Université Sultan Moulay Slimane Prof: ELBAZ Hassane
Ecole Supérieure de l’Education et Année Universitaire 2025–2026
de la Formation Filières – Sciences Physiques et Chimiques (S1)
Série de TD n°2
Analyse 1
Exercice 1.
1. Soit fla fonction définie par f(x) = ln
sin π
2x
. Quel est le domaine de définition de f? La
fonction fest-elle paire? impaire? 2-périodique?
2. On considère la fonction fdéfinie sur Rpar
f(x) = cos(3x) cos3x
Pour x∈R, exprimer f(−x)et f(x+π)en fonction de f(x). Sur quel intervalle Ipeut-on se
contenter d’étudier f?
Exercice 2.
1. Montrer, à partir de la définition donnée en cours, que :
lim
x→0x2= 0
2. Traduire par une formule mathématique (avec quantificateurs) l’affirmation
lim
x→0ln(1 + x)=0
3. Déterminer un réel δ > 0tel que
|x| ≤ δ=⇒ |ln(1 + x)| ≤ 10−3.
Exercice 3.
Déterminer les limites suivantes, lorsqu’elles existent :
1. limx→+∞
xcos(ex)
x2+1
2. limx→+∞ex−sin x
3. limx→+∞x1
x
4. limx→0sin(xln x)
x.
Exercice 4.
Soit f:R→Rla fonction définie par
f(x) =
xsi x < 1
x2si 1≤x≤4
8√xsi x > 4
La fonction fest-elle continue? Justifier.
Exercice 5.
Lever l’indétermination et prolonger la fonction fpar continuité en x0
1. f(x) = q1
x3+1
x+ 1 −q1
x3+1
x−1, x0= 0;
2. f(x) = sin(πx)
2πx ,x0= 1;
1
3. f(x) = √1+x−1
tan(x),x0= 0;
4. f(x) = (1 −ln(x))(ln(x)−e)), x0=e.
Exercice 6.
Démontrer que les équations suivantes admettent au moins une solution réelle:
1. x3−3x2+ 15x−7=0
2. 1 + sin(x)−x2= 0
3. 1
2cos(x)−1
(x+1)2+=0.
Exercice 7. Soit fla fonction définie de [0,1] dans R, par :
f(x) = x
x2+ 1
1. Montrer directement que fest strictement monotone.
2. En déduire que fest bijective et déterminer f−1.
Exercice 8.
On considère la fonction fdéfinie dans Rpar :
f(x) = Arcsin x+ Arcsin 2x
1. Préciser le domaine de définition de f et montrer qu’elle est injective.
2. Sur quel intervalle, la fonction réciproque de f est elle définie ?
3. Résoudre l’équation f(x)=2π/3.
2
1
/
2
100%
