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CHAPITRE 8
FAMILLES SOMMABLES
8.1 Familles sommables de réels positifs ou nuls
8.1.1 Déginition et premiers exemples
Définition 8.1 Familles sommables de réels positifs ou nuls
Soit Iun ensemble dénombrable et (ai)i2I2(R0)I.Onconsidèrel’ensemble
SF(ai)i2I=
j2I
aj:Jpartie finie de I
⇢R0
formée de toutes les sommes finies des éléments de la famille (ai)i2I.
1. La famille (ai)i2Iest dite sommable si l’ensemble SF(ai)i2Iest majoré.
2. Si la famille (ai)i2Iest sommable, sa somme est définie par
i2I
ai:= sup SF(ai)i2I.
Dans le cas contraire, on pose
i2I
ai:= +1.
Exemple 8.1
Soit
q2
[0
,
1[.Lafamille
q|n|n2Z
est sommable. En effet, si
J
est une partie finie de
Z
,ilexiste
N2Ntel que J⇢JN,NK.Alors,
n2J
q|n|
N
n=N
q|n|=1+2q1qN
1q1+ 2q
1q=1+q
1q
La somme de la famille q|n|n2Zest 1+q
1qpuisque
lim
N!1
N
n=N
q|n|=1+q
1q.
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8.1. FAMILLES SOMMABLES DE RÉELS POSITIFS OU NULS
Exemple 8.2
La famille
1
pq (p,q)2(N?)2
n’est pas sommable. En effet, posons
JN
=
J
1
,NK2
pour tout
N2N?
.
Alors,
(p,q)2JN
1
pq =N
n=1
1
n2
!
N!1 +1
puisque la série harmonique diverge vers +1.
8.1.2 Critère de sommabilité via une suite exhaustive : cas positif
Comme pour la convergence des séries, l’étude de la sommabilité d’une famille de réels positifs peut sa ramener
àl’étudedelaconvergences’unesuitedontlestermessontdessommesfinies.Lerésultatci-dessousprécise
cette idée.
Définition 8.2 (Suite exhaustive de parties d’ensemble dénombrable)
Soit Iun ensemble dénombrable. Une suite (In)n2Nde parties de Iest dite exhaustive si :
1. pour tout n2N,l’ensembleInest fini ;
2. la suite (In)n2Nest croissante pour l’inclusion, i.e pour tout n,In⇢In+1.
3.
n2N
In=I.
Exemple 8.3
1. La suite (In=J0,nKest une suite exhaustive de parties de N.
2. La suite (In=Jn, nKest une suite exhaustive de parties de Z.
Théorème 8.1 (Critère de sommabilité via une suite exhaustive : cas positif)
Soit
I
un ensemble dénombrable et (
ai
)
i2I2(R0)I
.Onsupposedonnéeunesuiteexhaustive(
In
)
n2N
de parties de I.
1. La famille (ai)i2Iest sommable si et seulement si la suite
i2In
ain2N
est majorée.
2. Si la famulle (ai)i2Iest sommable, alors
i2I
ai=lim
n!1
i2In
ai.
Exemple 8.4
Corollaire 8.1 (Lien avec les séries)
Soit (an)n2Nune suite de réels positifs.
1. La famille (an)n2Nest sommable si et seulement si la série anest convergente.
2. Si la famille (an)n2Nest sommable, alors
n2N
an=1
n=0
an.
Exemple 8.5
La famille 1
n2n2N?
est sommable et sa somme est donnée par 1
n=1
1
n1=⇡2
6.
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8.2. THÉORÈME DE SOMMATION PAR PAQUETS : CAS POSITIF
8.1.3 Sommabilité d’une sous-famille et lemme de domination
Proposition 8.1 Sommabilité d’une sous-famille de réels positifs ou nuls
Soient
I
un ensemble dénombrables, (
ai
)
i2I
une famille de réels positifs et
J
une partie infinie de
I
.Si
la famille (
ai
)
i2I
est sommable, alors la sous-famille (
aj
)
j2J
est également sommable et
j2J
aj
i2I
ai
.
Lemme 8.1 (Lemme de dominationxs)
Soient
I
un ensemble dénombrable, (
ai
)
ißI
et (
bi
)
i2I
deux familles de réel positifs telles que pour tout
i2I,aibi.
1. Si la famille (bi)i2Iest sommable alors la famille (ai)i2Iest sommable.
2. Si la famille (ai)i2Iest non sommable alors la famille (bi)i2Iest non sommable.
8.2 Théorème de sommation par paquets : cas positif
Définition 8.3 (Partition d’un ensemble)
Soit
E
un ensemble et (
Ei
)
i2I
une famille de parties non vides de
E
.Onditque(
Ei
)
i2I
est une
partition de Esi :
1.
i2I
Ei=E
2.
les ensembles
Ei
,où
i2I
sont deux à deux disjoints. i.e. pour tout (
i, j
)
2I2
,
i6
=
j
=
)
Ei\Ej=?.
Théorème 8.2 (Sommation par paquets : cas positif)
Soit
I
un ensemvle dénombrable, (
ai
)
i2I
une famille de réels positifs et (
In
)
n2N
une partition de
I
.Les
assertions suivantes sont équivalentes :
1. la familles (ai)i2Iest sommable.
2. •pour tout n2N,lafamille(ai)i2Inest sommable
•la série
n0
i2In
aiest convergente.
De plus, si la famille (ai)i2Iest sommable, on a
i2I
ai=1
n=0
i2In
ai.
