On cherche à d’eterminer la distance entre ∆ et le point Q. Le point R, dont
les coordonnées sont inconnues, est le point de ∆ le plus rapprochée de Q.
Fondamentalement, on cherche donc la longueur du segment QR. Cette
longueur serait simple à calculer si on connaissait les coordonnées du point R.
C’est donc ces coordonnées que nous allons commencer à chercher.
La distance entre Q et R devient facile à calculer.
La
norme
Distance
d'un
point
à
une
droite
:
-2
,
10)
+
121
1
5
,
-2
Projet
=
(
d
.
D
(2-7
.
12
+
16
-
7
.
53
+
(
-
6
.
22
=
5
.
44917
sa
s'écrit
:
Il
all
Q
(2
,
6
,
5)
Avec
=
(-1
,
5
,
-
2)
et
Pq
=
(-
4
,
7
,
-1)
,
on
calcule
Re
·
>
Y
(
-
1
,
5
,
-
2)
.
(
-
4
,
7
,
1)
(
-
1
,
5
-
2)
O
est
veut
·
P(6
,
13
,
4)
-33/
_,
-2)
exemple
:
i
=
(2)
XL
=>
(
*,
)
dire
l'origine
llV11
=
P
+
22
+
33
Donc
=
(
+
p
=
(7
.
1
,
7.5
,
02
Distance
d'un
point
à
un
plan
angle
entre
2
vecteurs
équation
symétrique
La
distance
entre
un
point
P
1
(X1
,
41
,
El)
et
un
plan
M
dont
l'équation
est
soient
deux
vecteurs
et
l'angle
entre
eux
est
donné
par
:
X
=
xo
+
kd
ax
+
by
+
c
=
dest
a2
+
b2
+
c2
!
cos(8)
=
Kill
:
Kill
.
=
x
,
Vi
+
u2Vz
+
UzVs
y
=
yo
+
kd
on
obtient
distance
(p
,
M)
=
19 x
+
by
,
+
cz
-
d)
.
·
.
=
produit
scalaire
:
2
=
20
+
kd3
=
X
-
Xo
=
y402-0
Exemple
:
Quelle
est
la
distance
entre
le
point
P(3
,
-4
,
2)
et
le
plan
·
Häll
et
Kill
=
normes
di
d3
2x
-
4y
+
42
=
5
?
22
+
(
4)2
+
42
distance (p
,
M)
=
(2(3)
-
4)
-
4)
+
4(2)
-
5)
=
2
Équation
Par
a
métrique
Pour
trouver
la
droit
on
équation
Vectoriel
dans
IR2
et
123
En
isolant
chaque
composante
dans
l'équation
doit
avoir
un
vecteur
et
4
:
(x
,
y)
=
p
+
k
KEIR
4
:
(X
,
y
,
2)
=
(x0
,
y0
,
20)
+
k(d
,
dz
,
d3)
,
KER
un
point
de
la
droite
=
-
:
(x
,
y)
=
(x0
,
yo)
+
k(d
,
dz)
,
kEIR
À
partir
d'un
point
P(XO
,
Yo)
connu
sur
la
droite
,
il
suffit
d'ajouter
ou
d'enlever
On
obtient
S
d
=>
Si
on
as
2
point
on
peut
un
certain
nombre
de
fois
le
vecteur
directeur à
pour
pouvoir
atteindre
tous
les
trouver
le
vecteur
directeur
autres
points
(X
,
y)
de
la
droite
D
.
Suite
directeur
de
2
point
comme
ci
:
=
P2-PI
Dans
3
B
A
Exemple
:
PI(2
,
1
,
4)
,
P2(5
,
3
,
-3)
A
:
(x
,
y
,
2)
=
p
+
k
kEIR
=
A
:
(x
,
y
,
2)
=
(X0
,
y0
,
20)
+
k(di
,
dz
,
(3)
,
KSIR
v
=
5
-
2
=
(3
,
2
.
-
6)
Exemple
:
(AB)
3-1
=>
A
=
2
.
La
droite
passe
par
le
point
(6
,
-5
,
2)
etest
parallèle
au
vec-
-
2
-
4
teur
(1
,
3
.
