programme de colle

Programme de colle (05/01/2026)
Détail du cours
Systèmes d’équations linéaires
✓Système d’équations linéaires, matrice des coefficients, système homogène, opérations élémentaires,
systèmes équivalents et matrices équivalentes.
✓Matrice échelonnée, notion de pivot, mise sous forme échelonnée à l’aide de la méthode du pivot de
Gauss-Jordan.
✓Systèmes compatibles et incompatibles, rang d’un système, inconnues principales et paramètres, dé-
composition des solutions sous la forme d’une solution particulière et d’une solution du système
homogène associé sous la forme Vect s’il y a des paramètres.
✓Interprétation géométrique pour les systèmes 2×2et 3×3.
Applications injectives, surjectives, bijectives et fonctions réciproques usuelles
✓Notion de fonction (= application) entre deux ensembles. Image directe d’un ensemble, image réci-
proque d’un ensemble. Fonctions injectives, surjectives, bijectives.
✓Théorème de la bijection (y compris les propriétés de dérivabilité). Graphe d’une réciproque.
✓Fonctions réciproques usuelles : arcsin,arccos et arctan.
Calcul matriciel
✓Matrices de taille n×p. Matrices colonnes, matrices lignes, matrices carrées, matrices triangulaires
supérieures ou inférieures, matrices diagonales, matrice identité, matrices symétriques et antisymé-
triques.
✓Somme de matrices, transposée d’une matrice, produit de matrices.
✓Calcul des puissances d’une matrice : cas des matrices diagonales, utilisation de la formule du binôme.
✓Matrices inversibles. Inverse d’un produit et d’une transposée.
✓Matrices élémentaires, lien avec les résolutions de systèmes, condition nécessaire et suffisante d’inver-
sibilité d’une matrice triangulaire et d’une matrice diagonale, calcul de l’inverse d’une matrice.
Questions de cours
Q1. Définition de la fonction arcsin, calcul de la dérivée avec démonstration complète (y compris donc la
preuve de la prop 3.3 du cours), tracé du graphe.
Q2. Définition de la fonction arccos, calcul de la dérivée avec démonstration complète (y compris donc la
preuve de la prop 3.8 du cours), tracé du graphe.
Q3. Définition de la fonction arctan, calcul de la dérivée avec démonstration, tracé du graphe.
Q4. Énoncé et démonstration des deux relations : pour tout x∈. . .,arcsin x+ arccos x=. . . et pour tout
x∈. . .,arctan x+ arctan(1/x) = . . ..
Q5. Définition de l’inverse d’une matrice et preuve de l’unicité de l’inverse en cas d’existence. Formule
donnant (AB)−1(hypothèses à préciser !) avec démonstration.
Q6. Définition de la transposée d’une matrice. Formules donnant les expressions de (AB)Tet (AT)−1
(hypothèses à préciser !) avec démonstrations.
Q7. Énoncé complet de la formule du binôme de Newton pour les matrices. Application au calcul des
puissances de M=
a b c
0a b
0 0 a
pour a, b, c ∈C.
Exercices
Le cours sur les systèmes sera testé par le biais des exercices.
Les exercices porteront sur les trois chapitres.
SRM, PTSI 1, 2025-2026 1