Exemple 8.6
On souhaite calculer 1
n=0
1
(2n+ 1)2en admettant que ⇣(2) = 1
n=1
1
n2=⇡2
6.
En utilisant la partition N?={2k, k 2N?}[{2k+1,k 2N},ona:
⇣(2) = 1
n=1
1
n2=1
k=1
1
4k2+1
k=0
1
(2k+ 1)2=1
4⇣(2) + 1
k=0
1
(2k+ 1)2
On en déduit que 1
k=0
1
(2k+ 1)2=3
4⇣(2) = ⇡2
8.
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8.3. FAMILLES SOMMABLE DE NOMBRES COMPLEXES
Exemple 8.7
On veut déterminer la nature de la famille 1
(m+n)↵(n,m)2(N?)2
pour ↵2R.......
8.3 Familles sommable de nombres complexes
8.3.1 Définition et premiers exemples
Définition 8.4 (Famille sommable de nombres complexes)
Soit
I
un intervalle dénombrable, (
ai
)
i2I2CI
.Lafamille(
ai
)
i2I
est dite sommable si la famille de
réels positifs ou nuls (|ai|)i2Iest sommable.
Pour étudier la sommabilité d’une famille de nombres complexes, on pourra appliquer les outils développés
pour les familles de nombres réels positifs (critère de sommabilité via une suite exhaustive dans le cas positif,
lemme de dommination, théorème de sommation par paquets) à la famille des modules.
Pour définir la somme d’une famille sommable de nombres complexes, il nous faut quelques résultats prélimi-
naites. Commençons par étudier le cas d’une famille sommable de nombres réels.
Soit x2R.Onnote:
x+:= max(0,x)=xsi x0
0si x<0et x:= min(0,x)=xsi x<0
0si x0.
Ainsi, x+0,x0,x=x+(x)et |x|=x+x.
Proposition 8.2 (Caractérisation des familles sommables de réels)
Soit
I
un ensemble dénombrable et (
ai
)
i2I2RI
.Lafamille(
ai
)
i2I
est sommable si et seulement si les
familles (a+
i)i2I2(R0)Iet (a
i)i2I2(R0)Ile sont.
Définition 8.5 (Somme d’une famille sommable de réels)
Soit
I
un ensemble dénombrable et (
ai
)
i2I2RI
.unefamillesommable.Onappellesommedelafamille
(ai)i2Ile nombre réel
i2I
aidéfini par
i2I
ai:=
i2I
a+
i
i2I
(a
i).
Proposition 8.3 (Famille sommable de nombres réels indexée par Net séries)
Soit (un)n2N2RN.
1. La famille (un)n2Nest sommable si et seulement si la série
n0
unest convergente.
2. Si la famille (un)n2Nest sommable, alors
n2N
un=1
n=0
un.
Exemple 8.8
La famille sin(n)
n2n2N?
est sommable, alors que la famille (1)n
nn2N?
ne l’est pas.
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8.3. FAMILLES SOMMABLE DE NOMBRES COMPLEXES
Proposition 8.4 (Caractérisation des familles sommanles complexes)
Soit
I
un ensemble dénombrable et (
aj
)
j2I2CI
.Onappellesommedela(
aj
)
j2I
le nombre complexe
j2I
ajdéfini par
j2I
aj:=
j2I
Re(aj)+i
j2I
Im(aj):=
j2I
Re(aj)+
j2IRe(aj)+i
j2I
Im(aj)+
j2IIm(aj)
.
Proposition 8.5 (Famille de nombres complexes indexée par Net Séries)
Soit (un)n2N2CN.
1.
La famille (
un
)
n2N
est sommable si et seulement si la série
n0
un
est absolument convergente.
2. Si la famille (un)n2Nest sommable, alors
n2N
un=1
n=0
un.
8.3.2 Sommabilité d’une sous-famille de complexes
Proposition 8.6 Sommabilité d’une sous-famille de complexes
Soit
I
un ensemble dénombrable, (
ai
)
i2I2CI
et
J
une partie infinie de
I
.Silafamille(
ai
)
i2I
est
sommable alors la sous-famille (aj)j2Jest également sommable.
Proposition 8.7 (Calcul pratique de la somme d’une famille sommable de complexe)
Soit
I
un ensemble dénombrable. (
In
)
n2N
une suite exhaustive de parties de
I
et (
ai
)
i2I2CI
une
famille sommable. La suite i2Inain2Nest convergente et
i2I
ai=lim
n!1
i2In
ai.
Proposition 8.8
Soit
I
un ensemble dénombrable. On introduit l’ensemble
`1
(
I,C
)formé de toutes les familles sommables
de complexes indexées par I:
`1(I,C):=(ai)i2I2CI:la famille (ai)i2Iest sommable.
`1(I,C)est un sous-espave vectoriel de CI.
Théorème 8.3 (Sommation par paquets : cas complexe)
Soient
I
un ensemble dénombrable, (
In
)
n2N
une partition de
I
,(
ai
)
i2I2CI
une famille
sommable
.
La série
n0
i2In
aiest convergente et on a
i2I
ai=
n0
i2In
ai.
8.3.3 Théorème de convergence commutative
On considère une suite (
an
)
n2N
de nombres complexes. On souhaite étudier si la modification de l’ordre des
termes de la suite (
an
)
n2N
affecte la nature (convergence ou divergence) de la série
an
,coirelavaleurde
sa somme. Plus formellement, si
:
N!N
est une permutation de
N
,ons’intéresseauxquestionssuivantes.
(Q1)Les séries anet
(n)
sont-elles de même nature ?
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