Top des sujets types en mathématique - Sujet 1

"COURS SPECIAUX LES GENIES"
LE TOP DES SUJETS TYPES EN
MATHEMATIQUE
Sujet 1
Partie I : Evaluation des compétences
Exercice 1
Lors de la 4eédition de la Super Coupe de Boulgou, le comité d’organisation avait pris
entre autres la décision de l’achat d’un fil vendu à 24000F CFA le rouleau de 12m et
des piquets à 10 000 F CFA pour clôturer le terrain afin d’éviter que les supporters ne
l’envahissent pendant les matchs. Ce terrain a la forme d’un rectangle dont les dimensions
en décamètre sont les modules des nombres complexes Z1et Z2solutions du système
d’équation : iz1−z2=−1 + i
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2¯z1+ (1 + i)¯z2= 2 + 5i
Par ailleurs avec l’aide d’un spécialiste de Bissakou Foot International, le comité a éga-
lement examiné les six premières semaines de l’ouverture de la compétition le chiffre
d’affaires en milliers de francs CFA engrangés à travers la vente de jus de boissons. Les
observations sont résumées dans le tableau suivant où X est le numéro de la semaine et
Y le chiffre d’affaires correspondant :
X 1 2 3 4 5 6
Y 13 14 15 18 22 23
Durant une causerie avec les membres du comité d’organisation, M. BELEM le Promoteur
de la coupe leur révèle qu’à ses débuts, il a été recruté dans une entreprise pour un salaire
annuel de 2 000 000 F CFA. De plus, cette entreprise augmente le salaire de ses employés
de 10% par rapport à l’année précédente. Après avoir passé 8 années dans cette entreprise
sans percevoir le moindre sou depuis la signature de son contrat, il reçoit un matin la
somme de 8 250 000F CFA.
Tâches
1. Evalue la somme dépensée par le comité d’organisation pour cloturer le terrain
2. Donne une estimation du chiffre d’affaire en entier à la douzième semaine de la
compétition
3. Détermine le nombre en entier qu’à passer M. BELEM sans salaire dans cette
entreprise
Exercice 2
Une entreprise fabrique et vend chaque jour un nombre x d’ampoules dites économiques
ń de 20 watts ż. Chaque ampoule est vendue à 100 FCFA.
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Il a été établi que le coût de production de x ampoules est donné par la fonction :
U(x) = x−10 + 900
x, pourx ∈[10; 100].
Le directeur de l’entreprise cherche à déterminer le nombre d’ampoules à fabriquer
pour minimiser le coût de production et obtenir un bénéfice maximal.
Il te sollicite pour l’aider. À l’aide de tes connaissances mathématiques, aide le directeur
à déterminer le nombre d’ampoules à fabriquer pour minimiser le coût de production.
Partie II : Problème
On considère la fonction f définie sur ]1; +∞[par :
f(x) = −x+ 2 + 2 ln(x−1) si x∈]1,2[
x−3 + e2−xsi x∈[2; +∞[
On note (C)la courbe représentative de f dans le repère orthonormé (O;⃗ i;⃗ j). (Unité
graphique 2cm).
Partie A
1) a- Étudier la continuité de f en 2.
b- Étudier la dérivabilité de f en 2. Donner une interprétation géométrique du
résultat obtenu.
2) a- Calculer les limites de f en 1 et en +∞. En déduire que (C)admet une asymp-
tote verticale (A)dont on précisera son équation.
b- Calculer f′(x)pour x > 1et x̸= 2. Étudier son signe.
c- En déduire le sens de variations de f, puis dresser son tableau de variation.
3) Montrer que la droite (D)d’équation y=x−3est une asymptote à la courbe (C)
en +∞.
4) Tracer (C),(A),(D)et les demi tangentes éventuelles.
5) Soit g la restriction de f à ]1; 2[.
a- Montrer que g admet une bijection réciproque g−1dont on précisera les en-
sembles de départ et d’arrivé.
b- Construire la courbe représentative (C′)de g−1dans le même repère que (C).
