Inegrals doubles

Chapitre
7Intégrales Multiples
7.1 Rappels sur les intégrales simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
7.2 Intégrales itérées et aire dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
7.2.1 Intégrales itérées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
7.2.2 Aire d’une région du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
7.3 Intégrales doubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
7.3.1 Intégrale double sur un rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
7.3.2 Intégrale double sur un domaine borné quelconque . . . . . . . . . . . . 145
7.3.3 Intégrale double sur une partie élémentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
7.4 Propriétés des intégrales doubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
7.4.1 Changement de variables dans les intégrales doubles . . . . . . . . . . . 149
7.4.2 Changement de variables en coordonnées polaires . . . . . . . . . . . . . 151
7.5 Intégrales triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
7.5.1 Intégrale triple sur un parallélépipède rectangle . . . . . . . . . . . . . . . 152
7.5.2 Intégrale triple sur un domaine borné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
7.5.3 Propriétés de l’intégrale triple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
7.6 Changement de variables dans les intégrales triples . . . . . . . . . . . . . . . 157
7.6.1 Coordonnées cylindriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
7.6.2 Coordonnées sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
7.7 Applications de l’intégrale multiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
7.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
L’intégrale multiple est une généralisation de l’intégrale définie d’une fonction d’une seule va-
riable au cas d’une fonction de plusieurs variables. Cette notion est souvent utilisée pour calculer
des volumes, des aires de surfaces, des masses et des centres de gravité.
7.1 Rappels sur les intégrales simples
Soit fune fonction définie sur l’intervalle [a,b]. Découpons cet intervalle en nde sous-intervalles
Ii= [xi−1,xi]en effectuant une subdivision à pas constant ∆x=xi−xi−1=b−a
n. Considérons
dans chaque sous-intervalle [xi−1,xi]un point x∗
i.
La somme n
X
i=1
f(x∗
i)∆x,
est appelée somme de Riemann de fsur [a,b].
Si, quand ntend vers l’infini, les sommes de Riemann tendent vers une limite qui ne dépend
pas de choix de x∗
i, on dit que la fonction fest intégrable sur l’intervalle [a,b]et on a
b
Z
a
f(x)d x =lim
n→+∞
n
X
i=1
f(x∗
i).
136

Intégrales itérées et aire dans le plan
Graphique représentant Sn.
b
R
a
f(x)d x s’appelle l’intégrale définie de fsur l’intervalle [a,b].
À la suite de cela, par une procédure analogue, nous pouvons définir l’intégrale d’une fonctions
de plusieurs variables.
7.2 Intégrales itérées et aire dans le plan
7.2.1 Intégrales itérées
Nous avons vu qu’il est significatif de dériver des fonctions de plusieurs variables par rapport à
une variable tout en considérant les autres constantes. Par exemple, en considérant yconstant,
nous pouvons écrire :
Z3y
1
2x y dx =x2y3y
0= (3y)2y+ (1)2y=9y3−y
| {z }
xla variable d’intégration et yest fixé Remplacer xpar les li-
mites de l’intégration
Le résultat est
une fonction de y
Il faudrait noter que la variable d’intégration ne peut apparaître dans aucune des deux bornes
d’intégration. Par exemple, l’écriture x
Z
0
yexdx,
n’a aucun sens.
Comme l’illustre l’exemple précédent, Zh2(y)
h1(y)
f(x,y)dx est une quantité qui dépend de y, donc
elle représente une fonction de y
A(y) = Zh2(y)
h1(y)
f(x,y)dx.
Si on intègre maintenant la fonction Apar rapport à yde y=cày=d, on obtient
Zd
c
A(y)dy =
d
Z
cZh2(y)
h1(y)
f(x,y)dxdy.
137

