Correction d'exercices : Classification morphologique des signaux

Filière : GI1 Traitement du signal AU : 2025-2026
Correction : SÉRIE D’EXERCICES N◦1
Exercice 1 : Classification morphologique des signaux
Correction : Partie A
1. Tableau complété :
Amplitude continue Amplitude discrète
Temps continu Signal analogique Signal quantifié
Temps discret Signal échantillonné Signal numérique
2. Définitions des 4 classes de signaux :
—Signal analogique : signal dont l’amplitude et le temps sont tous les deux continus.
—Signal quantifié : signal dont l’amplitude est discrète et le temps est continu.
—Signal échantillonné : signal dont l’amplitude est continue et le temps est discret.
—Signal numérique : signal dont l’amplitude et le temps sont tous les deux discrets.
3. Opérations de conversion :
— Temps continu →temps discret : l’échantillonnage.
— Amplitude continue →amplitude discrète : la quantification.
Correction - Partie B
1. « Tout signal numérique est forcément discret. » Vrai
Un signal numérique est à temps discret et à amplitude discrète, il est donc forcément discret.
2. « Un signal échantillonné a une amplitude quantifiée. » Faux
Un signal échantillonné a une amplitude continue ; c’est le signal numérique qui possède une am-
plitude discrète (quantifiée).
3. « Un signal analogique peut être traité directement par un microprocesseur. » Faux
Un signal analogique doit d’abord être échantillonné puis quantifié pour être converti en signal
numérique avant tout traitement par un microprocesseur.
4. « La quantification consiste à ne prélever le signal qu’à certains instants. » Faux
C’est la définition de l’échantillonnage. La quantification consiste à arrondir l’amplitude à des ni-
veaux discrets fixes.
1

5. « Un signal quantifié a un temps continu. » Vrai
Par définition, un signal quantifié possède une amplitude discrète mais un temps continu, ce qui le
distingue du signal numérique.
Exercice 2 : Moyenne, energie et puissance
1. Représentation des signaux
s(t) = Ssin(ω0t)
est un signal sinusoïdal d’amplitude Soscillant entre −Set S.
−T0−3T0
4−T0 2−T0 4
T0
4
T0
2
3T0
4
T0
−S
SS
−S
t
s(t)
Le signal x(t)est défini par :
x(t) = 
x0e−t, t ≥0
0, t < 0
Il s’agit d’un signal exponentiel décroissant causal.
12345
x0
τ=1
x0e−1≈0.37 x0
x0
t
x(t)
2. Périodicité de s(t):Le signal s(t)est périodique car il est sinusoïdal. Sa période fondamentale est :
T0=2π
ω0
3. Signification de ω0:ω0est la pulsation (fréquence angulaire) du signal. Elle est liée à la fréquence
f0par : ω0= 2πf0ou f0=ω0
2π.
4. Moyenne de s(t)sur tout l’horizon temporel : Pour un signal sinusoïdal périodique :
¯s=1
T0ZT0
0
Ssin(ω0t)dt = 0
5. Moyenne sur l’intervalle [0, π]
¯s[0,π]=1
πZπ
0
Ssin(ω0t)dt =S
π"−cos(ω0t) ω0#π
0
=S
πω0
(1 −cos(ω0π))
Or T0=2π
ω0
donc
¯s[0,π]=ST0
2π2(1 −cos(ω0π))
2

6. Cas ω0= 2 rad/s
T0=2π
2=π
Donc
¯s[0,π]=S
π·2(1 −cos(2π)) = 0
7. Ajout d’une composante continue
Le nouveau signal devient :
s(t) = S0+Ssin(ω0t)
Sa valeur moyenne devient :
¯s=S0
8. Moyenne sur [0, π]pour ω0quelconque
¯s[0,π]=S0+S
πω0
(1 −cos(ω0π))
9. Énergie de s(t)
Énergie totale :
Es=Z+∞
−∞
S2sin2(ω0t)dt
Cette intégrale diverge, donc
Es= +∞
Énergie sur une période :
Es−T0
2,T0 2=ZT0/2
−T0/2
S2sin2(ω0t)dt =S2T0
2
Commentaire : un signal périodique possède une énergie infinie mais une puissance finie.
10. Puissance moyenne de s(t)
Ps=1
T0ZT0/2
−T0/2
S2sin2(ω0t)dt =S2
2
11. Moyenne de x(t)
Sur tout l’horizon :
¯x= lim
T→∞
1
TZT
0
x0e−tdt = 0
Sur [0,1] :
¯x[0,1] =Z1
0
x0e−tdt =x0(1 −e−1)
3

12. Énergie de x(t)
Ex=Z+∞
−∞
|x(t)|2dt =Z+∞
0
x2
0e−2tdt =x2
0
2
Donc x(t)est un signal d’énergie finie.
13. Puissance moyenne de x(t)
Px= lim
T→∞
1
TZT
0
x2
0e−2tdt = 0
Exercice 3 : Signaux pairs et impairs
1. Produit de deux signaux pairs
y1(t) = s1p(t)s2p(t)
Calcul :
y1(−t) = s1p(−t)s2p(−t)
Or :
s1p(−t) = s1p(t), s2p(−t) = s2p(t)
Donc :
y1(−t) = s1p(t)s2p(t) = y1(t)
y1(t)est un signal pair
2. Produit de deux signaux impairs
y2(t) = s1imp(t)s2imp(t)
Calcul :
y2(−t) = s1imp(−t)s2imp(−t)
Or :
s1imp(−t) = −s1imp(t), s2imp(−t) = −s2imp(t)
Donc :
y2(−t) = [−s1imp(t)] [−s2imp(t)]
y2(−t) = s1imp(t)s2imp(t) = y2(t)
y2(t)est un signal pair
4

3. Produit d’un signal pair et d’un signal impair
y(t) = sp(t)simp(t)
Calcul :
y(−t) = sp(−t)simp(−t)
Or :
sp(−t) = sp(t), simp(−t) = −simp(t)
Donc :
y(−t) = sp(t) [−simp(t)]
y(−t) = −sp(t)simp(t) = −y(t)
y(t)est un signal impair
4. Soient les signaux suivantes :
s1(t) = cos(t) + sin(t) + sin(t) cos(t),
s2(t) = e−2tcos(t),
s3(t) = e−2tsin(t),
Détermination de la partie paire et de la partie impaire.
—Signal s1(t)
s1(−t) = cos(−t) + sin(−t) + sin(−t) cos(−t)
Comme :
cos(−t) = cos(t),sin(−t)=−sin(t)
Alors :
s1(−t) = cos(t)−sin(t)−sin(t) cos(t)
Partie paire :
s1p(t) = s1(t)+s1(−t)
2
s1p(t) = cos(t) + sin(t) + sin(t) cos(t) + cos(t)−sin(t)−sin(t) cos(t)
2
s1p(t) = cos(t)
Partie impaire :
5