-3)
équation
Propriété
du
produit
mixte
4
=
(
,
y
,
z)
=
(6
,
-
3
,
2)
+
t
(1
,
3
,
-
3)
=
)
Vectoriel
équation
Soit
=
(U
,
42
,
43)
,
=
(V
,
v
,
V3)
et
=
(Wi
,
Wa
,
Ws)
trois
vecteurs
de
13
.
=
Paramétrique
Alors
le
volume
du
parallépipède
engendré
par
,
et
est
/a
valeur
absolue
du
produit
mixte
.
X
+
6
-
y
+
5
=>
équation
V
=
In ( 1))
.
symétrique
équation
du
plan
(F
-
)
.
n
=
0
Propriété
du
produit
vectoriel
est
nommée
l'équation
vectorielle
du
plan
1
Soit
i
et
sont
des
Vecteur
,
l'air
du
Sin
=
(9
,
b
,
c)
et
-
=
(X-
X0
,
y
-
yo
,
2 -
20)
alors
en
développant
le
produit
scalaire
de
l'équation
vectorielle
,
on
obtient
parallélograme
former
par
les
2
vecteurs
est
égale
à
la
norme
du
produit
vectoriel
a(x
-
x0)
+
b(y
-
yo)
+
c(z
-
20)
=
0
A
=
(1)
qui
est
nommée
l'équation
cartésienne
du
plan
1
.
Exemple
:
Quelle
est
l'équation
cartésienne
du
plan
L
dont
Po(6
,
3
,
2)
est
un
#Pour
un
triangle
=
Air d
ele
point
et
n
=
(-2
,
1
,
5)
est
un
vecteur
normal
.
T
u
S
L'équation
aura
la
forme-2(x-6)
+
1(4-3)
=
0
.
On
présentera
ce
résultat
en
regroupant
les
nombres
du
coté
droit
de
l'égalité
ce
qui
donnera
A
Aussi
,
le
produit
vectoriel
entre
deux
vecteur
l'équation
suivante
pour
M
:
-2x
+
y
+
52
=
1
2
2x
-
7z
=
1
=)
n
=
79
(
Donne
un
vecteur
perpendiculaire
au
plan
formé
par
E
et
UTILE
POUR
TROUVER
LA
NORMal
d'un
PLAN
*
Quand
2
plan
Sont
↓
Ni
:
/2
=
0
(produit
scalaire)
si
on
connait
la
droite
sur
un
plan
chercher
et
la
normal
parallèle
d'un
autre
plan
angle
entre
2
plan
:
Cosetill)
le
produit
Vec
.
nous
donne
donc
la
normal
du
plan
chercher
10
.
La
droite
est
l'intersection
des
plans
:
Donner
l'équation
cartésienne
du
plan
#T
qui
contient
les
points
A
,
B
,
*
(2y
+
32
=
/
et x
-
y
+
z
=
1
a
A(1
,
0
,
2)
11
au
21
des
plans
=
Rix
de
b)
soit
la
droite
d
x
=
-
2t
=>
ijk
1g
B(-2
,
1
,
3)
=
52
+
2j
-
3k
=
(5
,
2
,
-
3)
B
y
=
2t
+
1
2
3
I
4
C(2
,
1
,
2)
I
-1
I
z
=
-
8t
+
1
i
=
AB1
pour
quoi
(d)
+
(TT)
?
on
Cherche
1
point
Commun
all
2
plan
.
=
Cette
droite
est
parrallelle
au
vecteur
=
[2
Ti
:
crossp((31
13
,
(110))
=
(
1
-
4)
à
z
=
0
u
=
21
=
u//n
on
va
Choisir
un
point
:
A
(plus
facile
>
plus
de
Zero)
2
+
2y
=
1
,
y
=
y
=
0
E
=
(d)1
π
(T)
:
-
1(z
-
1)
+
((y
-
0)
-
4(z
-
2)
=
0
solve
z
-
y
=
1
DEn
quel
point
(d)
perce
(T)
?
