Bases des Maths : Logique, Ensembles et Fonctions

Chapitre 1 – Logique et ensembles
󶵍󶵈󶵉󶵊󶵋󶵌 Objectif du chapitre
Comprendre le langage formel des mathématiques : logique des propositions et théorie des ensembles.
Ces outils sont fondamentaux pour structurer des raisonnements rigoureux et manipuler des objets
mathématiques abstraits.
󼅰󼅱󼅲 I. Logique des propositions
󶠦󼛂 Définitions fondamentales
• Proposition : énoncé qui peut être soit vrai (V) soit faux (F), mais pas les deux.
o Ex : "3 est impair" (V), "2 > 5" (F).
󹖫󹖬 Connecteurs logiques
Nom
Symbole
Signification
Exemple
Négation
¬P
"non P"
¬(2 > 3) est vrai car 2 ≤ 3
Conjonction
P ∧ Q
"P et Q"
"2 > 1 ∧ 3 < 4" est vrai
Disjonction
P ∨ Q
"P ou Q" (au moins un vrai)
"2 > 5 ∨ 1 = 1" est vrai
Implication
P ⇒ Q
"Si P alors Q"
Faux seulement si P est vrai et Q est faux
Équivalence
P ⇔ Q
"P si et seulement si Q"
Vrai si P et Q ont la même valeur
󼅰󼅱󼅲 Remarque : L’implication logique P ⇒ Q est contre-intuitive : elle est considérée comme vraie quand
P est fausse, quelle que soit Q.
󹖏󹖍󹖎 Tables de vérité (à connaître)
Fais des tableaux pour t'assurer de la validité des énoncés. (Utiles en raisonnement formel ou en
informatique.)
󼆵󼆶󼆷󼆸󼆹󼆺 II. Méthodes de raisonnement
󹗪 Raisonnement direct
On part des hypothèses et on déduit logiquement la conclusion.
󶠦󹕣󹕤 Contraposée
Pour montrer P ⇒ Q, on démontre ¬Q ⇒ ¬P. C’est souvent plus facile.
󼝓 Par l’absurde

Suppose que la conclusion est fausse, et montre que cela mène à une contradiction.
󼆛󼆜 Disjonction de cas
On divise l’énoncé en plusieurs cas exclusifs et on traite chacun séparément.
󼢌󼢍󼢎󼢏󼢐 Exemple d’application – Raisonnement par contraposée
Montrer que si n² est pair, alors n est pair.
Contraposée : si n est impair, alors n² est impair (ce qui est plus simple à démontrer).
󹒗󹒚󹒘󹒙󹒛󹒜󹒝󹒞󹒟󹒠󹒡󹒢 III. Théorie des ensembles
󹖝 Définitions de base
• Ensemble : une collection d’objets (appelés éléments).
• Appartenance : x ∈ A signifie que x est un élément de A.
• Inclusion : A ⊆ B signifie que tout élément de A est aussi dans B.
• Ensemble vide : ∅, l’ensemble qui ne contient rien.
• Complémentaire : Aᶜ ou C\A = tous les éléments qui ne sont pas dans A.
• Égalité d’ensembles : A = B si et seulement si A ⊆ B et B ⊆ A.
󶠦󹕣󹕤 Opérations sur les ensembles
Nom
Notation
Description
Union
A ∪ B
éléments de A ou de B ou les deux
Intersection
A ∩ B
éléments communs à A et B
Différence
A \ B
éléments de A mais pas de B
Produit cartésien
A × B
couples (a, b) avec a ∈ A et b ∈ B
󹑔󹑕󹑖󹑗 Astuce : pour prouver A ⊆ B
Suppose x ∈ A, puis montre x ∈ B.
󹒗󹒚󹒘󹒙󹒛󹒜󹒝󹒞󹒟󹒠󹒡󹒢 Exemple :
Soit A = {x ∈ ℕ | x pair}, B = {x ∈ ℕ | x divisible par 4}.
B ⊆ A car tout multiple de 4 est aussi pair. Mais A n’est pas inclus dans B (ex : 2 ∈ A, 2 ∉ B).

