Résumé Espaces Vectoriels et Applications Linéaires

Espaces vectoriels et application lineaire resume
maths (École Mohammadia d'Ingénieurs)
Scan to open on Studocu
Studocu is not sponsored or endorsed by any college or university
Espaces vectoriels et application lineaire resume
maths (École Mohammadia d'Ingénieurs)
Scan to open on Studocu
Studocu is not sponsored or endorsed by any college or university
Downloaded by Zineb Day ([email protected])
lOMoARcPSD|62333199

CPGE MPSI -2 MEKNES Année scolaire : 2020-2021
I-La structure d’un espace vectoriel
1)Définition : Soit  un ensemble non vide, on dit que  est un  - espace vectoriel
(ou -e.v.) lorsque E possède une addition et un produit par les scalaires (loi de
composition externe, notée ( . )
avec les propriétés suivantes :
 (, +)  et appelé vecteur nul de
).
 La loi . (ou produit par les scalaires) doit vérifier : 
On dit que  est un  - e.v., les éléments de  sont appelés les scalaires et les
éléments de  sont appelés vecteurs (parfois notés avec une flèche).
2) Exemples :
 ( est un -espace vectoriel
 est un -espace vectorieloù 
  est un -espace vectoriel
 est un -espace vectoriel
 est un -espace vectoriel
 est un où 
3) Règles de calculs Soitun
4) Combinaisons linéaires d’un nombre fini de vecteurs
Soit  un  et soit  des vecteurs de . On appelle combinaison linéaire
de la famille tout vecteur  de  pour lequel il existe des scalaires
tels que : 
II- SOUS-ESPACES VECTORIELS
1)DéfinitionSoit  un -e.v. et soit un ensemble, on dit que H est un sous-espace
vectoriel de E (ou s.e.v de ) lorsque :
CH : Espaces vectoriels et applications linéaires
Downloaded by Zineb Day ([email protected])
lOMoARcPSD|62333199

  ,  .
 ,   ,  +    ( .
    ,      ( est stable pour la loi .).
Dans ce cas, (, +, .) est lui-même un -e.v.
Remarques :  Tout s.e.v de  contient  .
 est un s.e.v de  sssi
 est un s.e.v de  sssi
Exercice : Répondre par vrais ou faux:
1)
 est un sous espace vectoriel de  .
2)
 est un sous espace vectoriel de 
3)  est un sous espace vectoriel de  .
4)
  est un sous espace vectoriel de 
2) Intersection de sous-espaces vectoriels
Soit  une famille de s.e.v de  ( est un ensemble quelconque non vide
rs 
 est un s.e.v de E.
Remarque :  La réunion de deux s.e.v. est
3) Somme de sous-espaces vectoriels
Soient et  deux s.e.v de E, on appelle somme de  et   et
défini par : 
Plus généralement, si  sont des s.e.v. de , la somme de ces s.e.v. est :
Et on a : Une somme de s.e.v de  est un s.e.v de .
4) Somme directe des s.e.v :
Soient  des s.e.v de , on dit que la somme  est directe lorsque tout
de manière unique sous la forme  avec 
Remarque : Soient et  deux s.e.v de E.
Exercice : Montrer que les deux s.e.v des fonctions paires et impaires forment une
somme directe dans 
5) Caractérisation des sommes directes.
Soient  des s.e.v de , les assertions suivantes sont équivalentes :
 la somme est directe.
   et la somme des autres s.e.v. est réduite à 
Downloaded by Zineb Day ([email protected])
lOMoARcPSD|62333199

     définie par  est
injective.
6) S.e.v. supplémentaires
Soient F et G deux s.e.v de E ,
on dit que  et  sont supplémentaires lorsque Ce qui signifie que
E = F + G et la somme  est directe, ou encore : tout vecteur de  
manière unique  G
7) Sous-espace engendré par une partie non vide.
Soit  une famille de vecteurs de . On appelle combinaison linéaire de la famille, tout
vecteur de  peu
famille. Notation :
Vect ({J partie finie de I et  / }
Et on a : Vect (  .e.v contenant la famille 
 .
Remarque : Vect ( 
Exercice : 1) Montrer que : 
2) Soient et  deux sous espaces vectoriels de  où 
Montrer que vect(
3) Soient 
 et 
Montrer que et  sont deux sous-espaces vectoriels supplémentaires dans 
4) Soit  
Montrer que : 
III- Familles libres génératrices et bases d’un espace vectoriel
1) Définition :
Soit  où  une famille de vecteurs dans .
On dit que  est libre (ou les vecteurs  et  sont
linéairement indépendants si :  et  dans  :
On dit que  où  est une famille génératrice de  si :
  et  dans  tels que : 
Ce qui est équivalent à :
On dit que  où  est une base de si elle est à la fois
libre et génératrice. Ce qui est équivalent à  , tels que :
Downloaded by Zineb Day ([email protected])
lOMoARcPSD|62333199

 .Le n-uplet représente les composantes de  dans la base
 .
Exemples :1)  est une base de 
dite la base canonique de  .
2) 
 est la base canonique de 
3)  est la base canonique de .
Soit  , où  est un ensemble infini non vide , une famille des vecteurs de
 Alors
est libre si toute sous famille finie non vide de  est libre.
est génératrice de  si  une partie finie non vide de tels
que :  .
Exemple de base infinie :
 est la base canonique de .
Remarques : Toute famille contenant le vecteur nul est liée (ell
Toute famille contenant deux vecteurs égaux est liée.
Toute famille contenant un vecteur qui est une combinaison linéaire des
autres vecteurs de cette famille est liée.
Toute sous-
Si ogénératrice un vecteur qui est une combinaison
linéaire des autres vecteurs de cette famille alors la nouvelle famille est aussi
génératrice.
Toute sur-
IV- Applications linéaires :
1) Définition : soient  et  deux -espaces vectoriels et  .
On dit que  ) si :
  et 
Ce qui est équivalent à : 
Ou encore :  .
vers  par  et si au
lieu de  on écrit  .
2)Corollaire : ,+,.) est un -espace vectoriel .
Preuve 
Downloaded by Zineb Day ([email protected])
lOMoARcPSD|62333199