Corrigés des 50 Exercices Obligatoires - Terminale S

Ω
90 Corrigés des 50 Exercices Obligatoires
✞
✝☎ ✆
Exercice 1 (Suites.)
1. v1=−1.
2. vn+1=un+1−(n+1).
vn+1
vn=un+1−(n+1) un−n=
un
2+n 2+1−n−1
un−n=
un
2−n 2
un−n=1 2
La suite (vn) est une suite géométrique de raison 1
2.
3. un=vn+n=−2×µ1
2¶n
+n.
4. lim
n→+∞un=+∞ car lim n→+∞−2×µ1
2¶n
=0 et lim
n→+∞n=+∞.
✞
✝☎ ✆
Exercice 2 (Suites.)
1. a) u2= 5.
b) un+1-un= 3un2+un+1-un=3u2
n+1>0 donc unest croissante.
2. Il affiche tous les termes de la suite (un).
3.
def u(n) :
u=0
for i in range (n+1)
u=3*u*u+u+1
print(u)
✞
✝☎ ✆
Exercice 3 (Suites.)
1. u2=12.
2. un+1−un=3
2un+3−un=1 2un+3>0.
La suite (un) est croissante.
3. Soit P(n) la propriété « pour tout entier naturel n,un6un+1».
Initialisation :
u06u1Donc P(0) est vraie.
Hérédité :
Supposons que pour un entier naturel n≥0, P(n) est vraie. C’est-à-dire un6
un+1.
Or un6un+1⇐⇒ 3
2un+363 2un+1+3
donc un+16un+2.
Donc P(n+1) est vraie.
Conclusion
P(0) est vraie et P(n) est héréditaire alors la propriété P(n) est vraie pour tout
entier naturel n, c’est-à-dire que « pour tout entier naturel n,un6un+1. »
Alors (un) est croissante.
2022/2023Terminale S

Ω
Corrigés des 50 Exercices Obligatoires 91
4. 2→U
0→n
Tant que U<200
3
2U+3 →n+1
Fin Tant que
Afficher n
✞
✝☎ ✆
Exercice 4 (Suites.)
1. un+1−un=2un+1−un=un+1>0. Alors (un) est croissante.
2. a) Soit P(n) la propriété « pour tout entier naturel n,un= 2n−1 ».
Initialisation :
u0=0 et 20−1=0. Donc P(0) est vraie.
Hérédité :
Supposons que pour un entier naturel k≥0, P(k) est vraie. C’est-à-dire uk=
2k−1.
Or uk+1=2uk+1=2(2k−1)+1=2k+1−1.
Donc P(k+1) est vraie.
Conclusion
P(0) est vraie et P(n) est héréditaire alors la propriété P(n) est vraie pour tout
entier naturel n, c’est-à-dire que « pour tout entier naturel n,un=2n−1. »
b) lim
n→+∞un=+∞.
3. Cet algorithme calcule la plus petite valeur de ntel que un>A.
✞
✝☎ ✆
Exercice 5 (Suites.)
1. a) f′(x)=5
(x+2)2>0 sur R\{-2} donc fest strictement croissante sur [0; 3].
b) f(x)=xpour x=3.
2. Soit P(n) la propriété « pour tout entier naturel n, 0 ≤un≤3. »
Initialisation :
u0=0 et 0 ≤0≤3. Donc P(0) est vraie.
Hérédité :
Supposons que pour un entier naturel k≥0, P(k) est vraie. C’est-à-dire 0 ≤uk≤
3.
Or 0≤uk≤3⇔f(0) ≤f(uk)≤f(3)
⇔0≤3
2≤uk+1≤3⇔0≤uk+1≤3.
Donc P(k+1) est vraie.
Conclusion :
P(0) est vraie et P(n) est héréditaire alors la propriété P(n) est vraie pour tout
entier naturel non nul n, c’est-à-dire que « pour tout entier naturel n, 0 ≤uk≤3.
Terminale S 2022/2023

Ω
92 Corrigés des 50 Exercices Obligatoires
3. un+1-un>0 donc (un) est croissante.
4. (un) est convergente vers un réel ℓtel que f(ℓ)=ℓcar elle est croissante et
majorée et d’après la question 1.b, ℓ=3.
✞
✝☎ ✆
Exercice 6 (Suites.)
1. a) u1=1
3et u2=1 5.
b) u1−u06=u2−u1et u2
u16= u1 u0
.
La suite (un=) n’est ni arithmétique ni géométrique.
2. a) t0=1.
b) tn+1−tn=1
un+1−1 un=1+2un un−1 un=2.
(tn) est une suite arithmétique de raison 2.
3. un=1
tn=1 1+2n.
4. Sn=(n+1)µ1+1+2n
2¶=(n+1)2.
✞
✝☎ ✆
Exercice 7 (Suites.)
1. a) u1=7
2et u2=19 4.
b) u1−u06=u2−u1et u2
u16= u1 u0
.
La suite (un) n’est ni arithmétique et ni géométrique.
2. a) t0= -5.
b) tn+1
tn=un+1−6 tn−6=
1
2un+3−6
un−6=
1
2(un−6)
un−6=1 2.
(tn) est une suite géométrique de raison 1
2.
3. tn=-5×µ1
2¶n
et un= -5×µ1
2¶n
+6.
4. (un) tend vers 6.
✞
✝☎ ✆
Exercice 8 (Limites, dérivation et continuité.)
1. 4x−3+4
x+1=(4x−3)(x+1) +4 x+1=4x2+x+1 x+1=f(x).
2. a) y=4x−3; car lim
x→+∞ f(x)−(4x−3) =lim x→+∞
4
x+1=0.
b) f(x)−(4x−3) = 4
x+1>0 sur ]-1; +∞[.
3. a) lim
x→−1f(x)=+∞
b) x=−1 est une asymptote verticale.
2022/2023 Terminale S

