TD TMC MP2I

La présentation, la lisibilité, l’orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté, la précision et la conci-
sion des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. Les candi-
dats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. l’usage de tout
document et de tout matériel électronique est interdit. Notamment, les téléphones portables doivent
être éteints et rangés.
Exercice 1 Masselotte sur un cerceau vertical
Une masselotte, assimilée à un point matériel Mde masse m, est assujettie
à glisser sans frottement sur un cerceau vertical de centre Oet de rayon R.
La masselotte est reliée au point Apar un ressort de constante de raideur k
et de longueur à vide l0.
1. Exprimer les différentes forces subies par la masselotte en fonction de
l’angle θdans la base cylindrique (⃗ur, ⃗uθ⃗uz).
2. Établir l’équation du mouvement de la masselotte en appliquant le
théorème du moment cinétique. Figure 1 – Schéma
Exercice 2 Pendule électrostatique
Un pendule électrostatique est constitué d’une boule de polystyrène expansé
recouverte d’une feuille d’aluminium et suspendue à une potence par un fil
de masse négligeable. La boule est préalablement chargée avec une charge
électrique Q= 2,3×10−4C. L’ensemble est placé entre deux plaques de
cuivre planes et parallèles soumises à une différence de potentiel telle qu’elles
génèrent un champ électrique uniforme ⃗ E=E ⃗uyavec E= 500 V.m−1..
La longueur du pendule est OM =R= 10 cm et la masse de la boule
assimilée à un point Mest m= 20 g. L’accélération de la pesanteur est
g= 9,8m.s−2.Figure 2 – Schéma
1. Appliquer la loi du moment cinétique à M.
2. Déterminer la position d’équilibre θedu pendule.
3. On écarte le pendule légèrement de sa position d’équilibre. Déterminer la pulsation ω0des oscillations puis
calculer sa période T0. On admettra que pour |ε| ≪ θe,onacos(θe+ε)≃cos θe−εsin θeet sin(θe+ε)≃
sin θe+εcos θe.
Exercice 3 Pendule conique
Un point matériel Mde masse mest suspendu à un fil inextensible de lon-
gueur Lattaché en un point Afixe d’un axe Az. On donne une certaine
vitesse initiale à la masse, afin de la faire tourner autour de l’axe z. On note
ωla vitesse angulaire ainsi atteinte. On note Oxy le plan dans lequel le mou-
vement a lieu, et αl’angle qui s’établit entre l’axe zet le fil. On suppose un
régime stationnaire atteint : αet ωrestent constants. On utilisera la base
cylindrique dans le plan Oxy, d’axe Oz. La pesanteur est dirigée selon −⃗ez.
1. Étant donné que la force de tension du fil sur la masse est inconnue,
par rapport à quel point va-t-il être judicieux de calculer les moments
des forces ?
2. À l’aide du théorème du moment cinétique, donner l’expression de
l’angle αen fonction de L,ωet g.
Figure 3 – Schéma
Exercice 4 Ressort tournant
Le mouvement est étudié dans le référentiel du laboratoire assimilé à un
référentiel galiléen et associé à un repère (O, ⃗ex, ⃗ey, ⃗ez). Un point Mde masse
mest en mouvement sans frottement dans le plan (O, x, y, z)horizontal (table
à coussin d’air par exemple). Le champ de pesanteur est suivant la verticale
Oz :⃗g =−g⃗ez. Un point M(masse m) est fixé à un ressort de raideur ket
de longueur à vide ℓ0, l’autre extrémité étant fixée en O.Figure 4 – Schéma
Eisam 2025/2026 1

Théorème du moment cinétique MP2I - Physique
1. Faire un bilan des forces. Montrer qu’il y a conservation du moment cinétique par rapport à O.Àt= 0, la
masse est lâchée, sans vitesse initiale, d’une longueur ℓi= 1,2ℓ0soit −−→ OM(t= 0) = 1,2ℓ0⃗ex.
2. Calculer ⃗ L0. Quelle est la nature de la trajectoire ?
3. Déterminer l’évolution temporelle de la longueur du ressort ℓ(t) = OM(t). Préciser l’intervalle de variation de
ℓ. On lance la particule d’un point −−−→ OM0=−−→ OM(t= 0) = ℓi⃗exavec une vitesse initiale ⃗v0=ℓ0ω ⃗ey,orthogonale
à−−−→ OM0. Dans la suite, on travaillera en coordonnées polaires dans le plan (O, x, y).
4. Préciser ⃗ L0en fonction de ret ˙ θpuis en fonction des conditions initiales et des vecteurs de base.
5. Rappeler l’expression de l’énergie potentielle élastique. Doit-on tenir compte de l’énergie potentielle de pesanteur
pour étudier le mouvement ? Montrer qu’il y a conservation de l’énergie mécanique Em. Préciser l’expression
de Emen fonction des conditions initiales et en fonction de r,˙r,˙ θ,m,ket ℓ0.
