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Mathématiques MPSI
Pierron Théo
ENS Ker Lann

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Table des matières
I Algèbre 1
1 Ensembles 3
1.1 Vocabulaire général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Opérations sur les parties d’un ensemble . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Relations d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Applications 7
2.1 Vocabulaire général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.1 Fonction et application . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.2 Restriction et prolongement d’applications . . . . . . . 8
2.1.3 Composition d’applications . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.4 Image directe et réciproque de parties par une application 9
2.2 Injections, surjections, bijections . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.1 Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.2 Étude des bijections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3 Le principe de récurrence 13
3.1 Axiomes de Péano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2 Principe de récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4 Ensembles finis 17
4.1 Notion d’ensemble fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.1.1 Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.1.2 Résultats essentiels sur les ensembles finis . . . . . . . 18
4.2 Analyse combinatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.2.1 Résultats généraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.2.2 Combinaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5 Arithmétique dans Z21
5.1 Structure additive de Z...................... 21
5.2 PGCD et PPCM de deux entiers . . . . . . . . . . . . . . . . 22
i

ii TABLE DES MATIÈRES
5.2.1 Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5.2.2 Entiers premiers entre eux . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.2.3 Algorithme d’Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.3 Nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
6 Le corps des réels 29
6.1 Relation d’ordre sur R...................... 29
6.1.1 Rappels .......................... 29
6.1.2 Bornes supérieure et inférieure d’une partie de R. . . 30
6.2 Théorème de la borne supérieure . . . . . . . . . . . . . . . . 31
6.2.1 Énoncé........................... 31
6.2.2 Partie entière d’un réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
6.2.3 Notion d’intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
6.3 Droite numérique achevée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
7 Les complexes 35
7.1 Présentation............................ 35
7.2 Rappels sur les complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
7.2.1 Opérations dans C.................... 36
7.2.2 Conjugaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
7.2.3 Module .......................... 36
7.3 Forme trigonométrique d’un complexe . . . . . . . . . . . . . . 37
7.3.1 Écriture trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
7.3.2 Calcul numérique d’un argument . . . . . . . . . . . . 38
7.4 Exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
7.4.1 Définition ......................... 38
7.4.2 Propriétés......................... 39
7.4.3 Étude de formes trigonométriques . . . . . . . . . . . . 40
7.5 Racines n-ièmes d’un complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
7.5.1 Définition et expression . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
7.5.2 Extraction des racines carrées d’un complexe sous forme
algébrique......................... 43
7.5.3 Équation du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . 43
8 Géométrie plane 45
8.1 Repérage d’un point dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . 45
8.1.1 Repère cartésien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
8.1.2 Orientation du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
8.1.3 Repérage polaire du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
8.2 Identification de Pdans C.................... 48
8.2.1 Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

TABLE DES MATIÈRES iii
8.2.2 Représentation analytique complexe d’applications de
Pdans P......................... 49
8.3 Outils géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
8.3.1 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
8.3.2 Produit mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
8.3.3 Un exercice corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
8.4 Étude des droites du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
8.4.1 Description d’une droite dans un repère quelconque . . 53
8.4.2 Étude quand le repère d’étude est orthonormé direct . 55
8.4.3 Distance d’un point à une droite . . . . . . . . . . . . . 57
8.4.4 Angles de droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
8.5 Étude des cercles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
8.5.1 Repérage cartésien d’un cercle . . . . . . . . . . . . . . 58
8.5.2 Autres paramétrages d’un cercle . . . . . . . . . . . . . 61
8.5.3 Intersection droite-cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
9 Coniques 65
9.1 Présentation............................ 65
9.2 Ellipse ............................... 66
9.3 Hyperbole............................. 69
9.3.1 Paramétrages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
9.3.2 Asymptotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
9.4 Parabole.............................. 73
10 Courbes du second degré 75
10.1 Changements de repères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
10.1.1 Effet d’une translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
10.1.2 Effet d’une rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
10.2 Étude de A............................ 76
11 Géométrie dans l’espace usuel 79
11.1 Repérage dans E......................... 79
11.1.1 Repère cartésien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
11.1.2 Orientation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
11.2 Outils géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
11.2.1 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
11.2.2 Produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
11.2.3 Produit mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
11.3 Plans de l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
11.3.1 Représentation dans un repère quelconque . . . . . . . 83
11.3.2 Dans un repère orthonormé . . . . . . . . . . . . . . . 84