Cours Théorie Décision Statistique & Tests

ACADEMIE DES LEADERS
THÉORIE STATISTIQUE DE
LA DÉCISION
Cours Complet & Applications Pratiques
Année Académique : 2025 / 2026
Support de Cours : Analyse Univariée, Bivariée et Multivariée

Table des Matières
I. INTRODUCTION GÉNÉRALE
II. ANALYSES UNIVARIÉES
1. Test Binomial
2. Test de Khi-deux d'Ajustement
3. Test de Kolmogorov-Smirnov
4. Test Z (Grand Échantillon)
5. Test T de Student (Petit Échantillon)
III. ANALYSES BIVARIÉES
1. Test de McNemar Standard
2. Test Exact de McNemar
3. Test de Khi-deux d'Indépendance
4. Test Exact de Fisher
5. Test de Wilcoxon (Rangs Signés)
6. Test des Signes
7. Test de Mann-Whitney (U)
8. Test de la Médiane
9. Test sur la Diérence de Moyennes (Appariées)
10. Test sur la Diérence de Deux Moyennes (Indépendantes)
IV. ANALYSES MULTIVARIÉES
1. Test de Cochran
2. Test de Kruskal-Wallis
3. Test de Friedman

4. ANOVA à un facteur
5. ANCOVA
V. CONCLUSION ET SYNTHÈSE

I. Introduction à la Théorie de la Décision
La théorie statistique de la décision permet de trancher entre deux hypothèses
concurrentes au vu d'observations empiriques. Elle repose sur la formulation d'une
hypothèse nulle (H₀), postulant l'absence d'eet ou de diérence, et d'une hypothèse
alternative (H₁). L'objectif est de contrôler le risque d'erreur de première espèce (α),
généralement xé à 5%.
II. Analyses Univariées
Ces tests concernent l'analyse d'une seule variable aléatoire par rapport à une distribution
théorique ou une norme.
1. Test Binomial
Conditions d'application : Variable dichotomique (succès/échec). Échantillon petit (n <
30) ou grand. Teste la conformité d'une proportion observée à une proportion théorique.
P(X = k) = C p (1-p)
Hypothèses : H₀ : p = p₀ vs H₁ : p ≠ p₀ (ou <, >).
Règle de décision : On calcule la probabilité cumulée des événements extrêmes. Si p-
value < α, on rejette H₀.
Exemple d'Application :
On lance une pièce 10 fois. On obtient 9 faces. La pièce est-elle truquée (p=0.5)?
Calcul : P(X≥9) = P(X=9) + P(X=10).
P(X=9) = 10 * (0.5) (0.5) ≈ 0.0098.
P(X=10) = 1 * (0.5) ≈ 0.0010.
Somme = 0.0108. Comme c'est un test bilatéral, p-value ≈ 0.0216.
Décision : 0.0216 < 0.05. Rejet de H₀. La pièce est probablement truquée.
nk k n-k
9 1
10

2. Test de Khi-deux d'Ajustement
Conditions : Variable qualitative ou quantitative discrétisée. Eectifs théoriques ≥ 5.
χ = Σ (O - E )
E
Hypothèses : H₀ : La distribution observée suit la loi théorique.
H₁ : Elle dière.
Règle : Rejeter H₀ si χ²_calc > χ²_table (ddl = k-1).
Exemple :
Lancer de dé 60 fois. Faces 1 à 6 observées : 5, 8, 12, 15, 12, 8. Théorique (si équilibré) : 10
partout.
χ² = (5-10)²/10 + (8-10)²/10 + ... + (8-10)²/10 = 2.5 + 0.4 + 0.4 + 2.5 + 0.4 + 0.4 = 6.6.
Seuil critique (ddl=5, α=0.05) = 11.07.
Conclusion : 6.6 < 11.07. On ne rejette pas H₀. Le dé semble équilibré.
3. Test de Kolmogorov-Smirnov (K-S)
Conditions : Variable quantitative continue. Teste l'ajustement à une loi (ex: Normale).
Préférable au Khi-deux pour petits échantillons continus.
D = max | F (x) - F (x) |
Règle : Rejeter H₀ si D_calc > D_critique (table de K-S).
Exemple Simplié :
5 données : 2, 4, 6, 8, 10. Test Uniforme sur [0,12].
F_th(x) = x/12. Pour x=2, F_th=0.16. F_obs=1/5=0.20. Di=0.04.
On calcule le Max des diérences absolues sur tous les points.
Si D_max dépasse le seuil (ex: 0.563 pour n=5), on rejette l'uniformité.
4. Test Z (Grand Échantillon)
Conditions : n ≥ 30 ou variance de la population (σ²) connue. Variable quantitative.
2i i 2
i
obs th