visuelle: display, indica­
teurs électroniques utilisent des tubes cathodiques. La représenta­
tion d’objets avec une machine implique l’établissement d’une
relation entre les coordonnées cartésiennes spatiales zl9 z2, z3 d’un
point de cet espace, ses projections sur les plans ZjOz29 ztOz39 z2Oz3
et ses coordonnées cartésiennes correspondantes sur le plan Y f i Y ^
2. Relations fondamentales dans l ’axonométrie parallèle. Dans
le cas le plus général de projection parallèle, les relations entre
les coordonnées spatiales et leurs projections sur le plan peuvent
être représentées sous forme de la transformation affine
Y i = ûio + a11Z1+ a 12Z2"f fl13Z3t
Y2= Æ2o "4"Û21Z1"4”a22Z2 a2323f
où les coefficients ati (i = 1, 2; / = 0, 1, 2, 3) dépendent de la
disposition respective des systèmes de coordonnées spatial et plan
ainsi que des déformations linéaires. Cependant l’effet de relief
n ’est pas donné par toute transformation affine. On se propose
d’étudier analytiquement les principaux cas de représentation sug­
gestive utilisés en dessin industriel et en géométrie descriptive
où ils sont exposés dans un esprit essentiellement géométrique et
réalisés par des constructions géométriques.
La perspective axonométrique correspond au cas représenté sur
la figure A.l. Elle est définie par la transformation affine
Y l — zt+
Û 13Z3»
^ 2 — Z2a 23Z3 '
L’égalité an = a22 = 1 traduit l’absence de déformations linéaires
sur les axes Oz1 et Oz2. Les constantes a13 et a 23 s’expriment sans
peine en fonction de l ’angle a et du coefficient y de déformation
linéaire sur l ’axe Oz3. En effet, si l ’on considère que la figure A.l
est plane, on obtient a13 = —y sin a, a23 = —y cos a * Dans la
perspective axonométrique « classique » on prend a = ji/4 et y = 1/2
REPRÉSENTATION DES RESULTATS DE LA SIMULATION MATHEMATIQUE
177
Table de
com m u tation
"2, "Z/ L -2/
h L
h
0 -h -h 2*1
h l h 2,
'
n
/// i r
Fig. A.3
ce qui donne
yX 1-_Z- j -----~ z3
„ » yJ 2*“
_„Z2-----~ z3Si y = V2/2, on obtient des expressions extrêmement simples
Y
^ —%,
Yt = H- ±
(A .l)
facilement simulables sur la machine.
L'isométrie orthogonale est caractérisée par une même déformation
sur les trois axes. Par ailleurs l ’axe Oz1 est confondu avec OYj, les
axes Oz2 et Ozz forment avec OY1 des angles de ±2ji/3. L’isométrie
orthogonale donne les meilleurs résultats dans la représentation
ANNEXE
178
de surfaces de révolution. On montre qu’elle est définie par la trans­
formation affine
r , = 2l - ( s . + z 3) / 2 ,
y . = (zo - z3) | / 3 / 2 .
La dymétrie orthogonale se caractérise par l ’absence de déforma­
tions sur les axes Ozx, Oz3 et une déformation linéaire sur l’axe Oz2
égale à 0,5. D’autre part a « 7°10' et Lz20z3 — LzxOz« « 131°25'.
La dymétrie orthogonale est définie par la transformation affine
y t = Zi -
(z2
yr + 3) /8 ,
z
y . = 3 (z . -
z3 1 ^ / 8 .
Les représentations combinées sont la superposition de plusieurs
représentations d’un même objet. Sur la figure À.2 on a quatre repré­
sentations d’un point : la représentation suggestive IV et trois projec­
tions III, II, I. La représentation suggestive IV doit être prise pour
fondamentale dans la mesure où les trois autres en découlent. En ef­
fet, si IV est donnée par (A.l), la projection I découle de (A.l) par
la substitution z2 = 0, la projection II par la substitution z3 = — l
et la projection III par la substitution zt = —Z. Les quatre repré­
sentations sont obtenues à l’aide de deux sommateurs montés comme
indiqué sur la figure A.3. Le montage de schémas analogues pour
l’isométrie et la dymétrie ne soulève aucune difficulté.
A NOS LECTEURS
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santes de bien vouloir leur communiquer votre opi­
nion sur le contenu de ce livre, sa traduction et sa pré­
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ficients variables d’une manière aussi claire que les relations simples
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