Beamer espaces vectoriels

ESPACES VECTORIELS
1 ESPACES VECTORIELS

I) Généralités
Définition
Soit (K,+,×)un corps. On appelle espace vectoriel sur le
corps Ktout ensemble E muni d’une loi de composition
interne " + " (addition)
+ : (E×E→E
(x,y)7→ x+y
et d’une loi de composition externe " ·"(multiplication par un
scalaire)
.:(K×E→E
(λ, y)7→ λy
telles que
2 ESPACES VECTORIELS

1) (E,+) est un groupe commutatif. C’est à dire
1u+v=v+u(pour tous u,v∈E)
2u+ (v+w)=(u+v) + w(pour tous u,v,w∈E)
3Il existe un élément neutre 0E∈Etel que u+0E=u
(pour tout u∈E)
4Tout u∈Eadmet un symétrique u0tel que u+u0=0E.
Cet élément u0est noté −u.
2) Pour tout (α, β)∈K2et pour tout (x,y)∈E2, on a
1(α+β).x=α.x+β.x
2(α×β).x=α.(β.x)
3α(x+y) = α.x+α.y
41K.x=x
On dit alors que (E,+, .)est un K−espace vectoriel.
3 ESPACES VECTORIELS

Définition
1. Un élément x de (E,+, .)un K-espace vectoriel
(qu’on pourrait écrire ~ x)est dit vecteur et ceux de K
scalaires.
2. Deux vecteurs x et y de E sont dit colinéaires s’il existe
λ∈Ktel que
y=λx.
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Remarque
Nous laissons au lecteur le soin de distinguer l’élément neutre
de (E,+). (qu’on pourrait écrire ~ 0ou 0E), qui est un vecteur,
appelé vecteur nul de E, de l’élément nul 0de K(qu’on
pourrait écrire 0K), qui est un scalaire.
Ces éléments vérifient les règles de calcul suivantes:
Tout élément x ∈E0K.x=0E, d’après 2)1si β=−α.
Tout élément x ∈E,∀α∈K, α.x=0E⇐⇒ α=0Kou
x=0E.
On a en outre: α(−x)=(−α)x=−αx,tout élément
x∈E,∀α∈K.Et, en particulier
(−1)x=−(1.x) = −x.
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