Justifier la construction.
Partie B
Soit h la fonction définie sur [2; +∞[par h(x) = −f(x).
1) Sans étudier explicitement h, construire en pointillés la courbe représentative (C′′)
de h dans le même repère. On justifiera la construction.
2) On considère un réel αsupérieur à 3. Soit A (α)l’aire du domaine délimité par les
droites d’équation x= 3; x=α;y=x−3et la courbe (C).
a- Calculer A (α)en cm2.
b- Déterminer limα→∞ A(α).
3) On désigne par (S)le domaine plan délimité par les courbes (C)et (C′′)et les
droites d’équation x= 2 et x= 3. On note V le volume du solide engendré par la
rotation de (S)autour de l’axe des abscisses.
a- À l’aide d’une intégration par parties, calculer 3
2(x−3)e2−xdx.
b- Calculer le volume V en cm3.
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Sujet 2
Partie I : Evaluation des compétences
Exercice 1
Lors d’une conférence organisée dans votre établissement sur les effets de la consomma-
tion d’alcool sur l’organisme chez les jeunes, le conférencier a donné, entre autres, les
informations suivantes :
•Les recherches scientifiques démontrent clairement que l’alcool altère la capacité
de conduire un véhicule en toute sécurité et, par conséquent, augmente les risques
d’accident.
•La concentration Cd’alcool dans le sang (taux d’alcoolémie) pour un individu
de corpulence moyenne, en fonction du temps taprès une ingestion d’une boisson
alcoolisée peut être modélisée par la fonction Cdéfinie sur [0; +∞[par : C(t) =
2te−t, où C(t)est exprimée en gramme par litre (g/L), C′(t)la dérivée de C(t)est
la vitesse d’apparition d’alcool dans le sang et test en heure (h).
•Selon la législation le taux de concentration maximale d’alcool dans le sang pour
un jeune conducteur est de 0,2 g/L.
De retour à la maison, vous trouvez votre frère âgé de 20 ans, de corpulence moyenne,
conducteur d’un véhicule de transport commun buvant deux verres d’une boisson alcoo-
lisée.
Inquiet, vous cherchez à déterminer l’instant auquel la concentration d’alcool dans son
sang sera maximal et à déterminer la durée d’attente nécessaire qu’il devra observer pour
que son taux d’alcoolémie soit inférieure à 0,2 g/L.
Exercice 2
Monsieur BANDAOGO un paysan de la région du sud-ouest effectue la délimitation de
son champ de riz par un cabinet expert en cadastre.
Après les travaux rendus par schématisation, il voudrait connaître l’aire en hectare (ha)
de son champ.
Sur le schéma, il remarque une indication f(x) = 3x2+ 10 et de courbe (C)
Le champ est compris entre la courbe (C) et l’axe des abscisses x, délimité par x= 10 et
x= 40
La figure est en mètre (m) sur le plan (On donne 1 ha = 10000 m2)
Monsieur BANDAOGO, sachant que son problème fait appel à des notions de Terminale,
te sollicite, toute fois il te precise que la courbe représentative du terrain est au dessus de
l’axe des abscisses.
Aide-le à connaître l’aire de son champ de riz.
Partie II : Problème
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I : Étude de fet construction de (C)
Soit fla fonction numérique définie sur [0; +∞[par : f(x) = xe−2x+e−2x+ 1 −x
et (C)sa courbe représentative dans un RON (O,⃗ i,⃗ j)(unité 2cm)
1) a) Calculer la fonction f′dérivée de f.