󼆛󼆜 Méthodo – Montrer l’égalité entre deux ensembles
1. Montrer A ⊆ B.
2. Montrer B ⊆ A.
3. Conclure : A = B.
Chapitre 2 – Applications
󶵍󶵈󶵉󶵊󶵋󶵌 Objectif du chapitre
Comprendre le concept fondamental d'application (ou fonction), qui relie deux ensembles, et apprendre
à manipuler les propriétés associées (image, bijection, etc.).
󼅰󼅱󼅲 I. Définitions fondamentales
• Application : une règle qui associe à chaque élément x d’un ensemble A un et un seul élément
f(x) d’un ensemble B. On note f : A → B.
• Image : si y = f(x), alors y est l’image de x par f.
• Antécédent : si y = f(x), alors x est un antécédent de y.
• Image directe d’un ensemble : f(S) = {f(x) | x ∈ S}
• Image réciproque d’un ensemble : f⁻¹(T) = {x ∈ A | f(x) ∈ T}
󼢌󼢍󼢎󼢏󼢐 Exemple :
f : ℝ → ℝ, f(x) = x²
• f(2) = 4
• Les antécédents de 4 sont 2 et -2
• f([0,2]) = [0,4]
• f⁻¹([1,9]) = [-3,-1] ∪ [1,3]
󼆮󼆯󼆰󼆱󼆲󼆳󼆴 II. Propriétés d'une application
1. Injectivité
• f est injective ⇔ ∀x, x', f(x) = f(x') ⇒ x = x'
• Une image ne vient que d’un seul élément de A.
• 󼢌󼢍󼢎󼢏󼢐 Exemple : f(x) = 2x est injective ; f(x) = x² ne l’est pas (f(2) = f(-2)).

2. Surjectivité
• f est surjective ⇔ ∀y ∈ B, ∃x ∈ A tel que f(x) = y
• L’ensemble B est totalement "couvrable" par f.
• 󼢌󼢍󼢎󼢏󼢐 Exemple : f(x) = x³ est surjective de ℝ vers ℝ ; f(x) = e^x ne l’est pas (pas d’antécédent pour y
< 0).
3. Bijection
• f est bijective ⇔ f est injective ET surjective
• Chaque y ∈ B a un unique antécédent dans A.
󶠦󹕪󹕫 III. Composition et réciproque
Composition
• Soient f : A → B et g : B → C, alors (g ∘ f)(x) = g(f(x))
• Associative mais non commutative
Application réciproque
• Si f est bijective, alors il existe f⁻¹ : B → A telle que f⁻¹(f(x)) = x et f(f⁻¹(y)) = y
Propriété utile
• (g ∘ f)⁻¹ = f⁻¹ ∘ g⁻¹
󼆛󼆜 IV. Méthodes de démonstration
󹗪 Pour montrer qu'une application est injective :
1. Supposer f(x) = f(y)
2. Montrer que cela implique x = y
󹗪 Pour montrer qu'une application est surjective :
1. Soit y ∈ B
2. Trouver x ∈ A tel que f(x) = y
3. Justifier que cette solution existe toujours
󹗪 Pour montrer qu'une application est bijective :
1. Montrer qu’elle est injective (voir ci-dessus)
2. Montrer qu’elle est surjective (voir ci-dessus)

Chapitre 3 – Nombres entiers et arithmétique
󶵍󶵈󶵉󶵊󶵋󶵌 Objectif du chapitre
Maîtriser la division euclidienne, le PGCD, les nombres premiers et les congruences. Ces notions sont
essentielles en algorithmique, cryptographie, et résolution d'équations diophantiennes.
󼅰󼅱󼅲 I. Division euclidienne
Définition
Soient a, b ∈ ℤ avec b ≠ 0. Il existe un unique couple (q, r) ∈ ℤ × ℕ tel que :
• a = bq + r, avec 0 ≤ r < |b|
󼢌󼢍󼢎󼢏󼢐 Exemple
13 ÷ 5 : 13 = 2×5 + 3 → q = 2, r = 3
󹖫󹖬 II. Divisibilité et PGCD
• a divise b (noté a | b) ⇔ ∃k ∈ ℤ tel que b = ak
• Le PGCD (plus grand commun diviseur) de a et b est le plus grand entier d qui divise a et b.
• On le note : PGCD(a, b) = d
Algorithme d’Euclide
Pour calculer PGCD(a, b) :
1. Diviser a par b : a = bq + r
2. Remplacer (a, b) par (b, r)
3. Répéter jusqu'à r = 0
4. Le dernier b ≠ 0 est le PGCD
󼢌󼢍󼢎󼢏󼢐 Exemple
PGCD(252, 105)
• 252 = 2×105 + 42
• 105 = 2×42 + 21
• 42 = 2×21 + 0 → PGCD = 21