6. Montrer que l’énergie mécanique peut s’écrire Em=1
2m˙r2+Ep,eff(r).Préciser l’expression de Ep,eff(r)et tracer
son allure.
7. La masse peut-elle s’éloigner indéfiniment du pôle d’attraction ?
8. La vitesse de la particule peut-elle s’annuler au cours du mouvement ?
9. La particule peut-elle passer par le centre d’attraction au cours de son mouvement ? On cherche à déterminer
une condition entre ℓ1et vpour avoir un mouvement circulaire.
10. Montrer que dans ce cas, le mouvement est uniforme.
11. Déterminer ℓ1en fonction de k,ℓ0et ω. Est-elle valable pour tout ω?
Exercice 5 Énergie nécessaire pour mettre un satellite en orbite basse
On étudie le mouvement d’un satellite artificiel de masse m= 6,0tonnes, en orbite circulaire à une altitude zautour
de la Terre, ainsi que son lancement à partir d’un point Lde la surface terrestre.
1. Dans quel référentiel se place-t-on pour étudier le mouvement d’un satellite terrestre ?
2. Rappeler l’expression de l’énergie potentielle gravitationnelle d’un satellite artificiel en orbite à une distance r
du centre de la Terre. En déduire son expression en fonction de son altitude z.
3. Exprimer puis calculer l’énergie mécanique du satellite pour une orbite basse telle que z= 1,0×103km.
Pour lancer le satellite depuis le sol terrestre, il a fallu lui communiquer l’énergie ∆Em=Em−Em0où Em0est
l’énergie qu’il a au point L.
4. Dans le référentiel géocentrique, la Terre peut être assimilée à un solide en rotation autour d’un axe à une
vitesse angulaire Ω. Préciser l’axe de rotation. Est-il fixe ? Que vaut la vitesse angulaire Ω?
5. En déduire l’expression de la vitesse du point Ldans le référentiel géocentrique supposé galiléen en fonction de
Ω, du rayon terrestre RTet de la latitude λ.
6. Exprimer alors l’énergie mécanique initiale Em0du satellite posé au sol au point L.
7. En déduire les conditions les plus favorables pour le lancement d’un satellite. Parmi les trois champs de tirs
suivants, lequel choisir de préférence ? Faire l’AN pour Em0à cette base de lancement.
— Baïkonour au Kazakhstan : λ= 46◦
— Cap Canaveral aux USA : λ= 28,5◦
— Kourou en Guyane française : λ= 5,23◦
8. Calculer l’énergie nécessaire pour mettre le satellite en orbite basse depuis Kourou.
9. Calculer numériquement l’énergie gagnée entre Baïkonour et Kourou.
Exercice 6 Mission INTEGRAL
International Gamma-Ray Astrophysics Laboratory (INTEGRAL) est un observatoire spatial d’astrophysique euro-
péen mis en orbite en 2002. Son orbite de travail est une ellipse passant de 9000 kmà153000 km au-dessus de la Terre.
La masse de l’observatoire est de m= 3,5t.
1. Déterminer le demi-grand axe ade l’orbite du satellite.
2. Calculer la période de révolution d’INTEGRAL.
3. Montrer que la relation entre le demi-grand axe de l’ellipse, noté a, et l’énergie mécanique du satellite est
similaire à celle entre le rayon de l’orbite circulaire et l’énergie mécanique, à condition de changer Ren a.
4. Calculer l’énergie mécanique du satellite sur sa trajectoire elliptique.
5. Calculer la vitesse du satellite dans le référentiel géocentrique à son apogée et à son périgée.
Exercice 7 Changement d’orbite - ellipse de transfert
Eisam 2025/2026 2

Théorème du moment cinétique MP2I - Physique
La Terre est supposée à symétrie sphérique, de centre O, de rayon RTet de
masse MT. Un satellite de masse mest en orbite circulaire basse (trajectoire
de rayon r0). On souhaite le faire passer sur une orbite géostationnaire de
rayon r1. Un moteur auxiliaire permet de modifier la vitesse du satellite aux
points Aet P. Le satellite décrit alors une demi-ellipse de transfert de périgée
Pet d’apogée A.
1. Rappeler l’expression de la vitesse v0du satellite sur son orbite basse
de rayon r0. Faire l’application numérique pour une orbite rasante.
2. Déterminer l’expression littérale du rayon r1de l’orbite géostation-
naire. Faire l’application numérique. Figure 5 – Schéma
3. Déterminer l’expression littérale de la vitesse v1du satellite sur l’orbite géostationnaire. Faire l’application
numérique.
