Examen Préparatoire Baccalauréat 2026 Mathématiques

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INSTRUCTIONS GENERALES
L’utilisation de la calculatrice non programmable est autorisée ;
Le candidat peut traiter les exercices de l’épreuve suivant l’ordre qui lui convient ;
L’utilisation de la couleur rouge lors de la rédaction des solutions est à éviter.
COMPOSANTES DU SUJET
L’épreuve est composée de trois exercices et un problème indépendants entre eux et répartis
suivant
les domaines comme suit :
Exercice 1 Suites numériques 3 points
Exercice 2 calcul probabilités 3 points
Exercice 3 La géométrie dans l’espace 3 points
Exercice 4 Nombres complexes 3 points
Problème Étude des fonctions 8 points
On désigne par  le conjugué du nombre complexe 
ln désigne la fonction logarithme népérien

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Exercice 1 : (03 pts)
On considère la fonction dénie sur Rpar :  
1- a) Résoudre dans Rl’équation : 0.25
b) En déduire que pour tout  :0.25
2- a) Montrer que la fonction 0.5 est strictement croissante sur R
b) En déduire que pour tout 0.25
3- On considère la suite dénie par : pour tout N;
a) Montrer que pour tout N;0.5
b) Montrer la suite est décroissante. Utiliser les résultats de la question 1-b)0.5
c) Déduire que la suite est convergente, puis calculer lim 0.75
Exercice 2 : (03 pts)
Une urne contient cinq boules rouges portants les nombres ,,,,et cinq boules vertes
portants les nombres ,,,,
Toutes les boules sont indiscernables au toucher
On considère l’expérience suivante qui consiste à tirer au successivement et sans remise quatre boules
de l’urne On considère les événements suivants :
A : « Obtenir quatre boules dont une au plus porte le nombre . »
B : « Obtenir quatre boules portant des nombres diérents deux à deux. »
C : « Obtenir exactement une boule rouge au deuxième tirage. »
1- a) Montrer que1.5  
,   et  
b) Calculer 0.5
2- Soit la variable aléatoire qui, à chaque tirage de quatre boules, associe le nombre de boules
rouges restantes dans l’urne portant le nombre ..
a) Montrer que l’ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire est 0.25
b) Montrer que   
, puis déterminer la loi de probabilité de 0.5

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c) Calculer l’espérance mathématique0.25 de 
Exercice 3 : (03 pts)
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct   , on considère les deux points
,,et d’axes respectives : 
; ; et 
1- a) Écrire les nombres et sous forme algébrique.0.5
b) Montrer que : et sont0.5 deux solutions de l’équation :
2- a) Montrer que le point est0.25 l’image du point par l’homothétie de centre et de rapport
b) Montrer que le point est0.5 l’image du point par la rotation de centre et d’angle 
c) En déduire que  est un carré0.25
3- Soit un point d’axe , et   
un nombre complexe tel que .
a) Déterminer la valeur de pour laquelle0.25 et que les points ,et sont alignés.
b) Déterminer les valeurs0.5 de pour lesquelles les points ,,et sont cocycliques.
c) Déterminer les valeurs0.25 de pour lesquelles soit l’axe du point , image du point 
par la translation de vecteur   .
Exercice 4 : (03 pts)
Dans un espace rapporté à un repère orthonormé   , on considère les points ;
;; et le vecteur  ,avec R
1- a) Montrer0.25 que 
b) Montrer que0.25  est une équation cartésienne du
plan 
c) Calculer en fonction de l’air du triangle 0.25
2- Soit  un plan d’équation 
a) Vérier que le point0.25 appartient au plan 
b) Montrer que0.25  

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c) Montrer que0.5 le plan  coupe le plan  suivant une droite 
d) En déduire que : ;  Rune représentation paramétrique0.5 de la
droite 
3- Soit  une sphère de centre de centre ()
a) Sachant que le plan est tangent à la sphère , déterminer0.5 une équation cartésienne
de la sphère .
b) Déterminer les valeurs de0.75 pour lesquelles la sphère est tangente aux deux plans 
et 
Problème : (08 pts)
Partie I :
1- Résoudre dans R:
a) ln0.25
b) lnln0.5
2- En déduire le signe de lnln sur 0.25
Partie II :
Soit une fonction numérique dénie sur  par :
lnln  
sa courbe représentative dans un repère orthonormé  
1- a) Montrer que : lim
ln 0.25 .Prend   
b) Étudier la continuité0.25 de à droite de 
c) Montrer que lim
  , puis0.75 interpréter géométriquement le résultat
obtenu.
2- Vérier que ln, pour tout 0.25

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3- a) Montrer que : ; lim
0.5 .Prend  
b) Calculer lim
, puis déduire que 0.5 admet une branche parabolique au voisinage
de 
4- a) Montrer que0.5 : : ; lnln
b) En déduire0.5 que la fonction est strictement croissante sur les intervalles  et
 et strictement décroissante sur l’intervalle 
5- a) Montrer que0.25  ln
 , pour tout 
b) Étudier la concavité de la courbe0.75 et précisons l’abscisse de se point d’inexion
6- Construire la courbe0.75 dans le repère  
7- a) Montrer que0.5   
ln ln est une fonction
primitive de la fonction lnsur l’intervalle 
b) En utilisant0.5 une intégration par partie, montrer que :
lndln
c) Étudier le signe0.25 de  sur l’intervalle 
d) Calculer0.5 l’aire de la partie du plan délimitée par la courbe et les droites :
; et 