Ω
Corrigés des 50 Exercices Obligatoires 93
✞
✝☎ ✆
Exercice 9 (Limites, dérivation et continuité.)
1. f′(x)=3x2+2x+1>0 donc croissante.
2. TVI
3. m prend la valeur a+b
2
A prend la valeur de m
Sinon b prend la valeur de m
✞
✝☎ ✆
Exercice 10 (Limites, dérivation et continuité.)
1. lim
x→+∞ f(x)=+∞ et lim x→−∞ f(x)=−∞
2. x+2+8x
x2+1=(x+2)(x2+1)+8x x2+1=x3+2x2+9x+2 x2+1=f(x).
3. a) y=x+2; car lim
x→+∞ f(x)−(x+2) =lim x→+∞
8x
x2+1=0.
b) f(x)−(x+2) =8x
x2+1qui est positive sur [0; +∞[ et négative sur ]−∞; 0].
Alors la courbe Cfest en dessus de son asymptote sur [0; +∞[ et en dessous
de son asymptote sur ]−∞; 0].
✞
✝☎ ✆
Exercice 11 (Limites, dérivation et continuité.)
1. g′(x)=6x2+6x=6x(x+1)
D’où le tableau de variations de f.
x
g′(x)
g(x)
−∞ −10+∞
+0−0+
−∞−∞
−1−1
−2−2
+∞+∞
2. On complète le tableau avec les solutions
3. g(0) =−2 et g(1) =3 donc 1 <α<1.
4. Sur ]−∞;α] , f(x)60 et sur [α;+∞[, f(x)>0.
✞
✝☎ ✆
Exercice 12 (Limites, dérivation et continuité.)
1. lim
x→−2
x>−2
f(x)=+∞ et lim
x→+∞ f(x)=−∞
2. f(x)=−2x2(x+3)
(x+2)2
Terminale S 2022/2023

Ω
94 Corrigés des 50 Exercices Obligatoires
3.
x
f′(x)
f(x)
−2+∞
−
+∞+∞
−∞−∞
0
0
4. TVI
✞
✝☎ ✆
Exercice 13 (Fonctions logarithme népérien et exponentielle.)
1. On sait que lim
x→02 ln(x)=−∞ et lim x→0x2−2=−2, par somme lim x→0g(x)=−∞.
On sait que lim
x→+∞2 ln(x)=+∞et lim x→+∞x2−2=+∞, par somme lim x→+∞g(x)=+∞.
2. g′(x)=2
x+2x, pour tout x∈]0 ; +∞[.
g′(x)>0 quelques soit x∈]0 ; +∞[, donc la fonction gest strictement croissante
sur ]0 ; +∞[.
3. gest strictement croissante et continue sur ]0 ; +∞[, donc sur ]1 ; e[.
4. g(x) est positive sur ]0 ; α] et g(x) est négative sur [α;+∞[.
✞
✝☎ ✆
Exercice 14 (Fonctions logarithme népérien et exponentielle.)
1. On sait que lim
x→0lnx= −∞ et lim
x→+∞ lnx=+∞
Donc lim
x→0h(x)=lim x→0
1
ln(x)=0−et lim
x→+∞ h(x)=lim x→+∞
1
ln(x)=0+.
lim
x→1−lnx=0−donc lim
x→1+h(x)=lim
x→1−
1
ln(x)=−∞.
lim
x→1+lnx=0+donc lim
x→1h(x)=lim x→1
1
ln(x)=+∞.
2. Alors la courbe de hadmet une asymptote horizontale, d’équation y=0 en +∞
et en −∞, et une asymptote verticale d’équation x=1.
3. h′(x)=− 1
ln2(x), pour tout x∈]0; 1[∪]1; +∞[.
h′(x)<0 quelque soit x∈]0; 1[∪]1; +∞[, donc la fonction hest strictement dé-
croissante surDh.
✞
✝☎ ✆
Exercice 15 (Fonctions logarithme népérien et exponentielle.)
1. lim
x→3x+1=4 et lim x→3(x−3) =0 donc lim x→3ln(x−3) =−∞.
Alors par produit de limite lim
x→3f(x)=−∞.
lim
x→+∞x+1= +∞ et lim x→+∞(x−3) =+∞ donc lim x→+∞ ln(x−3) =+∞.
Alors par produit de limite lim
x→+∞ f(x)=+∞.
2. f′(x)=ln(x−3)+x+1
x−3quelque soitx∈]3; +∞[.
2022/2023 Terminale S