Intégrales itérées et aire dans le plan
L’intégrale sur le côté droit de l’égalité ci-dessus est appelée intégrale itérée. Les crochets peuvent
être omis. Par conséquent
Zd
cZh2(y) h1(y)
f(x,y)dxdy =
d
Z
cZh2(y)
h1(y)
f(x,y)dxdy.
De même, nous définissons l’intégrale itérée
Zb
aZk2(x) k1(x)
f(x,y)dydx =
b
Z
aZk2(x)
k1(x)
f(x,y)dydx.
Les bornes de l’intégrale intérieure peuvent être dépendent de la variable d’intégration de l’in-
tégrale extérieure. Cependant, les bornes de l’intégrale extérieure doivent être constantes par
rapport aux deux variables d’intégration.
Exemple 7.1. Calculer les intégrales itérées suivantes :
aZ3
1Z2 0
x y2dxdy bZ2
0Z3 1
x y2dydx.
aEn considérant y comme une constante, on obtient
A(y) = Z2
0
x y2dx =x2
2y22
0
=(2)2
2y2−(0)2 2y2=2y2.
On intègre maintenant cette fonction de y de 1à3:
Z3
1
A(y)dy =Z3
1Z2 0
x y2dxdy =
3
Z
1Z2
0
x y2dxdy
=
3
Z
1
2y2dy =2y3
33
1
=54
3−2 3=52 3.
bDans ce cas, on effectue d’abord l’intégration par rapport à y
Z2
0Z3 1
x y2dydx =
2
Z
0Z3
1
x y2dydx
=
2
Z
0
26
3xdx =26x2 62
0
=52
3.
138

Intégrales itérées et aire dans le plan
On remarque que dans cet exemple, on a obtenu le même résultat peu importe si on intègre
d’abord par rapport à y ou à x.
7.2.2 Aire d’une région du plan
On considère la région du plan Rdélimitée par
a¶x¶bet ϕ1(x)¶y¶ϕ2(x),
on note R=(x,y)∈R2:a¶x¶b,ϕ1(x)¶y¶ϕ2(x).
L’aire de la région est égale à l’intégrale définie
Aire(R) = Zb
a
[ϕ2(x)−ϕ1(x)] dx.
on peut écrire l’intégrande ϕ2(x)−ϕ1(x)comme
intégrale définie. Plus précisément, on a
Zϕ2(x)
ϕ1(x)
dy = [ y]ϕ2(x)
ϕ1(x)=ϕ2(x)−ϕ1(x).x
y
ϕ1(x)
x=b
x=a
ϕ2(x)
R
En combinant ce qui précède, on peut exprimer l’aire de Ren fonction d’une intégrale itérée
Zb
aZϕ2(x) ϕ1(x)
dydx =Zb
a
[ϕ2(x)−ϕ1(x)] dx.
Corollaire 7.1. .
1Soit R=(x,y)∈R2:a¶x¶b,ϕ1(x)¶y¶ϕ2(x)avec ϕ1et ϕ2deux fonctions
continues sur l’intervalle [a;b]. L’aire de la région Rest donné par
Aire(R) = Zb
aZϕ2(x) ϕ1(x)
dydx.
2Soit R=(x,y)∈R2:ψ1(y)¶x¶ψ2(y),c¶y¶davec ψ1et ψ2deux fonctions
continues sur l’intervalle [c;d]. L’aire de la région Rest donné par
Aire(R) = Zd
cZψ2(y) ψ1(y)
dxdy.
139

Intégrales doubles
Exemple 7.2.
Esquisser la région d’intégration de l’intégrale suivante,
puis la calculer.
Z2
0Z4 y2
dxdy.
On a
R=(x,y)∈R2:y2¶x¶4, 0 ¶y¶2.
L’aire de région R est x
y
y=2
x=4
x=y2⇐⇒ y=px
Aire(R) = Z2
0Z4 y2
dxdy
=Z2
0
[x]4
y2dy
=Z2
0
4−y2dy
=4y−y3
32
0
=16
3.
On peut changer l’ordre d’intégration, mais il faut d’abord changer les bornes de l’intégrale.
Nous remarquons que la région R peut aussi se déterminer comme suite
R=(x,y)∈R2: 0 ¶x¶4, 0 ¶y¶px.
Par conséquent
Aire(R) = Z4
0Zpx 0
dydx
=Z4
0
[y]px
0dx
=Z4
0
pxdy
=2
3px34
0
=16
3.
7.3 Intégrales doubles
Dans cette section, nous introduisons la notion de l’intégrale double pour les fonctions continues
de deux variables. Ensuite, nous présentons comment évaluer l’intégrale double en utilisant des
changements de variables et le théorème de Fubini. Enfin nous allons apprendre à appliquer
l’intégrale double pour calculer le volume d’un solide limité par les graphes de fonctions de deux
variables.
7.3.1 Intégrale double sur un rectangle
La construction de l’intégrale double sur un rectangle est analogue à la construction de l’inté-
grale d’une fonction d’une seule variable sur un segment.
140