=
/T
=
-
2
+
y
-
4z
+
9
=
0
=>
Remplacer
(d)
dans
(i)
on
as
3
=
0
,
y
=
0
,
X
=
?
isoler
z
:
4z
=
-
k
+
y
+
9
-
(
-
2t)
+
(27
+
1)
-
4)
-
87
+
1)
+
9
=
0
X
=
1
X
+
2y
=
1
=>
X
+
2(0)
=
1
C
Ti
:
t
=
-
T
notre
point
est
donc
:
(1
,
0
,
0
2
A
maintenant
on
peut
trouver
le
point
maintenant
on
as
un
point
et
un
x
+
+y
+
E
x
=
-
2
:
t
=
5 p
=
(5
.
3
,
5)
Vecteur
y
=
2(t)
+
1
=
33
Exercice
:
2
plans
S
r()
[
La
droite
z
=
-
8
.
(
-)
+
1
=
((ti)
=
x
+
2y
-
z
+
3
=
0(T(z)
=
-
2x
-
4y
+
2z
+
1
=
0
2
=
=
3t
I
a)
Montrer
que
(T
.
)
et
(2)
sont
parallelle
distinct
Réponse
:
Oui
car
il
y
a
facteur
proportion
sur
X
,
4
,
2
Soitz
=
f(X
,
Y)
.
La
courbe
de
niveau
/
est
l'ensemble
des
points
(X
,
y)
du
plan
satisfaisant
f(x
,
y)
=
K
.
- :
=F =
-2
-
>
(H)X(t
+2)
Ainsi
,
tous
les
points
(X
,
Y)
du
domaine
def
pour
lesquels
la
fonction
vaut
K
sont
sur
une
courbe
de
niveau
de
valeur
K
.
C'est
le
principe
de
représentation
mais
;
1/3
F-2
E
sont
parallèle
distinct
des
reliefs
par
les
cartes
topographiques
.
b)
Calculer
distance
entre
(T
.
)
et
(1)
(
l
.
Choisir
un
point
sur
(TTI)
=>
on
Choisit
:
1
=
0
d
,
y
=
0
(T
7
=>
(i)
=
2
+
3
=
0
=
z
=
3
Notre
point
est
:
(0
,
0
,
3)
2
.
Ensuite
,
Calculer
la
distance
du
poit
p
vers
(Tz)
Les
projections
orthogonal
es
C
1-2(0)
-
4(0)
+
2(3)
+
11
Distance
entre
2
point
T
distance
t
=
Fi
=
)
(
-
2)
+
(
-
4)
+
2
d(P
,
Pc)
=
12
+
(y2
-
41)2
pour
IR3
=
1
,
42087
S
d(p
,
P2)
=
-
xi)2
+
(yz
-
y
,
(
+
(22
-
21)2
o
jop
>
altrouver
les
équations
paramétriques
de
la
droite
(d)
,
Intersection
des
2
plans
Projet
Trouver
le
centre
sphère
de
diamete
:
segment
PR
①
+
Q
=
3x
+
3y
+
3
=
0
Rappels
:
Ce
qui
peut
restreindre
le
domaine
D
d'une
fonction
réelle
à
variable
réelle
ce
sont
les
valeurs
du
domaine
qui
pourraient
occasionner
une
ou
l'autre
Centre
=
(p
+
Q
,
)
des
situations
suivantes
=
2
+
y
+
1
=
0
③
Réponse
Division
par
O
si
un
cercle
Centre
(a
,
b)
↑
Racine
paire
d'un
nombre
négatif
.
-
>
y
=
-
x
-
1
et
rayon
:
Logarithme
de
0
ou
d'un
nombre
négatif
.
((2
,
y)(yxx2,x
=
=
1)
équation
:
(x
-a)
+
(y
-
b)2
=
Retour
a
Q
Ex
:
f(x
,
y)
=
-
2z
+
(x
-
1)
-
z
=
0
Sphère
(Xo
,
Yo
,
20)
=
Centre
①
on
veut
pas
que
FIR
X-1
-
z
=
0
=>
z
=
x
-
1
y
-
* 30
(X
-
xo)
+
(y
-
y0)
+
(z
-
30)
=
3
Donc
,
notre
droile
:
y3x
ou
X
=
t
X
S
(d)
=
②
x
=
On
veut
pas
de
division
par
0
2
-
1
y
=
-
+
(y
-
ya)
+
(z
-
30)
=
-
E
Ou
y
=
-
t
-
1
1
-
x
+
0
,
x
+
1)
z
=
X
-
1
z
=
t
-
1
1
/
2
100%