b) Dresser le tableau de variation de f′sur [0; +∞[
c) Indiquer lim
x→+∞f′(x)et en déduire le signe de f′sur [0; +∞[
d) Dresser le tableau de variation de fsur [0; +∞[. Indiquer lim
x→+∞f(x)
2) Montrer que la droite (∆) d’équation x+y−1 = 0 est une asymptote à la courbe
(C)en +∞et préciser la position de (C)par rapport à (∆)
3) a) Établir que l’équation f(x) = 0 admet sur [0; +∞[une solution unique α
b) Justifier que α∈[1; 2]
4) Construire la courbe (C)et l’asymptote (∆)
II : Recherche d’une approximation de α
On considère la fonction gdéfinie sur [1; +∞[par g(x) = xe−2x+e−2x+ 1
1) Démontrer que g(α) = α
2) Étudier les variations de la fonction g
3) Soit J= [1; 2]
a) Montrer que ∀x∈J,g(x)∈J
b) Montrer que ∀x∈J,|g′(x)| ≤ 3
e2
c) En déduire que ∀x∈J,|g(x)−α| ≤ 3
e2|x−α|
4) Soit (Un)la suite numérique définie par : U0= 1
Un+1 =g(Un), pour tout n∈N
a) Démontrer par récurrence que ∀n∈N,1≤Un≤2
b) Démontrer que ∀n≥0,|Un+1 −α| ≤ 3
e2|Un−α|
c) En déduire que ∀n≥0,|Un−α| ≤ 3
e2n
d) En déduire que (Un)est convergente et calculer sa limite.
e) Déterminer un rang n0tel que Un0soit une valeur approchée de αà10−2près
On donne :
e≃2,7 ; e2≃7,4 ; e3≃20 ;
e−1≃0,36 ; e−2≃0,13 ; e−3≃0,05
ln2≃0,7 ; ln3≃1,1 ; ln5≃1,6
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Sujet 3
Partie I : Evaluation des compétences
Exercice 1
La mairie de Boulmiougou décide de récompenser les élèves de Terminale à la fin du
troisième trimestre à travers un jeu de tirage. La condition pour y participer est d’être
parmi les meilleurs élèves de sa classe.
Ce jeu consiste à tirer au hasard une boule dans un sac contenant xboules blanches,
(x+ 2) boules jaunes et 6 boules noires, xétant un nombre entier naturel non nul.
Toutes les boules ont la même chance d’être tirée (les boules sont donc indiscernables au
toucher).
•Si la boule tirée est jaune, l’élève gagne 100.000 FCFA ;
•si la boule tirée est blanche, l’élève gagne 5.000 FCFA ;
•si la boule tirée est noire, l’élève remet la boule dans le sac puis tire à nouveau une
boule.
Si la deuxième boule tirée est jaune, l’élève gagne 50.000 FCFA sinon, l’élève gagne 5.000
FCFA.
Le service organisateur de cette récompense étant dirigé par un de tes parents, te sollicite
pour savoir le nombre de boules blanches et de boules jaunes à mettre dans le sac pour
que la probabilité de gagner au moins 50.000 FCFA soit maximale.
En utilisant tes connaissances mathématiques, aide-le à répondre à cette question.
Exercice 2
Monsieur BAZIÉ dispose de 1.000.000 FCFA qu’il a placés le premier janvier 2022 dans
la BANQUE CORIS sur 10 ans.
Le banquier lui explique les conditions suivantes :
Condition 1 : placement à intérêts simples. Chaque fin d’année, l’argent placé
produira le même intérêt de 6,5% l’an.
Condition 2 : placement à intérêts composés. Le taux d’intérêt est de 3% l’année
suivante par rapport à la somme de l’année précédente.
De retour à son domicile, Monsieur BAZIÉ te soumet les deux conditions du banquier et
te demande la condition la plus avantageuse.
On désigne par Cnle capital acquis au bout de nannées dans la condition 1 et Dnle
capital acquis au bout de nannées dans la condition 2.
Détermine la meilleure condition de placement pour Monsieur BAZIÉ.
Partie II : Problème
Soit fla fonction de Rdans Rdéfinie par :
f(x) = (1 −x) ln(1 −x)2−1,si x∈]− ∞,0[
e−x−x−2,si x∈[0,+∞[
On désigne le logarithme népérien par ln. On appelle (C)la courbe représentative de f
dans le plan rapporté à un repère orthonormé (O;⃗ i,⃗ j)(unité = 3 cm).
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