4. Déterminer l’expression littérale des vitesses v′
0et v′ 1du satellite en Pet Asur la trajectoire elliptique de
transfert. Faire l’application numérique.
5. Déterminer la durée du transfert de PàA.
Exercice 8 Distance minimale d’approche d’un astéroïde
Un astéroïde de masse m= 1,0×1018 kg s’approche dangereusement de la
Terre. Il possède une vitesse v0= 10 km.s−1dans le référentiel géocentrique
(Rg)supposé galiléen avec un paramètre d’impact b= 8,0×103km.. À cet
instant, l’attraction terrestre peut encore être négligée. Nous assimilerons
l’astéroïde à un point matériel Mpour étudier son mouvement. Figure 6 – Schéma
1. Exprimer la constante des aires Cde deux façons, en fonction de ret θd’une part et en fonction de bet v0
d’autre part. Quel est son signe ?
2. Déterminer le domaine radial accessible à l’astéroïde, la nature du mouvement et donner la nature précise de
la trajectoire de l’astéroïde. La tracer.
3. En utilisant deux constantes du mouvement, déterminer la distance minimale d’approche de l’astéroïde par
rapport au centre de la Terre. S’écrase-t-il sur Terre ?
Exercice 9 Oscillations libres d’un pendule simple non amorti
Le référentiel terrestre Rg(O;⃗ex, ⃗ey, ⃗ez)est supposé galiléen.
Figure 7 – Pendule simple
Un pendule simple est constitué d’un objet ponctuel Mde masse m, suspendu en O1à un fil sans raideur et sans
masse, de longueur ℓ. Le champ de pesanteur terrestre est supposé uniforme et la résistance de l’air négligeable. À
l’instant initial t= 0, la particule Mest abandonnée d’un angle θ0, sans vitesse initiale et fil tendu dans le plan (Oxy).
Elle reste dans ce plan tout au long de son mouvement. L’extrémité O1du fil est fixe.
1. Déterminer le moment cinétique en O1du point M.
2. Établir l’équation différentielle vérifiée par θen appliquant le théorème du moment cinétique en O1.
3. En supposant que les élongations angulaires sont faibles, montrer que l’équation du mouvement est celle d’un
oscillateur harmonique de pulsation propre ω0, dont on donnera l’expression en fonction de ℓet g. En déduire
θ(t).
Eisam 2025/2026 3

Théorème du moment cinétique MP2I - Physique
Exercice 10 Oscillations forcées d’un pendule simple non amorti
Le référentiel terrestre Rg(O;⃗ex, ⃗ey, ⃗ez)est supposé galiléen et le champ de pesanteur uniforme. Un pendule simple
est constitué d’un objet ponctuel Mde masse m, suspendu en O1à un fil sans raideur et sans masse, de longueur ℓ.
À l’instant initial t= 0, le pendule est au repos :
θ(0) = 0 et ˙ θ(0) = 0.
L’extrémité O1du fil est mobile. Le point O1se déplace horizontalement le long de l’axe (O;⃗ex)en effectuant de
petites oscillations d’amplitude Det de pulsation ω:
−−→
OO1=x1(t)⃗ex=Dcos(ωt)⃗ex.
Le mouvement du point matériel Ms’effectue fil tendu, sans frottement et dans le plan (Oxy). On posera
ω0=rg
ℓ.
1. Pourquoi vaut-il mieux appliquer le théorème du moment cinétique au point mobile O1plutôt qu’au point fixe
O?
2. Afin d’écrire le théorème du moment cinétique en un point mobile, exprimer la dérivée :
d⃗
LO1(M/Rg)
dt !Rg
.
3. Établir l’équation du mouvement du pendule simple vérifiée par θ.
4. Résoudre cette équation dans le cas de petites oscillations du pendule et montrer que la solution peut se mettre
sous la forme :
θ(t) = f(ω) sin(ω+ω0)t
2sin(ω−ω0)t 2.
Déterminer la fonction f(ω).
5. La courbe de réponse en élongation angulaire obtenue, lorsque la pulsation d’excitation ωest voisine de la pulsa-
tion propre ω0de l’oscillateur, est représentée ci-dessous. Elle présente des phénomènes de battements, l’ampli-
tude des oscillations variant sinusoïdalement. Justifier son allure en posant : ω=ω0+∆ω, avec ∆ω
ω0≪1.
À quelle condition l’hypothèse des petites oscillations est-elle vérifiée ?
Figure 8 – Phénomène de battements pour ω≃ω0
Donnée :
cos a−cos b=−2 sina+b
2sina−b 2.
Eisam 2025/2026 4