24-Matrices -Partie 2

0Chapitre
Table des matières
1 Matrices (Partie 2) 3
1.1 Les espaces vectoriels Mn,p(K),Sn(K)et ..An(K)......................... 3
1.2 Matrice d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1 Matrice d’une famille de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.2 Matrice d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.3 Noyau et image d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Changementdebases........................................... 10
1.3.1 Matricedepassage ....................................... 10
1.3.2 Effet du changement de bases sur les coordonnées d’un vecteur . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.3 Effet du changement de bases sur la matrice d’une application linéaire . . . . . . . . . 12
1.4 Matrices équivalentes et matrices semblables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.1 Traced’unendomorphisme................................... 14
1.4.2 Rangd’unematrice ....................................... 16
1.4.3 Calculpratiquedurang..................................... 19
1

TABLE DES MATIÈRES
2 gmail : [email protected]

1Chapitre
Matrices (Partie 2)
Kdésigne le corps Rou Cet m,net pPN˚
Les espaces vectoriels Mn,p(K),Sn(K)et
..An(K)
1
Proposition 1
(i). Mn,p(K)est un K´espace vectoriel de dimension np dont la famille Eij1ďiďn
1ďjďp
est une base appelée la base
canonique de Mn,p(K)
(ii). Sn(K)et An(K)sont des s.e.v. supplémentaires dans Mn(K)tel que dimSn(K) = n(n+1)
2et dimAn(K) =
n(n´1)
2
Preuve
(i). Mn,p(K)est un K´espace vectoriel. Montrons que Eij1ďiďn
1ďjďp
est une base de Mn,p(K)
‚Eij1ďiďn
1ďjďp
est une famille génératrice de Mn,p(K)car pour tout M = (aij)1ďiďn
1ďjďp
de Mn,p(K)
on a M =ÿ
1ďiďn
1ďjďp
aijEij.
‚Eij1ďiďn
1ďjďp
est libre .En effet : Soit αij1ďiďn
1ďjďpPKnp tel que ÿ
1ďiďn
1ďjďp
αijEij =0n,p, alors αij1ďiďn
1ďjďp
=0n,pdonc
@(i,j)PJ1,nKˆJ1, pK,αij =0K.
Ainsi Eij1ďiďn
1ďjďp
est une base de Mn,p(K), et Mn,p(K)est de dimension np
(ii). On a déjà vu que Mn(K) = Sn(K)‘An(K).On a dimMn(K) = n2, donc il suffit de montrer que
dimSn(K) = n(n+1)
2. Montrons que la famille B =(Eii)iPJ1,nKYEij +Eji1ďiăjďnest une base de Sn(K)
‚B est une famille génératrice de Sn(K).En effet :B est une famille de vecteurs de Sn(K)car tEii =Eii et
t(Eij +Eji) = tEij +tEji =Eji +Eij , on a aussi pour tout M = (aij)1ďi,jďnPSn(K),M=
n
ÿ
i=1
aii Eii +
ÿ
1ďiăjďn
aij Eij +Eji,D’où B est une famille génératrice de Sn(K)
‚B est aussi libre et puisque cardB =n+n(n´1)
2=n(n+1) 2alors dimSn(K) = n(n+1) 2
3

CHAPITRE 1 : Matrices (Partie 2)
Matrice d’une application linéaire
2
1.2.1 Matrice d’une famille de vecteurs
Définition 1
Soient E un K´espace vectoriel de dimension n et e = (e1,...,en)une base de E.
a
⃝-Soit x PE , alors Il existe un unique n ´uplet (x1,¨¨¨,xn)PKntel que x =
n
ÿ
i=1
xieiet dans ce cas la matrice
colonne 
x1
x2
.
.
.
xn
notée Mat(x,e)ou Mat
e(x)et est appelé la matrice de xpar rapport à e
b
⃝-Si u1,u2,¨¨¨,upest une famille de vecteurs de E tel que @jPJ1, pK,D(αij)1ďiďnPKntel que uj=
n
ÿ
i=1
αijei
alors la matrice M =αij1ďiďn
1ďjďp
est appelé la matrice de la famille des vecteurs u1,u2,¨¨¨,updans la base
e et on note Mat
eu1,u2,¨¨¨,upou Mat u1,u2,¨¨¨,up,eet on écrit :
Mat
eu1,u2,¨¨¨,up=
u1u2¨¨¨ up
e1α11 α12 ¨¨¨ α1p
.
.
..
.
..
.
.¨¨¨ .
.
.
enαn1αn2¨¨¨ αnp
Exemple
Dans E =R3[X]soient P(X) = 5X3´2X+1, Q(X) = 4X2´X+?2et B =1,X,X2,X3la base canonique de
E , alors :
Mat
BP,Q,P1=
P Q P1
1?2´2 1
´2´1 0 X
0 4 15 X2
5 0 0 X3
1.2.2 Matrice d’une application linéaire
Définition 2
Soient E et F deux K´espaces vectoriels de dimensions p et n respectivement et u PL(E,F).
soient e = (ei)1ďiďpet f = ( fi)1ďiďndes bases de E et F respectivement .
§On appelle matrice de urelativement aux deux bases eet f , la matrice de Mn,p(K)de la famille u(e1),...,u(ep)
dans la base f et on la note Mat
e,f(u)ou Mat(u,e,f).
§Si @jPJ1, pK,D(αij)1ďiďnPKntel que u(ej) =
n
ÿ
i=1
aij fi, alors :
4 gmail : [email protected]

1.2 Matrice d’une application linéaire
Mat
e,f(u) =
u(e1)... u(ep)
a11 ... a1pf1
.
.
.....
.
..
.
.
an1... anp fn
§Si E =F et e =f , on note Mat
e,e(u)par Mat e(u).
Exemples
1.Soient e =(e1,e2)la base canonique de R2et f =(f1,f2)où f1=e1´e2et f2=e1+e2une autre base de R2.
Trouvons Mat
e(IdR2)et Mat
e,f(IdR2):
On a Mat
e(Id2)=1 0
0 1et puisque #e1=1/2 f1+1/2 f2
e2=´1/2f1+1/2f2alors Mat
e,f(Id2)=1/2 ´1/2
1/2 1/2 
2.Soit u:R3ÑR2
(x,y,z)ÞÑ (2x´y+z,x+y)une application linéaire. Notons B2la base canonique de R2et
B3la base canonique de R3. On a u(e1) = (2,1), u(e2) = (´1,1)et u(e3) = (1,0)alors Mat (u,B3,B2)=
2´1 1
110
Remarque Écriture matricielle et vectorielle d’une application linéaire
Soient E et F deux K´espaces vectoriels de dimensions finies , e =e1,e2,...,epune base de E , f =(f1,f2,.. ., fn)
une base de F et u PL(E,F).
Si M =Mat
e,f(u),X=
x1
.
.
.
xp
=Mat
e(x)et Y =
y1
.
.
.
yn
=Mat
f(y)alors :
u(x) = yðñ MX =Y ie.Mat
e,f(u).Mat
e(x) = Mat
f(y)
Preuve
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